cenni sulle applicazioni k-lineari alternanti su uno spazio
vettoriale; base e dimensione dello spazio delle k-forme lineari
alternanti ed alcuni isomorfismi canonici; prodotto esterno di forme;
algebra esterna su uno spazio vettoriale;
cenni all'algebra tensoriale su uno spazio vettoriale; dimensione
e base dello spazio dei tensori di tipo (r,s); tensori simmetrici
ed antisimmetrici; simmetrizzazione ed anti-simmetrizzazione di tensori;
forme come tensori totalmente antisimmetrici;
orientazione e scelta di un'orientazione;
prodotto scalare.
Premesse di geometria differenziale.
Cenni descrittivi al concetto di spazio topologico, insiemi aperti,
topologia.
Ricoprimenti, ricoprimenti aperti, ricoprimenti aperti localmente finiti,
raffinamenti; spazi topologici compatti e paracompatti.
Struttura differenziabile e varietà differenziabile; funzioni e
mappe (differenziabili) su/tra varietà; curve (differenziabili) su
varietà.
Partizione differenziabile dell'unità; esistenza di partizioni
differenziabili dell'unita (enunciato).
Vettore tangente e spazio tangente; differenziale di una funzione in
un punto, vettore cotangente e spazio cotangente; base di coordinate nello
spazio tangente e nello spazio cotangente; componenti di un vettore tangente
e di uno cotangente; cambiamento di base negli spazi tangente e cotangente
e legge di trasformazione per le componenti; cambiamento di coordinate
e cambiamento di base di coordinate negli spazi tangente e cotangente
e legge di trasformazione per le componenti.
Spazio delle k-forme in un punto; cambiamento di base e legge
di trasformazione per le componenti.
Spazio dei tensori in un punto; cambiamento di base e legge di trasformazione
per le componenti.
Strutture su varietà:
fibrato vettoriale, fibrato tangente, fibrato cotangente, algebra
esterna, fibrato tensoriale; fibrati come varietà differenziabili
e loro dimensione; significato della locale trivialità di un
fibrato; parallelizzabilità; sezioni di fibrati;
campi di vettori su insiemi aperti e lungo una curva, loro differenziabilità;
scrittura di un campo di vettori in un intorno di coordinate; campi
di vettori differenziabili e loro caratterizzazione; spazio dei campi
di vettori differenziabili su una varietà; curva integrale di
un campo di vettori, sua esistenza ed unicità (enunciato); cenni
al flusso associato ad un campo di vettori (definizione);
campi di tensori/forme su insiemi aperti e lungo una curva; scrittura
di un campo di tensori/forme in un intorno di coordinate; campi di
tensori/forme differenziabili e loro caratterizzazione; spazio dei
campi di tensori/forme differenziabili su una varietà; il differenziale
di una funzione come 1-forma differenziabile sulla varietà.
Operazione di derivazione esterna: esistenza ed unicità (enunciato),
proprietà.
Mappe tra varietà e applicazioni ad esse associate: pull-back
e push-forward; il caso speciale dei diffeomorfismi; pull-back
e derivata esterna, proprietà.
Derivata di Lie di un campo di vettori; espressione in una base di coordinate
della derivata di Lie di un campo di vettori; estensione della derivazione
di Lie a forme e, in generale, a tensori e sua espressione in coordinate;
derivata di Lie di un campo di vettori e parentesi di Lie.
Orientazione di una varietà differenziabile, significato e sua
caratterizzazione (enunciato).
Integrazione su varietà; definizione locale di integrale; espressione
locale dell'integrale in coordinate e sua indipendenza dal sistema di
coordinate; definizione globale di integrale tramite la partizione dell'unità;
indipendenza dell'integrale dalla partizione dell'unità scelta; teorema
di Stokes; corollario al teorema di Stokes.
Metrica Riemanniana e Lorentziana; varietà Riemanniana e Lorentziana;
Teorema di esistenza della metrica Riemanniana su una varietà; definizione
di isometria tra varietà.
