Termodinamica di buchi neri semi-classici, regolari

L'idea di una ``lunghezza minima'' nella trama dello spaziotempo ha una lunga storia nella fisica teorica moderna. Uno dei primi tentativi risale a Snyder(1947), che dimostrò che per introdurre una lunghezza minima in maniera fisicamente significativa, senza scontrarsi con l' invarianza di Lorenz, le coordinate devono diventare quantità che non-commutano.
L' interesse per la geometria non-commutativa e` stato recentemente rilanciato dalla scoperta che tale geometria viene indotta su una D-brana dalla dinamica di una stringa aperta (Seiber e Witten, 1999). Nel limite di bassa energia, una teoria di campo (FT) sulla brana, diventa una teoria di campo non-commutativa (NCFT). Esistono vari tipi di teorie di campo non-commutative a seconda della maniera di ``deformare'' una FT ordinaria. L'approccio più popolare è fondato sulla sostituzione del prodotto ordinario tra funzioni ``in-un-punto'', con il prodotto-$\ast$, non-locale, di Wigner-Weyl-Moyal. Benchè matematicamente corrette, NCFTs con lo $\ast$-prodotto presentano grosse difficolta tecniche. La sola maniera per ottenere i valori di aspettazione di grandezze misurabili è in un doppio sviluppo perturbativo sia nella costante di accoppiamento sia nel parametro di deformazione. Questa procedura introduce per ogni grafico di Feynman planare (=ordinario) un corrispondente grafico non-planare. Il risultato e` una violazione, a livello perturbativo, dell' unitarieta` ed un effetto di mescolamento tra divergenze ultraviolette ed infrarosse.
A fronte di ciò, abbiamo introdotto (Smailagic e Spallucci, 2004) un approccio basato su stati coerenti delle coordinate, che porta ad una teoria di campo unitaria, Lorenz invariante e finita nell' ultra-violetto. Come ci si puo` aspettare, la presenza di una lunghezza minima, ``ereditata'' dalle coordinate non-commutative originali, fornisce un ``cut-off ultra-violetto naturale'' che rimuove le divergenze ultraviolette, senza violare l' invarianza di Lorentz e l ' unitarieta`.
Lo scopo principale della nostra ricerca recente è di estendere alla gravità i risultati ottenuti in NCFT, con l' obiettivo di ``sanare'' il cattivo comportamento della Relatività Generale a piccole distanze. Questo studio è suggerito anche da alcuni problemi insoluti della fisca dei buchi neri quantistici. La formulazione standard della meccanica quantistica dei buchi neri, in termini di teoria dei campi in spaziotempo curvo, cessa di valere a piccole distanze, ove le fluttuazioni quantistiche dello spaziotempo stesso non sono piu` trascurabili. Seguendo lo stesso approccio, che ci ha portato ad una NCFT finita nell' ultravioletto, abbiamo ricavato una ``maniera efficace'' per correggere'' le equazioni di Einstein a piccole distanze. Questo approccio ci ha consentito di ricavare nuove soluzioni esatte, tipo buco nero senza singolarità di curvatura e con un comportamento termodinamico regolare anche nelle fasi finali dell' ``evaporazione''. Invece che da un punto materiale, privo di struttura, soluzioni di questo tipo sono generate da una ``goccia materiale'' che rappresenta l'oggetto ``localizzato il piu` possibile'' in una geometria in cui le coordinate non commutano a piccole distanze. Le patologie delle metriche di Schwarzschild, Reissner-Nordstrom e Kerr, e.g. singolarità di curvatura, scompaiono. La varietà risultante è regolare ovunque e la singolarità di curvatura risulta sostituita da una regione di vuoto di DeSitter. Circa l'effetto Hawking, una nuova caratteristica interessante è che lo stadio finale e` rappresentato da un buco nero estremale, degenere, anche nel caso elettricamente neutro, senza momento angolare. Inoltre, il buco nero raggiunge una temperatura massima, finita, a cui segue un raffreddamento asintotico verso lo zero assoluto. Tale modello rappresenta, per quanto ci è dato sapere, il primo esempio efficace di come le fluttuazioni dello spaziotempo a piccola distanza possono essere incluse in una geometria (semi-)classica.