Introduzione alla Teoria delle Stringhe
A.A. 2006-07

Introduzione e discussione generale

1. 03-10-06:
   Motivazioni ed obiettivi del corso. Testi di riferimento. Cosa NON è la Teoria delle Stringhe: preconcetti ed idee sbagliate.
   
2. 03-10-06:
   Motivazioni a favore della Teoria delle Stringhe. Cosa, fondamentalmente, è una ``stringa''. I cinque modelli di super-stringhe, e la $\mathbf{M}$-Theory
3. 04-10-06:
   Dalla Fisica del ``punto materiale'' a quella della ``linea''. Tensione della stringa. Dinamica del punto vs Dinamica della stringa.
4. 04-10-06:
   ``Particelle elementari'' come modi vibrazionali della stringa. Particelle ``leggere'' e stringhe eccitate al primo livello. Bosoni/Fermioni come differenti modi vibrazionali della stringa.
5. 05-10-06:
   ``Manifold della stringa'' ; Coordinate della stringa; ``Spazio(tempo) Targhetta''; Superficie d' universo.; bi-vettore tangente; Metrica Indotta; l' Azione di Nambu-Goto ed il suo significato geometrico.
6. 05-10-06:
   Limite non-relativistico dell' azione di Nambu-Goto. Es. la stringa rigida. Metrica indotta, e metrica della stringa. Azione di Nambu-Goto in termini della metrica indotta. Invarianza per ri-parametrizzazioni.
7. 0-10-06:
   L' azione di Polyakov. Proprietà di simmetria:
   
   • Invarianza di Lorentz come ``simmetria interna'';
   • Invarianza per ri-parametrizzazioni;
   • Invarianza di Weyl
   Equazioni di campo.
8. 0-10-06:
   Equivalenza classica tra l'azione di Polyakov e l'azione di Nambu-Goto. Gauge conforme. Equazioni di vincolo, e variabili dinamiche indipendenti.
9. 11-10-06:
   Incompatibilità tra Invarianza di Lorentz e quantizzazione: il concetto di ``dimensione critica'' dello spaziotempo.
10. 11-10-06:
    Interazione tra stringhe e ``smearing'' del vertice d' interazione. L' idea di ``Lunghezza minima'' in teorie di stringa.

L' ``alba'' della Teoria delle Stringhe

1. 12-10-06:
   Risonanze Adroniche e Chew-Frautchi plot. Ampiezze di scattering pione-pione in Approssimazione di Born: andamento a $t$ fisso e ``grande'' $s$.
2. 12-10-06:
   Ampiezze di scattering pione-pione in Approssimazione di Born: dipendenza dallo spin dell' oggetto scambiato. Modelli rinormalizzabili e non-rinormalizzabili. Poli nel canale-$s$ e poli nel canale $t$. Dualità.
3. 16-10-06:
   Ampiezza di Veneziano per lo scattering $\pi+\pi\longrightarrow \pi+\omega$. ``Traiettorie di Regge''. Proprietà di analiticità: rappresentazione in serie di poli.
4. 16-10-06:
   Spettro di massa di un traiettorie di Regge e spin come funzione del momento trasferito, i.e. $j=\alpha\left( t \right)$. Andamento dell'ampiezza di Veneziano nel limite di Regge, i.e. a momento trasferito fisso ed alta energia.
5. 17-10-06:
   Ricavare la traiettoria di Regge (classica) per una sbarra rigida, omogenea, rotante attorno al suo centro di massa. Si assuma che le estremita` della sbarra si muovano alla velocità della luce.
   Determinare le traiettorie di Regge per un oscillatore armonico quantistico, non-relativistico, in $3D$. identificare la ``tensione'' e l' ``intercetta''. Discutere la natura quantistica di $\alpha_0$.
6. 17-10-06:
   Sulla base degli esercizi precedenti, fare un ``guess'' sulla possibile forma dello spettro di una stringa, modelizzandola come una famiglia di oscillatori armonici relativistici. Definire l' energia di punto-zero regolarizzata.
   Lo stato fondamentale della stringa bosonica: il problema del ``tachione''.
   L' andamento dell' ampiezza di Veneziano nel limite di hard-scattering, e la fine dei Modelli Duali.

