\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Teoria delle Stringhe\\
        A.A. 2009-10}
\maketitle
\begin{center}
	 \textbf{ Introduzione e discussione generale}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 29-09-09:\\ Presentazione del corso: 
	motivazioni ed obiettivi; contenuti. Testi di
	riferimento e materiale bibliografico on-line. 
	\item 29-09-09:\\
	``Contro-disinformazione'':
	Cosa NON \`e la
	Teoria delle Stringhe. Preconcetti ed idee sbagliate.
	Ignoranza e malafede.
	\\
	\item 30-10-09 :\\
	Perch\`e studiare la Teoria della Teoria delle Stringhe. 
	``Particelle elementari'' come \textit{modi vibrazionali} della
	stringa.``Unificazione'' in Teorie di Stringa. QFTs come
	``teorie efficaci'' a bassa energia.
	\item 30-10-09:\\
	\textit{ \green  Coordinate}
	della stringa; \textit{ \green Superficie d' universo.}; bi-vettore tangente;
	 l' {\red Azione di Nambu-Goto}: significato geometrico.
	\item 01-10-09:\\
	Limite non-relativistico dell'azione di Nambu-Goto.\\
	\textit{ \cyan Metrica Indotta} , e metrica della stringa.
	Azione di Nambu-Goto in termini della metrica indotta. Invarianza
	per ri-parametrizzazioni.
	\item 01-10-09:\\
	L' azione di Polyakov:
	invarianza di Lorentz come ``simmetria interna''. Equazioni di campo ed equazioni di
	Vincolo. Soluzione della metrica di stringa in termini della metrica indotta.
	Equivalenza classica tra l'azione di Polyakov e l'azione di Nambu-Goto.
	\item 06-10-09:\\
	 Gauge conforme.  Equazioni di vincolo, e variabili
	dinamiche indipendenti.Incompatibilit\`a tra Invarianza di Lorentz e 
	quantizzazione:
	il concetto di ``dimensione critica'' dello spaziotempo.
	\item 06-10-09:\\
	Estensione supersimmetrica dell'azione di Polyakov nella gauge
	conforme. Componenti Chirali. Left/right-movers. 
	\item 07-10-09:\\
	Condizioni ai bordi per le coordinate fermioniche.
	``Settori'' di Ramond e di Nevau-Schwarz. Caratteristiche
	generali di un modello di stringa super-simmetrica.
	\item 07-10-09:\\
	I 5 modelli consistenti di super-stringa:
	\begin{itemize}
	\item Tipo $\mathbf{I}$
	\item Tipo $\mathbf{IIA}$
	\item Tipo $\mathbf{IIB}$
	\item Eterotica $SO(32)$
	\item Eterotica $E_8\otimes E_8$
	\end{itemize}
	\item 09-10-09: 
	\textit{\red vuoti di Calabi-Yau} ed aspetti fenomenologici
	della stringa Eterotica  $E_8\otimes E_8$.\\
	$T$-dualit\`a ed $S$-dualit\`a. Super-stringhe in regime
	non-perturbativo.
	``Fatti e congetture'' sulla $\mathbf{\blue M}$-Theory. 
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{ L' ``alba'' della Teoria delle Stringhe}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 09-10-09: aspetti fenomenologici delle Interazioni Forti,
	negli anni `60. Risonanze Adroniche e traiettorie di Regge.\\
	La ``Matrice-$S$''. 
	\item 13-10-09:\\
	Simmetrie della Matrice-$S$: invarianza di Poincar\`e;
	Unitarieta\`a; Analiticit\`a.
	\item 13-10-09:\\
	Analiticit\`a e Macro-Causalit\`a. Simmetria di Crossing. Ipotesi di
	``Bootstrap''.
	\item 14-10-09:\\
	Limite di Regge dell'ampiezza di scattering in onde parziali.\\
	\textbf{ES.}Ricavare la traiettoria di Regge (classica) per una sbarra 
	rigida, omogenea, rotante attorno al suo centro di massa. Si assuma che
	le estremita` della sbarra si muovano alla velocit\`a della luce.
	\item 14-10-09:\\
	\\
	\textbf{ES.} Determinare le traiettorie di Regge per un oscillatore armonico
	quantistico, non-relativistico, in $3D$. Identificare la
	``tensione'' e l' ``intercetta''. Discutere la natura quantistica di
	$\alpha_0$.\\
	\textbf{ES.} Sulla base degli esercizi precedenti,  ``indovinare''
	la possibile forma dello spettro di una stringa, modelizzandola
	come una famiglia discreta di oscillatori armonici relativistici.
	Definire l' energia di punto-zero regolarizzata. 
	\item 15-10-09:\\
	\textbf{ES.}
	Analizzare il contenuto del ground-state e del primo livello
	eccitato.\\
	Ripetere l' esercizio nel caso di una stringa bosonica chiusa.
	\item 15-10-09:\\
	\textbf{ES.} Ampiezze di scattering
	pione-pione in QFT: modello-$\sigma$ lineare.
	Approssimazione di Born: andamento a $t$ fisso
	e ``grande''~$s$;  dipendenza dallo spin
	del campo $\sigma$. Ampiezza ad $1$-loop e divergenze $UV$.
	Modelli rinormalizzabili e non-rinormalizzabili. 
	\item 20-10-09:\\
	Dualit\`a  tra reazioni nel canale-$s$ e nel canale $t$.
	\textit{Ampiezza di Veneziano} 
	per lo scattering $\pi+\pi\longrightarrow
	\pi+\omega$. ``\textbf{\green Traiettorie di Regge}''.
	Propriet\`a di analiticit\`a: rappresentazione in serie di poli.
	Spettro di massa di un traiettorie di Regge.
	\item 20-10-09:\\
	\textbf{ES.} Ampiezza di Veneziano:\\
	\begin{itemize}
	\item Limite $\alpha^\prime\to 0$
	\item Limite di Regge, i.e.
	a momento trasferito fisso ed alta energia;\\
	\item Limite di 
	\textbf{hard-scattering}, e la fine dei Modelli Duali.
	\end{itemize}
	\end{enumerate}
	
