\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Teoria delle Stringhe\\
        A.A. 2007-08}
\maketitle
\begin{center}
	 \textbf{ Introduzione e discussione generale}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 02-10-07:\\ Motivazioni ed obiettivi del corso. Testi di
	riferimento. Cosa NON \`e la
	Teoria delle Stringhe: preconcetti ed idee sbagliate. \\
	\item 02-10-07:\\
	Perch\`e studiare la Teoria della Teoria delle Stringhe. 
	Propriet\`a  fondamentalmenti, di una ``stringa elementare''. 
	\item 03-10-07:\\
	Dalla Fisica del ``punto materiale'' a quella della ``linea''.
	\textbf{Tensione} della stringa. Aspetti
	qualitativi della dinamica della stringa.
	\item 03-10-07:\\
	``Particelle elementari'' come \textit{modi vibrazionali} della
	stringa. Particelle ``leggere'' e stringhe eccitate al primo
	livello. ``Unificazione'' in Teorie di Stringa. QFTs come
	``teorie efficaci'' a bassa energia.
	\item 04-10-07:\\
	\textit{ \green  Coordinate}
	della stringa;   ``Spazio(tempo) Targhetta'';  
	\textit{ \green Superficie d' universo.}; bi-vettore tangente;
	 l' {\red Azione di Nambu-Goto}:
	significato geometrico e limite non-relativistico.
	\item 04-10-07:\\
	\textit{ \cyan Metrica Indotta} , e metrica della stringa.
	Azione di Nambu-Goto in termini della metrica indotta. Invarianza
	per ri-parametrizzazioni. L' azione di Polyakov:
	invarianza di Lorentz come ``simmetria interna''.
	\item 09-10-07:\\
	Invarianza di Weyl. Equazioni di campo ed equazioni di
	Vincolo. Soluzione della metrica di stringa in termini
	della metrica indotta.
	\item 09-10-07:\\
	Equivalenza classica tra l'azione di Polyakov e l'azione di
	Nambu-Goto. Gauge conforme.  Equazioni di vincolo, e variabili
	dinamiche indipendenti.Incompatibilit\`a tra Invarianza di Lorentz e 
	quantizzazione:
	il concetto di ``dimensione critica'' dello spaziotempo.
	\item 10-10-07:\\
	Importanza dell'invarianza di Lorentz.
	Interazione tra stringhe e ``\textit{\blue smearing}'' del
	vertice d' interazione. Comportamento UV.
	\item 10-10-07:\\
	Estensione supersimmetrica dell'azione di Polyakov nella gauge
	conforme. Left/right-movers.  Condizioni ai bordi.
	\item 11-10-07: I cinque tipi di stringa super-simmetrica.
	la seconda crisi della teoria delle stringhe: i 
	\textit{\red vuoti di Calabi-Yau}.\\
	``Fatti e congetture'' sulla $\mathbf{\blue M}$-Theory. Stringhe
	in $10D$ e membrane in $11D$. \\
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{ L' ``alba'' della Teoria delle Stringhe}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 11-10-07: aspetti fenomenologici delle Interazioni Forti,
	negli anni `60. Risonanze Adroniche e Chew-Frautchi plot.\\
	La ``Matrice-$S$''. 
	\item 16-10-07:\\
	Simmetrie della Matrice-$S$: invarianza di Poincar\`e;
	Unitarieta\`a; Analiticit\`a.
	\item 16-10-07:\\
	Simmetria di Crossing. ``Democrazia Nucleare''.
	Limite di Regge dell'ampiezza di scattering in onde parziali.
	\item 17-10-07:\\
	Ricavare la traiettoria di Regge (classica) per una sbarra rigida,
	omogenea, rotante attorno al suo centro di massa. Si assuma che
	le estremita` della sbarra si muovano alla velocit\`a della luce.\\
	Determinare le traiettorie di Regge per un oscillatore armonico
	quantistico, non-relativistico, in $3D$. identificare la
	``tensione'' e l' ``intercetta''. Discutere la natura quantistica di
	$\alpha_0$.
	 Sulla base degli esercizi precedenti, fare un ``guess'' sulla
	possibile forma dello spettro di una stringa, modelizzandola
	come una famiglia di oscillatori armonici relativistici.
	Definire l' energia di punto-zero regolarizzata. \\
	Lo stato fondamentale della stringa bosonica: il problema del
	``\textbf{\red tachione}''. \\
	 Fotone e dimensione critica dello spaziotempo.
