Geometria

dello

Spaziotempo


Stefano Ansoldi


Dipartimento di Fisica Teorica

Università degli Studi di Trieste

Corso di Laurea in Fisica

Anno Accademico 2002/2003

Premesse algebriche.

Strutture su uno spazio vettoriale:
  1. cenni sulle applicazioni k-lineari alternanti su uno spazio vettoriale; base e dimensione dello spazio delle k-forme lineari alternanti ed alcuni isomorfismi canonici; prodotto esterno di forme; algebra esterna su uno spazio vettoriale;
  2. cenni all'algebra tensoriale su uno spazio vettoriale; dimensione e base dello spazio dei tensori di tipo (r,s); tensori simmetrici ed antisimmetrici; simmetrizzazione ed anti-simmetrizzazione di tensori; forme come tensori totalmente antisimmetrici;
  3. orientazione e scelta di un'orientazione;
  4. prodotto scalare.


Premesse di geometria differenziale.

  1. Cenni descrittivi al concetto di spazio topologico, insiemi aperti, topologia.
    Ricoprimenti, ricoprimenti aperti, ricoprimenti aperti localmente finiti, raffinamenti; spazi topologici compatti e paracompatti.
  2. Struttura differenziabile e varietà differenziabile; funzioni e mappe (differenziabili) su/tra varietà; curve (differenziabili) su varietà.
  3. Partizione differenziabile dell'unità; esistenza di partizioni differenziabili dell'unita (enunciato).
  4. Vettore tangente e spazio tangente; differenziale di una funzione in un punto, vettore cotangente e spazio cotangente; base di coordinate nello spazio tangente e nello spazio cotangente; componenti di un vettore tangente e di uno cotangente; cambiamento di base negli spazi tangente e cotangente e legge di trasformazione per le componenti; cambiamento di coordinate e cambiamento di base di coordinate negli spazi tangente e cotangente e legge di trasformazione per le componenti.
  5. Spazio delle k-forme in un punto; cambiamento di base e legge di trasformazione per le componenti.
    Spazio dei tensori in un punto; cambiamento di base e legge di trasformazione per le componenti.
  6. Strutture su varietà:
    1. fibrato vettoriale, fibrato tangente, fibrato cotangente, algebra esterna, fibrato tensoriale; fibrati come varietà differenziabili e loro dimensione; significato della locale trivialità di un fibrato; parallelizzabilità; sezioni di fibrati;
    2. campi di vettori su insiemi aperti e lungo una curva, loro differenziabilità; scrittura di un campo di vettori in un intorno di coordinate; campi di vettori differenziabili e loro caratterizzazione; spazio dei campi di vettori differenziabili su una varietà; curva integrale di un campo di vettori, sua esistenza ed unicità (enunciato); cenni al flusso associato ad un campo di vettori (definizione);
    3. campi di tensori/forme su insiemi aperti e lungo una curva; scrittura di un campo di tensori/forme in un intorno di coordinate; campi di tensori/forme differenziabili e loro caratterizzazione; spazio dei campi di tensori/forme differenziabili su una varietà; il differenziale di una funzione come 1-forma differenziabile sulla varietà.
  7. Operazione di derivazione esterna: esistenza ed unicità (enunciato), proprietà.
  8. Mappe tra varietà e applicazioni ad esse associate: pull-back e push-forward; il caso speciale dei diffeomorfismi; pull-back e derivata esterna, proprietà.
  9. Derivata di Lie di un campo di vettori; espressione in una base di coordinate della derivata di Lie di un campo di vettori; estensione della derivazione di Lie a forme e, in generale, a tensori e sua espressione in coordinate; derivata di Lie di un campo di vettori e parentesi di Lie.
  10. Orientazione di una varietà differenziabile, significato e sua caratterizzazione (enunciato).
  11. Integrazione su varietà; definizione locale di integrale; espressione locale dell'integrale in coordinate e sua indipendenza dal sistema di coordinate; definizione globale di integrale tramite la partizione dell'unità; indipendenza dell'integrale dalla partizione dell'unità scelta; teorema di Stokes; corollario al teorema di Stokes.
  12. Metrica Riemanniana e Lorentziana; varietà Riemanniana e Lorentziana; Teorema di esistenza della metrica Riemanniana su una varietà; definizione di isometria tra varietà.
    Elemento di volume naturale su una varietà, sua espressione in coordinate tramite il tensore di Levi-Civita.
  13. Connessione in un punto e su una varietà; proprietà della connessione e sua scrittura locale tramite i simboli di connessione; derivazione covariante di un campo di vettori e derivazione covariante di un campo di vettori lungo una curva; campo di vettori parallelo lungo una curva; condizione di compatibilità per una connessione su una varietà Riemanniana; condizioni necessarie e sufficienti per la compatibilità di una connessione su una varietà Riemanniana; connessione simmetrica; caratterizzazione di una connessione simmetrica in una base di coordinate e proprietà dei simboli di connessione ad essa associati; teorema di esistenza ed unicità della connessione simmetrica compatibile con la metrica Riemanniana.
    Estensione del concetto di derivazione covariante a tensori/forme.
  14. Relazioni tra le operazioni di derivazione covariante, derivazione di Lie e derivazione esterna su una varietà.
    Simmetrie su una varieta, campi di vettori di Killing ed equazione di Killing.
  15. Curve auto-parallele e geodetiche; parametrizzazione affine; scrittura locale dell'equazione delle geodetiche per una parametrizzazione affine; teorema di esistenza ed unicità delle geodetiche (enunciato) e definizione della mappa esponenziale; differenziale della mappa esponenziale; mappa esponenziale come diffeomorfismo locale; cenni ai sistemi normali di coordinate.
  16. La curvatura: i tensori di Riemann e Ricci e le loro proprietà; espressione in coordinate del tensore di Riemann; tensori di Riemann e Ricci per la connessione simmetrica compatibile: ulteriori proprietà, scalare di Ricci e tensore di Einstein.