	
	
	\begin{center}
	 \textbf{ Teorie di Kaluza-Klein: alla scoperta delle
	  ``dimensioni nascoste''  dello spazio}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 21-10-09:\\
	La metrica in $5D$: l' ipotesi ``cilindrica'' di Kaluza:
	 $\partial_5 \hat g_{MN}=0$. 
	 Trasformazioni di coordinate ``adattate'', 
	 $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.\\
	\item 21-10-09:\\
	\textbf{ES}   Dimostrare che:\\
	 i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;\\
	 ii)  $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$  si trasfoma 
	 come un \textbf{ \green campo di gauge abeliano} con 
	 $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$  funzione di gauge.\\
	 iii) $\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat
	 g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$.\\
	decomposizione della metrica in $5D$ in termini di campi in $4D$.\\
	iv) Esprimere la metrica controvariante $g^{MN}$ in termini 
	di $g_{\mu\nu}$,$A_\mu$ e $\phi$.\\
	v)Calcolare $Det\left(\,g_{MN}\,\right) $.
	\item 22-10-09:\\
	``Riduzione Dimensionale'' dell' Azione di Einstein-Hilbert
	in $5D$. Ipotesi di Klein: la quinta dimensione ``compatta''.
	La relazione tra $G_{(5)} $ e $G_N$.\\
	\textbf{ES} Studiare i ``settori di vuoto'' della teoria
	ridotta dimensionalmente: nel settore di Einstein-Maxwell, 
	$<\phi>=1$, stimare il valore di $l_K$
	
	\item 22-10-09:\\
	 \textbf{ES} Settore \textbf{\red Dilatonico-Elettromagnetico}:
	$\mathbf{ g^{(4)}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}$. Il 
	\textbf{\blue Dilatone} come Bosone di Goldstone delle
	Dilatazioni.\\
	Soluzioni statiche, a simmetria sferica,
	  dell' equazioni di campo classiche per $A_\mu$ e
	$\sigma$ con diverse condizioni ai bordi:\\
	la \textbf{\blue Fase di Coulomb}, e la \textbf{\red Fase di
	Confinamento}. \\
	Potenziale lineare e Confinamento ddlle cariche.
	\item 27-10-09:\\
	$P_5$ come costante del moto. Unificazione di Energia, Momento
	e Carica Elettrica. Conservazione della carica ed
	accoppiamento minimale.\\
	\item 27-10-09:\\
	  \textbf{ES}  Riduzione dimensionale dell' equazione di campo
	$\Delta_{(5)}\Phi\left(\, x^5\, x^\mu \,\right)$  in
	 $\mathcal{M}^{(5)}\equiv R^{(4)}\times S^{(1)}$. Condizione
	di periodicit\`a in $x^5$ e sviluppo in serie di Fourier.
	\textbf{\cyan Modo-zero} e \textbf{\blue modi-KK}.
	\\ 
	Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$
	e le masse degli stati (eccitati) di Kaluza-Klein.
	\item 28-10-09:
	 \textbf{ES} Stimare in numero minimo di dimensioni dello spazio,
	necessarie per descrivere, alla Kaluza-Klein, il modello
	standard $U\left(\, 1\,\right)\otimes SU\left(\, 2\,\right)
	\otimes SU\left(\, 3\,\right)$.\\
	L'elettrodinamica degli oggetti estesi.\\
	\textbf{ES}
	Risolvere le equazioni di campo per una 3-forma, $A_{\mu\nu\rho}$,
	in $4D$, in presenza di gravit\`a.
	\item 28-10-09:
	\textbf{ES}
	I\textit{ \green  Compattificazione Spontanea}
	nel modello di \textbf{\blue Freund-Rubin}. Mostrare che le
	equazioni di campo accoppiate ammettono una soluzione
	$M^{11}=AdS^4\times S^7$.
	