	\item 17-10-07:\\
	 Ampiezze di scattering
	pione-pione in QFT: modello-$\sigma$ lineare.
	Approssimazione di Born: andamento a $t$ fisso
	e ``grande''~$s$;  dipendenza dallo spin
	del campo $\sigma$. Ampiezza ad $1$-loop e divergenze $UV$.
	Modelli rinormalizzabili e non-rinormalizzabili. 
	\item 23-10-07:\\
	Poli nel canale-$s$ e poli nel canale $t$.
	Dualit\`a.
	Ampiezza di Veneziano per lo scattering $\pi+\pi\longrightarrow
	\pi+\omega$. ``\textbf{\green Traiettorie di Regge}''.
	Propriet\`a di analiticit\`a: rappresentazione in serie di poli.
	Spettro di massa di un traiettorie di Regge e spin come funzione
	del momento trasferito, i.e. $j=\alpha\left(\, t\,\right)$.
	\item 23-10-07:\\
	Andamento dell'ampiezza di Veneziano nel limite di Regge, i.e.
	a momento trasferito fisso ed alta energia;\\
	L' andamento dell' ampiezza di Veneziano nel limite di 
	\textbf{hard-scattering}, e la fine dei Modelli Duali.
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{ Teorie di Kaluza-Klein: alla scoperta delle
	  ``dimensioni nascoste''  dello spazio}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 24-10-07:\\
	La metrica in $5D$: l' ipotesi ``cilindrica'' di Kaluza.\\
	Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0
	 $ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che
	 $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.\\
	Dimostrare che:\\
	 i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;\\
	 ii)  $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$  si trasfoma 
	 come un \textbf{ \green campo di gauge abeliano} con 
	 $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$  funzione di gauge.
	\\item 24-10-07:\\
	Dimostrare che:\\
	$\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat
	 g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$.\\
	decomposizione della metrica in $5D$ in termini di campi in $4D$.\\
	Esprimere la metrica controvariante $g^{MN}$ in termini di $g_{\mu\nu}$,
	$A_\mu$ e $\phi$.
	\item 25-10-07:\\
	 Calcolare $Det\left(\,g_{MN}\,\right) $.
	Assumendo che la gravit\`a in $5D$ sia descritta da
	\begin{equation}
	\mathbf{ S^{(5)}}= -\mathbf{\frac{1}{16\pi\, G_{(5)}}\int d^5x \,
 	\sqrt{-\mathrm{Det}( g^{(5)}_{\mu\nu} )}\, R^{(5)} }
	\end{equation}
	ricavare la relazione tra $G_{(5)} $ e $G_N$.\\
	Riscalo conforme, 
	$g^{(5)}_{\mu\nu}\longrightarrow \phi^{-1/3} g^{(5)}_{\mu\nu} $ ed
	azione nell' ``\textit{Einstein Frame}''.
	\item 25-10-07:\\
	Settore di \textbf{\red Einstein-Maxwell}: $\mathbf{\phi =1}$.
	Ricavare
	\begin{equation}
	l_K =2\sqrt{\pi}\, 10^{-33}\,cm
	\end{equation}
	Settore di \textbf{\red Brans-Dicke}:  $\mathbf{ A_\mu=0}$.
	Teorie scalari-tensori della gravit\`a. \\
	Settore \textbf{\red Dilatonico-Elettromagnetico}:
	$\mathbf{ g^{(4)}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}$. Il 
	\textbf{\blue Dilatone}.
	\item 30-10-07:\\
	Soluzioni statiche, a simmetria sferica,
	  dell' equazioni di campo classiche per $A_\mu$ e
	$\sigma$ con diverse condizioni ai bordi:\\
	la \textbf{\blue Fase di Coulomb}, e la \textbf{\red Fase di
	Confinamento}. \\
	Potenziale lineare e Confinamento ddlle cariche.
	\item 30-10-07:\\
	$P_5$ come costante del moto. Unificazione di Energia, Momento
	e Carica Elettrica.\\
	O. Klein e la compattificazione della quinta dimensione:
	$\mathcal{M}^{(5)}\equiv R^{(4)}\times S^{(1)}$. Condizione
	di periodicit\`a in $x^5$ e sviluppo in serie di Fourier.
	\textbf{\cyan Modo-zero} e \textbf{\blue modi-KK}.