Teorie di Kaluza-Klein: alla scoperta delle ``dimensioni nascoste'' dello spazio

1. 19-10-06:
   La metrica in $5D$: l' ipotesi ``cilindrica'' di Kaluza.
   Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0$ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che $x^{\prime M}= \delta^M_5 x^5 + f^M\left( x^\alpha \right)$.
   Dimostrare che:
   i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;
   ii) $\left( \hat g_{5 \mu}/\hat g_{55} \right)$ si trasfoma come un campo di gauge abeliano con $f^5\left( x^\alpha \right)$ funzione di gauge.
2. 19-10-06:
   Dimostrare che:
   $\hat g_{\mu\nu}- \left( \hat g_{5 \mu}\hat g_{5 \nu}/\hat g_{55} \right)$ si trasforma come un tensore tipo $( 0 , 2 )$.
   decomposizione della metrica in $5D$ in termini di campi in $4D$.
3. 24-10-06:
   Esprimere la metrica controvariante $g^{MN}$ in termini di $g_{\mu\nu}$, $A_\mu$ e $\phi$. Calcolare $Det\left( g_{MN} \right)$. Assumendo che la gravità in $5D$ sia descritta da
   

   $$\mathbf{ S^{(5)}}= -\mathbf{\frac{1}{16\pi G_{(5)}}\int d^5x \sqrt{-\mathrm{Det}( g^{(5)}_{\mu\nu} )} R^{(5)} }$$ (1)

   
   
   ricavare la relazione tra $G_{(5)}$ e $G_N$.
   Riscalo conforme, $g^{(5)}_{\mu\nu}\longrightarrow \phi^{-1/3} g^{(5)}_{\mu\nu}$ ed azione nell' ``Einstein Frame''.
4. 24-10-06:
   Settore di Einstein-Maxwell: $\mathbf{\phi =1}$. Ricavare
   

   $$l_K =2\sqrt{\pi} 10^{-33} cm$$ (2)

   
   
   Settore di Brans-Dicke: $\mathbf{ A_\mu=0}$. Teorie scalari-tensori della gravità.
   Settore Dilatonico-Elettromagnetico: $\mathbf{ g^{(4)}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}$. Il Dilatone.
5. 25-10-06:
   $P_5$ come costante del moto. Unificazione di Energia, Momento e Carica Elettrica.
   Riduzione dimensionale dell'equazione delle geodetiche da $5D$ a $4D$.
6. 25-10-06:
   O. Klein e la compattificazione della quinta dimensione: $\mathcal{M}^{(5)}\equiv R^{(4)}\times S^{(1)}$. Condizione di periodicità in $x^5$ e sviluppo in serie di Fourier. Modo-zero e modi-KK. Riduzione dimensionale dell' equazione di campo $\nabla_{(5)}\Phi\left( x^5 x^\mu \right)$.
7. 26-10-06:
   Studiare lo spettro di un campo di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$. Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$ utilizando la relazione tra la carica elettrica ed $l_K$.
8. 26-10-06:
   Il problema della Compattificazione Spontanea. Il modello di Freund-Rubin.
   `` Large extra-dimensions'' ed Unificazione al $TeV$.

Dinamica classica e quantistica della stringa bosonica

1. 31-10-06:
   Variazione, ad estremi fissi, dell' azione di Nambu-Goto. Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni ai bordi:
   condizioni di periodicità, (stringa chiusa);
   condizioni di Neumann, (stringa aperta);
   condizioni di Dirichlet, (stringa aperta).
   