	\item 29-10-09:
	Compattificazione Spontanea in un modello IIB di super-stringa.
	Dualit\`a $AdS^5\times S^5$. ``Large Extra-Dimensions'' e
	$TeV$ Quantum Gravity.
	
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{ Dinamica classica e quantistica della stringa bosonica}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 29-10-09::\\
	Variazione, ad estremi fissi, dell' azione di Nambu-Goto.
	Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni ai bordi:\\
	condizioni di periodicit\`a, (stringa chiusa);\\
	condizioni di Neumann, (stringa aperta).\\
	Correnti di momento sulla superficie d' universo.
	Conservazione del momento totale.
	Vincoli e condizioni di mass-shell.\\
	Moto delle estremit\`a libere della stringa.
	\item 04-11-09:\\
	\textbf{ES} Data la superficie d'universo\\
	$X^\mu=\left(\, \tau\ , A\left(\, \sigma -L/2\,\right)\cos\omega\tau\ ,
	A\left(\, \sigma -L/2\,\right)\sin\omega\tau\ , 0\,\right) $
	\begin{itemize}
	\item determinare se si tratta di una stringa aperta, o chiusa.
	\item dimostrare che \`e soluzione delle equazioni classiche del moto.
	\item determinare il significato fisico delle costanti di integrazione
	$A$ ed $\omega$.
	\item verificare che le condizioni di mass-shell sono soddisfatte
	\item verificare che gli estremi della stringa si muovono alla velocit\`a
	della luce
	\item determinare la posizione del centro di massa della stringa
	\item calcolare la 3-velocit\`a di un generico punto lungo la stringa;
	\item calcolare l'energia totale ed il 
	momento angolare totale della stringa; verifcare che
	lastringa descrive una traiettoria di  Regge.
	\end{itemize}
	\item 04-11-09:\\
	Gauge Conforme: equazioni del moto e correnti di momento.
	Sviluppo in serie di Fourier per la stringa aperta con 
	condizioni ai bordi di Neumann.\\ 
	Significato fisico delle costanti di integrazione.\\
	Moto del centro di massa. Momento totale della stringa e condizione
	di mass-shell.
	\item 05-11-09:\\
	Condizioni di vincolo sulle ampiezze di Fourier. Ampiezze di Virasoro.
	Spettro di massa.\\
	Stringa chiusa: soluzione in serie di Fourier.
	Modi-left e modi-right. 
	\item 05-11-09:\\
	\textbf{ES} Coordinate di cono-luce. Una particella si muove
	lungo l'asse $x^1$ con velocita` costante $\beta$. Descrivere
	il moto in coordinate di con luce nei seguenti casi:
	\begin{itemize}
	\item $\beta\to 1$
	\item $\beta=0$
	\item $ \beta\to -1$
	\end{itemize}
	\item 10-11-09:\\
	\textbf{ES} Particella relativistica:\\
	\begin{itemize}
	\item scrivere l'azione canonica in coordinate di  cono-luce.
	\item scegliere una ``gauge'' per $\tau$
	\item risolvere il vincolo  di mass-shell. 
	\item definire l' Hamiltoniana di cono-luce ed identificare
	le variabili fisiche
	\end{itemize}
	\item 10-11-09:\\
	Stringa aperta nella \textbf{\blue gauge di cono-luce}. Soluzione
	delle equazioni di vincolo, ed identificazione dei gradi di
	libert\`a dinamici. Spettro di massa per i 
	modi trasversi. Hamiltoniana di cono-luce.
	\item 11-11-09:\\
	 ``Prima quantizzazione'' : commutatori
	canonici. Decomposizione della stringa in oscillatori armonici
	quantistici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$.
	\item 11-11-09:\\
	Ambiguit\`a di ordinamento e prescrizione di \textbf{\blue Normal
	Ordering}.  Energia di punto-zero della stringa bosonica.
