\input format.
% MACROS
%
% various definitions
%
\def\ni{\noindent}
\def\cl{\centerline}
\def\vf{\vfil\eject}
\def\Bs{\bigskip\bigskip}
\def\bs{\bigskip}
\def\ms{\medskip}
\def\ss{\smallskip}
\def\vs{\vskip 0.6truecm}
\def\pac{\hfill\break}
%
% macros for tables
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newbox\hdbox%
\newcount\hdrows%
\newcount\multispancount%
\newcount\ncase%
\newcount\ncols% This is the number of primary text columns in the table.
\newcount\nrows%
\newcount\nspan%
\newcount\ntemp%
\newdimen\hdsize%
\newdimen\newhdsize%
\newdimen\parasize%
\newdimen\spreadwidth%
\newdimen\thicksize%
\newdimen\thinsize%
\newdimen\tablewidth%
\newif\ifcentertables%
\newif\ifendsize%
\newif\iffirstrow%
\newif\iftableinfo%
\newtoks\dbt%
\newtoks\hdtks%
\newtoks\savetks%
\newtoks\tableLETtokens%
\newtoks\tabletokens%
\newtoks\widthspec%
%
%  Book-keeping stuff--see how often these macros are called.
%
\immediate\write15{%
CP SMSG GJMSINK TEXTABLE --> TABLE MACROS V. 851121 JOB = \jobname%
}%
%
%  Turn on table diagnostics.
%
\tableinfotrue%
\catcode`\@=11%  Allows use of "@" in macro names, like PLAIN.TEX does.
\def\out#1{\immediate\write16{#1}}%  Debugging aid.  Writes #1 on the
%                                    user's terminal and in the log file.
%
%  Define the \tstrut height, depth in terms of the x_height parameter.
%
\def\tstrut{\vrule height3.1ex depth1.2ex width0pt}%
\def\and{\char`\&}%  Allows us to get an `&' in the text.  This is the
%                    same as using the PLAIN TeX macro \&.
\def\tablerule{\noalign{\hrule height\thinsize depth0pt}}%
\thicksize=1.5pt%  Default thickness for fat rules.  The user should feel
%                  free to change this to his preference.
\thinsize=0.6pt%   Default thickness for thin rules.
\def\thickrule{\noalign{\hrule height\thicksize depth0pt}}%
\def\hrulefill{\leaders\hrule\hfill}%
\def\bigrulefill{\leaders\hrule height\thicksize depth0pt \hfill}%
\def\ctr#1{\hfil\ #1\hfil}%
\def\altctr#1{\hfil #1\hfil}%
\def\vctr#1{\hfil\vbox to0pt{\vss\hbox{#1}\vss}\hfil}%
%
%  Here are things for controlling the width of the finished table.
%
\tablewidth=-\maxdimen%
\spreadwidth=-\maxdimen%
\def\tabskipglue{0pt plus 1fil minus 1fil}%
%
%  Stuff for centering or not.
%
\centertablestrue%
\def\centeredtables{%
   \centertablestrue%
}%
\def\noncenteredtables{%
   \centertablesfalse%
}%
%
%  \vctr vertically centers its argument in the row.
%
\parasize=4in%
\long\def\para#1{%  Used to make little paragraphs out of one entry.
   {%
      \vtop{%
         \hsize=\parasize%
         \baselineskip14pt%
         \lineskip1pt%
         \lineskiplimit1pt%
         \noindent #1%
         \vrule width0pt depth6pt%
      }%
   }%
}%
%
\gdef\ARGS{########}%  Produces the correct number of #'s in the preamble
%                      by the time eveything is expanded and \halign sees
%                      it.
\gdef\headerARGS{####}%  Same as \ARGS, but used in \header macros.
\def\@mpersand{&}%  Allows us to get alignment tab characters later
%                   when we have made the character "&" an active macro.
{\catcode`\|=13%  Make |'s locally active.
\gdef\letbarzero{\let|0}%  Globally define a macro that allows us to
%                          keep active |'s from being expanded in edef's.
\gdef\letbartab{\def|{&&}}%
\gdef\letvbbar{\let\vb|}%
%  This \def will cause active |'s read by
%                            \ruledtable to be converted into double
%                            alignment tabs.
}%  End of locally active |'s.
%
{\catcode`\&=4%  Make these alignment tabs.
\def\ampskip{&\omit\hfil&}%  This local macro skips a vertical rule.
\catcode`\&=13%  Now make &'s into active macros.
\let&0%  This allows us to expand \ampskip in the next \xdef without
%        attempting to expand the & and getting an "undefined control
%        sequence" error.
\xdef\letampskip{\def&{\ampskip}}%
\gdef\letnovbamp{\let\novb&\let\tab&}
%  This will cause active &'s read by
%                                   \ruledtable to be converted into
%                                   double tabs and an \omit'ted \vrule.
}%  End of locally active &'s.
%
\def\begintable{%  Here we make |'s and &'s active characters so we can
%                  interpret them as macros.  Note that this action is
%                  true only until we encounter the matching \endgroup
%                  token later at the end of the \ruledtable macro.
   \begingroup%
   \catcode`\|=13\letbartab\letvbbar%
   \catcode`\&=13\letampskip\letnovbamp%
   \def\multispan##1{%  We must redefine \multispan to count the number
%                       of primary columns, not physical columns.
      \omit \mscount##1%
      \multiply\mscount\tw@\advance\mscount\m@ne%
      \loop\ifnum\mscount>\@ne \sp@n\repeat%
   }%  End of \multispan macro.
   \def\|{%
      &\omit\widevline&%
   }%
   \ruledtable%  Now we call \ruledtable to do the real work.
}%  End of \begintable macro.
%
\long\def\ruledtable#1\endtable{%
%
%  This macro reads in the user's data entries
%  and converts them into a ruled table.
%
%  Important note:  Many macros and parameters are re-defined here, and
%  these must be kept local to the table macros to avoid conflict with
%  their use outside of tables.  This is done by the \begingroup token
%  macro \begintable and the \endgroup token at the end of
%  this macro.
%
   \offinterlineskip%  Needed to make rules touch each other.
   \tabskip 0pt%  Needed for same reason as \offinterlineskip.
   \def\widevline{\vrule width\thicksize}%  Make outer \vrule's wider.
   \def\endrow{\@mpersand\omit\hfil\crnorm\@mpersand}%
   \def\crthick{\@mpersand\crnorm\thickrule\@mpersand}%
   \def\crthickneg##1{\@mpersand\crnorm\thickrule
                     \noalign{\vskip-##1}\@mpersand}%
   \def\crnorule{\@mpersand\crnorm\@mpersand}%
   \def\crnoruleneg##1{\@mpersand\crnorm\noalign{\vskip-##1}\@mpersand}%
   \let\nr=\crnorule%  A shorter abbreviation.
   \def\endtable{\@mpersand\crnorm\thickrule}%
%
   \let\crnorm=\cr%  Allows us to use \cr for our own purposes.
%
%  Cause user-typed \cr's to follow a row with a \tablerule.
%
   \edef\cr{\@mpersand\crnorm\tablerule\@mpersand}%
   \def\crneg##1{\@mpersand\crnorm\tablerule
                \noalign{\vskip-##1}\@mpersand}%
   \let\ctneg=\crthickneg
   \let\nrneg=\crnoruleneg
%
   \the\tableLETtokens%  Get the user's extra \let's, if any.
%
%  Put the data entries into a token register so we can scan through them
%  and see what the user is asking us to do.
%
   \tabletokens={&#1}%  We add an extra alignment tab to the beginning
%                       of the first row to allow for the first \vrule.
%
%  Now count how many rows are in the table and return the result in
%  count register \nrows; do the same for columns, and return that
%  in register \ncols.
%
   \countROWS\tabletokens\into\nrows%
   \countCOLS\tabletokens\into\ncols%
%
%  Now do a little arithmetic to convert the number of primary columns
%  into the number of physical columns that the alignment preamble must
%  prepare for;  similarly for rows.
%
   \advance\ncols by -1%
   \divide\ncols by 2%
   \advance\nrows by 1%
%
%  Tell the user how many rows and columns we found in his data, if he
%  wants to know.
%
   \iftableinfo %
      \immediate\write16{[Nrows=\the\nrows, Ncols=\the\ncols]}%
   \fi%
%
%  Now we actually go ahead and produce the table.
%
   \ifcentertables
      \ifhmode \par\fi%  Make sure we are in vertical mode.
      \line{%  The final table comes out as an \hbox of width the \hsize.
      \hss%  The final table will be centered left-to-right.
   \else %
      \hbox{%
   \fi
      \vbox{%
         \makePREAMBLE{\the\ncols}%  Generate the preamble.
         \edef\next{\preamble}%  This line and the next line force the
         \let\preamble=\next%    expansion of all \ARGS tokens into the
%                                appropriate number of #'s.
         \makeTABLE{\preamble}{\tabletokens}%  Go do the \halign here.
      }%  End of \vbox.
      \ifcentertables \hss}\else }\fi%  Finish the centering effect.
%                                       It is important that no spaces
%                                       follow the two `}' here.
%  }%  End of \line.
   \endgroup%  Return all local macros and parameters to their outside
%              values.
   \tablewidth=-\maxdimen%  Reset \tablewidth to normal.
   \spreadwidth=-\maxdimen% Same for \spreadwidth.
}%  End of macro \ruledtable.
%
\def\makeTABLE#1#2{%  Does an \halign for the \ruledtable macro.
   {%  Start of local parameter values.
%
   \let\ifmath0%     These macros would cause trouble if they were to be
   \let\header0%     expanded in the following \xdef; we \let them be
   \let\multispan0%  equal to a digit, because digits can't be expanded.
%
%  Set up the width specification here.
%
   \ncase=0%
   \ifdim\tablewidth>-\maxdimen \ncase=1\fi%
   \ifdim\spreadwidth>-\maxdimen \ncase=2\fi%
   \relax%  This \relax is absolutely necessary, without it the following
%           \ifcase will always take \ncase=0.
%
   \ifcase\ncase %
      \widthspec={}%
   \or %
      \widthspec=\expandafter{\expandafter t\expandafter o%
                 \the\tablewidth}%
   \else %
      \widthspec=\expandafter{\expandafter s\expandafter p\expandafter r%
                 \expandafter e\expandafter a\expandafter d%
                 \the\spreadwidth}%
   \fi %
%\out{Widthspec=[\the\widthspec]}%
%\out{Preamble=[\preamble]}%
   \xdef\next{%  We must force the preamble to be expanded BEFORE the
      \halign\the\widthspec{%
%        \halign is done;  this \edef\next{...}\next construction
%                does the trick.
      #1%  This is the preamble text.
%
      \noalign{\hrule height\thicksize depth0pt}%  Makes the top \hrule.
%
      \the#2\endtable%  This is the main body.
%
%     \noalign{\hrule height0.7pt depth0pt}%  Makes the last \hrule.
      }%  End of \halign.
   }%  End of \next.
   }%  End of local values.
   \next%  This \next must be outside of the local values, because now
%          we want those troublesome macros in the \let's above to have
%          their normal actions.
}%  End of macro \makeTABLE.
%
\def\makePREAMBLE#1{%  This macro generates the necessary preamble for a
%                      ruled table with #1 primary columns.
%                      (Primary columns means the number of columns NOT
%                       counting those used for vertical rules.)
   \ncols=#1%  Get the number of columns desired.
   \begingroup%  Start local parameter definitions.
   \let\ARGS=0%  This is the key to the whole thing; it prevents \ARGS
%                from being expanded in the following \edef's.
   \edef\xtp{\widevline\ARGS\tabskip\tabskipglue%
   &\ctr{\ARGS}\tstrut}%  A 1-column preamble.  Gets the sizing right.
   \advance\ncols by -1%  One column has been generated; decrement the
%                         counter.
   \loop%  Append as many further columns as needed to the preamble.
      \ifnum\ncols>0 %
      \advance\ncols by -1%
      \edef\xtp{\xtp&\vrule width\thinsize\ARGS&\ctr{\ARGS}}%
   \repeat
   \xdef\preamble{\xtp&\widevline\ARGS\tabskip0pt%
   \crnorm}%  Adds the last \vrule.
   \endgroup%  End of local parameters.
}%  End of macro \makePREAMBLE.
%
\def\countROWS#1\into#2{%  This counts the number of rows in #1 by
%                          looking for control sequences that end a row,
%                          e.g., \cr, \crthick, etc., and puts the result
%                          into count register #2.
   \let\countREGISTER=#2%
   \countREGISTER=0%
%  \out{In countROWS:  tokens are [\the#1]}%
   \expandafter\ROWcount\the#1\endcount%
}%
%
\def\ROWcount{%
   \afterassignment\subROWcount\let\next= %
}%
\def\subROWcount{%
%  \out{In subROWcount:  next is [\meaning\next]}%  Debugging aid.
   \ifx\next\endcount %
      \let\next=\relax%
   \else%
      \ncase=0%
      \ifx\next\cr %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\endrow %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crthick %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crnorule %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crthickneg %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crnoruleneg %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crneg %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\header %
%     \out{In subROWcount:  next=header, ncase set=1}%
         \ncase=1%
      \fi%
%     \out{In subROWcount:  ncase is [\the\ncase]}%
      \relax%
      \ifcase\ncase %
         \let\next\ROWcount%
%        \out{subROWcount---> ncase=\the\ncase}%
      \or %
         \let\next\argROWskip%
%        \out{subROWcount---> ncase=\the\ncase}%
      \else %
      \fi%
   \fi%
%  \out{subROWcount---> NEXT=\meaning\next}%
   \next%
}%  End of macro \subROWcount.
%
\def\counthdROWS#1\into#2{%
\dvr{10}%
   \let\countREGISTER=#2%
   \countREGISTER=0%
\dvr{11}%
%  \out{In counthdROWS:  tokens are [\the#1]}%
\dvr{13}%
   \expandafter\hdROWcount\the#1\endcount%
\dvr{12}%
}%
%
\def\hdROWcount{%
   \afterassignment\subhdROWcount\let\next= %
}%
\def\subhdROWcount{%
%\out{In subhdROWcount:  next is [\meaning\next]}%
   \ifx\next\endcount %
      \let\next=\relax%
   \else%
      \ncase=0%
      \ifx\next\cr %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\endrow %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crthick %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\crnorule %
         \global\advance\countREGISTER by 1%
         \ncase=0%
      \fi%
      \ifx\next\header %
%\out{In subhdROWcount:  next=header, ncase set=1}%
         \ncase=1%
      \fi%
%\out{In subhdROWcount:  ncase is [\the\ncase]}%
\relax%
      \ifcase\ncase %
         \let\next\hdROWcount%
%\out{subhdROWcount---> ncase=\the\ncase}%
      \or%
         \let\next\arghdROWskip%
%\out{subhdROWcount---> ncase=\the\ncase}%
      \else %
      \fi%
   \fi%
%\out{subhdROWcount---> NEXT=\meaning\next}%
   \next%
}%
%
{\catcode`\|=13\letbartab
\gdef\countCOLS#1\into#2{%
%  \out{In countCOLS:  tokens are [\the#1]}
   \let\countREGISTER=#2%
   \global\countREGISTER=0%
   \global\multispancount=0%
   \global\firstrowtrue
   \expandafter\COLcount\the#1\endcount%
   \global\advance\countREGISTER by 3%
   \global\advance\countREGISTER by -\multispancount
%  \out{countCOLS-->[\the\countREGISTER]}
}%
%
\gdef\COLcount{%
   \afterassignment\subCOLcount\let\next= %
}%
{\catcode`\&=13%
\gdef\subCOLcount{%
%\out{In subCOLcount: next is [\meaning\next]}
   \ifx\next\endcount %
      \let\next=\relax%
   \else%
      \ncase=0%
      \iffirstrow
         \ifx\next& %
            \global\advance\countREGISTER by 2%
            \ncase=0%
         \fi%
         \ifx\next\span %
            \global\advance\countREGISTER by 1%
            \ncase=0%
         \fi%
         \ifx\next| %
            \global\advance\countREGISTER by 2%
            \ncase=0%
         \fi
         \ifx\next\|
            \global\advance\countREGISTER by 2%
            \ncase=0%
         \fi
         \ifx\next\multispan
            \ncase=1%
            \global\advance\multispancount by 1%
         \fi
         \ifx\next\header
            \ncase=2%
         \fi
         \ifx\next\cr       \global\firstrowfalse \fi
         \ifx\next\endrow   \global\firstrowfalse \fi
         \ifx\next\crthick  \global\firstrowfalse \fi
         \ifx\next\crnorule \global\firstrowfalse \fi
         \ifx\next\crnoruleneg \global\firstrowfalse \fi
         \ifx\next\crthickneg  \global\firstrowfalse \fi
         \ifx\next\crneg       \global\firstrowfalse \fi
      \fi%  End of \iffirstrow.
\relax%\out{subCOL-->  ncase=[\the\ncase]}
% \out{subCOL-->  next=\meaning\next}
      \ifcase\ncase %
         \let\next\COLcount%
      \or %
         \let\next\spancount%
      \or %
         \let\next\argCOLskip%
      \else %
      \fi %
   \fi%
%  \out{subCOL-->  countREGISTER=[\the\countREGISTER]}
   \next%
}%
\gdef\argROWskip#1{%
%  Deletes the next balanced, undelimited argument from a
%                 token list.
% \out{---> Entering argROWskip <---}
% \out{In argROWskip:  deleted arg is [#1]}%
   \let\next\ROWcount \next%
}%  End of macro \argskip.
\gdef\arghdROWskip#1{%
%  Deletes the next balanced, undelimited argument from a
%                 token list.
% \out{---> Entering arghdROWskip <---}
% \out{In arghdROWskip:  deleted arg is [#1]}%
   \let\next\ROWcount \next%
}%  End of macro \arghdROWskip.
\gdef\argCOLskip#1{%
%  Deletes the next balanced, undelimited argument from a
%                 token list.
% \out{---> Entering argCOLskip <---}
% \out{In argCOLskip:  deleted arg is [#1]}%
   \let\next\COLcount \next%
}%  End of macro \argskip.
}%  End of active &'s.
}%  End of active |'s.
\def\spancount#1{%\out{spancount--->\meaning#1}
   \nspan=#1\multiply\nspan by 2\advance\nspan by -1%
   \global\advance \countREGISTER by \nspan
%  \out{number spancount--->\the\nspan; \the\countREGISTER}
   \let\next\COLcount \next}%
%
%\def\dvr#1{\vrule width 1.0pt depth 0pt height 12pt$_{#1}$}
\def\dvr#1{\relax}%
% \omit\hfil%
% \parindent=0pt\hsize=1.1in\valign{%
% \vfil#\vfil&\vfil#\vfil\cr\hfil\hbox{\ Added to\ }\hfil&%
% \hfil\hbox{\ empty events\ }\hfil\cr}\hfil%
\def\header#1{%
\dvr{1}{\let\cr=\@mpersand%
\hdtks={#1}%
%\out{In header:  hdtks=[\the\hdtks]}%
\counthdROWS\hdtks\into\hdrows%
\advance\hdrows by 1%
\ifnum\hdrows=0 \hdrows=1 \fi%
%\out{In header:  Nhdrows=[\the\hdrows]}%
\dvr{5}\makehdPREAMBLE{\the\hdrows}%
%\out{In header:  headerpreamble=[\headerpreamble]}%
\dvr{6}\getHDdimen{#1}%
%\out{In header:  hdsize=[\the\hdsize]}%
%\striplastCR{#1}%
{\parindent=0pt\hsize=\hdsize{\let\ifmath0%
\xdef\next{\valign{\headerpreamble #1\crnorm}}}\dvr{7}\next\dvr{8}%
}%
}\dvr{2}}%  End of macro \header.
%\def\striplastCR#1\cr{\xdef\headerbody{#1}}%
\def\makehdPREAMBLE#1{%This macro generates the necessary preamble for a
\dvr{3}%
%                      ruled table with \ncols primary columns.
%                      (Primary columns means the number of columns NOT
%                       counting those used for vertical rules.
\hdrows=#1%  Get the number of columns desired.
{%  Start local parameter definitions.
\let\headerARGS=0%
%  This is the key to the whole thing; it prevents \ARGS
\let\cr=\crnorm%
%                from being expanded in the followin \edef's.
\edef\xtp{\vfil\hfil\hbox{\headerARGS}\hfil\vfil}%
\advance\hdrows by -1%  One row has been generated; decrement the
%                         counter.
\loop%  Append as many further rows as needed to the preamble.
\ifnum\hdrows>0%
\advance\hdrows by -1%
\edef\xtp{\xtp&\vfil\hfil\hbox{\headerARGS}\hfil\vfil}%
\repeat%
\xdef\headerpreamble{\xtp\crcr}%
}%  End of local parameters.
\dvr{4}}%  End of \makehdPREAMBLE.
%
\def\getHDdimen#1{%
%\out{In getHDdimen:  Arg 1=[#1]}%
\hdsize=0pt%
\getsize#1\cr\end\cr%
}%  End of macro getHDdimen.
\def\getsize#1\cr{%
%\out{In getsize:  Arg 1=[#1]}%
%  Here we have to check arg#1 and see if the first token in #1 is an
%    \end; if so, we stop, else we check the width of arg#1.
%  We recall that each arg#1 will be terminated with a \cr token.
\endsizefalse\savetks={#1}%
%\out{In getsize:  the savetks = [\the\savetks]}%
\expandafter\lookend\the\savetks\cr%
%\out{In getsize:  ifendsize = [\meaning\ifendsize]}%
\relax \ifendsize \let\next\relax \else%
\setbox\hdbox=\hbox{#1}\newhdsize=1.0\wd\hdbox%
\ifdim\newhdsize>\hdsize \hdsize=\newhdsize \fi%
%\out{In getsize:  hdsize=[\the\hdsize]}%
%\out{In getsize:  newhdsize=[\the\newhdsize]}%
\let\next\getsize \fi%
\next%
}%
\def\lookend{\afterassignment\sublookend\let\looknext= }%
\def\sublookend{\relax%
%\out{In sublookend:  looknext = [\looknext]}%
\ifx\looknext\cr %
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   \relax
   \ifx\looknext\end \global\endsizetrue \fi%
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    \fi \looknext%
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%
%  Allow the user to make his own names for crthick, etc.
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\def\tablelet#1{%
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\catcode`\@=12%  Change @'s back to their normal category code.
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% fine macros per tabelle
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%
% format
%
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\pageno=-1

