Introduzione alla Teoria delle Stringhe
A.A. 2007-08

Introduzione e discussione generale

1. 02-10-07:
   Motivazioni ed obiettivi del corso. Testi di riferimento. Cosa NON è la Teoria delle Stringhe: preconcetti ed idee sbagliate.
   
2. 02-10-07:
   Perchè studiare la Teoria della Teoria delle Stringhe. Proprietà fondamentalmenti, di una ``stringa elementare''.
3. 03-10-07:
   Dalla Fisica del ``punto materiale'' a quella della ``linea''. Tensione della stringa. Aspetti qualitativi della dinamica della stringa.
4. 03-10-07:
   ``Particelle elementari'' come modi vibrazionali della stringa. Particelle ``leggere'' e stringhe eccitate al primo livello. ``Unificazione'' in Teorie di Stringa. QFTs come ``teorie efficaci'' a bassa energia.
5. 04-10-07:
   Coordinate della stringa; ``Spazio(tempo) Targhetta''; Superficie d' universo.; bi-vettore tangente; l' Azione di Nambu-Goto: significato geometrico e limite non-relativistico.
6. 04-10-07:
   Metrica Indotta , e metrica della stringa. Azione di Nambu-Goto in termini della metrica indotta. Invarianza per ri-parametrizzazioni. L' azione di Polyakov: invarianza di Lorentz come ``simmetria interna''.
7. 09-10-07:
   Invarianza di Weyl. Equazioni di campo ed equazioni di Vincolo. Soluzione della metrica di stringa in termini della metrica indotta.
8. 09-10-07:
   Equivalenza classica tra l'azione di Polyakov e l'azione di Nambu-Goto. Gauge conforme. Equazioni di vincolo, e variabili dinamiche indipendenti.Incompatibilità tra Invarianza di Lorentz e quantizzazione: il concetto di ``dimensione critica'' dello spaziotempo.
9. 10-10-07:
   Importanza dell'invarianza di Lorentz. Interazione tra stringhe e ``smearing'' del vertice d' interazione. Comportamento UV.
10. 10-10-07:
    Estensione supersimmetrica dell'azione di Polyakov nella gauge conforme. Left/right-movers. Condizioni ai bordi.
11. 11-10-07: I cinque tipi di stringa super-simmetrica. la seconda crisi della teoria delle stringhe: i vuoti di Calabi-Yau.
    ``Fatti e congetture'' sulla $\mathbf{\blue M}$-Theory. Stringhe in $10D$ e membrane in $11D$.
    

L' ``alba'' della Teoria delle Stringhe

1. 11-10-07: aspetti fenomenologici delle Interazioni Forti, negli anni `60. Risonanze Adroniche e Chew-Frautchi plot.
   La ``Matrice-$S$''.
2. 16-10-07:
   Simmetrie della Matrice-$S$: invarianza di Poincarè; Unitarietaà; Analiticità.
3. 16-10-07:
   Simmetria di Crossing. ``Democrazia Nucleare''. Limite di Regge dell'ampiezza di scattering in onde parziali.
4. 17-10-07:
   Ricavare la traiettoria di Regge (classica) per una sbarra rigida, omogenea, rotante attorno al suo centro di massa. Si assuma che le estremita` della sbarra si muovano alla velocità della luce.
   Determinare le traiettorie di Regge per un oscillatore armonico quantistico, non-relativistico, in $3D$. identificare la ``tensione'' e l' ``intercetta''. Discutere la natura quantistica di $\alpha_0$. Sulla base degli esercizi precedenti, fare un ``guess'' sulla possibile forma dello spettro di una stringa, modelizzandola come una famiglia di oscillatori armonici relativistici. Definire l' energia di punto-zero regolarizzata.
   Lo stato fondamentale della stringa bosonica: il problema del ``tachione''.
   Fotone e dimensione critica dello spaziotempo.
5. 17-10-07:
   Ampiezze di scattering pione-pione in QFT: modello-$\sigma$ lineare. Approssimazione di Born: andamento a $t$ fisso e ``grande'' $s$; dipendenza dallo spin del campo $\sigma$. Ampiezza ad $1$-loop e divergenze $UV$. Modelli rinormalizzabili e non-rinormalizzabili.
6. 23-10-07:
   Poli nel canale-$s$ e poli nel canale $t$. Dualità. Ampiezza di Veneziano per lo scattering $\pi+\pi\longrightarrow \pi+\omega$. ``Traiettorie di Regge''. Proprietà di analiticità: rappresentazione in serie di poli. Spettro di massa di un traiettorie di Regge e spin come funzione del momento trasferito, i.e. $j=\alpha\left(\, t\,\right)$.
7. 23-10-07:
   Andamento dell'ampiezza di Veneziano nel limite di Regge, i.e. a momento trasferito fisso ed alta energia;
   L' andamento dell' ampiezza di Veneziano nel limite di hard-scattering, e la fine dei Modelli Duali.