Spaziotempo, Relatività speciale e generale.

  1. Sul principio speciale di relatività; sistemi di riferimento inerziali, principio di relatività, principio di costanza della velocità della luce e loro base sperimentali.
    Significato fisico delle proposizioni geometriche, definizione operativa dei concetti fisici e analisi del concetto di simultaneità dal punto di vista della sua definizione operativa.
    Risoluzione della contraddizione tra principio di relatività nel senso ristretto e principio di costanza della velocità della luce: cenni alle equazioni di trasformazione di Lorentz.
  2. Struttura dello spaziotempo in relatività speciale: coni luce, segnali, osservatori inerziali.
  3. Sul principio generale di relatività; ambiguità e difficoltà nella definizione di sistemi di riferimento inerziali; sistemi generali di coordinate.
    Il principio di equivalenza nel senso debole e l'esperimento dell'ascensore di Einstein; equivalenza (locale) tra campi gravitazionali uniformi e campi inerziali; sistemi di coordinate gaussiani, descrizione di proprietà fisiche tramite proprietà geometriche del continuo spaziotemporale; relazione tra principio generale di relatività, principio di equivalenza di Einstein e teoria del campo gravitazionale.
    Relazione tra definizione operativa dei concetti di spazio e tempo, invio di segnali e struttura causale dello spaziotempo.
    Cenni alle verifiche sperimentali dei principi della relatività generale e alle sue previsioni.
  4. Costruzione di un sistema di osservatori uniformemente accelerati nello spazio tempo di Minkowski e loro proprietà: red-shift, orizzonte degli eventi e struttura causale dello spaziotempo per un osservatore accelerato nello spaziotempo di Minkowski; coordinate di Rindler, elemento di linea in coordinate di Rindler e sua relazione con l'elemento di linea di Minkowski; interpretazione dello spaziotempo di Rindler alla luce dell'esperimento dell'ascensore di Einstein.


Il tensore energia impulso.