~\vskip 3true cm
\centerline{\titolo Esercizi per il Corso di}
\Bs
\centerline{\titolo TEORIA QUANTISTICA DELLA MATERIA}
\Bs \Bs 
\centerline{\titolo titolare: prof. A. Baldereschi}
\centerline{\titolo esercitazioni: dott. M. Peressi}
\vfill\eject
\centerline{\bf INDICE}
\Bs
%**************
\item{I} {DIMENSIONE FINITA DEL NUCLEO ATOMICO}
\item{II} {IONI IDROGENOIDI}
\item{III} {DIFETTO QUANTICO PER GLI ATOMI DEI METALLI ALCALINI}
\item{IV} {SPETTRO OTTICO DELL'ATOMO DI LITIO}
\item{V} {ENERGIA DI IONIZZAZIONE DEGLI ATOMI DI NEON E DI CALCIO}
\item{VI} {ADDIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI: interazione spin--orbita}
\item{VII} {ADDIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI: stati di spin degli atomi leggeri}
\item{VIII} {PARTICELLE IDENTICHE - buca di potenziale infinita}
\item{IX} {STATO FONDAMENTALE DI
DUE ELETTRONI NEL  CAMPO DI UN NUCLEO DI CARICA Z$|$e$|$}
\item{X} {PARTICELLE IDENTICHE --- determinanti di Slater}
\item{XI} {APPROSSIMAZIONE DI HARTREE-FOCK --- Stato fondamentale 
dell'atomo di berillio}
\item{XII} {PARTICELLE IDENTICHE - atomo di carbonio}
\item{XIII} {TERMINI SPETTROSCOPICI DEGLI ATOMI DI FOSFORO E DI RODIO}
\item{XIV} {EFFETTO STARK negli atomi alcalini e nell'atomo di idrogeno}
\item{XV} {IONE Ti$^{\bf 3+}$ IN CAMPO CRISTALLINO}
\item{XVI} {METODO ADIABATICO}
\item{XVII} {METODO ADIABATICO --- Ione molecolare H$^{\bf +}_{\bf 2}$}
\item{XVIII} {INTERAZIONE DI VAN DER WAALS}
\item{XIX} {IONE MOLECOLARE MUONICO}
\item{XX} {MOLECOLA DI OSSIGENO}
\item{XXI} {MOLECOLE A LEGAME IONICO}
\item{XXII} {EFFETTI ISOTOPICI IN MOLECOLE BIATOMICHE}
\item{XXIII} {SPETTRO ROTAZIONALE DELLE MOLECOLE C$_{\bf 2}$H$_{\bf 2}$
E BF$_{\bf 3}$}
\item{XXIV} {EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI - Principio di
Franck-Condon per molecole biatomiche}
\item{XXV} {TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO --- Eccitazione
di un elettrone K dovuta alla disintegrazione radioattiva di un nucleo}
\item{XXVI} {EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI - Atomo di
idrogeno in campo magnetico variabile}
\item{XXVII} {TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO --- Eccitazione
coulombiana di un atomo}
\item{XXVIII} {EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI ---
Transizioni in un sistema a tre livelli}
\item{XXIX} {EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI --- Tempo di vita
medio dello stato 2p di sistemi idrogenoidi}
\item{XXX} {REGOLE DI SELEZIONE --- Transizioni ottiche di un atomo in 
campo ma\-gne\-ti\-co}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\eject
\pageno=1
\ni {\bf ESERCIZIO I}
\Bs\ni {\bf DIMENSIONE FINITA DEL NUCLEO ATOMICO}
\Bs\ni
I nuclei atomici hanno un'estensione finita e possono essere
assimilati a delle sfere di raggio

$$ R \approx R_0 A^{1/3}$$

\ss\ni dove $A$ \`e il numero di massa, cio\`e il numero di protoni e di
neutroni costituenti il nucleo ed $R_0 = 1.2~Fermi = 1.2 \times
10^{-13}cm$.
\pac Supporre che la carica nucleare sia distribuita uniformemente
all'interno della sfera.

\ss \item{a)} Calcolare l'energia elettrostatica $V(r)$ di una carica
puntiforme negativa $-|e|$  nel campo di un nucleo di carica
$Z|e|$ e raggio $R$.
\pac Verificare che

$$V(r) = 
\cases { 
\displaystyle{-Ze^2 \over r}& $r \geq R$\cr 
\displaystyle{Ze^2 \over R}
\displaystyle{\left[ {r^2 \over 2R^2} - { 3 \over 2} \right]}
 & $r \leq R$\cr 
}$$

\ss \item{} Rappresentare graficamente l'energia $V(r)$ e paragonarla
all'energia elettrostatica che la carica $-|e|$ avrebbe se il nucleo
fosse puntiforme.

\ss \item{b)} Scrivere l'hamiltoniana $H$ di una particella di massa $m$
e carica $-|e|$ nel campo di un nucleo di dimensione finita.
Decomporre $H$ in due parti

$$ H = H_0 + U(r)$$

\ss dove $H_0$ \`e l'hamiltoniana della particella nel caso di nucleo
puntiforme.

\ss \item{c)} Scrivere l'hamiltoniana $H$ in forma adimensionale

$$ H^* = H^*_0 + U^*(r)$$

\ss \item{} utilizzando il Rydberg effettivo $Ry^*= Z^2me^4/(2 \hbar ^2)$ come
unit\`a di energia ed il raggio di Bohr effettivo
$a^*_0=\hbar^2/(Zme^2)$ come unit\`a di lunghezza. 
\pac Indicare con $\alpha$ il rapporto adimensionale $R/a^*_0$.

\ss\item{d)} Servendosi della teoria delle perturbazioni al primo ordine, 
calcolare l'effetto della dimensione finita del nucleo sull'energia dello 
stato fondamentale di un sistema la cui hamiltoniana \`e $H_0$. Verificare 
che
$$\Delta E^\ast_{1s}= 2 +{3\over \alpha}
+{3\over \alpha^3}-{3\over \alpha}\left (1+{2\over \alpha}
+{1\over \alpha^2}\right ) {\rm e}^{-2\alpha}.$$
\ss [{\it vedi indicazione I} ]


\ss\item{e)} Calcolare l'effetto della dimensione finita del nucleo 
sull'energia del livello $1s$ dell'atomo di idrogeno ($Z$=1, $A$=1) e dello 
ione idrogenoide  $~^{12}{\rm C}^{5+}$ ($Z$=6, $A$=12). Verificare che 
$\Delta E_{1s}({\rm H})= 5.6~10^{-9}$~eV e che 
$\Delta E_{1s}({\rm C}^{5+})= 3.8~10^{-5}$~eV.

\ss\item{f)} Considerare ora i sistemi muonici ottenuti dall'atomo di 
idrogeno e dallo ione $~^{12}{\rm C}^{5+}$ sostituendo l'elettrone con un 
muone negativo che ha la stessa carica dell'elettrone, ma massa 207 volte 
maggiore. Calcolare l'effetto della dimensione finita del nucleo 
sull'energia dello stato fondamentale di questi sistemi e verificare che si 
ha in questo caso 
$\Delta E_{1s}({\rm H})= 0.05$~eV e 
$\Delta E_{1s}({\rm C}^{5+})= 304$~eV.

\ss\item{g)} Supporre che, per un nucleo di carica $Z|e|$, valga la 
relazione $A\simeq 2Z$. Discutere in funzione di $Z$ la validit\`a della 
teoria delle perturbazioni al primo ordine per calcolare gli effetti di 
dimensione finita del nucleo sopra indicati. In particolare, a partire da 
quale valore di $Z$ la teoria delle perturbazioni al primo ordine non \`e 
pi\`u valida per dei sistemi elettronici? E per dei sistemi muonici?
[{\it vedi indicazione II} ].


\ss\item{h)} Considerare l'atomo di idrogeno (sistema elettronico) e 
calcolare per mezzo della teoria delle perturbazioni al primo ordine la 
correzione $\Delta E_{n\ell}$ dell'energia degli stati ($n,\ell$) dovuta 
alla dimensione finita del nucleo [{\it vedi indicazione III} ].

\bigskip
\bigskip
{\it Indicazioni:}

\bigskip
\item{I.} Sono utili i seguenti integrali:
$$\eqalign{
\int  e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ {1\over a} \right ] \cr
\int x e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ {x\over a} - {1\over a^2} \right ] \cr
\int x^2 e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ 
{x^2\over a} - {2x\over a^2} + {2\over a^3}\right ] \cr
\int x^3 e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ 
{x^3\over a} - {3x^2\over a^2} + {6x\over a^3} - {6\over a^4}\right ] \cr
\int x^n e^{ax} dx &= {x^n e^{ax}\over a} -
{n\over a} \int x^{n-1} e^{ax} dx ~~~~~~~~~~~~ [n> 0] \cr
\int x^n e^{ax} dx &= e^{ax} 
\displaystyle{\sum_{k=0}^n }(-1)^k {n!\over a^{k+1}(n-k)!}
x^{(n-k)} ~~~~~~~~~~~~ [n\geq 0]. }$$
% [n\geq 0].}$$
% \left [ {x^n\over a} - {nx^{n-1}\over a^2} + {n(n-1)x^{n-2}\over a^3} - \dots
% + (-1)^{n-1}{n!x\over a^n} + (-1)^{n}{n!\over a^{n+1}} \right ] \cr}

\eject 
\bigskip
\item{II.} I valori di $\alpha$ per i quali la teoria delle perturbazioni 
al primo ordine \`e valida si possono ottenere dalla figura qui riportata.

\item{} La linea continua rappresenta l'energia ``esatta'' dello stato 
fondamentale di H$^\ast$ ottenuta per mezzo di tecniche numeriche molto 
accurate. Il risultato della teoria delle perturbazioni al primo ordine \`e 
indicato dalla linea tratteggiata.


\bigskip
\item{III.} Per l'atomo di idrogeno (sistema elettronico), si ha 
$\alpha=2.3\cdot 10^{-5}$ e quindi, per il calcolo di $\Delta E_{n\ell}$,
si ha bisogno dei valori della funzione d'onda solo per 
$r < 10^{-4}a_0$. In tale regione dello spazio, ogni funzione d'onda 
dell'atomo di idrogeno pu\`o essere approssimata dal primo termine del suo 
sviluppo in serie di potenze di $r$, cio\`e
$$ \Psi_{n,\ell ,m}({\bf r})\simeq {1\over 2} \left[ {2\over n}\right 
]^{\ell+2} {1\over (2\ell +1)!} ~\displaystyle{\sqrt
{(n+\ell )!\over (n-\ell -1)!}} ~r^\ell ~Y_{\ell ,m}(\theta,\phi).$$


\midfigura{14}{0}{fig-esI.ps}{}

~\vf

\ni{\bf ESERCIZIO II}
\Bs \ni{\bf IONI IDROGENOIDI}
\Bs\ni Considerare uno ione idrogenoide (cio\`e un sistema costituito 
da un elettrone ed un nucleo di carica $Z|e|$). Supporre il nucleo 
di massa infinita.

\ss \item{a)} Scrivere la funzione d'onda normalizzata dell'elettrone nello
stato fondamentale ($1s$).

\ss \item{b)} Calcolare il potenziale elettrostatico medio $\phi(r)$ 
prodotto dal nucleo e dall'e\-let\-tro\-ne nell'orbitale $1s$ e verificare che
$$\phi(r)=(Z-1){|e|\over r} + {|e|\over r}\left (1+{Zr\over a_0}\right )
{\rm e}^{-\displaystyle{2Zr\over a_0}}$$
dove $a_0$ \`e il raggio di Bohr.

\ss \item{c)} Studiare il comportamento di $\phi(r)$ nei limiti 
$r\longrightarrow 0$ e $r\longrightarrow \infty$ e dare
l'in\-ter\-pre\-ta\-zio\-ne fisica del risultato con un modello di schermo. 
Fare un grafico di $\phi(r)$.

\bs\ni Considerare ora lo ione $He^+$ (Z=2) e usare i risultati ottenuti in 
(a)-(c) per studiare un {\it secondo elettrone } aggiunto al
sistema supponendo che il primo elettrone non si polarizzi (approssimazione
di {\it elettrone rigido}). 

\ss \item{d)} Mostrare che l'hamiltoniana del secondo elettrone si pu\`o 
decomporre in due parti:
$$H=H_0+U({r})$$
dove $H_0$ \`e l'hamiltoniana dell'atomo di idrogeno e $U({r})$ \`e un 
potenziale centrale a corto raggio.

\ss \item{e)} Considerare $U({r})$ come perturbazione e, senza 
calcolare esplicitamente gli elementi di matrice, discuterne l'effetto 
sui livelli energetici di $H_0$.

\ss \item{f)} Mostrare che $U({r})$ toglie la degenerazione sul momento
angolare $\ell$ ma non quella sul numero quantico magnetico $m$.
Discutere qua\-li\-ta\-ti\-va\-men\-te la variazione dei 
livelli energetici con $\ell$ per un dato numero quantico principale $n$.   
\hfill\break
[{\it Indicazione: considerare il raggio d'azione  del 
potenziale perturbativo e l'estensione delle funzioni d'onda imperturbate 
\dots }]

\ss \item{g)} Calcolare con la teoria delle perturbazioni al primo ordine
l'energia di legame del secondo elettrone.