Teorie di Kaluza-Klein: alla scoperta delle ``dimensioni nascoste'' dello spazio

1. 24-10-07:
   La metrica in $5D$: l' ipotesi ``cilindrica'' di Kaluza.
   Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0$ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.
   Dimostrare che:
   i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;
   ii) $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$ si trasfoma come un campo di gauge abeliano con $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$ funzione di gauge.
   item 24-10-07:
   Dimostrare che:
   $\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$.
   decomposizione della metrica in $5D$ in termini di campi in $4D$.
   Esprimere la metrica controvariante $g^{MN}$ in termini di $g_{\mu\nu}$, $A_\mu$ e $\phi$.
2. 25-10-07:
   Calcolare $Det\left(\,g_{MN}\,\right)$. Assumendo che la gravità in $5D$ sia descritta da
   

   $$\mathbf{ S^{(5)}}= -\mathbf{\frac{1}{16\pi\, G_{(5)}}\int d^5x \, \sqrt{-\mathrm{Det}( g^{(5)}_{\mu\nu} )}\, R^{(5)} }$$ (1)

   
   
   ricavare la relazione tra $G_{(5)}$ e $G_N$.
   Riscalo conforme, $g^{(5)}_{\mu\nu}\longrightarrow \phi^{-1/3} g^{(5)}_{\mu\nu}$ ed azione nell' ``Einstein Frame''.
3. 25-10-07:
   Settore di Einstein-Maxwell: $\mathbf{\phi =1}$. Ricavare
   

   $$l_K =2\sqrt{\pi}\, 10^{-33}\,cm$$ (2)

   
   
   Settore di Brans-Dicke: $\mathbf{ A_\mu=0}$. Teorie scalari-tensori della gravità.
   Settore Dilatonico-Elettromagnetico: $\mathbf{ g^{(4)}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}$. Il Dilatone.
4. 30-10-07:
   Soluzioni statiche, a simmetria sferica, dell' equazioni di campo classiche per $A_\mu$ e $\sigma$ con diverse condizioni ai bordi:
   la Fase di Coulomb, e la Fase di Confinamento.
   Potenziale lineare e Confinamento ddlle cariche.
5. 30-10-07:
   $P_5$ come costante del moto. Unificazione di Energia, Momento e Carica Elettrica.
   O. Klein e la compattificazione della quinta dimensione: $\mathcal{M}^{(5)}\equiv R^{(4)}\times S^{(1)}$. Condizione di periodicità in $x^5$ e sviluppo in serie di Fourier. Modo-zero e modi-KK.
6. 31-10-07:
   Riduzione dimensionale dell' equazione di campo $\nabla_{(5)}\Phi\left(\, x^5\, x^\mu \,\right)$.
   Studiare lo spettro di un campo di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$. Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$ utilizando la relazione tra la carica elettrica ed $l_K$. Simmetrie ``interne'' come isometrie della(e) diemnsione(i) compatta(e).
7. 31-10-07:
   Stimare in numero minimo di dimensioni dello spazio, necessarie per descrivere, alla Kaluza-Klein, il modello standard $U\left(\, 1\,\right)\otimes SU\left(\, 2\,\right) \otimes SU\left(\, 3\,\right)$.
   Il problema della Compattificazione Spontanea in teorie di Kaluza-Klein e teorie di stringa.
8. 06-11-07:
   Campi di gauge di Aurilia-Takhashi e la costante cosmologica. Compattificazione Spontanea nel modello di Freund-Rubin.
   
9. 06-11-07:
   Teorie Unificate al $TeV$. `` Large extra-dimensions''. Confinamento del Modello Standard sulla brana, e gravità nel Bulk.

