ARGOMENTI POSSIBILI DI TESI DI DOTTORATO. 1) GEOMETRIA ED INTERPLAY TRA MECCANICA CLASSICA (CM) e MECCANICA QUANTISTICA (QM) Si e' provato recentemente [1] che la meccanica classica e quella quantistica sono legate tra loro da una sorta di riduzione dimensionale. La riduzione dimensionale ha luogo tra una estensione tridimensionale del tempo (per la meccanica classica) e il tempo unidimensionale solito per la meccanica quantistica. Questa riduzione dimensionale non e' altro che la controparte piu' moderna di una nota tecnica di quantizzazione che va sotto di "Geometric Quantization". I problemi da capire in questa riduzione dimensionale sono ancora parecchi. In particolare elenchiamo i seguenti: a) I partners del tempo, che lo rendono tridimensionale in meccanica classica, sono di natura anticommutante (o Grassmanniani). Una ricerca non ancora conclusa ci dice che possono essere identificati con la radice quadrata degli infinitesi di tempo. Questa idea necessita comunque di ulteriori indagini. Mandare a zero questi partner non-commutanti nella riduzione dimensionale per passare alla meccanica quantistica significa "forse" (anche questo e' da indagare meglio) mandare ad infinito le relative frequenze. Questo fatto sembra suggerire che e' nel regime di alte frequenze che la meccanica quantistica sembra giocare il suo ruolo ed infatti fu cosi, via il problema del corpo nero, che la meccanica quantistica venne scoperta. b) Recentemente abbiamo provato [2] che usando questa formulazione con una estensione del tempo e introducendo una metrica in questo tempo esteso (super-metrica) e' possibile far vedere come la CM sia derivabile da una teoria piu' generale di cui lei' e' un caso particolare con una ben specifica metrica di Background. Stesso processo si puo' fare per la meccanica quantistica solo che la metrica di backgrounnd e' diversa da quella della meccanica classica. Quindi meccanica classica e meccanica quantistica sono derivabili dalla stessa teoria ma con metriche di background diverse. Vari problemi rimangono aperti. Ad esempio come si passa tra le due diverse metriche di background, e' qualcosa tipo un istantone "gravitazione"?; Quale e' l'analogo delle equazioni di Einstein per queste metriche? etc etc. c) Come si e' spiegato nella referenza [1] della problema a) sopra, si puo' passare dalla meccanica quantistica alla meccanica classica sostituendo le variabili di spazio delle fasi con sue estensioni delle supercampi. In questa tesi vorremmo capire se questi supercampi hanno un significato fisico. E' fisicamente sensato dire che, partendo dalla meccanica quantistica, e facendo sulla misura nello spazio delle fasi una procedura di block-spin, dovremmo passare alla meccanica classica quando questi block-spin hanno una dimensione molto superiore alla costante di Planck. Potrebbe percio' essere che i supercampi sopra non siano altro che delle variabili di block-spin o "rinormalizzate" dei punti di spazio delle fasi. Siccome nel passaggio da QM a CM sono solo i "campi" che cambiano, si dovra' costruire in una ipotetica equazione di Callan-Symanzik solo la gamma function relativa. Guardando poi agli zeri di questa funzione si potra' vedere se lo zero stabile infrarosso coincide con la CM e quello stabile ultravioletto con la QM. Se il primo caso non si verificasse vorrebbe dire che la CM non e' la teoria giusta a grandi distanze. Questo sembra proprio essere il caso e per ovviare a questo i fisici hanno introdotto la "materia oscura" la "energia oscura" e immagino presto altre cose oscure. Piu' dettagli su queste idee sono state presentate in [3] l [1] A.A.Abrikosov (jr), E.Gozzi, D.Mauro: Ann. of Phys. 317 (2005) 24. arXiv quant-ph-040628 [2] E.Gozzi, Found. of Phys. 40, (2010) 795-806 [3] Seminario MIT, Settembre 2009; Seminario a Sesto di Val Pusteria, Agosto 2010; Seminari al dipt. di fisica Univ. di Trieste, Maggio 2011; =========================================================== 2) SUPERSIMMETRIA UNIVERSALE IN TEORIE DI CAMPO: E' stato provato alcuni anni orsono [1] che ogni sistema meccanico classico presenta una supersimmetria universale una volta che venga formulato in modo coordinate-free via il concetto di Lie-Derivative del flusso Hamiltoniano. Questa N=2 supersymmetry era stata scoperta gia' da Cartan e la corrispondente carica fu chiamata allora Equivariant Exterior derivative. La supersimmetria purtroppo e' pero' di carattere non relativistico. Si penso' di renderla relativistica usando sistemi relativistici quali le teorie di campo e cio' fu fatto da due miei studenti [2]. Purtroppo pero' gli aspetti relativistici non emersero. La ragione risiede nel fatto che la formulazione che si e' usata privilegia il tempo e l'Hamiltoniana e quindi e' intrinsecamente non-relativistica. Un approccio che vorrei esplorare in una possibile tesi di dottorato e' di passare dalla formulazione Hamiltoniana alla formulazione di De Donder-Weil che mette lo spazio e il tempo sullo stesso piano anche a livello di Lie-derivative. Mi sento abbastanza certo di dire che la supersimmetria che emergera' sara' relativistica. Questo sarebbe un risultato molto interessante perche' indicherebbe che esiste una supersimmetria universale per ogni sistema e che e' di natura intrinsecamente geometrica come insegno' Cartan. Pensiamo che la ragione della presenza di questa susy universale sia legata alla formulazione `coordinate-free` usata. In questo caso le `coordinate` sono i campi e quindi avremmo una sorta di formulazione `field-independent`. Si trattera` di esplorare cosa significhi questa `field-independence` e quanta di questa indipendenza si possa avere. Non ci deve sorprendere questa field-independence in quanto dopotutto niente delle forze nel mondo fisico deve dipendere da come parametrizziamo i campi. Potrebbe essere questo il principio fisico che si nasconde dietro la supersimmetria. Il fatto che non ci siano segnali ad LHC della usuale supersimmetria potrebbe indicare che sono di altro tipo le supersimmetrie, che e' comunque una simmetria troppo bella per non essere realizzata in natura. =======================================================================