2. 31-10-06:
   Correnti di momento sulla superficie d' universo. Vincoli e condizioni di mass-shell.
   Moto delle estremità libere della stringa. Soluzione delle equazioni del moto per una stringa rigida, aperta: lunghezza propria e lunghezza di coordinate.
3. 2-11-06:
   Soluzione delle equazioni del moto per una stringa rigida, aperta: condizioni ai bordi di Neumann; moto delle estremita` libere; velocità di un generico punto lungo la stringa; posizione del centro di massa nello spaziotempo traghetta; mass/energy e momento angolare totale, traiettoria di Regge.
4. 2-11-06:
   Gauge Conforme: equazioni del moto e correnti di momento. Sviluppo in serie di Fourier per la stringa aperta con condizioni ai bordi di Neumann. Moto del centro di massa. Momento totale e condizione di mass-shell.
5. 7-11-06:
   Stringa aperta: soluzione in serie di Fourier; costanti di integrazione. Moto del centro di massa. Momento totale della stringa e condizione di mass-shell.
6. 7-11-06:
   Condizioni di vincolo sulle ampiezze di Fourier. Ampiezze di Virasoro. Spettro di massa.
   Stringa chiusa: soluzione in serie di Fourier.
7. 8-11-06:
   Stringa chiusa: modi-left e modi-right. Spettro di massa.
   Coordinate di cono-luce, aspetti cinematici e dinamica della particella relativistica.
8. 8-11-06:
   Stringa aperta nella gauge di cono-luce. Equazioni di vincolo per le ampiezze di Fourier. Spettro di massa per i modi trasversi.
9. 9-11-06:
   Hamiltoniana di cono-luce. ``Prima quantizzazione'' : commutatori canonici. Decomposizione della stringa in oscillatori armonici quantistici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$.
10. 9-11-06:
    Ambiguità di ordinamento e prescrizione di Normal Ordering. Energia di punto-zero della stringa bosonica. Regolarizzazione dell' energia di punto-zero mediante:
    a) funzione Zeta di Riemann;
    b) cut-off esponenziale.
    Energia di punto-zero di oscillatori fermionici.
11. 14-11-06:
    Stringa come famiglia infinita di oscillatori armonici quantistici: forma canonica del commutatore.
    Generatori di Lorentz in termini dei modi di oscillazione. Hermiticità ed ordinamento normale di $M^{- j}$. Operatori di Virasoro trasversi.
12. 14-11-06:
    Il commutatore $\left[ M^{- i} ,M^{- j} \right]$ e la dimensione critica dello spaziotempo.
    Ordinamento normale dell' operatore numero e l' operatore $\mathbf{M^2}$.
13. 15-11-06:
    Gli operatori $L_0^\perp$ ed $M^2$ in termini dell' operatore $N^\perp$.
    Lo ``stato di vuoto della stringa. Base nello spazio di Hilbert tramite auto-stati di $N^\perp$.
    Es. Calcolare gli auto-valori di $N^\perp$ sui seguenti stati: $\alpha_{-2}^i \vert 0 \rangle$, $\alpha_{-3}^j \alpha_{-2}^i \vert 0 \rangle$.
14. 15-11-06:
    Spettro della stringa aperta. Massa e numero di stati presenti nel:
    $\bullet$ Ground State;
    $\bullet\bullet$ Primo livello eccitato;
    $\bullet\bullet$ Secondo livello eccitato;
    Il ``Tachione'' e l' instabiltà del vuoto.
15. 16-11-06:
    Soluzioni classiche per la stringa aperta con condizioni ai bordi di Dirichlet lungo una direzione, e condizioni di Neumann lungo tutte le altre. Moto delle stremità libere. $D$-brane.
16. 16-11-06:
    Spettro di massa in funzione della distanza delle due $D$-brane parallele. Distanza critica. Il ``Meccanismo di Higgs'' .
17. 21-11-06:
    I 4 ``settori'' di un modello di due $D$-brane parallele: forma esplicita di $X^{25}$ e di $M^2$.
    Stati di Vuoto nei vari settori.
    Primo livello eccitato nei vari settori. Invarianza di gauge e ``rottura'' $U\left( 2 \right)\longrightarrow U\left( 1 \right)\times U\left( 1 \right)$; campi di gauge massless e massivi.
18. 21-11-06:
    Indici di Chan-Paton e campi non-Abeliani. Teorie di Yang-Mills come ``teorie efficaci'' per le eccitazioni più basse di un sistema di $D$-brane.
    Invarianza di gauge e rottura di simmetria in un sistema di $N$ $D$-brane parallele
19. 22-11-06:
    Modelli a $D$-brane ed il problema del confinamento in $QCD$.
    Congetture sulla $M$-theory.
20. 22-11-06:
    Stringa chiusa: identificazione dei modi-zero left e right; soluzione delle condizione di vincolo per $\alpha_n^-$ ed $\widetilde{\alpha}_n^-$.
21. 23-11-06:
    Operatori di Virasoro, Hamiltoninano e spettro di massa per la stringa chiusa. Massa e spin per lo stato fondamentale ed il primo livello eccitato.
22. 23-11-06:
    Teoria di campo efficace per la stringa chiusa, in termini del Dilatone, Gravitone e potenziale di Kalb-Ramond.
    Il Dilatone e la costante di accoppiamento della stringa chiusa.
    L' azione di Einstein come approssimazione di ordine-$0$ in $\alpha^\prime$ dell'azione per il gravitone.
23. 28-11-06:
    Il campo di Kalb-Ramond come ``mediatore'' dell' interazione ``elettro-magnetica'' tra stringhe chiuse.
    Stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$. Modi di winding e Modi di Kaluza-Klein.
24. 28-11-06:
    Spettro della stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$. Stati di vuoto nei settori : 1) $n=w=0$; 2) $n=1 , w=0$; $n=0 , w=1$.
    Stati con $n=w=0$: Settore di vuoto, $N^\perp= \widetilde{N}^\perp=0$; Settore massless, $N^\perp= \widetilde{N}^\perp=1$, intepretazione dei campi via riduzione dimensionale alla Kaluza-Klein ed invarianza di gauge $U\left( 1 \right)\times U\left( 1 \right)$.