\ss \item{h)} Qual \`e l'errore pi\`u grave commesso nel calcolare 
l'energia di legame del secondo elettrone come suggerito?

\vf

\ni {\bf ESERCIZIO III}
\Bs\ni {\bf DIFETTO QUANTICO PER GLI ATOMI DEI METALLI ALCALINI}
\Bs\ni
Un modello per lo spettro d'energia dell'elettrone di valenza degli
atomi dei metalli alcalini \`e fornito dal potenziale di Fues-Simons.
\pac L'hamiltoniana modello dell'atomo $X$=Li, Na, K, Rb, Cs  \`e:

$$H(X) = H_0 + \sum_{\ell = 0}^\infty {e^2 B_\ell(X) \over r^2} P_\ell$$

\ss\ni
dove $H_0$ \`e l'hamiltoniana dell'idrogeno

$$H_0 = {p^2\over 2m} - {e^2\over r} ,$$

\ss\ni 
i $B_\ell(X)$ sono dei parametri che dipendono dal momento angolare 
$\ell$ dell'elettrone di valenza e dal particolare atomo $X$ ed infine
$P_\ell$ \`e il proiettore sul sottospazio delle armoniche 
sferiche di dato $\ell$.
\bs 
\ss \item{a)} Determinare le dimensioni dei parametri $B_\ell(X)$.

\ss \item{b)} Determinare le costanti del moto del sistema.

\ss \item{c)} Determinare lo spettro di $H(X)$ usando la teoria delle
perturbazioni al primo ordine ed assumendo $H_0$ come sistema imperturbato.
\ss [{\it Indicazione: usare il valore dell'elemento di matrice}

$$<n, \ell, m | r^{-2} |n, \ell, m > = \left[a^2_0 n^3 \left(\ell + {1
\over 2} \right) \right]^{-1}$$

\ss {\it dove} $|n, \ell, m >$ {\it sono gli autostati di} $H_0$ {\it ed}
 $a_0$ {\it \`e il raggio di Bohr}].

\ss \item{d)} Dai risultati ottenuti in (c) calcolare i difetti quantici
$\Delta_\ell(X)$ in funzione di $B_\ell(X)$.

\ss \item{e)} Sapendo che gli autovalori esatti di $H(X)$ sono:

$$E_{p,\ell}(X) = { -4 Ry \over \left\{ 2p - 1 +\left[ \left( 2\ell + 1
\right)^2 + 8 B_\ell(X) / a_0\right]^{1/2} \right\} ^2 }$$
\ss \item{} 
dove $p$ \`e un intero positivo $(p = 1, 2, 3, ....)$,
esprimere il numero quantico $p$ in funzione dei numeri 
quantici $n$ ed $\ell$ dell'atomo di idrogeno.

\ss \item{f)} Discutere i risultati ottenuti in (c) e (d) usando gli
autovalori esatti di $H(X)$.
\vf

\ni {\bf ESERCIZIO IV}
\Bs\ni {\bf SPETTRO OTTICO DELL'ATOMO DI LITIO}

\Bs\ni Le eccitazioni ottiche dell'atomo di Litio corrispondono alle 
transizioni atomiche dallo stato fondamentale di configurazione elettronica
$1s^2~2s^1$ ai primi stati eccitati (configurazione $1s^2~n\ell ^1$). Le 
energie di transizione $\Delta_{n\ell}$ osservate per $n\leq 7$ e 
$\ell \leq 2$ sono riportate in cm$^{-1}$ nella tabella seguente
[cfr. C.E. Moore, {\it Atomic Energy Levels},  Natl. Bureau of Standards
Washington, vol. 1 (1971)]:
\bs\begintable
| $\Delta _{n s}$ | $\Delta _{n p}$ | $\Delta _{n d}$ \cr
2 | --- | 14904 | --- \cr
3 | 27206 | 30925 | 31283 \cr
4 | 35012 | 36469 | 36623 \cr
5 | 38299 | 39015 | 39095 \cr
6 | 39987 | 40391 | 40437 \cr
7 | 40968 | 41217 | 41246 \endtable
\Bs\ni e possono essere scritte 
$$\Delta_{n\ell} = E_{n\ell}  - E_{2s}$$
\ni come differenza tra l'energia dello stato finale e quella dello 
stato fondamentale. Le energie E$_{n\ell}$  si possono approssimare, per $n$ 
sufficientemente  grande, con la formula di Rydberg:
$$E_{n\ell}  \sim -{Ryd\over (n - \delta_\ell)^2}.$$
\Bs\item{a)} Calcolare le energie $E_{2s}$, $E_{2p}$  e $E_{3d}$ e 
confrontarle con le energie corrispondenti dell'atomo di idrogeno.

\ss\item{b)} Calcolare  i valori dei difetti quantici $\delta_0$,
$\delta_1$ e $\delta_2$ e confrontare le energie risultanti dalla formula 
di Rydberg con i dati sperimentali.
 
\ss\item{c)} Calcolare il potenziale elettrostatico $V(r)$ generato dallo 
ione Li$^+$ (costituito dal nucleo pi\`u i due elettroni $1s$), 
approssimando la funzione d'onda degli elettroni $1s$ con
$$\Phi({\bf r}) = a \sqrt{\displaystyle{a\over \pi}} ~{\rm e}^{-ar}$$
\ss\item{} dove $a=2.6$ unit\`a atomiche.
\ss\item{} Verificare che:
$$V(r) = {e\over r} + 2{e\over r}(1+ar) ~{\rm e}^{-2ar}.$$

\ss\item{d)} Fare un grafico di $V(r)$ e dare l'interpretazione fisica del 
suo comportamento nei limiti $r\longrightarrow \infty$ e
$r\longrightarrow 0$.

\ss\item{e)} Scrivere l'hamiltoniana di un elettrone interagente col 
potenziale elettrostatico dello ione Li$^+$ e decomporla in due parti:
$$ H=H_0 + U(r)$$
\ss\item{} dove $H_0$ \`e l'hamiltoniana dell'atomo di idrogeno.
Verificare che $U(r)$ \`e un potenziale a corto raggio.

\ss\item{f)} Considerare $U(r)$ come una perturbazione  di $H_0$ e 
calcolare, al primo ordine in $U$, le energie $E_{2s}$, $E_{2p}$  e 
$E_{3d}$.
 
\ss\item{g)} Discutere le correzioni sopra calcolate considerando il raggio
d'azione del potenziale e l'estensione delle funzioni d'onda imperturbate.
\vf
\ni{\bf ESERCIZIO V}
\Bs\ni{\bf ENERGIA DI IONIZZAZIONE DEGLI ATOMI DI NEON E DI CALCIO}

\Bs\ni Considerare gli stati del Neon con configurazione (a) $1s^2 ~2s^2 ~2p^6$,
(b) $1s^2 ~2s^2 ~2p^5 ~3s^1$ e (c) $1s^2 ~2s^2 ~2p^5 ~4s^1$, 
dove (a) \`e lo stato 
fondamentale, (b) \`e il primo eccitato e (c) \`e uno stato eccitato 
superiore.
\par\ni L'energia di eccitazione dell'atomo dallo stato fondamentale (a) 
allo stato (b) \`e 1.22 Ry e inoltre l'energia di estrazione dell'elettrone
$4s$ dall'atomo nello stato (c) \`e 15244 cm$^{-1}$.

\bs\item{a)}  Verificare che l'energia di estrazione dell'elettrone $4s$ 
data sopra non verifica la legge dello spettro dell'idrogeno.

\ss\item{b)} Determinare in eV l'energia di prima ionizzazione del 
Neon.

\bs\ni Considerare ora l'atomo di Calcio il cui stato fondamentale \`e
$1s^2 ~2s^2 ~2p^6 ~3s^2 ~3p^6 ~4s^2$. L'energia ~~di ~~eccitazione ~~dallo 
~~stato ~~fondamentale ~~allo ~~stato ~~con ~~configurazione 
$1s^2 ~2s^2 ~2p^6 ~3s^2 ~3p^6 ~4s^1 ~5s^1$ \`e  31984 cm $^{-1}$ e l'energia di 
estrazione dell'elettrone $6s$ dall'atomo in configurazione 
$1s^2 ~2s^2 ~2p^6 ~3s^2 ~3p^6 ~4s^1 ~6s^1$ \`e 1.09 eV.


\ss\item{c)} Verificare che l'energia di estrazione dell'elettrone $6s$ 
data sopra non verifica la legge dello spettro dell'atomo di Idrogeno.

\ss\item{d)} Determinare in eV l'energia di prima ionizzazione dell'atomo 
di Calcio.

\ss\item{e)} Discutere i risultati ottenti in (b) e (d) sapendo che i 
valori sperimentali dell'energia di ionizzazione degli atomi di Neon e di 
Calcio sono rispettivamente 21.559 eV e 6.111 eV.


\vf
\ni {\bf ESERCIZIO VI}
\Bs\ni {\bf ADDIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI: interazione spin--orbita}
\Bs\ni
La meccanica quantistica relativistica mostra che il moto orbitale di un 
elettrone in un potenziale $V({\bf r})$ non \`e indipendente dallo spin 
della particella.
All'ordine pi\`u basso in $v/c$, l'interazione spin--orbita \`e descritta 
dall'Hamiltoniana:
$$ H_{so}= {1\over 2 m^2 c^2} {\bf s}\cdot (\vec{\nabla} V({\bf r})\times
{\bf p}).$$

\ss \item{a)} Mostrare che, se $V({\bf r})$ descrive una forza centrale, se cio\`e 
$V({\bf r})=U(r)$, l'Hamiltoniana spin--orbita pu\`o essere messa nella 
forma:
$$ H_{so}= {1\over 2 m^2 c^2} r {dU(r)\over dr} {\bf s}\cdot{\bf l}$$
\noindent dove ${\bf l}$ \`e il momento angolare orbitale dell'elettrone.

\ss \item{b)} Scrivere l'hamiltoniana $  H=  H_0 +  H_{so}$ di uno ione 
idrogenoide 
costituito da un nucleo di carica $Z|e|$ e da un elettrone, supponendo il 
nucleo di massa infinita.

\ss \item{c)} Mostrare che ${l}^2$, ${j}^2$, ${j}_z$, $I$ ed $H$ 
commutano fra loro, dove ${\bf j} = {\bf l} + {\bf s}$ \`e il momento 
angolare totale dell'elettrone, ed $I$ l'operatore parit\`a
$[ I\Psi({\bf r})= \Psi(-{\bf r})]$.

\ss \item{d)} Mostrare che $l_z$ ed $s_z$ non commutano con $H$.

\bs\ni 
Considerare ora l'interazione spin--orbita $H_{so}$
come una perturbazione su $H_0$ limitandosi agli effetti del primo ordine.

\ss \item{e)} Mostrare che lo stato fondamentale non \`e modificato.

\ss \item{f)} Calcolare gli effetti dell'interazione spin--orbita sui 
livelli di 
numero quantico principale $n=2$, tenendo conto delle costanti del moto
determinate al punto $c)$.

\ss \item{g)} Calcolare la separazione spin--orbita degli stati $3d$.

\ss \item{h)} Descrivere qualitativamente l'effetto di $H_{so}$ su un qualunque 
livello $n\ell$.

\ss \item{i)} Mostrare ~~che ~~il ~~{\it baricentro} ~~dei ~~livelli 
~~separati ~~da ~~$H_{so}$ ~~(cio\`e ~~la ~~quantit\`a 
%\par\item{}
$\langle E\rangle ~= ~{\sum_i n_i E_i /
\sum_i n_i }$, dove  $n_i$ \`e la degenerazione del livello $E_i$)
ha la stessa energia del livello imperturbato.

\ms\ni Considerare ora gli atomi alcalini Li (configurazione elettronica 
$1s^2 2s^1$), Na ($1s^2 2s^2 2p^6 3s^1$) e K ($1s^2 2s^2 2p^6 3s^2
3p^6 4s^1$). Nella tabella seguente sono riportate le energie di
eccitazione (in cm$^{-1}$) dell'elettrone di valenza dallo stato
fondamentale agli stati $4p$.
\vf

\begintable
~ | Li $2s\rightarrow 4p$ | Na $3s\rightarrow 4p$ |
K $4s\rightarrow 4p$ \cr
$\displaystyle{J=1/2 \atop  J=3/2}$ 
| 36469.55 | $\displaystyle{30266.88 \atop 30272.51}$
| $\displaystyle{12985.17 \atop 13042.82} $
\endtable
\ss\ni [Cfr. C.E. Moore, {\it Atomic Energy Levels},
Natl.  Bureau of Standards, Washington (1971)]. 

\Bs \item{j)} Che valore avrebbe, nei tre casi, l'energia di 
eccitazione  in assenza di interazione spin--orbita?

\ss \item{k)} Discutere il segno della separazione $E^{4p}_{3/2}-E^{4p}_{1/2}$
e la sua variazione per la serie  Li, Na e K, sapendo che i
potenziali effettivi $U(r)$ agenti sull'elettrone di valenza sono quelli 
riportati nella  figura.

\midfigura{13.5}{0}{fig-esVI.ps}{}
\vf

\ni {\bf ESERCIZIO VII}
\Bs\ni {\bf ADDIZIONE DI MOMENTI ANGOLARI: stati di spin degli atomi 
leggeri}

\Bs\ni
L'interazione spin--orbita negli atomi leggeri quali l'elio (He, $Z$=2),
il litio (Li, $Z$=3) o il berillio (Be, $Z$=4) \`e molto debole e pu\`o 
essere trascurata in prima approssimazione. In questo caso, l'hamiltoniana 
atomica non dipende praticamente dallo spin degli elettroni e sia lo spin 
totale $S$ che le sue componenti sono costanti del moto.

\ss \item{a)} Spiegare perch\`e nell'elio si osservano solamente degli stati di 
singoletto ($S$=0) e di tripletto ($S$=1), mentre nel litio si hanno  dei 
doppietti ($S$=1/2) o dei quadrupletti ($S$=3/2).

\ss \item{b)} Quali sono i valori possibili di $S$  per il berillio?

\ss \item{c)} Considerare la reazione di ionizzazione:
$$ {\rm Li}^0 \Longrightarrow {\rm Li}^+ + {\rm e}^-$$
\noindent nella quale lo spin totale \`e conservato. Spiegare perch\`e
lo spin dello ione Li$^+$ pu\`o assumere   i valori 0 o 1 se lo stato 
del Li$^0$  ha uno spin totale $S$=1/2, mentre lo spin  del Li$^+$ \`e 
necessariamente 1 se lo spin del Li$^0$  vale $S$=3/2.

\ss \item{d)} Quali sono i valori possibili dello spin dello ione  Be$^+$ nella 
reazione di ionizzazione 
$$ {\rm Be}^0 \Longrightarrow {\rm Be}^+ + {\rm e}^-$$
\noindent per ciascun valore dello spin totale $S$ del Be$^0$ ?

\bs\ni Considerare ora l'atomo di elio. I quattro stati $|\pm;\pm\rangle \equiv
|s_{1z}=\pm {1\over 2}; s_{2z}=\pm {1\over 2}\rangle$ formano una base 
dello spazio degli stati di spin del sistema.

\ss \item{e)} Scrivere gli autostati degli operatori 
$S^2=({\bf s}_1+{\bf s}_2)^2$
e $S_z=s_{1z}+s_{2z}$ come combinazione lineare dei vettori $|\pm;\pm\rangle $.

\bs\ni Considerare l'operatore di scambio degli spin dei due elettroni, 
$P_{12}$,  definito dalle seguenti relazioni:

$$\eqalign{
P_{12} |+,+\rangle &= |+,+\rangle \cr
P_{12} |+,-\rangle &= |-,+\rangle \cr
P_{12} |-,+\rangle &= |+,-\rangle \cr
P_{12} |-,-\rangle &= |-,-\rangle }$$

\ss \item{f)} Calcolare l'effetto di $P_{12}$ sugli stati discussi al punto 
e) e scrivere la matrice che rappresenta $P_{12}$
\par (i) nella base in cui $s_{1z}$ e $s_{2z}$ sono diagonali
\par (ii) nella base in cui $S^2$ e $S_z$ sono diagonali.

\ss \item{g)} Esprimere l'operatore $\Sigma_{12}= {\bf s}_1 \cdot {\bf s}_2$ per mezzo
dell'operatore $S^2$ e mostrare che $P_{12}$ pu\`o essere scritto nella 
forma:
$$P_{12}={1\over 2}\left ( 1+4\Sigma_{12}\right ).$$

\bs\ni Considerare ora il litio. Gli otto stati $|\pm;\pm;\pm\rangle$ formano 
una base dello spazio degli stati di spin del sistema.

\ss \item{h)} Mostrare che $S_{12}^2$, $S^2$ e $S_z$ commutano fra loro. 
Con quale/i di questi operatori non commuta $S_{12z}$ ?

\ss \item{i)} Trovare gli autovalori di $S_{12}^2$, $S^2$ e $S_z$ ed 
esprimere i loro 
autostati come combinazione lineare degli stati $|\pm;\pm;\pm\rangle$.

\ss \item{j)} Mostrare che tutti gli stati discussi al punto i) sono autostati 
dell'operatore $P_{12}$, ma non tutti sono autostati di $P_{23}$ n\'e di 
$P_{13}$.
\par E' possibile trovare uno stato che sia autostato simultaneo dei tre 
operatori? \par Ed una base completa?
\vf

\ni {\bf ESERCIZIO VIII}
\Bs\ni {\bf PARTICELLE IDENTICHE - buca di potenziale infinita}
\Bs\ni Considerare particelle di spin $1/2$ e massa $~m~=~0.1~m_e~$
($m_e$ = massa dell'elettrone) vincolate a muoversi su un asse  
(asse $x$) all'interno di una buca di potenziale infinitamente
profonda e di lunghezza $~a~=~10$ \AA. 