Dinamica classica e quantistica della stringa bosonica

1. 06-11-07:
   Variazione, ad estremi fissi, dell' azione di Nambu-Goto. Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni ai bordi:
   condizioni di periodicità, (stringa chiusa);
   condizioni di Neumann, (stringa aperta);
   condizioni di Dirichlet, (stringa aperta).
   Correnti di momento sulla superficie d' universo. Vincoli e condizioni di mass-shell.
   Moto delle estremità libere della stringa.
2. 06-11-07:
   Soluzione delle equazioni del moto per una stringa rigida, aperta: lunghezza propria e lunghezza di coordinate; condizioni ai bordi di Neumann; moto delle estremita` libere; velocità di un generico punto lungo la stringa; posizione del centro di massa nello spaziotempo targhetta; mass/energy e momento angolare totale, traiettoria di Regge.
3. 07-11-07:
   Gauge Conforme: equazioni del moto e correnti di momento. Sviluppo in serie di Fourier per la stringa aperta con condizioni ai bordi di Neumann. Significato fisico delle costanti di integrazione.
4. 07-11-07:
   Moto del centro di massa. Momento totale della stringa e condizione di mass-shell.
   Condizioni di vincolo sulle ampiezze di Fourier. Ampiezze di Virasoro. Spettro di massa.
   Stringa chiusa: soluzione in serie di Fourier. Modi-left e modi-right.
5. 13-11-07:
   Spettro di massa della stringa chiusa.
   Coordinate di cono-luce, aspetti cinematici e dinamica della particella relativistica.
6. 13-11-07:
   Stringa aperta nella gauge di cono-luce. Soluzione delle equazioni di vincolo, ed identificazione dei gradi di libertà dinamici. Spettro di massa per i modi trasversi. Hamiltoniana di cono-luce.
7. 14-11-07:
   ``Prima quantizzazione'' : commutatori canonici. Decomposizione della stringa in oscillatori armonici quantistici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$.
8. 14-11-07:
   Ambiguità di ordinamento e prescrizione di Normal Ordering. Energia di punto-zero della stringa bosonica. Regolarizzazione dell' energia di punto-zero mediante cut-off esponenziale. Energia di punto-zero di oscillatori fermionici e dimensione critica.
9. 15-11-07:
   Generatori di Lorentz quantistici. Hermiticità ed ordinamento normale di $M^{-\,j}$. Operatori di Virasoro trasversi.
   Il commutatore $\left[\,M^{-\,i}\ ,M^{-\,j}\,\right]$ e la dimensione critica dello spaziotempo.
   Ordinamento normale dell' operatore numero e l' operatore $\mathbf{M^2}$.
10. 15-11-07:
    Gli operatori $L_0^\perp$ ed $M^2$ in termini dell' operatore $N^\perp$.
    Lo ``stato di vuoto della stringa.
    Es. Calcolare gli auto-valori di $N^\perp$ sui seguenti stati: $\alpha_{-1}^i\,\vert\, 0\,\rangle$,
    $\alpha_{-1}^j \alpha_{-1}^i\,\vert\, 0\,\rangle$
    $\alpha_{-2}^i\,\vert\, 0\,\rangle$.
11. 20-11-07:
    Spettro della stringa aperta. Massa, numero di stati, spin del:
    $\bullet$ Ground State;
    $\bullet\bullet$ Primo livello eccitato;
    $\bullet\bullet$ Secondo livello eccitato.
    Traiettorie di Regge quantistiche.
    Soluzioni classiche per la stringa aperta con condizioni ai bordi di Dirichlet lungo una direzione, e condizioni di Neumann lungo tutte le altre.
12. 20-11-07:
    Moto delle stremità libere. $D$-brane. Spettro di massa in funzione della distanza delle due $D$-brane parallele. Distanza critica. Il ``Meccanismo di Higgs'' in teorie di stringa .
13. 21-11-07:
    I 4 ``settori'' di un modello di due $D$-brane parallele: forma esplicita di $X^{25}$ e di $M^2$.
    Stati di Vuoto nei vari settori.
    Primo livello eccitato nei vari settori. Invarianza di gauge e ``rottura'' $U\left(\, 2\,\right)\longrightarrow U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right)$; campi di gauge massless e massivi.
14. 21-11-07:
    Indici di Chan-Paton e campi non-Abeliani. Teorie di Yang-Mills come ``teorie efficaci'' per le eccitazioni più basse di un sistema di $D$-brane.
    Invarianza di gauge e rottura di simmetria in un sistema di $N$ $D$-brane parallele.
15. 22-11-07:
    Stringa chiusa: identificazione dei modi-zero left e right; soluzione delle condizione di vincolo per $\alpha_n^-$ ed $\widetilde{\alpha}_n^-$.Operatori di Virasoro, Hamiltoninano e spettro di massa per la stringa chiusa. Massa e spin per lo stato fondamentale
16. 22-11-07:
    Primo livello eccitato.
    Teoria di campo efficace per la stringa chiusa, in termini del Dilatone, Gravitone e potenziale di Kalb-Ramond.
    Il Dilatone e la costante di accoppiamento della stringa chiusa.
    L' azione di Einstein come approssimazione di ordine-$0$ in $\alpha^\prime$ dell'azione per il gravitone.
17. 27-11-07:
    Stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$. Modi di winding e Modi di Kaluza-Klein. Operatori di Virasoro e condizioni di vincolo sugli stati fisici.
18. 27-11-07:
    Spettro della stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$. Stati di vuoto nei settori : 1) $n=w=0$; 2) $n\ne 0\ , w=0$; $n=0\ , w=1$.
    $T$-Dualità dello stato di vuoto. Raggio di compattificazione Autoduale.
19. 28-11-07:
    Settore massless, $N^\perp= \widetilde{N}^\perp=1$, intepretazione dei campi via riduzione dimensionale alla Kaluza-Klein ed invarianza di gauge $U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right)$. Gauge symmetry enhancement $U(\, 1\,)\otimes U(\, 1\,)\longrightarrow SU(\, 2\,)\otimes U(\, 2\,)$ al raggio auto-duale; campi di Yang-Mills della stringa chiusa.
20. 28-11-07:
    ``Mini-introduzione'' alla termodinamica dei mini buchi neri: temperatura di Hawking e legge Area/Entropia.
    $D$-brane, teorie di gauge e buchi neri.