	Regolarizzazione  dell' energia di punto-zero mediante
	cut-off esponenziale.  Tre motivi per mantenere l'energia
	di punto-zero:
	\begin{itemize}
	\item Effetto Casimir
	\item Costante Cosmologica
	\item Invarianza di Lorentz
	\end{itemize}
	Hamiltoniana di cono-luce ``regolarizzata''.
	\item 12-11-09:\\
	Generatori di Lorentz quantistici.
	Hermiticit\`a ed ordinamento normale di $M^{-\,j}$. 
	Operatori di Virasoro trasversi.\\
	Il commutatore $\left[\,M^{-\,i}\ ,M^{-\,j}\,\right] $ e
	la \textbf{\red dimensione critica} dello spaziotempo.\\
	\item 12-11-09:\\
	Ordinamento normale dell' operatore \textbf{numero} 
	e l' operatore $\mathbf{M^2}$.
	Gli operatori $L_0^\perp$ ed $M^2$ in termini dell' operatore
	$N^\perp$.\\ ``\textbf{\blue Stati fisici} della stringa.
	\item 17-11-09
	Spettro della stringa aperta.
	Calcolare gli auto-valori di $N^\perp$ sui seguenti stati:
	$\alpha_{-1}^i\,\vert\, 0\,\rangle$,\\ 
	$\alpha_{-1}^j \alpha_{-1}^i\,\vert\, 0\,\rangle$\\
	$\alpha_{-2}^i\,\vert\, 0\,\rangle$.
	 \item 17-11-09:\\
	 Massa, numero di stati, spin
	del:\\
	$\bullet$ \textbf{\green Ground State};\\
	$\bullet\bullet$ \textbf{\red Primo livello eccitato};\\
	$\bullet\bullet$ \textbf{\blue Secondo livello eccitato}.\\
	$\bullet\bullet\bullet$ Traiettorie di Regge quantistiche.\\
	\item 17-11-09:\\
	 Soluzioni classiche per la stringa aperta con condizioni
	ai bordi di Dirichlet lungo una direzione, e condizioni
	di Neumann lungo tutte le altre.
	 Moto delle stremit\`a libere. $D$-brane.
	\item 18-11-09:\\
	Spettro di massa in funzione della distanza delle due
	$D$-brane parallele. Distanza critica. Il ``\textbf{\blue Meccanismo
	di Higgs}'' in teorie di stringa/$D$-brane.
	\item 18-11-09:\\
	I 4 ``settori'' di un modello di due $D$-brane parallele: forma
	esplicita di $X^{25}$ e di $M^2$.\\
	Stati di Vuoto nei vari settori.\\
	Primo livello eccitato nei vari settori. Invarianza di gauge
	e ``rottura'' $U\left(\, 2\,\right)\longrightarrow 
	U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right)$; campi di gauge
	massless e massivi.
	\item 19-11-09:\\
	Indici di \textbf{\blue Chan-Paton} e campi non-Abeliani.
	\textbf{\red Teorie di Yang-Mills} come ``\textbf{teorie efficaci}''
	per le eccitazioni pi\`u basse di un sistema di $D$-brane.\\
	Invarianza di gauge e rottura di simmetria in un sistema di
	$N$ $D$-brane parallele.
	\item 19-11-09:\\
	Stringa chiusa: identificazione dei modi-zero left e right;
	soluzione delle condizione di vincolo per $\alpha_n^-$ ed
	$\widetilde{\alpha}_n^-$. Spettro di massa per
	la stringa chiusa.  Massa e spin per lo stato fondamentale 
	\item 24-11-09:\\
	 Primo livello eccitato: il ``settore universale''.\\
	Modello sigma non-lineare per la stringa e
	teoria di campo efficace per il settore universale.\\
	Il Dilatone e la costante di accoppiamento della stringa chiusa.\\
	\item 24-11-09:\\
	Stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$.
	Modi di \textbf{\blue winding} e Modi di \textbf{\green Kaluza-Klein}.
	Operatori di Virasoro e condizioni di vincolo sugli stati fisici.
	$T$-Dualit\`a dello stato di vuoto. Raggio di compattificazione
	Autoduale.\\
	Stati di vuoto nei settori : 1) $n=w=0$; 2) $n\ne 0\ , w=0$; $n=0\ ,
	w=1$.\\
	
	
	\end{enumerate}
	
	
	\end{document}