	\item 31-10-07:\\
	Riduzione dimensionale dell' equazione di campo
	$\nabla_{(5)}\Phi\left(\, x^5\, x^\mu \,\right)$.
	\\ Studiare lo spettro di un campo
	di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$.
	Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$
	utilizando la relazione tra la carica elettrica ed $l_K$.
	Simmetrie ``interne'' come \textbf{isometrie} della(e)
	diemnsione(i) compatta(e).
	\item 31-10-07:\\
	Stimare in numero minimo di dimensioni dello spazio,
	necessarie per descrivere, alla Kaluza-Klein, il modello
	standard $U\left(\, 1\,\right)\otimes SU\left(\, 2\,\right)
	\otimes SU\left(\, 3\,\right)$.\\
	Il problema della \textit{ \green  Compattificazione Spontanea}
	in teorie di Kaluza-Klein e teorie di stringa.
	\item 06-11-07:\\
	Campi di gauge di Aurilia-Takhashi e la costante cosmologica.
	Compattificazione Spontanea nel modello di \textbf{\blue Freund-Rubin}.
	\\
	\item 06-11-07:\\
	Teorie Unificate al $TeV$.
	``\textbf{ \green Large extra-dimensions}''.
	Confinamento del Modello Standard sulla brana,  e gravit\`a nel
	Bulk. 
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{ Dinamica classica e quantistica della stringa bosonica}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
	\item 06-11-07:\\
	Variazione, ad estremi fissi, dell' azione di Nambu-Goto.
	Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni ai bordi:\\
	condizioni di periodicit\`a, (stringa chiusa);\\
	condizioni di Neumann, (stringa aperta);\\
	condizioni di Dirichlet, (stringa aperta).\\
	Correnti di momento sulla superficie d' universo.
	Vincoli e condizioni di mass-shell.\\
	Moto delle estremit\`a libere della stringa.
	\item 06-11-07:\\
	Soluzione delle equazioni del moto per una stringa rigida,
	aperta: lunghezza propria e lunghezza di coordinate;
	 condizioni ai bordi di Neumann; moto delle estremita`
	libere; velocit\`a di un generico punto lungo la stringa;
	posizione del centro di massa nello spaziotempo targhetta;
	mass/energy e momento angolare totale, traiettoria di  Regge.
	\item 07-11-07:\\
	Gauge Conforme: equazioni del moto e correnti di momento.
	Sviluppo in serie di Fourier per la stringa aperta con 
	condizioni ai bordi di Neumann. 
	Significato fisico delle costanti di integrazione.
	\item 07-11-07:\\Moto del centro di massa. Momento totale della stringa e condizione
	di mass-shell.\\
	Condizioni di vincolo sulle ampiezze di Fourier. Ampiezze di Virasoro.
	Spettro di massa.\\
	Stringa chiusa: soluzione in serie di Fourier.
	Modi-left e modi-right. 
	\item 13-11-07:\\
	Spettro di massa della stringa chiusa.\\
	Coordinate di cono-luce, aspetti cinematici e dinamica della
	particella relativistica.
	\item 13-11-07:\\
	Stringa aperta nella \textbf{\blue gauge di cono-luce}. Soluzione
	delle equazioni di vincolo, ed identificazione dei gradi di
	libert\`a dinamici. Spettro di massa per i 
	modi trasversi. Hamiltoniana di cono-luce.
	\item 14-11-07:\\
	 ``Prima quantizzazione'' : commutatori
	canonici. Decomposizione della stringa in oscillatori armonici
	quantistici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$.
	\item 14-11-07:\\
	Ambiguit\`a di ordinamento e prescrizione di \textbf{\blue Normal
	Ordering}.  Energia di punto-zero della stringa bosonica.
	Regolarizzazione  dell' energia di punto-zero mediante
	cut-off esponenziale.
	 Energia di punto-zero di oscillatori fermionici e dimensione
	 critica.
	\item 15-11-07:\\
	Generatori di Lorentz quantistici.
	Hermiticit\`a ed ordinamento normale di $M^{-\,j}$. 
	Operatori di Virasoro trasversi.\\
	Il commutatore $\left[\,M^{-\,i}\ ,M^{-\,j}\,\right] $ e
	la \textbf{\red dimensione critica} dello spaziotempo.\\
	Ordinamento normale dell' operatore \textbf{numero} 
	e l' operatore $\mathbf{M^2}$.