Elemento di volume naturale su una varietà, sua espressione in coordinate
tramite il tensore di Levi-Civita.
Connessione in un punto e su una varietà; proprietà della
connessione e sua scrittura locale tramite i simboli di connessione; derivazione
covariante di un campo di vettori e derivazione covariante di un campo
di vettori lungo una curva; campo di vettori parallelo lungo una curva;
condizione di compatibilità per una connessione su una varietà
Riemanniana; condizioni necessarie e sufficienti per la compatibilità
di una connessione su una varietà Riemanniana; connessione simmetrica;
caratterizzazione di una connessione simmetrica in una base di coordinate
e proprietà dei simboli di connessione ad essa associati; teorema
di esistenza ed unicità della connessione simmetrica compatibile
con la metrica Riemanniana.
Estensione del concetto di derivazione covariante a tensori/forme.
Relazioni tra le operazioni di derivazione covariante, derivazione di
Lie e derivazione esterna su una varietà.
Simmetrie su una varieta, campi di vettori di Killing ed equazione di
Killing.
Curve auto-parallele e geodetiche; parametrizzazione affine; scrittura
locale dell'equazione delle geodetiche per una parametrizzazione affine;
teorema di esistenza ed unicità delle geodetiche (enunciato) e definizione
della mappa esponenziale; differenziale della mappa esponenziale; mappa
esponenziale come diffeomorfismo locale; cenni ai sistemi normali di coordinate.
La curvatura: i tensori di Riemann e Ricci e le loro proprietà;
espressione in coordinate del tensore di Riemann; tensori di Riemann e
Ricci per la connessione simmetrica compatibile: ulteriori proprietà,
scalare di Ricci e tensore di Einstein.
Spaziotempo, Relatività speciale e generale.
Sul principio speciale di relatività; sistemi di riferimento inerziali,
principio di relatività, principio di costanza della velocità
della luce e loro base sperimentali.
Significato fisico delle proposizioni geometriche, definizione operativa
dei concetti fisici e analisi del concetto di simultaneità dal punto
di vista della sua definizione operativa.
Risoluzione della contraddizione tra principio di relatività nel
senso ristretto e principio di costanza della velocità della luce:
cenni alle equazioni di trasformazione di Lorentz.
Struttura dello spaziotempo in relatività speciale: coni luce,
segnali, osservatori inerziali.
Sul principio generale di relatività; ambiguità e difficoltà
nella definizione di sistemi di riferimento inerziali; sistemi generali
di coordinate.
Il principio di equivalenza nel senso debole e l'esperimento dell'ascensore
di Einstein; equivalenza (locale) tra campi gravitazionali uniformi
e campi inerziali; sistemi di coordinate gaussiani, descrizione
di proprietà fisiche tramite proprietà geometriche del continuo
spaziotemporale; relazione tra principio generale di relatività,
principio di equivalenza di Einstein e teoria del campo gravitazionale.
Relazione tra definizione operativa dei concetti di spazio e tempo, invio
di segnali e struttura causale dello spaziotempo.
Cenni alle verifiche sperimentali dei principi della relatività generale
e alle sue previsioni.
Costruzione di un sistema di osservatori uniformemente accelerati nello
spazio tempo di Minkowski e loro proprietà: red-shift, orizzonte
degli eventi e struttura causale dello spaziotempo per un osservatore
accelerato nello spaziotempo di Minkowski; coordinate di Rindler, elemento
di linea in coordinate di Rindler e sua relazione con l'elemento di linea
di Minkowski; interpretazione dello spaziotempo di Rindler alla luce dell'esperimento
dell'ascensore di Einstein.
Il tensore energia impulso.
Formulazione Lagrangiana per la dinamica non-relativistica di una particella;
principio di conservazione dell'energia.