\bs \item{a)} Determinare in eV i livelli di energia di una singola
particella nella buca.

\bs \item{b)} Determinare la funzione d'onda normalizzata della
singola particella nello stato fondamentale e nel primo stato eccitato.

\bs \item{c)} Determinare in eV l'energia dei cinque livelli pi\`u
bassi per un sistema di due particelle supponendo che queste non 
interagiscano fra loro.

\bs \item{d)} Considerando lo spin delle particelle, determinare la
degenerazione dei cinque livelli calcolati in (c).

\bs \item{e)} Determinare la funzione d'onda normalizzata delle due
particelle nello stato fondamentale e nel primo stato eccitato.

\Bs\ni Supporre ora che le particelle interagiscano tra loro con una forza
armonica repulsiva data dall'energia potenziale

$$U(x_1,x_2)~=~-k~(x_1-x_2)^2/2~$$ 

\ni dove $k~=~0.05~{\rm eV}/{\rm \AA}^2$ e $x_1,x_2$ sono 
le posizioni delle due particelle.


\bs \item{f)} Determinare gli effetti dell'interazione sull'energia
dello stato fondamentale usando la teoria delle perturbazioni
all'ordine pi\`u basso.

\bs \item{g)} Determinare gli effetti dell'interazione sul primo
livello eccitato.
 
\bs \item{h)} Supponendo che l'interazione tra le particelle sia di
uguale intensit\`a ma attrattiva, determinarne gli effetti sullo stato
fondamentale e sul primo eccitato.


\Bs {\it Indicazioni:}

Per ridurre al minimo il calcolo degli integrali, 
risulta conveniente usare alternativamente come origine dell'asse $x$ 
un estremo della buca (per il problema di singola particella), 
oppure il  centro della buca
(per sfruttare la simmetria del sistema nel calcolo degli integrali a due
particelle).

\vf
\ni E' richiesto il calcolo dei seguenti integrali: 
\bs
\ni Normalizz. della $\psi_n$ di singola particella:
$$\int_0^\pi \sin^2{x}~dx$$

oppure, a seconda dell'origine prescelta:
$$\eqalign{
\int_{-{a\over 2}}^{a\over 2} \cos^2{n\pi x\over a}~dx~&=
\left( {a\over \pi}\right )
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} \cos^2{nx}~dx \cr
\int_{-{a\over 2}}^{a\over 2} \sin^2{n\pi x\over a}~dx~&=
\left( {a\over \pi}\right )
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} \sin^2{nx}~dx~ }$$
\bs
\ni Elementi di matrice dell'interazione sulla $\Psi_{n_1,n_2}$ di due particelle:
\ss
integrali diretti $J_{1,1}$, $J_{1,2}$: 
$$\eqalign{
\int_{-{a\over 2}}^{a\over 2} x^2 ~\cos^2{\pi x\over a}~dx~&=
\left( {a\over \pi}\right )^3
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} x^2 \cos^2{x}~dx\cr
\int_{-{a\over 2}}^{a\over 2} x^2 ~\sin^2{2\pi x\over a}~dx~&=
\left( {a\over 2\pi}\right )^3
\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin^2{x}~dx }$$
\bs

 integrale di  scambio $K_{1,2}$:
$$\eqalign{
\int_{-{a\over 2}}^{a\over 2} 
x ~\cos{\pi x\over a}~\sin{2\pi x\over a}~dx~&=
\left( {a\over \pi}\right )^2
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} x \cos{x}~\sin{2x}~dx}$$


\Bs
\bs \ni Sono utili pertanto i seguenti integrali: 
$$\eqalign{
\int_0^a \sin^2{x}~dx= ~{\pi\over 2} \cr
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} \cos^2{nx}~dx~&=
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} \sin^2{nx}~dx~= ~{\pi\over 2} \cr
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} x^2 \cos^2{x}~dx~&=
~{\pi^3\over 24} -{\pi\over 4} \cr
\int_{-\pi}^{\pi} x^2 \sin^2{x}~dx~&=
~{\pi^3\over 3} -{\pi\over 2} \cr
\int_{-{\pi\over 2}}^{\pi\over 2} x \cos{x}~\sin{2x}~dx~&=
~{2\over 9} }$$



\vf



\ni {\bf ESERCIZIO IX}
\Bs\ni{\bf STATO FONDAMENTALE DI 
DUE ELETTRONI NEL  CAMPO DI UN NUCLEO DI CARICA Z$|$e$|$}
\Bs\ni
Si consideri lo stato fondamentale $^1S$ dell'atomo di elio e, pi\`u in 
generale, quello degli atomi di numero atomico $Z$ e ionizzati $Z-2$ volte
(Li$^{+}$, Be$^{++}$, B$^{3+}$, C$^{4+}$, \dots  ).


\ss \item{a)} Scrivere l'Hamiltoniana del sistema supponendo il nucleo a 
riposo e  utilizzando unit\`a atomiche.

\ss \item{b)} Considerare l'interazione elettrone-elettrone $V_{ee}$ come una 
perturbazione e calcolare l'energia dello stato fondamentale, in funzione 
di $Z$, al prim'ordine in $V_{ee}$ [{\it vedi indicazione} ].

\ss \item{c)} Calcolare l'energia totale e l'energia di prima
ionizzazione dello stato 
fondamentale in funzione di $Z$ nella approssimazione di Hartree-Fock ed 
utilizzando come funzione di prova per l'orbitale $1s$ un esponenziale 
semplice [$\Psi_{1s}(r)=A\exp{(-\zeta r)}$, dove $\zeta$ \`e un parametro 
variazionale da determinare].

\ss \item{d)} Discutere come variano in funzione di $Z$ la correzione all'energia 
totale $\Delta E$, dovuta alla correlazione fra i due elettroni, ed il 
rapporto $\Delta E/E$.

\ss \item{e)} Verificare i risultati ottenuti ai punti c) e d) utilizzando i dati 
riportati nella tabella seguente (energie in Rydberg):
\bs
\begintable
~ | Z | $-$E$^{HF}$ | -$E$$^{th}$ \cr
He    | 2 | 5.723 | 5.807 \cr
Li$^{+}$  | 3 | 14.473 | 14.560 \cr
Be$^{++}$  | 4 | 27.223 | 27.311 \cr
 B$^{3+}$  | 5 | 43.972 | 44.062 \cr
 C$^{4+}$  | 6 | 64.722 | 64.812 \cr
 N$^{5+}$  | 7 | 89.472 | 89.563 \cr
 O$^{6+}$  | 8 | 118.222 | 118.313 \cr
 F$^{7+}$  | 9 | 150.972 | 151.063 \cr
Ne$^{8+}$  | 10 | 187.722 | 187.814 
\endtable
\ss \item{} dove $E^{HF}$ \`e l'energia Hartree-Fock ``esatta'' dello stato 
fondamentale [E. Clementi e C. Roetti, {\it Atomic Data and Nuclear Data 
Tables} {\bf 14}, 177 (1974)], e
$E^{th}$ \`e il valore teorico dell'energia dello stato fondamentale 
compresi gli effetti di correlazione [C.L. Pekeris, Phys. Rev. {\bf 112},
1649 (1958)].
\eject

{\it Indicazione:}
\Bs\item{} Per calcolare gli elementi di matrice dell'operatore di 
interazione  elettrone-elettrone, utilizzare uno dei due metodi seguenti:

\ms\ni {METODO A.}
\ss\item{} Integrare prima sulle variabili polari di uno dei due elettroni.
Per questa integrazione si pu\`o utilizzare il teorema di Gauss, osservando
che l'integrale in questione \`e il potenziale elettrostatico generato 
dalla distribuzione di carica dell'elettrone considerato. Integrare poi 
sulle variabili dell'altro elettrone.

\ms\ni {METODO B.}
\ss\item{} Utilizzare la formula di Neumann:
$${1\over r_{12} }= \cases{
\displaystyle{ {1\over r_2}\sum_{n=0}^\infty \left[{r_1\over r_2}\right]^n }
P_n(\cos{\theta_{12}}) & $[0< r_1< r_2]$\cr
\displaystyle{ {1\over r_1}\sum_{n=0}^\infty \left[{r_2\over r_1}\right]^n }
P_n(\cos{\theta_{12}}) & $[0< r_2< r_1]$\cr}$$
\ss\item{} dove $P_n(x)$ sono i polinomi di Legendre. Integrare quindi sulle
variabili polari dei due elettroni. Considerando la simmetria delle 
funzioni d'onda, mostrare che il solo termine che contribuisce 
all'integrale \`e quello con $n=0$. Il polinomio di Legendre d'ordine zero 
vale $P_0(x)=1$.
\vf

\ni {\bf ESERCIZIO X}
\Bs\ni {\bf PARTICELLE IDENTICHE --- determinanti di Slater}
\Bs\ni
Si consideri un sistema costituito da N fermioni identici per il quale si 
definiscono gli operatori ad una particella,
$$V=\sum_{i=1}^N v(i)$$
\noindent e gli operatori a due particelle:
$$W={1\over 2}\sum_{{i,j=1}\atop i\not= j}^N w(i,j).$$
Considerare i quattro stati (determinanti di Slater):

$$\eqalign{
|A\rangle &= {\cal A} [\Psi_1(1) \dots 
\Psi_k(k) \dots \Psi_{\ell}({\ell}) \dots \Psi_m(m) \dots \Psi_N(N)] \cr
|B\rangle &= {\cal A} [\Psi_1(1) \dots 
\Phi_k(k) \dots \Psi_{\ell}({\ell}) \dots \Psi_m(m) \dots \Psi_N(N)] \cr
|C\rangle &= {\cal A} [\Psi_1(1) \dots 
\Phi_k(k) \dots \Phi_{\ell}({\ell}) \dots \Psi_m(m) \dots \Psi_N(N)] \cr
|D\rangle &= {\cal A} [\Psi_1(1) \dots 
\Phi_k(k) \dots \Phi_{\ell}({\ell}) \dots \Phi_m(m) \dots \Psi_N(N)]}$$

\noindent dove le funzioni d'onda ad una particella $\Psi$ e $\Phi$ sono 
ortonormalizzate ed $\cal A$ \`e l'operatore di antisimmetrizzazione 
definito da:
$${\cal A}={1\over \sqrt{N!} } \sum_{i=1}^{N!} (-1)^{\lambda_i}P_i$$
\noindent dove $P_i$ \`e una permutazione delle $N$ variabili fermioniche,
$\lambda_i$ \`e la sua parit\`a  e la somma \`e su tutte le $N!$ 
permutazioni possibili.

\bs \item{a)} Mostrare che $\cal A$ gode delle propriet\`a seguenti:
$$\eqalign{
{\cal A}^2 &= \sqrt{N!} ~{\cal A}\cr
[{\cal A},V] &= 0\cr
[{\cal A},W] &= 0}$$

\ss \item{b)} Mostrare che gli operatori ad una particella $V$ godono delle 
propriet\`a seguenti:
$$\eqalign{
\langle A|V|A\rangle &= \sum_{i=1}^N \langle \Psi_i|v|\Psi_i\rangle \cr
\langle A|V|B\rangle &= \langle \Psi_k|v|\Phi_k\rangle \cr
\langle A|V|C\rangle &= 0\cr
\langle A|V|D\rangle &= 0}$$

\ss \item{c)} Mostrare che gli operatori a due particelle $W$ godono 
delle propriet\`a seguenti:
$$\eqalign{
\langle A|W|A\rangle &= {1\over 2}\sum_{{{i,j=1}\atop i\not= j}}^N 
[\langle \Psi_i\Psi_j|w|\Psi_i\Psi_j\rangle -
\langle \Psi_i\Psi_j|w|\Psi_j\Psi_i\rangle ]\cr
\langle A|W|B\rangle &= \sum_{{{j=1}\atop j\not= k}}^N 
[\langle \Psi_k\Psi_j|w|\Phi_k\Psi_j\rangle -
\langle \Psi_k\Psi_j|w|\Psi_j\Phi_k\rangle ]\cr
\langle A|W|C\rangle &= 
\langle \Psi_k\Psi_l|w|\Phi_k\Phi_l\rangle -
\langle \Psi_k\Psi_l|w|\Phi_l\Phi_k\rangle \cr
\langle A|W|D\rangle &= 0}$$

\bs\ni Considerare ora l'hamiltoniana di un atomo costituito da un nucleo di 
carica $Z$ e da $N$ elettroni:
$$H= \sum_{i=1}^N {p_i^2\over 2m} - \sum_{i=1}^N {Ze^2\over r_i}
+{1\over 2}\sum_{{i,j=1\atop i\not= j}}^N {e^2\over r_{ij}}$$

\ss \item{d)} Calcolare il valore di aspettazione di $H$ sullo stato:
$$|A\rangle = {\cal A} [\Psi_1(1) \dots 
\Psi_k(k) \dots \Psi_{\ell}({\ell}) \dots \Psi_m(m) \dots \Psi_N(N)] $$
\noindent in termini di integrali ad una e due particelle.

\bs\ni Supporre che le funzioni siano della forma $\Psi=\psi({\bf r}) 
\sigma$,  dove $\sigma$ \`e una funzione d'onda di spin.

\ss \item{e)} Dare l'espressione della densit\`a di carica elettronica 
al punto  $\bf  R$ corrispondente allo stato sopra considerato.

\ss \item{f)} Discutere l'interpretazione fisica dei differenti termini 
calcolati al punto d).
\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XI}
\Bs\ni{\bf APPROSSIMAZIONE DI HARTREE-FOCK --- Stato fondamentale 
dell'atomo di berillio}
\Bs\ni
L'atomo di berillio (Be) ha numero atomico $Z=4$. La configurazione 
elettronica del suo stato fondamentale \`e $1s^2 2s^2$.

\ss\item{a)} Scrivere l'hamiltoniana dell'atomo di berillio in unit\`a 
atomiche e supponendo il nucleo di massa infinita.

\bs\ni Nell'approssimazione di Hartree-Fock \`e comodo esprimere le 
funzioni d'onda $\Psi_{1s}(r) $ e $\Psi_{2s}(r)$ come 
sovrapposizione di un numero 
piccolo di funzioni linearmente indipendenti (funzioni di base). In 
pratica, queste si fanno dipendere da qualche parametro che viene poi 
fissato variazionalmente. Quando la dimensione della base coincide con il 
numero di orbitali occupati, la base \`e detta ``minima'':
$$\eqalign{
\Psi_{1s}(r) &= c^{(1)}_1 \phi_1(r) + c^{(1)}_2 \phi_2(r) \cr
\Psi_{2s}(r) &= c^{(2)}_1 \phi_1(r) + c^{(2)}_2 \phi_2(r) \cr}
\eqno{(1)}$$

\ss\item{b)} Determinare l'espressione dell'energia $E^0_{HF}$ dello stato 
fondamentale Hartree-Fock definito dagli orbitali (1), 
supponendo noti i coefficienti $\{c^{(n)}_i\}$ e gli elementi di matrice:
$$\eqalign{
h(i,j)&= T(i,j)+V(i,j)\cr
T(i,j)&= -\int \phi^\ast_i(r) \nabla^2 \phi_j(r) d{\bf r} \cr
V(i,j)&= -2Z\int \phi^\ast_i(r){1\over r}\phi_j(r) d{\bf r} \cr
(ij,kl)&=\langle \phi_i\phi_k |{2\over r_{12}}| \phi_j\phi_l\rangle =
\int \int \phi^\ast_i(r_1)\phi^\ast_k(r_2)
{2\over r_{12}} \phi_j(r_1) \phi_l(r_2) d{\bf r}_1 d{\bf 
r}_2\cr}$$

\ss\item{c)} Nelle stesse ipotesi del punto b), determinare l'espressione
degli elementi di matrice $F_{ij}$ dell'operatore di Fock del sistema fra 
le funzioni di base $\{\phi_i\}$.

\ss\item{d)}  Verificare che i risultati ottenuti in b) e c) sono 
invarianti rispetto ad una qualunque trasformazione unitaria agente nel 
sottospazio degli stati occupati.


\bs\ni Nel caso del berillio, una possibile base minima \`e stata 
determinata da E. Clementi  e C. Roetti [{\it Atomic Data and Nuclear Data 
Tables} {\bf 14}, 177 (1974)]:
$$\eqalign{
\phi_1({\bf r}) &= Y_{00}({\hat{\bf r}}) ~2 \alpha^{3/2} {\rm e}^{-\alpha 
r};\hfill ~~~~~~~~~ ~~~~ \alpha = 3.68478\cr
\phi_2({\bf r}) &= Y_{00}({\hat{\bf r}}) ~{2\over \sqrt{3}}
 \beta^{5/2} r{\rm e}^{-\beta 
r};\hfill ~~~~~~~~~ \beta = 0.95603\cr}\eqno{(2)}$$

\ss\item{e)} Servendosi dei risultati ottenuti ai punti b), c), e d)
e delle funzioni di base (2), determinare i valori numerici di 
$E^0_{HF}$ e di $F_{ij}$ [{\it vedi indicazione} ].

\ss\item{f)} Si considerino separatamente i contributi di energia 
potenziale e cinetica ad $E^0_{HF}$. Discutere il valore del loro rapporto 
utilizzando il teorema del viriale.

\ss\item{g)} Si consideri un generico operatore hermitiano $\cal A$ 
definito su uno spazio di Hilbert ${\cal H}_N$ di dimensione $N$ ed un 
insieme di $N$ vettori $\{v_i\}$ appartenenti ad ${\cal H}_N$, linearmente 
indipendenti, ma {\it non} ortonormali. Indicando con $s(i,j)$ gli 
integrali di sovrapposizione $\langle v_i|v_j\rangle$, scrivere l'equazione 
agli autovalori per l'operatore $\cal A$ nella base $\{v_i\}$.

