Fisica

Matematica


Stefano Ansoldi


Dipartimento di Matematica e Informatica

Università degli Studi di Udine

Corso di Laurea in Matematica

Anno Accademico 2003/2004


Concetti fondamentali in teoria dei campi.

Dai sistemi discreti ai sistemi continui:
  1. teoria Lagrangiana di un sistema di N+1 masse identiche connesse da N molle identiche; coordinate generalizzate e derivazione delle equazioni del moto nella formulazione Lagrangiana; momenti coniugati e quantita` dinamiche nella formulazione Hamiltoniana;
  2. limite continuo di un sistema di masse e molle identiche nella formulazione Lagrangiana; limite continuo delle equazioni del moto;
  3. il concetto di campo; densita` di Lagrangiana, densita` di Hamiltoniana, densita` di momento; cenni di base alla formulazione Lagrangiana e Hamiltoniana di una teoria di campo;
  4. cenni al calcolo delle variazioni in piu` dimensioni; funzionali, derivate funzionali, estremali, equazioni di Eulero-Lagrange per i campi derivate tramite principio variazionale; interpretazione alla luce del passaggio dai sistemi discreti a quelli continui.


Complementi di algebra.

Prodotto tensoriale di spazi vettoriali:
      1. Prodotto tensoriale, "Universal Factorization Property" del prodotto tensoriale per applicazioni bilineari, commutativita` del prodotto tensoriale, associativita` del prodotto tensoriale, distributivita` del prodotto tensoriale rispetto alla somma diretta di spazi vettoriali;
      2. Base del prodotto tensoriale, alcuni isomorfismi canonici; generalizzazione del prodotto tensoriale e di alcune proprieta` al caso di un arbitrario numero finito di spazi vettoriali. Proprieta` duali del prodotto tensoriale. Isomorfismo tra i prodotti tensoriali ed opportuni spazi di applicazioni multilineari.
      3. Il concetto di tensore e di componenti di un tensore.
      4. Contrazione di tensori.
Prodotti scalari pseudo-Euclidei:
      1. Prodotto scalare Euclideo e pseudo-euclideo/metrica; segnatura di una metrica; metriche Lorentziane.
      2. classificazione di vettori: tipo tempo, tipo spazio e tipo luce.
 
 
Geometria differenziale.

Complementi:
      1. Richiamo di concetti base di topologia.
      2. Fibrati vettoriali e sezioni di fibrati.
      3. partizioni differenziabili dell'unita`.
      4. Curve su varieta` e vettore tangente ad una curva.
      5. Parentesi di Lie e loro proprieta`.
Tensori e campi di tensori su varieta`:
      1. Campi di tensori e campi di tensori differenziabili; fibrati tangente e cotangente visti come fibrati tensoriali; basi di coordinate per i tensori; caratterizzazione dei campi di tensori; caratterizzazione dei campi di vettori.
Connessione:
      1. L'idea di trasporto parallelo; connessione in un punto dato di una varieta`; connessione su una varieta`; connessione simmetrica; espressione in componenti di una connessione; simboli di connessione; caratterizzazione di una connessione simmetrica.
      2. Derivata covariante; derivata covariante lungo una curva: esistenza ed unicita`; espressioni in componenti della derivata covariante e della derivata covariante lungo una curva.
      3. Campi di vettori paralleli; caratterizzazione di campi di vettori paralleli; esistenza di campi di vettori paralleli; traslazione parallela e trasporto parallelo come isomorfismo.
      4. Estensione della derivata covariante a campi di tensori; derivata covariante seconda.
      5. Curvatura; definizione del tensore di Riemann; relazione tra il tensore di Riemann e la derivata covariante seconda di un campo di vettori; componenti del tensore di Riemann in una base di coordinate; propriet\`{a} di simmetria del tensore di Riemann; tensore di Ricci.
      6. Curve auto-parallele e la mappa esponenziale su variet\`{a}; propriet\`{a} del differenziale della mappa esponenziale; mappa esponenziale come diffeomorfismo locale.
Geometria Riemanniana e Lorentziana:
      1. Metrica Riemanniana/Lorentziana; esistenza di una metrica Riemanniana/Lorentziana.


Relativita`.

Relativita` speciale:
        1. Cenni ai concetti di spazio e tempo in meccanica pre-relativistica.
        2. Principio di relativita` e legge di propagazione della luce nel vuoto.
        3. Apparente contraddizione tra il principio di relativita` e la legge di propagazione della luce nel vuoto.
        4. Riflessione di Einstein sui concetti di spazio e tempo; definizione operativa di simultaneita`; applicazione della riflessione sulla relativita` della simultaneita` e del principio di relativita` ai cambiamenti di sistema di riferimento.
        5. Trasformazioni di Lorentz ed il gruppo di Lorentz. Derivazione delle leggi di trasformazioni di Lorentz a partire dal principio di relativita` e dalla legge di propagazione della luce nel vuoto. Intervallo invariante. Riderivazione delle leggi di trasformazioni di Lorentz come gruppo di simmetria della metrica di Minkowski (nel caso bidimensionale). Cenni alle generalizzazioni al caso quadridimensionale.
Relativita` generale:
        1. Sistemi inerziali e non-inerziali; l'esperimento del'ascensore di Einstein; il principio di equivalenza; il principio di covarianza generale.
        2. Equazioni di Einstein nel vuoto e loro derivazione da un principio variazionale.
        3. Proprieta` delle equazioni di Einstein.
        4. Significato fisico del tensore metrico: misure di intervalli spaziali, temporali e sincronizzazione degli orologi.
        5. Il limite non-relativistico della Relativita` Generale.
        6. Proprieta` di conservazione in fisica classica ed in Relativita` Speciale; leggi di conservazione e principio di covarianza generale; il tensore energia impulso e le equazioni di Einstein in presenza di sorgenti.

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