Cenni di cinematica relativistica: l'azione per il moto libero di una
particella relativistica; principio variazionale ad estremi fissi e determinazione
dell'equazione del moto; principio variazionale con un estremo variabile
e definizione di impulso; tensore momento angolare relativistico e significato
delle sue componenti in relazione al gruppo delle trasformazioni di Lorentz
(interpretate come rotazioni dello spaziotempo); centro di massa relativistico.
Cenni alla formulazione Lagrangiana di una teoria di campo (e caso particolare
di una teoria Lorentz invariante) tramite principio variazionale: equazioni
di Eulero-Lagrange; definizione del tensore energia-impulso associato
ai campi e legge locale di conservazione; simmetria del tensore energia-impulso
ed interpretazione delle sue componenti; leggi di conservazione in forma
integrale e relazione relativistica tra densità del flusso di energia
e densità di impulso.
Definizione del tensore energia-impulso per una teoria di campo covariante
generale; legge di conservazione in forma locale; interpretazione della
legge locale di conservazioni alla luce dell'invarianza per diffeomorfismi;
quantità conservate in presenza di simmetrie (vettori di Killing)
e discussione sulle leggi integrali di conservazione nel caso covariante
generale; interpretazione del caso Lorentz invariante, alla luce di queste
considerazioni, come caso particolare.
Equazioni di Einstein.
Derivazione euristica delle equazioni di Einstein in uno spaziotempo
statico sfruttando l'analisi del limite di campo debole.
Equazioni di Einstein (in due forme equivalenti); non linearità
delle equazioni e aspetti particolari del legame con la materia.
Cenni all'analisi della struttura delle equazioni di Einstein e loro caratterizzazione
con riferimento al problema di Cauchy ad esse associato.
Il tensore metrico e la relazione delle sue componenti con le proprietà
del campo gravitazionale e del sistema di riferimento scelto; relazione
tra componenti del tensore metrico e possibilità di sincronizzazione
di orologi.
Limite classico delle equazioni di Einstein e limite classico dell'equazione
delle geodetiche. Significato fisico dei coefficienti di connessione e
del tensore metrico dedotto dall'analisi del limite classico delle equazioni.
Cenni di struttura dello spaziotempo su larga scala.
Classificazione del carattere dei vettori su una varietà Lorentziana;
classificazione del carattere di una curva in un punto; caratterizzazione
generale di curve tipo spazio, tempo, luce o causali.
Classificazione delle geodetiche ed invarianza del loro carattere.
Formulazione matematica dello spaziotempo come varietà Lorentziana;
interpretazione fisica di concetti geometrici legati al concetto di varietà:
mappa esponenziale, geodetiche, sistemi normali di coordinate alla luce
dei concetti fisici di moto libero, struttura causale e del principio
di equivalenza.
Cenni alla definizione di buco nero dal punto di vista della struttura
causale (introduzione ai seguenti concetti fondamentali e loro significato
fisico, senza dimostrazioni):
curve tipo tempo, spazio, luce, causali dirette verso il passato/futuro;
punto terminale nell passato/futuro di una curva causale; curve causali
che non possono essere estese nel passato/futuro;
passato/futuro cronologico e causale di un evento e di un insieme
di eventi;
spaziotempo causale nel senso forte;
insieme atemporale e bordo di un insieme atemporale; dominio di
dipendenza passato/futuro di un insieme atemporale chiuso; dominio
di dipendenza di un insieme atemporale chiuso; superficie di Cauchy
e superficie di Cauchy parziale; spaziotempo globalmente iperbolico;
spaziotempo asintoticamente vuoto e semplice e spazio non fisico
ad esso associato; proprietà di uno spaziotempo asintoticamente
vuoto e semplice: futuro e passato tipo luce e loro caratterizzazione
in termini di geodetiche; spaziotempo asintoticamente vuoto e semplice
nel senso debole;
spaziotempo determinabile asintoticamente verso il futuro nel senso
forte a partire da una superficie di Cauchy parziale; sue proprietà;