\ss\item{h)} Si considerino due vettori $|1\rangle$ e $|2\rangle$ espressi 
come combinazione lineare dei vettori di base $\{v_i\}$.Quali condizioni 
devono soddisfare i relativi coefficienti di sovrapposizione affinch\`e 
$|1\rangle$ e $|2\rangle$ risultino normalizzati e ortogonali fra loro?

\ss\item{i)} Servendosi dei risultati ottenuti in e) e g), trovare gli 
autovalori e gli autovettori dell'operatore di Fock dell'atomo di berillio.
Si verifichino i risultati qui sotto riportati.

$$\eqalign{
c^{(1)}_1 &= 0.99759,~~~~~~~ c^{(1)}_2= ~~0.01239 ;~~~~~~~ E_{1s}=-9.4342~Ry\cr
c^{(2)}_1 &= 0.20444,~~~~~~~ c^{(2)}_2= -1.01824 ;~~~~~~~ E_{2s}=-0.6173~Ry\cr}$$

\midfigura{12}{0}{fig-esXI.eps}{}

\vf

{\it Indicazioni:}

\bs\item{} Gli elementi di matrice degli operatori ad un elettrone e 
gli integrali   di sovrapposizione si ottengono usando la formula:
$$\int_0^\infty x^n e^{-ax} dx = {n!\over a^{n+1}}
\eqno{[n\geq 0]}.$$
\ss\item{} Gli integrali bielettronici:
$$(ij,kl)=\langle \psi_i\psi_k |{2\over r_{12}}| \psi_j\psi_l\rangle =
\int \int \psi^\ast_i({\bf r}_1)\psi^\ast_k({\bf r}_2)
{2\over r_{12}} \psi_j({\bf r}_1) \psi_l({\bf r}_2) d{\bf r}_1 d{\bf r}_2$$
\ss si possono ottenere usando l'identit\`a di Neuman:
$$
{1\over r_{12} }= 4\pi
\sum_{\ell =0}^\infty ~ \sum_{m=-\ell }^\ell
~ {1\over 2\ell +1} ~ {r_{_<}^\ell \over r_{_>}^{\ell +1} }
~ Y^\ast_{\ell m}({\hat{\bf r}}_1) ~ Y_{\ell m}({\hat{\bf r}}_2)$$
\item{} dove 
$$r_{_<}=min(r_1,r_2); ~~~r_{_>}=max(r_1,r_2), $$
\item{} le propriet\`a di simmetria delle funzioni d'onda ($\ell =0$, in 
questo caso) ed i seguenti integrali:
$$\eqalign{
\int x e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ {x\over a} - {1\over a^2}\right ] \cr
\int x^n e^{ax} dx &= {x^n e^{ax}\over a} -
{n\over a} \int x^{n-1} e^{ax} dx }.$$
\ss\item{} Si riportano qui di seguito i valori numerici di tutti gli elementi 
di matrice necessari (energie in Ry).
$$\eqalign{
T(1,1) &= ~13.57760  ~~~~~~~~ V(1,1) = -29.47824 ~~~~~~ S(1,1) = 1.00000 \cr
T(2,1) &=  -0.41115  ~~~~~~~~ V(2,1) = ~-2.33687 ~~~~~~~ S(2,1) = 0.18883 \cr
T(2,2) &= ~~0.30466  ~~~~~~~~ V(2,2) = ~-3.82412 ~~~~~~~ S(2,2) = 1.00000\cr}$$
$$\eqalign{
(11,11) &= 4.60598 ~~~~~~~~ (21,11) = 0.51949 ~~~~~~~~ (21,21) = 0.07584\cr
(22,11) &= 0.95157 ~~~~~~~~ (22,21) = 0.17456 ~~~~~~~~ (22,22) = 0.69462\cr}$$
\ms\item{}
Verificare innanzitutto che quelli sopra riportati sono gli unici elementi 
di matrice indipendenti. Si consiglia poi di verificare il valore numerico 
di almeno qualcuno di questi integrali. Al fine di ridurre il lavoro 
numerico necessario, pu\`o risultare conveniente utilizzare la ``matrice
densit\`a'' del sistema definita nel modo seguente:
$$\rho (i,j) = \sum_{n=1}^2 c^{(n)}_i c^{(n)}_j$$

\vf
\ni {\bf ESERCIZIO XII}
\Bs\ni {\bf PARTICELLE IDENTICHE - atomo di carbonio}
\Bs\ni 
La configurazione elettronica dell'atomo di Carbonio in stato 
fondamentale \`e $1s^2 2s^2 2p^2$. Le configurazioni elettroniche dei primi
stati eccitati sono $1s^2 2s^2 2p^1 3s^1$, $1s^2 2s^2 2p^1 3p^1$, e 
cos{\`\i} via. I primi termini spettrali dell'atomo sono rappresentati 
nella figura seguente e cara,tterizzati dal simbolo $^{2S+1}L$, dove $S$ \`e
lo spin elettronico totale ed $L$ individua il momento angolare orbitale 
totale ($L$=$S$, $P$, $D$, \dots se il momento angolare orbitale vale 0, 1,
2, \dots).

\midfigura{12.}{3}{fig-esXII-1.ps}{}



\vskip -1.7cm
\vfill

\ss\ni Considerare la configurazione elettronica dello stato fondamentale.

\ss \item{a)} Determinare i valori possibili del momento angolare orbitale totale $L$ 
per questa configurazione.

\ss \item{b)} Per ciascun valore di $L$ trovato sopra, scrivere esplicitamente la 
forma della corrispondente funzione d'onda elettronica, nella 
approssimazione ad elettroni indipendenti.
\eject

\ss \item{c)} Determinare i valori possibili dello spin elettronico totale $S$ per 
questa configurazione.

\ss \item{d)} Determinare i termini spettrali compatibili con la configurazione 
elettronica data.

\ss \item{e)} Quale fra i termini spettrali sopra determinati \`e lo stato 
fondamentale? [{\it vedi indicazione} ]

\ss \item{f)} Determinare per lo stato fondamentale i valori possibili del momento 
angolare totale ${\bf J}={\bf L} + {\bf S}$.

\ss \item{g)} Discutere la separazione spin--orbita dello stato fondamentale, 
assumendo che l'interazione spin--orbita sia della forma:
$$H_{so} = {A\over \hbar^2} {\bf L}\cdot {\bf S}$$
\noindent dove A \`e una costante.

\ss \item{h)} Calcolare il valore di $A$ servendosi dei valori della separazione 
spin--orbita rappresentati nella figura seguente (i termini spettrali sono 
indicati dal simbolo $^{2S+1}L_J$):


\midfigura{13.5}{2.5}{fig-esXII-2.ps}{}
\vfill

\ss \item{i)} Mostrare che il {\it baricentro} dei tre livelli $^3P_2$, $^3P_1$, e 
$^3P_0$ corrisponde alla posizione dello stato fondamentale $^3P$ in 
assenza di interazione spin--orbita.
\eject
{\it Indicazione:}
\ms\item{} REGOLE EMPIRICHE DI HUND	
 per la determinazione dello stato 
fondamentale di un atomo a partire dalla sua configurazione elettronica:
\ms\item{1)} Per una data configurazione elettronica, gli stati sono tanto 
pi\`u profondi in energia quanto pi\`u alto \`e il valore dello spin totale $S$.
\ms\item{2)} Per una data configurazione elettronica ed a parit\`a di spin 
totale $S$, lo stato con il valore massimo del momento angolare orbitale 
totale $L$ \`e lo stato fondamentale.
\ms\item{3)} Per valori di $S$ ed $L$ dati, lo stato fondamentale 
corrisponde al pi\`u piccolo (grande) valore possibile di $J$ se il guscio 
incompleto \`e riempito meno (pi\`u) di met\`a.

\vf
\ni {\bf ESERCIZIO XIII}
\Bs\ni {\bf TERMINI SPETTROSCOPICI DEGLI ATOMI DI FOSFORO E DI RODIO}
\Bs\ni Considerare gli atomi Fosforo (P) e Rodio (Rh), che in stato 
fondamentale hanno rispettivamente la configurazione elettronica:
\par ~~~~~~~~{\rm P~~}  : {\rm [~Ne~]~} $3s^2~ 3p^3$
\par ~~~~~~~~{\rm Rh}   : {\rm [~Kr~]~} $4d^8~ 5s^1$.
\ss\item{a)} Classificare i termini spettroscopici compatibili con le 
configurazioni elettroniche date, utilizzando lo schema di accoppiamento 
$LS$. 
\ss\item{b)} Servendosi delle regole di Hund, determinare i numeri quantici 
$L$, $S$ e $J$ dello stato con energia pi\`u bassa dei due atomi.

\vf
\ni {\bf ESERCIZIO XIV}
\Bs\ni {\bf EFFETTO STARK negli atomi alcalini e nell'atomo di idrogeno}
\Bs\ni Considerare l'elettrone di valenza di un atomo alcalino ed indicare 
con $V(r)$ il potenziale effettivo generato dal nucleo atomico e dai 
restanti elettroni supposti ``congelati'' nei rispettivi orbitali di {\it 
core}.
\ss\item{a)} Scrivere in unit\`a atomiche l'hamiltoniana dell'elettrone in 
presenza di un campo elettrico esterno $\vec{\cal E}=
{\cal E}\hat{\bf z}$ supponendo che $V(r)$ sia noto.

\ss\item{b)} Determinare le costanti del moto del sistema.

\ss\item{c)} Supponendo che il campo elettrico sia sufficientemente debole
s{\'\i} da poter usare la teoria delle perturbazioni per calcolare il suo 
effetto sui livelli energetici dell'atomo, mostrare che 
l'effetto al primo ordine \`e nullo.

\ss\ni Si ignori lo spin dell'elettrone e si consideri il generico 
livello imperturbato di numeri quantici $n$ ed $\ell$.

\ss\item{d)} Discutere con argomenti di simmetria 
come il campo elettrico rimuove la degenerazione 
del livello. Mostrare che gli autostati dell'hamiltoniana 
completa sono classificabili secondo gli autovalori $m$ di $L_z$ e che gli 
stati che differiscono per il segno di $m$ sono degeneri in energia.

\ss\item{e)} Mostrare in particolare che, al secondo ordine della teoria delle 
perturbazioni, l'e\-spres\-sio\-ne dei livelli di energia discussi al punto (d) 
\`e:
$$E(n,\ell ,m) = E^0(n,\ell ) + {\cal E}^2 (a_{n\ell } + b_{n\ell } m^2)$$
dove $a_{n\ell }$ e $b_{n\ell }$ sono costanti indipendenti da $m$
[{\it vedi indicazione }]. 

\ss\ni Considerare ora l'atomo di idrogeno, dove $V(r)=-{e^2/r}$.

\ss\item{f)} Mostrare che solo lo stato fondamentale rimane imperturbato 
al primo ordine.

\ss\item{g)} Calcolare l'effetto del campo elettrico sul primo stato 
eccitato $(n=2)$ al primo ordine nella teoria delle perturbazioni.

\Bs
{\it Indicazione:}
$$\int_0^\pi \int_0^{2\pi} d\varphi ~\sin{\vartheta} ~d\vartheta 
~Y^\ast_{\ell , m}(\vartheta ,\varphi) ~\cos{\vartheta} 
~Y_{\ell -1, m}(\vartheta ,\varphi) ~= ~\sqrt{\displaystyle{
\ell^2 - m^2 \over 4\ell^2 -1 }}.$$

\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XV}
\Bs\ni {\bf IONE Ti$^{\bf 3+}$ IN CAMPO CRISTALLINO}
\Bs\ni Considerare uno ione Ti$^{3+}$ nel vuoto ed i suoi stati con 
configurazione elettronica (a) [Ar]$3d^1$ e (b) [Ar]$5d^1$
dove (a) \`e lo stato fondamentale, (b) \`e uno stato eccitato e [Ar]
rappresenta la configurazione elettronica $1s^2 ~2s^2 ~2p^6 ~3s^2 ~3p^6$.
L'energia di estrazione dell'elettrone $5d$ dallo ione in stato (b)
\`e di 89967 $cm^{-1}$.
%L'energia di estrazione dell'elettrone $3d$ dallo ione in stato (a)
%\`e di 43.24 eV.

\ms \item{a)} Verificare che l'energia di estrazione dell'elettrone $5d$
non verifica la legge dello spettro dei sistemi idrogenoidi.

\ms \item{b)} Calcolare in $eV$ l'energia di ionizzazione dello ione 
nello stato fondamentale (a) e, trascurando lo spin dell'elettrone,
indicare la degenerazione del livello corrispondente.

\ms \item{c)} Scrivere le funzioni d'onda dell'elettrone $3d$ supponendo 
valido il modello di schermo [{\it lasciare indicate le armoniche sferiche}
$Y_{\ell m}(\vartheta,\varphi)$ {\it senza esplicitarle} ].

\bs \ni Supporre ora che lo ione Ti$^{3+}$ si trovi in un solido 
e che il campo cristallino che il materiale applica sullo ione si 
possa schematizzare con il potenziale $V({\bf r})$ 
generato  da due cariche $+|e|$ nelle posizioni $(0,0,\pm a)$, con $a=5$ u.a. 
(lo ione Ti$^{3+}$ \`e nell'origine).

\ms \item{d)}  Con argomenti di simmetria dimostrare che lo sviluppo
di $V({\bf r})$ intorno all'origine e fino a termini del terz'ordine 
compresi, \`e dato da

$$V({\bf r}) \approx c_0 + c_1(x^2+y^2) + c_2 z^2.$$

\ms \item{e)} Calcolare $c_0$, $c_1$ e $c_2$ e verificare che $c_2 = -2c_1$.

\ms \item{f)} Mostrare che lo sviluppo
di $V({\bf r})$ ottenuto al punto (d) pu\`o essere scritto

$$V({\bf r}) \approx c_0 - \sqrt{16\pi\over
5}c_1r^2Y_{20}(\vartheta,\varphi).$$

dove $Y_{20}$ \`e l'armonica sferica con $\ell = 2$ e $m = 0$.

\ms \item{g)} Scrivere l'hamiltoniana $H$ dell'elettrone $3d$ dello ione
Ti$^{3+}$ nel solido usando lo sviluppo di $V({\bf r})$ ottenuto in (f)
per il campo cristallino  
e l'approssimazione del modello di schermo per descrivere lo ione.

\ms \item{h)} Determinare le costanti del moto di $H$ e discutere
le differenze rispetto al caso in cui lo ione \`e nel vuoto.

\ms \item{i)} Trattando il campo cristallino come una perturbazione,
calcolare le energie dei livelli originati dal livello $3d$
e darne la degenerazione.

\ms \item{l)}  Determinare lo stato fondamentale e calcolarne l'energia di 
legame.

\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XVI}
\Bs\ni {\bf METODO ADIABATICO}
\Bs\ni                    
Considerare due oscillatori armonici unidimensionali di frequenze proprie 
$\omega_1=\omega$ e $\omega_2=\mu\omega$ ed accoppiati dal potenziale 
bilineare $V_{12} ={1\over 2} m \lambda^2\omega^2q_1q_2$, dove $q_1$ e 
$q_2$ sono gli spostamenti dalla posizione di equilibrio dei due 
oscillatori.

\ss\item{a)} Scrivere l'hamiltoniana del sistema.

\ss\item{b)} Mediante una appropriata trasformazione lineare unitaria di 
variabili
$$\eqalign{Q_1 &= f_1(q_1,q_2)\cr Q_2 &= f_2(q_1,q_2)}$$
\ss\item{} mostrare che il sistema \`e equivalente a un sistema di sue 
oscillatori armonici unidimensionali disaccoppiati.

\ss\item{c)} Determinare gli autovalori esatti del sistema.

\ss\item{d)} Determinare le condizioni da imporre a $\lambda$ e $\mu$ 
perch\`e l'accoppiamento $V_{12}$ si possa studiare usando il metodo 
adiabatico.

\ss\item{e)} Supposte verificate le condizioni determinate al punto d), 
scrivere le equazioni adiabatiche per il movimento dei due oscillatori.

\ss\item{f)} Calcolare gli autovalori del sistema nell'approssimazione 
adiabatica e confrontarli con gli autovalori esatti calcolati in c).

\vf
\ni {\bf ESERCIZIO XVII}
\Bs\ni {\bf METODO ADIABATICO --- Ione molecolare H$^{\bf +}_{\bf 2}$}
\Bs\ni                    
Lo ione molecolare H$^+_2$ \`e costituito da due protoni (designati ``a''
e ``b'' nella figura) e da un elettrone. 

\midfigura{10.5}{3}{fig-esXVII-1.ps}{}

\vskip -3.5cm

\ss\item{a)} Scrivere l'hamiltoniana del sistema formato dalle tre particelle 
in unit\`a atomiche ($2m_e=e^2/2=\hbar=1$, massa del protone
$M_p=1836~m_e$).

\ss\item{b)} Utilizzando il metodo adiabatico (approssimazione di 
Born-Oppenheimer) scrivere le equazioni di Schr{\"o}dinger per:
\ss\item{} i) il moto degli elettroni (in questa equazione le coordinate 
nucleari sono dei parametri);
\ss\item{} ii) il moto dei due protoni.