  1. Formulazione Lagrangiana per la dinamica non-relativistica di una particella; principio di conservazione dell'energia.
  2. Cenni di cinematica relativistica: l'azione per il moto libero di una particella relativistica; principio variazionale ad estremi fissi e determinazione dell'equazione del moto; principio variazionale con un estremo variabile e definizione di impulso; tensore momento angolare relativistico e significato delle sue componenti in relazione al gruppo delle trasformazioni di Lorentz (interpretate come rotazioni dello spaziotempo); centro di massa relativistico.
  3. Cenni alla formulazione Lagrangiana di una teoria di campo (e caso particolare di una teoria Lorentz invariante) tramite principio variazionale: equazioni di Eulero-Lagrange; definizione del tensore energia-impulso associato ai campi e legge locale di conservazione; simmetria del tensore energia-impulso ed interpretazione delle sue componenti; leggi di conservazione in forma integrale e relazione relativistica tra densità del flusso di energia e densità di impulso.
  4. Definizione del tensore energia-impulso per una teoria di campo covariante generale; legge di conservazione in forma locale; interpretazione della legge locale di conservazioni alla luce dell'invarianza per diffeomorfismi; quantità conservate in presenza di simmetrie (vettori di Killing) e discussione sulle leggi integrali di conservazione nel caso covariante generale; interpretazione del caso Lorentz invariante, alla luce di queste considerazioni, come caso particolare.


Equazioni di Einstein.

  1. Derivazione euristica delle equazioni di Einstein in uno spaziotempo statico sfruttando l'analisi del limite di campo debole.
  2. Equazioni di Einstein (in due forme equivalenti); non linearità delle equazioni e aspetti particolari del legame con la materia.
    Cenni all'analisi della struttura delle equazioni di Einstein e loro caratterizzazione con riferimento al problema di Cauchy ad esse associato.
  3. Il tensore metrico e la relazione delle sue componenti con le proprietà del campo gravitazionale e del sistema di riferimento scelto; relazione tra componenti del tensore metrico e possibilità di sincronizzazione di orologi.
  4. Limite classico delle equazioni di Einstein e limite classico dell'equazione delle geodetiche. Significato fisico dei coefficienti di connessione e del tensore metrico dedotto dall'analisi del limite classico delle equazioni.


Cenni di struttura dello spaziotempo su larga scala.

  1. Classificazione del carattere dei vettori su una varietà Lorentziana; classificazione del carattere di una curva in un punto; caratterizzazione generale di curve tipo spazio, tempo, luce o causali.
  2. Classificazione delle geodetiche ed invarianza del loro carattere.
  3. Formulazione matematica dello spaziotempo come varietà Lorentziana; interpretazione fisica di concetti geometrici legati al concetto di varietà: mappa esponenziale, geodetiche, sistemi normali di coordinate alla luce dei concetti fisici di moto libero, struttura causale e del principio di equivalenza.
  4. Cenni alla definizione di buco nero dal punto di vista della struttura causale (introduzione ai seguenti concetti fondamentali e loro significato fisico, senza dimostrazioni):
    • curve tipo tempo, spazio, luce, causali dirette verso il passato/futuro; punto terminale nell passato/futuro di una curva causale; curve causali che non possono essere estese nel passato/futuro;
    • passato/futuro cronologico e causale di un evento e di un insieme di eventi;
    • spaziotempo causale nel senso forte;
    • insieme atemporale e bordo di un insieme atemporale; dominio di dipendenza passato/futuro di un insieme atemporale chiuso; dominio di dipendenza di un insieme atemporale chiuso; superficie di Cauchy e superficie di Cauchy parziale; spaziotempo globalmente iperbolico;
    • spaziotempo asintoticamente vuoto e semplice e spazio non fisico ad esso associato; proprietà di uno spaziotempo asintoticamente vuoto e semplice: futuro e passato tipo luce e loro caratterizzazione in termini di geodetiche; spaziotempo asintoticamente vuoto e semplice nel senso debole;
    • spaziotempo determinabile asintoticamente verso il futuro nel senso forte a partire da una superficie di Cauchy parziale; sue proprietà;
    • buco nero;
    • orizzonte degli eventi

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