	\item 15-11-07:\\
	Gli operatori $L_0^\perp$ ed $M^2$ in termini dell' operatore
	$N^\perp$.\\  Lo ``\textbf{\blue stato di vuoto} della stringa.
	\\
	Es. Calcolare gli auto-valori di $N^\perp$ sui seguenti stati:
	$\alpha_{-1}^i\,\vert\, 0\,\rangle$,\\ 
	$\alpha_{-1}^j \alpha_{-1}^i\,\vert\, 0\,\rangle$\\
	$\alpha_{-2}^i\,\vert\, 0\,\rangle$.
	 \item 20-11-07:\\
	Spettro della stringa aperta. Massa, numero di stati, spin
	del:\\
	$\bullet$ \textbf{\green Ground State};\\
	$\bullet\bullet$ \textbf{\red Primo livello eccitato};\\
	$\bullet\bullet$ \textbf{\blue Secondo livello eccitato}.\\
	Traiettorie di Regge quantistiche.\\
	Soluzioni classiche per la stringa aperta con condizioni
	ai bordi di Dirichlet lungo una direzione, e condizioni
	di Neumann lungo tutte le altre.
	\item 20-11-07:\\
	 Moto delle stremit\`a libere. $D$-brane.
	Spettro di massa in funzione della distanza delle due
	$D$-brane parallele. Distanza critica. Il ``\textbf{\blue Meccanismo
	di Higgs}'' in teorie di stringa .
	\item 21-11-07:\\
	I 4 ``settori'' di un modello di due $D$-brane parallele: forma
	esplicita di $X^{25}$ e di $M^2$.\\
	Stati di Vuoto nei vari settori.\\
	Primo livello eccitato nei vari settori. Invarianza di gauge
	e ``rottura'' $U\left(\, 2\,\right)\longrightarrow 
	U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right)$; campi di gauge
	massless e massivi.
	\item 21-11-07:\\
	Indici di \textbf{\blue Chan-Paton} e campi non-Abeliani.
	\textbf{\red Teorie di Yang-Mills} come ``\textbf{teorie efficaci}''
	per le eccitazioni pi\`u basse di un sistema di $D$-brane.\\
	Invarianza di gauge e rottura di simmetria in un sistema di
	$N$ $D$-brane parallele.
	\item 22-11-07:\\
	Stringa chiusa: identificazione dei modi-zero left e right;
	soluzione delle condizione di vincolo per $\alpha_n^-$ ed
	$\widetilde{\alpha}_n^-$.Operatori di Virasoro, Hamiltoninano e spettro di massa per
	la stringa chiusa.  Massa e spin per lo stato fondamentale 
	\item 22-11-07:\\
	 Primo livello eccitato.\\
	Teoria di campo efficace per la stringa chiusa, in termini
	del Dilatone, Gravitone e potenziale di Kalb-Ramond.\\
	Il Dilatone e la costante di accoppiamento della stringa chiusa.\\
	L' azione di Einstein come approssimazione di ordine-$0$ in
	$\alpha^\prime$ dell'azione per il gravitone.
	\item 27-11-07:\\
	Stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$.
	Modi di \textbf{\blue winding} e Modi di \textbf{\green Kaluza-Klein}.
	Operatori di Virasoro e condizioni di vincolo sugli stati fisici.
	\item 27-11-07:\\
	Spettro della stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$.
	Stati di vuoto nei settori : 1) $n=w=0$; 2) $n\ne 0\ , w=0$; $n=0\ ,
	w=1$.\\
	$T$-Dualit\`a dello stato di vuoto. Raggio di compattificazione
	Autoduale.
	\item 28-11-07:\\
	Settore massless, $N^\perp= \widetilde{N}^\perp=1$, intepretazione
	 dei campi via riduzione dimensionale alla Kaluza-Klein ed invarianza
	 di gauge  $U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right) $.
	Gauge symmetry enhancement $U(\, 1\,)\otimes U(\, 1\,)\longrightarrow
	 SU(\, 2\,)\otimes U(\, 2\,)$ al raggio auto-duale; campi di Yang-Mills
	 della stringa chiusa.
	\item 28-11-07:\\
	``Mini-introduzione'' alla termodinamica dei mini buchi neri: 
	temperatura di Hawking e legge Area/Entropia.\\ 
	$D$-brane, teorie di gauge e buchi neri.
	\end{enumerate}
	
	
	\end{document}