\ss\item{c)} Derivare l'energia di interazione internucleare servendosi del 
metodo variazionale ed utilizzando come funzione elettronica di prova una 
sovrapposizione lineare delle due funzioni:

$$ F_a({\bf r}) = \displaystyle{\sqrt{\alpha^3\over \pi R^3}}
{\rm e}^{-\alpha r_a/R}; \hfill
~~~~~~~~F_b({\bf r}) = \displaystyle{\sqrt{\alpha^3\over \pi R^3}}
{\rm e}^{-\alpha r_b/R}$$
\ss\item{} Verificare che, per ogni valore del parametro variazionale 
$\alpha$, si ha:

$$E(R,\alpha)= {1\over R^2} {G_2(\alpha)\over Q(\alpha)} -
{2\over R} \left\{{G_1(\alpha)\over Q(\alpha)} - 1\right\}$$
\item{} dove:
$$ \eqalign{
G_1(\alpha) &= (\alpha+1) \left(1+2\alpha {\rm e}^{-\alpha}-  {\rm 
e}^{-2\alpha}\right)\cr
G_2(\alpha) &= \alpha^2 + \left(\alpha^2 + \alpha^3 - {1\over 3}\alpha^4 \right)
{\rm e}^{-\alpha}\cr
Q(\alpha) &= 1 + \left(1+ \alpha + {1\over 3}\alpha^2 \right)
{\rm e}^{-\alpha}.}$$
\ss\item{} [{\it vedi indicazione I} ]. Per trovare l'energia d'interazione 
internucleare $V(R)$ si mi\-ni\-miz\-zi $E(R,\alpha)$ in corrispondenza ad un 
dato valore di  $R$. Nella tabella seguente si riportano alcuni valori di 
$V(R)$ attorno alla distanza internucleare di equilibrio, assieme ai 
corrispondenti valori di $\alpha$ che minimizzano $E(R,\alpha)$
[{\it vedi indicazione II}]. 
\bs\begintable
$\alpha$ | $R$ (in $a_0$) | $V(R)$ (in $Ry$) \cr
2.1 | 1.563 | $-$1.145 \cr
2.3 | 1.790 | $-$1.168 \cr
2.5 | 2.027 | $-$1.173 \cr
2.7 | 2.271 | $-$1.168 \cr
2.9 | 2.520 | $-$1.156 \endtable
\bs
\ss\item{d)} Verificare che la distanza internucleare di equilibrio e la 
corrispondente energia potenziale valgono $R_0=1.07$~\AA \ e 
$V_0=V(R_0)=-15.96$~eV.

\ss\item{e)} Calcolare i livelli vibrazionali dello ione H$^+_2$ in assenza 
di moto rotazionale. Si usino per questo i valori di $V(R)$ calcolati al 
punto c) e l'approssimazione armonica. Verificare in particolare che 
l'energia di punto zero vale ${1\over 2}\hbar \omega=0.136$~eV.
[{\it vedi indicazioni III e IV} ]. 

\ss\item{f)} Calcolare l'energia di dissociazione dello ione H$^+_2$ in un 
atomo di idrogeno neutro ed un protone liberi e verificare che essa vale 
$D=2.22$~eV.

\ss\item{g)} Sapendo che i protoni sono dei fermioni di spin $1\over 2$, 
calcolare lo spin nucleare totale dello ione H$^+_2$ nel suo stato 
fondamentale.

\Bs{\it Indicazioni:}

\bs\item{I.} Gli integrali:
$$ \eqalign{
C &= {\alpha^3\over \pi R^3} \int {1\over r_b} {\rm e}^{-2\alpha r_a/R} 
d{\bf r}\cr
E &= {\alpha^3\over \pi R^3} \int {1\over r_b} {\rm e}^{-\alpha (r_a+r_b)/R} 
d{\bf r}\cr
S &= {\alpha^3\over \pi R^3} \int {\rm e}^{-\alpha (r_a+r_b)/R} 
d{\bf r}}$$
\bs\item{} si calcolano usando le coordinate ellittiche:
$$ \eqalign{
\mu &= (r_a+r_b)/r ~~~~~~~~~~~~ (1<\mu < \infty )\cr
\nu &= (r_a-r_b)/r ~~~~~~~~~~~~ (-1<\nu < 1 )\cr
\phi &= angolo~ attorno~ all'asse ~della ~molecola}$$
\bs\item{} e considerando che:
$$\int F({\bf r}) d{\bf r} = 
\int_1^\infty d\mu \int_{-1}^1 d\nu 
\int_0^{2\pi} {1\over 8}R^3(\mu^2 - \nu^2 )F d\phi .$$
L'espressione analitica degli integrali \`e:
$$ \eqalign{
C &= {1\over R} \left [1-(1+\alpha ) {\rm e}^{-2\alpha }\right ]\cr 
E &= {\alpha\over R} (1+\alpha ) {\rm e}^{-\alpha }\cr 
S &= \left(1+\alpha + {\alpha^2\over 3} \right) {\rm e}^{-\alpha }
\cr}$$

\bs\item{II.} Utilizzare la condizione di minimo dell'energia $E(R,\alpha)$ 
rispetto al parametro $\alpha$ per ottenere una relazione fra $R$ ed 
$\alpha$ della forma $R=f(\alpha)$. Utilizzare poi questa relazione 
sostituendo $R$ con $f(\alpha)$ nell'espressione dell'energia $E(R,\alpha)$ 
per ottenere l'energia d'interazione $V(R)$ in forma parametrica:
$$\cases{R=f(\alpha ) &\cr V=E\left (f(\alpha ),\alpha \right ).&\cr}$$


\bs\item{III.} L'equazione di Schr{\"o}dinger che descrive il movimento dei 
due protoni corrisponde ad un problema a due corpi con interazione 
centrale. Separare il movimento del centro di massa dal movimento relativo 
e studiare l'equazione per il movimento relativo.

\bs\item{IV.} L'approssimazione armonica consiste nel sostituire il 
potenziale $V(R)$ attorno al suo minimo $R_0$ con il suo sviluppo in serie 
fino al secondo ordine in $(R-R_0)$. I livelli di energia corrispondenti al 
potenziale cos{\`\i} approssimato si calcolano poi servendosi della teoria 
dell'oscillatore armonico.

\Bs{\it Note:}

\bs\item{I.} I valori sperimentali di $R_0$, $V_0$, ${1\over 2}\hbar 
\omega$ e $D$ per lo ione H$^+_2$ sono:
$$\eqalign{
R_0 &= 1.06 {\AA} ~~~~~~~~~~ V_0 = -16.39 eV\cr
{1\over 2}\hbar \omega &= 0.14 eV ~~~~~~~~~~ D~= ~~2.65 eV\cr}$$
\ss\item{} [cfr. G. Herzberg, {\it Spectra of Diatomic Molecules},
Van Nostrand, New York, p. 354 (1950)].

\bs\item{II.} In corrispondenza dei diversi stati elettronici, si ottengono 
curve diverse per l'energia di interazione dei due protoni. La figura 
seguente mostra le prime curve di potenziale per lo ione H$^+_2$
[cfr. J.C. Slater, {\it Theory of Molecules and Solids}, Mc. Graw-Hill, New 
York, Vol. 1, p. 8 (1963)]. Lo stato elettronico considerato in questo 
esercizio \`e designato $1\sigma_g$.

\vf
\topfigura{7}{4}{fig-esXVII-2.ps}{}

\vskip -5cm
\item{} I livelli di vibrazione (linea continua) e di roto-vibrazione (linea 
punteggiata) corrispondenti allo stato elettronico $1\sigma_g$ dello ione
H$^+_2$ sono rappresentati nella fi\-gu\-ra seguente [cfr. W. Kolos, {\it Acta 
Phys. Acad. Sci. Hung.} {\bf 27}, 241 (1969)].
\vfill
\midfigura{12}{1.5}{fig-esXVII-3.ps}{}

\eject
\ni {\bf ESERCIZIO XVIII}
\Bs\ni {\bf INTERAZIONE DI VAN DER WAALS}
\Bs\ni                    
Considerare due atomi di idrogeno neutri situati ad una distanza
$R \gg a_B = 0.53 $\AA. Trascurare il movimento dei due nuclei.

\midfigura{6}{2}{fig-esXVIII.eps}{}

\ss \item{a)} {Scrivere l'hamiltoniana del sistema in unit\`a atomiche
(unit\`a d'energia = Rydberg; unit\`a di lunghezza = raggio di Bohr
= $a_B$) e metterla nella forma

$$H = H_0 + H'(R)$$

dove $H_0$ \`e la somma delle hamiltoniane dei due atomi considerati
come non interagenti e $H'(R)$ \`e il termine di interazione.}

\bs \item{b)} Sviluppare $H'(R)$ in serie di potenze di $1/R$ e
mostrare che
$$H'(R) = {{{\bf p}_1 \cdot {\bf p}_2} \over {R^3}}~ -~ 3 ~
{{({\bf p}_1 \cdot {\bf R}) ({\bf p}_2 \cdot {\bf R})} \over {R^5}}~
+~ O(R^{-4})$$

dove ${\bf p}_i = ~e~ {\bf r}_i$.

\bs \item{c)} Introdurre le coordinate cartesiane dei due elettroni e
mostrare che

$$H'(R) = {e^2 \over {R^3}} (x_1x_2 + y_1y_2 - 2 z_1z_2) + O
(R^{-4})$$

dove l'asse $z$ \`e diretto secondo l'asse della molecola.

\vf

\ni Supporre che i due atomi siano nello stato fondamentale $(1s)$
e calcolare la loro energia di interazione considerando $H'$ come una
perturbazione di $H_0$.

\bs \item{d)} Mostrare che i termini di scambio tra i due elettroni
sono trascurabili per grandi distanze $R$.
 
\bs \item{e)} Mostrare che i termini restanti non danno alcun
contributo al primo ordine della teoria delle perturbazioni.
 
\bs \item{f)} Mostrare che il contributo dominante al secondo ordine
\`e proporzionale a $R^{-6}$ (in\-te\-ra\-zio\-ne di Van der Waals).

\Bs\ni Supporre ora che uno dei due atomi sia nello stato eccitato
$2p$ mentre l'altro resta nello stato fondamentale $1s$.
 
\bs \item{g)} Trascurando l'interazione tra i due atomi $H'(R)$,
determinare la degenerazione del livello d'energia corrispondente alla
configurazione elettronica sopra descritta.
 
\bs \item{h)} Mostrare che in questo caso $H'(R)$ agisce al primo
ordine della teoria delle perturbazioni e separa il livello in due
singoletti e in due doppietti.
 
\bs \item{i)} Mostrare che in questo caso l'energia di interazione tra
i due atomi \`e proporzionale a $R^{-3}$, che per alcuni stati
l'interazione \`e attrattiva, ma che esistono stati per cui
l'interazione \`e repulsiva.

\vf


\ni {\bf ESERCIZIO XIX}
\Bs\ni {\bf IONE MOLECOLARE MUONICO}
\Bs\ni   
Considerare lo ione molecolare $H_2^+$, sistema costituito da due
protoni (spin 1/2) ed un elettrone. In approssimazione
Born-Oppenheimer, i potenziali adiabatici del sistema corrispondenti
ai diversi stati elettronici sono riprodotti nella figura sottostante.

\midfigura{17}{0}{fig-esXIX.ps}{}

\vskip -4truecm                                                      
\item{a)} Determinare quale \`e lo spin totale dei due protoni
nello stato fondamentale dello ione molecolare (corrispondente al
pi\`u basso stato elettronico, vibrazionale e rotazionale).

\Bs\ni Il potenziale adiabatico dello stato elettronico 
fondamentale di $H_2^+$ \`e
$U(R)$ con minimo a $R~=~1.05$~\AA \ e corrispondente ad una energia di
dissociazione $D_0~=~2.650~eV$ e ad una energia vibrazionale
$\hbar\omega_0~=~2322~cm^{-1}$.      
\ms\ni Considerare ora lo ione molecolare $p^+p^+\mu^-$, ottenuto
sostituendo l'elettrone di $H_2^+$ con un muone negativo, una
particella con carica uguale a quella dell'elettrone ma con massa
207 volte pi\`u grande. 

\eject                                                          

\bs \item{b)} Usando leggi di scala, scrivere l'espressione del
potenziale adiabatico $V(R)$ dello ione $p^+p^+\mu^-$ nello stato
fondamentale in funzione del potenziale $U(R)$ di $H_2^+$.

\bs \item{c)} Determinare posizione di equilibrio, energia di
dissociazione ed energia di vibrazione di $p^+p^+\mu^-$.

\Bs\ni Considerare ora lo ione molecolare $d^+d^+\mu^-$, ottenuto
dallo ione precedente sostituendo i due protoni con deutoni
(stessa carica, massa doppia).

\bs \item{d)} Determinare posizione di equilibrio, energia di
dissociazione ed energia di vibrazione dello ione $d^+d^+\mu^-$.

\bs \item{e)} Sapendo che il deutone ha spin 1, determinare i valori
possibili per lo spin totale dei due deutoni nello stato fondamentale 
di $d^+d^+\mu^-$.

\vf
\ni {\bf ESERCIZIO XX}
\Bs\ni {\bf MOLECOLA DI OSSIGENO}
\Bs\ni Considerare la configurazione elettronica
$1\sigma_g^2~1\sigma_u^2~2\sigma_g^2~2\sigma_u^2~
3\sigma_g^2~1\pi_u^4~1\pi_g^2$ della molecola di ossigeno. 

\bs \item{a)} Classificare i termini spettroscopici compatibili con la
configurazione elettronica data

\bs \item{b)} Servendosi della regola di Hund, determinare i numeri
quantici $L_z$ e $S$ dello stato con energia pi\`u bassa e compatibile
con la configurazione elettronica data

\bs \item{c)} Determinare i numeri quantici $L_z$ e $S$ dello ione
molecolare $O_2^-$ nello stato con configurazione $1\sigma_g^2~
1\sigma_u^2~2\sigma_g^2~2\sigma_u^2~3\sigma_g^2~1\pi_u^4~1\pi_g^3$. 
\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XXI}
\Bs\ni {\bf MOLECOLE A LEGAME IONICO}
\Bs\ni   
La distanza interatomica della molecola $^{~23}$Na$^{~35}$Cl 
all'equilibrio \`e $d$= 2.4 \AA \ e la sua 
energia di dissociazione in atomi neutri \`e $E$=3.6 eV. 
L'energia di prima ionizzazione del Na e
l'affinit\`a elettronica del Cl valgono rispettivamente 5.1~eV
e 3.8~eV. Supporre che l'energia potenziale della molecola 
sia descritta dal modello di Born-Mayer:
$$V(R)~=-\displaystyle{e^2\over R} + A~ e^{-R/a}~,$$
dove $R$ \`e la distanza tra i due nuclei, $A$ ed $a$ sono dei parametri.

\bs\item{a)} Determinare il valore dei parametri $A$ e $a$ per la molecola 
NaCl [{\it indicazione: trascurare l'energia di punto zero }].

\ss\item{b)} Determinare per quale valore di $R$ la configurazione ionica e 
quella covalente della molecola sono degeneri in energia.

\ss\item{c)} Determinare, in approssimazione armonica, l'energia 
vibrazionale della molecola.

\ss\item{d)} Determinare l'ampiezza di vibrazione della molecola nello stato 
fondamentale e nel primo stato eccitato.

\ss\item{e)} Determinare (in cm$^{-1}$) i livelli d'energia rotazionale 
della molecola.

\ss\item{f)} Determinare (in cm$^{-1}$) l'energia vibrazionale ed
i livelli d'energia rotazionale della molecola
$^{~23}$Na$^{~37}$Cl. 
~\vfill

\midfigura{10.}{3.5}{fig-esXXI.ps}{}


\eject

\ni {\bf ESERCIZIO XXII}
\Bs\ni {\bf EFFETTI ISOTOPICI IN MOLECOLE BIATOMICHE}
\Bs \item{a)} L'energia di vibrazione fondamentale di H$^{~80}$Br \`e
2649.67 cm$^{-1}$. 
\pac Calcolare l'energia di vibrazione fondamentale di
H$^{~79}$Br, di H$^{~81}$Br e di D$^{~80}$Br.

\bs \item{b)} L'energia di dissociazione della molecola HCl \`e
$D_0$(HCl) = 4.434 eV. Quella di DCl  \`e $D_0$(DCl) = 4.485 eV.
\pac Calcolare l'energia di vibrazione delle due molecole in
cm$^{-1}$.

\bs \item{c)} {Nella figura e nella tabella sottostanti \`e riportata
una parte dello spettro di assorbimento infrarosso della molecola
HCl.

\midfigura{7.8}{2.5}{fig-esXXII.ps}{}

\vskip -4.5 cm
\begintable 
~ | $\nu (cm^{-1})$ | $A(cm^{-1})$ \cr
R(5) | 2997.78 | - \cr
R(4) | 2980.90 | 16.88 \cr
R(3) | 2963.24 | 17.66 \cr
R(2) | 2944.89 | 18.55 \cr
R(1) | 2925.78 | 19.11 \cr
R(0) | 2906.25 | 19.53 \cr
$\nu_0$ | missing at 2885.90 | - \cr
P(1) | 2865.09 | - \cr
P(2) | 2843.56 | 21.53 \cr
P(3) | 2821.49 | 22.07 \cr
P(4) | 2798.78 | 22.71 \cr
P(5) | 2775.79 | 22.99 \cr
P(6) | 2752.03 | 23.76 \endtable
$A$= Wavenumber difference between neighbouring lines.

\vfill\eject
Sapendo che la distanza internucleare di equilibrio \`e $1.27$~\AA, 
e che il cloro si presenta in natura come mistura di due isotopi
($75.5 \%$ di $~^{35}$Cl e $24.5 \%$ di $~^{37}$Cl), calcolare l'energia
rotazionale delle molecole H$^{~35}$Cl e H$^{~37}$Cl.}



\bs \item{d)} Sapendo che i dati forniti al punto b) si riferiscono
all'isotopo $~^{35}$Cl, calcolare l'energia vibrazionale della molecola
H$^{~37}$Cl.