Homeworks

1. Dimostrare che il D'Alembertiano covariante sugli scalari si scrive come:

   
   

   $$g^{mn}\nabla_m\partial_n\vert_{scal.}=\frac{1}{\sqrt{-g}} \partial_m g^{mn}\sqrt{-g}\partial_n$$ (3)

   
   
   Ricavare la forma esplicita del tensore energia impulso della stringa dalla definizione

   
   

   $$T^{mn}\equiv -\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_P}{\delta g_{mn}}$$ (4)

   
   

2. Si consideri una ri-parametrizzazione infinitesima $\delta\sigma^m=\varepsilon^m$. Dimostrare che dall' invarianza dell' azione deriva:

   
   

   $$\delta_\varepsilon S_P=0\longrightarrow \nabla_m T^{mn}=0$$ (5)

   
   

   Cosa implica la condizione $\nabla_m T^{mn}=0$ ?
   

   Si consideri una trasformazione di Weyl infinitesima $\delta g_{mn}= 2\omega^2(\sigma) g_{mn}$. Dimostrare che dall' invarianza dell' azione deriva:
   

   $$\delta_\omega S_P=0\longrightarrow T^m_m=0$$ (6)

   
   

3. Variabili di Mandelstam. Dimostrare che

   
   

   $$s+t+u= \sum_i\left( M_i \right)^2$$ (7)

   
   

4. Dimostrare che:

   
   

   $$\frac{1}{\mathbf{g}^\prime{}_{55}} \mathbf{g}^\prime_{\mu ... ...\prime \nu}} \mathbf{g}_{\alpha 5} \mathbf{g}_{\beta 5}$$ (8)

   
   

5. Ricavare le equazioni di campo per $g_{\mu\nu}$, $A_\mu$, $\phi$ dall' azione:

   
   

   $$\mathbf{ S^{(5)}= - \frac{1}{16\pi G_N}\int d^4x \sqrt... ...}g^{(4) \mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi \right] }$$ (9)

   
   

6. Dimostrare che

   
   

   $$\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^M}= \fra... ...rightarrow \ddot{x}^M + \Gamma^M{}_{AB} \dot{x}^A\dot{x}^B=0$$ (10)

   
   

7. verificare che
   

   $$\left( dy^M , \frac{\partial }{\partial y^N} \right)= \delta^M{}_N$$ (11)

   
   

   con
   

   $$\frac{\partial }{\partial y^\mu}\equiv \frac{\partial }{\partial x^\mu} -l_K A_\mu \frac{\partial }{\partial y^5}$$ (12)

   
   

8. Calcolare
   

   $$\left[ \frac{\partial }{\partial {y}^\mu} , \frac{\partial }{\partial {y}^\nu} \right]=?$$ (13)