\bs \item{e)} Determinare se lo sdoppiamento dei picchi di
assorbimento infrarosso che appare nella figura \`e un effetto
isotopico di natura vibrazionale o rotazionale.

\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XXIII}
\Bs\ni {\bf SPETTRO ROTAZIONALE DELLE MOLECOLE C$_{\bf 2}$H$_{\bf 2}$
E BF$_{\bf 3}$}
\Bs\ni La molecola $C_2H_2$ \`e lineare con i due atomi di carbonio
al centro e quelli di idrogeno alle estremit\`a:

\midfigura{5}{1}{fig-esXXIII.eps}{}
\vskip 0truecm

\ni
La distanza di equilibrio tra i due atomi di carbonio \`e $d(C-C) = 1.20$
\AA. Inoltre lo spettro di
rotazione della molecola mostra che la separazione in
energia tra stato fondamentale e primo stato rotazionale eccitato \`e
2.35 cm$^{-1}$.
\ss \item{a)} Supponendo che durante la rotazione la molecola sia
perfettamente lineare e
rigida, calcolare la distanza di equilibrio $d(C-H)$.
\ss \item{b)} Calcolare in $meV$ l'energia del primo stato rotazionale
eccitato della molecola $C_2HD$ dove un atomo di idrogeno \`e stato
sostituito con uno di deuterio.

\Bs\ni
La geometria di equilibrio della molecola di BF$_3$ \`e planare 
con l'atomo $~^{11}$B al centro di un triangolo equilatero
e gli atomi $~^{19}$F  disposti sui tre vertici.
\ss\ni All'equilibrio la distanza $d$(B--F) \`e 1.30 \AA.
\ss\ni Per studiare la rotazione della molecola usare l'approssimazione
di rotatore rigido.
\vskip 8true cm \vfill

\ss \item{a)} Determinare gli assi principali d'inerzia della molecola e
calcolare i momenti d'inerzia corrispondenti.

\ss \item{b)} Scrivere l'hamiltoniana di rotazione della molecola in
approssimazione di rotatore rigido.

\ss \item{c)} Determinare le costanti del moto di rotazione.

\ss \item{d)} Determinare (in $cm^{-1}$) i livelli d'energia di rotazione
della molecola.

\ss \item{e)} Determinare la degenerazione dei livelli ottenuti in (d).

\ss \item{f)} Determinare (in $cm^{-1}$) i livelli d'energia di rotazione
della molecola $~^{10}$B$~^{19}$F$_3$.  

\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XXIV}
\Bs\ni {\bf EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI - Principio di
Franck-Condon per molecole biatomiche}

\Bs\ni
Considerare il movimento di vibrazione di una molecola biatomica $AX$.
La variabile che descrive tale movimento \`e la distanza $x>0$ tra i due nuclei
e l'energia cinetica \`e quella di una particella di massa 
$\mu = M_A M_B/(M_A + M_B)$
uguale alla massa ridotta dei nuclei.

\ms\ni
Supporre che per $t<0$ gli elettroni della molecola siano nel loro stato
fondamentale. In questo caso, l'energia potenziale effettiva di interazione tra
i due nuclei \`e una funzione $U(x)$ che presenta un minimo per $x=x_e$
(distanza di equilibrio della molecola nello stato elettronico fondamentale).
Le piccole oscillazioni dei nuclei attorno alla posizione di equilibrio
$(x \approx x_e)$ possono essere descritte in approssimazione armonica

$$U(x) \approx \kappa (x-x_e)^2/2$$ 

\ni dove lo zero di energia \`e stato fissato al minimo
di energia potenziale dei nuclei.

\ms\ni
A $t=0$ la molecola \`e posta in un campo 
di radiazione elettromagnetica e viene ionizzata
nello ione molecolare $AX^+$ (oppure subisce una eccitazione elettronica allo
stato $AX^*$). In seguito a questo processo elettronico, l'energia potenziale
effettiva dei nuclei diviene $U'(x)$ che in approssimazione armonica si pu\`o
scrivere $U'(x) \approx E'+\kappa '(x-x'_e)^2/2$.

\midfigura{10.5}{3}{fig-esXXIV-1.ps}{}

\ni I tempi di ionizzazione (o di eccitazione elettronica) 
di una molecola sono in generale molto brevi 
$(\sim 10^{-18}~s)$. L'evoluzione temporale del movimento
dei nuclei prodotta dal processo elettronico pu\`o quindi essere
studiata in approssimazione impulsiva (principio di Franck-Condon).

\bs \item{a)} Scrivere
l'hamiltoniana $H(x, p_x, t; ~x_e, \kappa , E', x'_e, \kappa ')$ 
che controlla l'evoluzione
tem\-po\-ra\-le del movimento di vibrazione della molecola
usando l'approssimazione impulsiva e quella armonica.

\ss \item{b)} Mettere l'hamiltoniana ottenuta in (a) in forma
adimensionale fissando
l'o\-ri\-gi\-ne del\-l'as\-se $x$  alla distanza di equilibrio
della molecola in stato elettronico fondamentale ed u\-san\-do come unit\`a di
energia e di lunghezza rispettivamente 
$\hbar \omega = \hbar (\kappa /\mu)^{1/2}$ e 
$\lambda = [\hbar ^2/(\mu \kappa)]^{1/4}$ 
che sono l'energia e la lunghezza caratteristiche delle vibrazioni 
della molecola prima del processo elettronico ($t<0$). 
\item{  } Mostrare che la nuova espressione dell'hamiltoniana dipende solo
dai tre parametri $\epsilon = E'/(\hbar \omega)$,~~ 
$\delta = (x'_e-x_e)/\lambda$ ~~e~~ $\gamma = (\kappa '/\kappa)^{1/4}$.

\ss \item{c)} Determinare i livelli di energia vibrazionale della molecola ed i
corrispondenti autostati per $t<0$ e per $t>0$.
\item{  } {\it[ Vedere indicazione I]}

\ss \item{d)} Esprimere, in termini delle autofunzioni ottenute in
(c), la probabilit\`a di transizione
$P_{n,n'}(\delta ,\gamma)$ dallo stato vibrazionale $n$ per $t<0$ a quello
$n'$ per $t>0$.
\item{  } Mostrare che $P_{n, n'}$ non dipende dal parametro $\epsilon$.

\ss \item{e)} Calcolare la probabilit\`a di transizione $P_{0, 0}$ 
in funzione dei parametri $\delta$ e $\gamma$.
\item{  } {\it [Vedere indicazione II]}

\Bs\ni
Considerare il caso particolare di una molecola $AX$ per cui $x'_e=x_e$
e $\kappa '=\kappa$. 

\bs \item{f)} Mostrare che in questo caso si ha $P_{n, n'}=\delta _{n, n'}$ e
che quindi solo le transizioni con $n'=n$ sono permesse con probabilit\`a
uguale a 1.
\item{  } [Questo fatto si esprime dicendo che \`e valida la regola 
di selezione $\Delta n=0$]
\vfill
\midfigura{7}{3}{fig-esXXIV-2.ps}{}
\vskip -3 cm
\eject
\ni Considerare ora il caso di una molecola $AX$ tale che $x'_e=x_e$ ma 
$\kappa ' \neq \kappa$. 
\par\ni [La condizione $x'_e=x_e$ \`e approssimativamente
verificata in molecole quali GaI ed InI]

\bs \item{g)} Mostrare che la probabilit\`a
$P_{n, n'}$ \`e nulla per transizioni con $n$ ed $n'$ di diversa parit\`a.
\item{  } [In questo caso la regola di selezione \`e $\Delta n =$ pari]

\ss \item{h)} Calcolare la probabilit\`a di transizione $P_{0, 2m}$ in funzione
del parametro $\gamma$.
\item{  } Mostrare in particolare che $P_{0, 0} <1$.
\item{  } {\it [Vedere indicazione III]}

\ss \item{i)} Studiare l'andamento di $P_{0, 2m}$ in funzione di 
$m$ per $\gamma$ fissato e mostrare che \`e una funzione monotona 
descrescente di $m$.

\Bs\ni
Considerare ora il caso pi\`u generale di una molecola $AX$ con
$x'_e\neq x_e$.

\bs \item{j)} Mostrare che anche le transizioni con $n$ ed $n'$ di parit\`a
diversa sono ora possibili. 

\ss \item{k)} Considerare il caso $x'_e\approx x_e$ e calcolare 
la probabilit\`a di transizione $P_{0, n'}$ dallo stato
fondamentale di vibrazione al generico 
livello vibrazionale $n'$ all'ordine pi\`u basso in $\delta$. 
\item{  } {\it [Vedere l'indicazione IV]}

\ss \item{l)} Discutere qualitativamente l'andamento della probabilit\`a
$P_{0, n'}$ in funzione di $\delta$ per $n'$ e $\gamma$ fissati.

\ss \item{m)} Discutere qualitativamente l'andamento della probabilit\`a
$P_{0, n'}$ in funzione di $n'$ per $\delta$ e $\gamma$ fissati.

\vfill
\midfigura{7}{1.5}{fig-esXXIV-3.ps}{}
\vskip -3cm
\eject
\ni Considerare ora la molecola CO. La transizione elettronica dallo 
stato fondamentale al primo eccitato \`e caratterizzata dallo spettro
vibronico di assorbimento mostrato nella figura seguente (le coppie 
di interi indicano i numeri quantici $n'$-$n$).

\midfigura{15}{0}{fig-esXXIV-4.ps}{}
\vskip -5cm

\ss \item{n)} Sapendo che le energie delle transizioni 
$(n=0) \to( n'=0)$ e $(n=0) \to( n'=1)$ sono rispettivamente~
64703 $cm^{-1}$ ~e~ 66231.3 $cm^{-1}$ ~e che
le costanti di forza per i due stati elettronici sono~ 
0.93$\cdot 10^6$ $dyne/cm$ ~e~ 1.90$\cdot 10^6$ $dyne/cm$,~ 
dire quale delle due \`e $\kappa$ e quale $\kappa '$.

\ss \item{o)} Sapendo dall'esame della figura che la transizione pi\`u 
probabile \`e $(n=0) \to (n'=2)$, dare una stima di $x'_e-x_e$. 

\vf

\hsize=3.25truein 
\ni
{\it Indicazioni:} 
\bs \item{I.} Le autofunzioni dell'oscillatore armonico unidimensionale
di massa $\mu$, costante di forza $\kappa$ e centrato nell'origine sono:
$$\psi_n(x)= N_n~ H_n(x/\lambda)~ e^{-{1\over 2} (x/\lambda)^2}$$
\ni dove $\lambda = [\hbar^2/(\mu \kappa)]^{1/4}$, la costante 
di normalizzazione $N_n$ \`e 
$$N_n= ( \sqrt{\pi}~ 2^n~ n! ~\lambda)^{-{1\over 2}}$$
\ni e $H_n$ sono i polinomi di Hermite
$$\eqalign
{H_0(\xi) &=1\cr
H_1(\xi) &=2\xi\cr
H_2(\xi) &=4\xi^2-2\cr
H_3(\xi) &=8\xi^3-12\xi\cr}$$
che soddisfano la relazione di or\-to\-go\-na\-li\-t\`a:
$${\int_{-\infty}^{+\infty} H_{n'}(\xi)~H_n(\xi)~ 
e^{-\xi^2} d\xi = \sqrt{\pi}~ 2^n~ n! ~\delta_{n,n'} }.$$

\midfigura{-2}{8}{fig-esXXIV-5.ps}{}


\hsize=6.5truein


{\midinsert \vskip .5truecm 
\leftskip 3.5truein 
\ni Autofunzioni (curve tratteggiate) e densit\`a di 
probabilit\`a (curve continue) per l'oscillatore armonico.
\endinsert}

\item{II.} Usare l'integrale:

\ms
$$\displaystyle {\int_{-\infty}^{+\infty} 
e^{-\alpha ^2 \xi^2 + 2\beta\xi} ~d\xi = 
{\sqrt{\pi} \over {|\alpha |}} ~e^{\beta ^2 /\alpha^2}} ~.$$

\hsize=6.5truein 

\Bs\item{III.} Usare l'integrale:

\ms
$$\displaystyle {\int_{-\infty}^{+\infty} H_{2m}(\alpha \xi)~
e^{-\xi^2} ~d\xi = \sqrt{\pi}~ {(2m)!\over m!} ~(\alpha ^2-1)^m} .$$

\Bs\item{IV.} Fissare l'origine dell'asse $x$ in $x'_e$ (distanza di
equilibrio della molecola nello stato elettronico superiore).
\item{  } Usare poi l'integrale dato all'indicazione III ed i due
integrali seguenti:

\ms
$$\displaystyle {\int_{-\infty}^{+\infty} \xi~ H_{2m+1}(\alpha \xi)~
e^{-\xi^2} ~d\xi = \sqrt{\pi}~ {(2m+1)!\over m!}~\alpha ~(\alpha ^2-1)^m} ~,$$

\ms
$$\displaystyle {\int_{-\infty}^{+\infty} \xi ^2 ~H_{2m}(\alpha \xi)~
e^{-\xi^2} ~d\xi = \sqrt{\pi}~ {(2m)!\over m!}~
\left( {m\alpha^2\over \alpha^2-1} + {1\over 2}\right )~ (\alpha ^2-1)^m} ~.$$



%\par\ni{\bf Fig. 2:} Curve di energia potenziale con $a)$ $x'_e=x_e$ e con
%$b)$ $x'_e\neq x_e$. 
%\par\ni{\bf Fig. 3:} Schema di distribuzione di intensit\`a nelle 
%serie di bande di assorbimento secondo il principio di Franck-Condon per le
%curve di potenziale rappresentate in figura 1. 
%\par\ni{\bf Fig. 4:} Spettro di assorbimento della molecola CO.
%\par\ni{\it [Tutte le figure sono prese ed adattate da: G. Herzberg, 
%Molecular Spectra and Molecular Structure (I. Spectra of Diatomic 
%Molecules), Van Nostrand Reinhold Company]} 
\vfill\eject
%

\ni {\bf ESERCIZIO XXV}
\Bs\ni {\bf TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO --- Eccitazione
di un elettrone K dovuta alla disintegrazione radioattiva di un nucleo}
\Bs \ni Si consideri uno ione idrogenoide di numero atomico $Z$, 
inizialmente nel suo stato fondamentale. Si supponga che all'istante $t=0$ 
il nucleo si disintegri in due frammenti di carica $Z-\Delta Z$ e
$\Delta Z$ rispettivamente (nel caso del decadimento $\beta$, uno dei due 
``frammenti'' sar\`a un elettrone). Si supponga la massa del primo 
frammento molto maggiore di quella del secondo, si trascuri il rinculo 
del frammento pesante e si indichi con $v$ la 
velocit\`a relativa dei due frammenti.
\ss
\ss\item{a)} Si consideri il caso particolare del decadimento $\beta$ del 
trizio: $$^3{\rm H} \longrightarrow ~^3{\rm He}^+ ~ + ~ {\rm e}^- ~ + 
~\bar{\nu}_e$$
\ss\item{} in cui l'energia massima dell'elettrone emesso \`e circa 18 KeV.
Discutere l'applicabilit\`a della approssimazione \underbar{impulsiva}
 e calcolare la 
probabilit\`a che lo ione He$^+$ risultato dalla reazione si trovi negli 
stati $1s$, $2s$ o $2p$.

\ss\item{b)} Considerare ora il caso generale e determinare,
usando la \underbar{teoria delle perturbazioni} dipendenti dal tempo, 
 la probabilit\`a di trovare al tempo $T$
dopo la disintegrazione lo ione negli stati $1s$, $2s$ o $2p$,
in funzione di $v$ e supponendo $|\Delta Z|\ll Z$.

\ss\item{c)} Mostrare che per alte velocit\`a ($v\to \infty$)
la probabilit\`a di trovare lo ione nello stato $2s$ tende ad un 
limite finito e quella relativa allo stato $2p$ tende a zero.

\ss\item{d)} Mostrare che per piccole velocit\`a ($v\to 0$)
la probabilit\`a di 
trovare lo ione negli stati $2s$ e $2p$ tende a zero.

\ss\item{e)} Servendosi della approssimazione \underbar{impulsiva},
generalizzare i risultati ottenuti in c) al generico  stato eccitato di 
numeri quantici $n, \ell, m$.

\ss\item{f)} Servendosi della approssimazione \underbar{adiabatica},
generalizzare i risultati ottenuti in d) a grandi tempi $T$ e per il
generico  stato eccitato di numeri quantici $n, \ell, m$.


\bs {\it Indicazioni:}

\ss\item{I.} Le funzioni d'onda $1s$, $2s$, $2p$ dello ione idrogenoide
di numero atomico $Z$ in unit\`a atomiche sono:
$$
\Psi_{n\ell m}({\bf r}) = Y_{\ell m}({\hat{\bf r}})  ~R_{n\ell}(r)$$
\ss dove
$$\eqalign{
R_{10} &= 2\left (Z\right )^{3/2}  e^{- Zr}\cr
R_{20} &= \left ({Z\over 2}\right )^{3/2}
~\left (2-Zr\right )~ {e}^{- Zr/2}\cr
R_{21} &= \left ({Z\over  2}\right )^{3/2}
~{Zr\over \sqrt{3}} ~{e}^{- Zr/2 }\cr}$$


\ss\item{II.} Utilizzare per $\displaystyle{1\over r_{12}}$, con
$\vec{r}_{12}=\vec{r}+\vec{R}$, lo sviluppo sulle armoniche sferiche:
$${1\over r_{12} }= 4\pi 
\sum_\ell\sum_m {1\over 2\ell+1} {r^\ell_< \over r^{\ell+1}_>}
Y_{\ell,m}^\ast(\hat{r}) Y_{\ell,m}(\hat{R})$$
\ni dove $r_<=min(r,R)$, $r_>=max(r,R)$.

\ss\item{III.} Sono utili i seguenti integrali:
$$\eqalign{
\int  e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ {1\over a} \right ] \cr
\int x e^{ax} dx &= e^{ax} \left [ {x\over a} - {1\over a^2} \right ] \cr
\int x^2 e^{ax} dx &= e^{ax} \left [
{x^2\over a} - {2x\over a^2} + {2\over a^3}\right ] \cr
\int x^3 e^{ax} dx &= e^{ax} \left [
{x^3\over a} - {3x^2\over a^2} + {6x\over a^3} - {6\over a^4}\right ] \cr
\int x^n e^{ax} dx &= {x^n e^{ax}\over a} -
{n\over a} \int x^{n-1} e^{ax} dx ~~~~~~~~~~~~ [n> 0] \cr
\int x^n e^{ax} dx &= e^{ax}
\displaystyle{\sum_{k=0}^n }(-1)^k {n!\over a^{k+1}(n-k)!}
x^{(n-k)} ~~~~~~~~~~~~ [n\geq 0]. }$$
ed inoltre:
$$\int_0^\infty x^n e^{-ax} dx = {n!\over a^{n+1}}
\eqno{[n\geq 0]}.$$

\vfill\eject

\ni {\bf ESERCIZIO XXVI}
\Bs\ni {\bf EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI - Atomo di 
idrogeno in campo magnetico variabile}

\Bs \ni Considerare un atomo di idrogeno nel suo stato fondamentale 
orbitale  ($n=1,\ell=m=0$). Considerare lo spin dell'elettrone ed il suo 
accoppiamento con un campo magnetico esterno variabile nel tempo:
$$B(t)=B_0+B_1(t)$$
\ni dove $B_0$ \`e costante ed \`e diretto lungo l'asse $z$ positivo mentre 
$B_1$ \`e nullo per $t$ negativo ed \`e diverso da zero e diretto lungo 
l'asse $x$ positivo per $t$ positivo.
\ss\item{a)} Scrivere l'hamiltoniana del sistema.
\ss\item{b)} Determinare lo stato fondamentale del sistema ed il primo 
stato eccitato per $t$ negativo.
\bs\ni Considerare il caso $B_1(t)=b\cdot (1-\exp{(-at)})$ e supporre 
che a $t$ negativo l'atomo sia in stato fondamentale. 
\ss\item{c)} Descrivere l'evoluzione temporale dell'atomo nel caso di $a$ 
molto piccolo ed usando l'approssimazione adiabatica.
\ss\item{c)} Descrivere l'evoluzione temporale dell'atomo nel caso di $a$ 
molto grande ed usando l'approssimazione impulsiva.


\vfill\eject

\ni {\bf ESERCIZIO XXVII}
\Bs\ni {\bf TEORIA DELLE PERTURBAZIONI DIPENDENTI DAL TEMPO --- Eccitazione
coulombiana di un atomo}
\Bs \ni Considerare il moto di una particella classica di carica $+Z|e|$, 
in\-ci\-dente su un atomo i\-ni\-zialmente $(t=-\infty )$ nel suo stato 
fondamentale ($|0\rangle$). Si supponga che il parametro d'urto $b$ sia 
maggiore delle dimensioni atomiche e che la particella non sia deflessa 
dall'atomo.
\vfill
\midfigura{8}{4}{fig-esXXVII-1.ps}{}
\vskip -3truecm
\ss\item{a)} Considerando l'interazione fra la particella incidente e gli 
elettroni dell'atomo come una perturbazione $V$, scrivere, al prim'ordine 
in $V$, l'espressione generale della pro\-ba\-bi\-li\-t\`a che dopo l'urto 
$(t=+\infty )$ l'atomo si trovi in uno dei suoi stati eccitati 
($|\nu\rangle$)
[{\it vedi indicazione I}].


\ss\item{b)} Si supponga che la particella attraversi un solido costituito 
da N atomi per unit\`a di volume. Servendosi del risultato ottenuto in a), 
scrivere l'espressione dell'energia persa dalla particella per unit\`a di 
lunghezza del solido attraversato
[{\it vedi indicazione II} ].


\ss\item{c)} Si consideri ora l'atomo di idrogeno. Servendosi dei risultati 
ottenuti in a), calcolare esplicitamente la probabilit\`a che dopo l'urto 
l'atomo si trovi negli stati $2S$, $2P_0$, $2P_{+1}$ o $2P_{-1}$.
Generalizzare il risultato a stati eccitati di momento angolare qualunque 
[{\it vedi indicazioni III, IV} ].

\ss\item{d)} Discutere il risultato ottenuto in b) nel caso particolare
dell'atomo di idrogeno.

\bs\bs
{\it Indicazioni:}



\ss\item{I.} 
Gli integrali che compaiono nell'espressione della probabilit\`a di transizione
si possono determinare usando la rappresentazione integrale 
delle funzioni modificate di Bessel $K_n$ [cfr. per esempio
{\it Handbook of Mathematical Functions}, edito da M. Abramowitz e I.A. 
Stegun, Dover, New York]. In particolare si ha:
\eject
$$\int_{-\infty}^{+\infty} {{e}^{i\omega t}\over (1+t^2)^{3/2}} dt 
=2\omega K_1(\omega)$$
$$i\int_{-\infty}^{+\infty} {t{e}^{i\omega t}\over (1+t^2)^{3/2}} dt 
= 2 {d\over d\omega}[\omega K_1(\omega)] =-2\omega K_0(\omega)$$
\ss Le funzioni modificate di Bessel soddisfano 
le seguenti propriet\`a:
$$K_{n-1}(x) - K_{n+1}(x) = -{2n\over x} K_n(x)$$
$$K^\prime _n(x) = -K_{n-1}(x) - {n\over x} K_n(x)$$
\ss da cui ad esempio si ricava:
$$K^\prime _0(x) = -K_{1}(x)$$ 
\ss Per piccoli $x$ valgono i seguenti andamenti asintotici:
$$K_0(x) \sim - \ln{x}$$
$$K_n(x) \sim {(n-1)!\over 2} \left( {1\over 2}x\right )^{-n}~~~~~~~[n>0]$$
\ss e per grandi $x$:
$$K_n(x) \sim \sqrt{\displaystyle{\pi\over 2x}}~ e^{-x}.$$
\ss La figura seguente mostra un grafico di $K_n(x)$ per 
$n=0,1$.

\midfigura{9}{3}{fig-esXXVII-2.ps}{}
\vskip -4truecm

\item{II.} Si divida idealmente il cristallo in porzioni di spessore 
$\Delta x$ perpendicolarmente alla direzione di moto della particella 
incidente. Per ognuna di queste porzioni si con\-si\-de\-ri\-no 
gli atomi per cui 
il parametro d'urto \`e compreso fra $b$ e $b+\Delta b$. L'energia ceduta 
in media dalla particella al cristallo si otterr\`a, per ogni valore di 
$b$, sommando i contributi di tutti gli atomi e, per ciascuno di questi, 
i contributi di tutte le transizioni possibili.


\ss\item{III.} Le funzioni d'onda dei primi stati dell'atomo di idrogeno 
sono:
$$
\Psi_{n\ell m}({\bf r}) = Y_{\ell m}({\hat{\bf r}})  ~R_{n\ell}(r)$$
\ss dove
$$\eqalign{
R_{10} &= \left ({1\over  a_0}\right )^{3/2} ~2~ {\rm e}^{- r/a_0}\cr
R_{20} &= \left ({1\over  2a_0}\right )^{3/2} 
~\left (2-{r\over  a_0}\right )~ {\rm e}^{- r/2 a_0}\cr
R_{21} &= \left ({1\over  2a_0}\right )^{3/2} 
~{r\over  a_0\sqrt{3}} ~{\rm e}^{- r/2 a_0}\cr
~ \cr
Y_{00} &= {1\over \sqrt{4\pi}} \cr
Y_{10} &= \sqrt{3\over 4\pi} ~ {z\over r}\cr
Y_{1,\pm 1} &= \mp \sqrt{3\over 8\pi} ~ {x\pm i y\over r}\cr}$$

\ss\item{IV.} Utilizzare la formula di Neuman:
$$ {1\over r_{12} }= 4\pi
\sum_{\ell =0}^\infty ~ \sum_{m=-\ell }^\ell
~ {1\over 2\ell +1} ~ {r_{_<}^\ell \over r_{_>}^{\ell +1} }
~ Y^\ast_{\ell m}({\hat{\bf r}}_1) ~ Y_{\ell m}({\hat{\bf r}}_2)$$
\ss dove 
$$r_{_<}=min(r_1,r_2); ~~~r_{_>}=max(r_1,r_2). $$


\vf

\ni {\bf ESERCIZIO XXVIII}
\Bs\ni {\bf EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI --- 
Transizioni in un sistema a tre livelli}
\Bs\ni Considerare un sistema a tre livelli: $|\phi_1\rangle$,
$|\phi_2\rangle$, e $|\phi_3\rangle$, di energie $E_1$, $E_2$, e $E_3$, 
con $E_3>E_2>E_1$ e $\hbar \omega_{32}= E_3-E_2\ll
E_2-E_1$. Il sistema ha un'interazione con variazione 
sinusoidale nel tempo, con una frequenza $\omega$. 
Se gli stati
$|\phi_2\rangle$ e $|\phi_3\rangle$ hanno uguale parit\`a, e opposta
a $|\phi_1\rangle$,  l'interazione pu\`o mescolare 
$|\phi_2\rangle$ e
$|\phi_3\rangle$ con $|\phi_1\rangle$. Si supponga che
la matrice che descrive l'hamiltoniana con l'interazione sia:
$$\pmatrix {
E_1 & 0 & 0 \cr
0 & E_2  & \epsilon_1 \sin{\omega t}  \cr
0 & \epsilon_1 \sin{\omega t}  & E_3 \cr}$$
\ni  dove $\epsilon_1$ \`e una costante legata alla forza dell'interazione.

\ss \item{a)} Posto:
$$|\psi (t)\rangle = \sum_{i=1}^3 b_i(t) e^{-iE_it/\hbar}|\phi_i\rangle ,$$
\ni scrivere  le equazioni differenziali per i coefficienti $b_i(t)$.

\ss \item{b)} Assumendo che $\omega\approx\omega_{32}$, usare 
l'approssimazione secolare (cio\`e, tener conto solo dei termini che variano
lentamente nel tempo, e quindi proporzionali a $\exp{\{\pm \imath 
(\omega-\omega_{32})\} }$)
per integrare le suddette equazioni con le 
condizioni iniziali: 
$$b_1(0)=1~~~~~~~~~~~~~b_2(0)=b_3(0)=0 $$ 
\ss \item{c)} Usando l'approssimazione secolare 
analogamente al punto b), integrare le equazioni nel caso:
$$b_1(0)=b_3(0)=0 ~~~~~~~~~~~~~b_2(0)=1$$ 
\ss \item{d)} Confrontare il risultato ottenuto in c) con i risultati che 
si otterrebbero con la teoria delle perturbazioni, nell'ipotesi di
interazione debole.
\ss \item{e)} Usando l'approssimazione secolare 
analogamente al punto b), integrare le equazioni nel
caso di
$$b_1(0)=b_2(0)={1\over \sqrt{2}} ~~~~~~~~~~~~~b_3(0)=0$$ 
\ni {\it [indicazione: usare le soluzioni ottenute in b) e c).]}
\ss \item{f)}  L'operatore di dipolo $D_z=qz$ in questo sistema a tre 
livelli ha la seguente forma:
$$\pmatrix {
0 & d & 0\cr
d & 0 & 0\cr
0 & 0 & 0\cr}$$
dove $d$ \`e una costante reale. Calcolare 
$\langle D_z\rangle (t) = \langle \psi (t)|D_z|\psi (t)\rangle$, usando 
la funzione d'onda $|\psi (t)\rangle$ calcolata al punto e).
Mostrare che, se $\epsilon_1\ne 0$, 
$\langle D_z\rangle (t)$ \`e dato dalla
sovrapposizione di  due termini sinusoidali, le cui frequenze e relativi 
coefficienti danno posizione e intensit\`a delle linee dello spettro 
di assorbimento.

\ss \item{g)}  Mostrare che la presenza dell'interazione sinusoidale
con frequenza $\omega =\omega_{32}$ 
causa lo sdoppiamento (effetto Autler-Townes)
della linea di assorbimento a frequenza $\omega_{21}$
(l'unica presente se $\epsilon_1=0$), e che la separazione delle due componenti 
del doppietto \`e proprio $\epsilon_1$.

\ss \item{h)}  Descrivere le modificazioni dello spettro se ci si 
allontana dalle condizioni di risonanza 
($\epsilon_1$ fissato e $\ne$0, e $\omega$ variabile e $ \ne \omega_{32}$). 


\vfill\eject

\ni {\bf ESERCIZIO XXIX}
\Bs\ni {\bf EVOLUZIONE TEMPORALE DI SISTEMI QUANTISTICI --- Tempo di vita 
medio dello stato 2p di sistemi idrogenoidi}
\Bs\ni La probabilit\`a per unit\`a di tempo che un sistema ad un elettrone 
decada spontaneamente dallo stato $f$ allo stato $i$ \`e data, in 
approssimazione di dipolo, da:
$$W^{(s)}_{f,i}= {4\alpha\over 3\hbar^3 c^2} (E_f-E_i)^3
\left|\langle f |{\bf r}|i \rangle \right|^2$$
\ni dove $\alpha=e^2/(\hbar c)$ ed $E_n$ \`e l'energia dell'$n$-simo
stato stazionario.

\ss\item{a)} Indicare quali sono i possibili processi di decadimento 
spontaneo per un atomo di idrogeno che si trova nello stato $p$.

\ss\item{b)} Supporre che a $t=0$ un atomo di idrogeno sia stato eccitato 
nello stato $2p$. Usando il risultato  (a), esprimere in funzione delle 
$W^{(s)}_{2p,i}$ la probabilit\`a che al tempo $t$ l'atomo sia ancora nello 
stato eccitato. (Supporre $t$ sufficientemente piccolo).

\ss\item{c)} Un trattamento pi\`u preciso mostra che la probabilit\`a che
l'atomo resti nello stato $2p$ \`e data da $e^{-t/\tau_{2p}}$, dove 
$\tau_{2p}$ \`e il tempo di vita medio dello stato. Esprimere $\tau_{2p}$ 
in funzione delle $W^{(s)}_{2p,i}$.

\ss\item{d)} Sapendo che per l'atomo di idrogeno $\tau_{2p}({\rm H})=0.16 \cdot 
10^{-8}~s$, calcolare il tempo di vita medio $\tau_{2p}({\rm He}^+)$ 
dello stato $2p$ dello ione  He$^+$.

\ss\item{e)} Calcolare il tempo di vita medio per decadimento spontaneo  dello
stato $2p$ di un atomo di idrogeno muonico (atomo di idrogeno dove 
l'elettrone \`e stato sostituito con un mesone $\mu^-$ che ha la stessa carica
dell'elettrone e massa 207 volte pi\`u grande). 


\vfill\eject


\ni {\bf ESERCIZIO XXX}
\Bs\ni {\bf REGOLE DI SELEZIONE --- Transizioni ottiche di un atomo in 
campo ma\-gne\-ti\-co}
\Bs\ni L'atomo di litio ha numero atomico $Z=3$. La configurazione 
elettronica del suo stato fondamentale \`e $1s^2 2s^1$. Si riporta qui 
sotto la successione dei primi livelli eccitati [energie in cm$^{-1}$].

\midfigura{14}{0.5}{fig-esXXX.ps}{}

\vskip -5truecm

\item{a)} Scrivere l'hamiltoniana del litio in presenza di un campo 
magnetico costante diretto lungo l'asse $z$ trascurando l'interazione 
spin--orbita.

\ss\item{b)} Mostrare che la linea di assorbimento corrispondente alla 
transizione $2s\rightarrow 2p$ \`e scissa in tre componenti dalla presenza 
del campo magnetico.

\ss\item{c)} Per ciascuna delle righe esaminate al punto b) stabilire le 
regole di selezione per assorbimento in funzione della polarizzazione della 
luce incidente.

\ss\item{d)} Mostrare che, se la luce incidente si propaga in direzione 
parallela al campo magnetico, sono visibili al massimo due righe. Per 
quale/i polarizzazione/i della luce incidente il numero di righe visibili 
si riduce ulteriormente ad 1?

\ss\item{e)} Si supponga che la luce incidente si propaghi 
perpendicolarmente al campo magnetico. Stabilire per quale valore della 
polarizzazione \`e osservabile {\it solo} la riga non visibile nella 
situazione precedente. Mostrare che, per polarizzazioni differenti da 
quella appena considerata, tutte e tre le righe sono visibili.

\ss\ni A seguito di una transizione $2s\rightarrow 2p$ si vuole osservare 
la luce emessa spontaneamente nella transizione $4p\rightarrow 3d$. 

\ss\item{f)} Studiare le modificazioni introdotte dal campo magnetico sulla 
riga di emissione.

\ss\ni Supponendo di osservare la luce emessa nella direzione {\^{\bf n}},
l'intensit\`a della radiazione che giunge all'osservatore in uno stato di 
polarizzazione {\^{\bf e}} (con $\hat{\bf e}\cdot\hat{\bf n}$=0) \`e data da:
$$I({\hat{\bf e}})\propto \left | \langle f | {\bf D}\cdot {\hat{\bf e}}^\ast
|i\rangle \right |^2 $$
\ss\ni dove {\bf D} \`e l'operatore di dipolo elettrico dell'atomo, ed
$|i\rangle $  e $|f\rangle $ sono gli stati iniziale e finale della 
transizione. Lo stato di polarizzazione della luce emessa \`e quello per 
cui $I$({\^{\bf e}}) risulta massimo.

\ss\item{g)} Ponendo ${\bf d}_{if}=\langle i|{\bf D}|f\rangle $, scrivere 
l'espressione del versore di polarizzazione della luce emessa in direzione
{\^{\bf n}}.

\ss\item{h)} Per ciascuna delle righe esaminate al punto f), indicare lo 
stato di polarizzazione della luce emessa in direzione parallela e 
perpendicolare al campo magnetico.

\bye

