\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Teoria delle Stringhe\\
        A.A. 2006-07}
\maketitle
\begin{center}
	 \textbf{ Introduzione e discussione generale}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 03-10-06:\\ Motivazioni ed obiettivi del corso. Testi di
	riferimento. Cosa NON \`e la
	Teoria delle Stringhe: preconcetti ed idee sbagliate. \\
	\item 03-10-06:\\
	Motivazioni a favore della Teoria delle Stringhe. 
	Cosa, fondamentalmente, \`e una ``stringa''. I cinque
	modelli di super-stringhe, e la $\mathbf{M}$-Theory
	\item 04-10-06:\\
	Dalla Fisica del ``punto materiale'' a quella della ``linea''.
	\textbf{Tensione} della stringa. Dinamica del punto vs Dinamica
	della stringa.
	\item 04-10-06:\\
	``Particelle elementari'' come \textit{modi vibrazionali} della
	stringa. Particelle ``leggere'' e stringhe eccitate al primo
	livello. Bosoni/Fermioni come differenti modi vibrazionali
	della stringa.
	\item 05-10-06:\\
	``Manifold della stringa'' ;  \textit{ \green  Coordinate}
	della stringa;   ``Spazio(tempo) Targhetta'';  
	\textit{ \green Superficie d' universo.}; bi-vettore tangente;
	\textit{ \cyan Metrica Indotta}; l' {\red Azione di Nambu-Goto} ed il
	suo significato geometrico.
	\item 05-10-06:\\
	Limite non-relativistico dell' azione di Nambu-Goto. Es. la stringa
	\textbf{rigida}.  Metrica indotta, e metrica della stringa.
	Azione di Nambu-Goto in termini della metrica indotta. Invarianza
	per ri-parametrizzazioni.
	\item 0-10-06:\\
	L' azione di Polyakov. Propriet\`a di simmetria: \\
	\begin{itemize}
	\item Invarianza di Lorentz come ``simmetria interna'';
	\item Invarianza per ri-parametrizzazioni;
	\item Invarianza di Weyl
	\end{itemize}
	Equazioni di campo.
	\item 0-10-06:\\
	Equivalenza classica tra l'azione di Polyakov e l'azione di
	Nambu-Goto. Gauge conforme.  Equazioni di vincolo, e variabili
	dinamiche indipendenti.
	\item 11-10-06:\\
	Incompatibilit\`a tra Invarianza di Lorentz e quantizzazione:
	il concetto di ``dimensione critica'' dello spaziotempo.
	\item 11-10-06:\\
	Interazione tra stringhe e ``\textit{\blue smearing}'' del
	vertice d' interazione. L' idea di ``\textbf{\green Lunghezza minima}''
	in teorie di stringa.
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{ L' ``alba'' della Teoria delle Stringhe}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 12-10-06:\\
	Risonanze Adroniche e Chew-Frautchi plot. Ampiezze di scattering
	pione-pione in Approssimazione di Born: andamento a $t$ fisso
	e ``grande''~$s$.
	\item 12-10-06:\\
	Ampiezze di scattering
	pione-pione in Approssimazione di Born: dipendenza dallo spin
	dell' oggetto scambiato. Modelli rinormalizzabili e 
	non-rinormalizzabili. Poli nel canale-$s$ e poli nel canale $t$.
	Dualit\`a.
	\item 16-10-06:\\
	Ampiezza di Veneziano per lo scattering $\pi+\pi\longrightarrow
	\pi+\omega$. ``\textbf{\green Traiettorie di Regge}''.
	Propriet\`a di analiticit\`a: rappresentazione in serie di poli.
	\item 16-10-06:\\
	Spettro di massa di un traiettorie di Regge e spin come funzione
	del momento trasferito, i.e. $j=\alpha\left(\, t\,\right)$.
	Andamento dell'ampiezza di Veneziano nel limite di Regge, i.e.
	a momento trasferito fisso ed alta energia.
	\item 17-10-06:\\
	Ricavare la traiettoria di Regge (classica) per una sbarra rigida,
	omogenea, rotante attorno al suo centro di massa. Si assuma che
	le estremita` della sbarra si muovano alla velocit\`a della luce.\\
	Determinare le traiettorie di Regge per un oscillatore armonico
	quantistico, non-relativistico, in $3D$. identificare la
	``tensione'' e l' ``intercetta''. Discutere la natura quantistica di
	$\alpha_0$.
	\item 17-10-06:\\
	Sulla base degli esercizi precedenti, fare un ``guess'' sulla
	possibile forma dello spettro di una stringa, modelizzandola
	come una famiglia di oscillatori armonici relativistici.
	Definire l' energia di punto-zero regolarizzata. \\
	Lo stato fondamentale della stringa bosonica: il problema del
	``\textbf{\red tachione}''. \\
	L' andamento dell' ampiezza di Veneziano nel limite di 
	\textbf{hard-scattering}, e la fine dei Modelli Duali.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{ Teorie di Kaluza-Klein: alla scoperta delle
	  ``dimensioni nascoste''  dello spazio}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
	\item 19-10-06:\\
	La metrica in $5D$: l' ipotesi ``cilindrica'' di Kaluza.\\
	Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0
	 $ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che
	 $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.\\
	Dimostrare che:\\
	 i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;\\
	 ii)  $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$  si trasfoma 
	 come un \textbf{ \green campo di gauge abeliano} con 
	 $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$  funzione di gauge.
	\item 19-10-06:\\
	Dimostrare che:\\
	$\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat
	 g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$.\\
	decomposizione della metrica in $5D$ in termini di campi in $4D$.
	\item 24-10-06:\\
	Esprimere la metrica controvariante $g^{MN}$ in termini di $g_{\mu\nu}$,
	$A_\mu$ e $\phi$. Calcolare $Det\left(\,g_{MN}\,\right) $.
	Assumendo che la gravit\`a in $5D$ sia descritta da
	\begin{equation}
	\mathbf{ S^{(5)}}= -\mathbf{\frac{1}{16\pi\, G_{(5)}}\int d^5x \,
 	\sqrt{-\mathrm{Det}( g^{(5)}_{\mu\nu} )}\, R^{(5)} }
	\end{equation}
	ricavare la relazione tra $G_{(5)} $ e $G_N$.\\
	Riscalo conforme, 
	$g^{(5)}_{\mu\nu}\longrightarrow \phi^{-1/3} g^{(5)}_{\mu\nu} $ ed
	azione nell' ``\textit{Einstein Frame}''.
	\item 24-10-06:\\
	Settore di \textbf{\red Einstein-Maxwell}: $\mathbf{\phi =1}$.
	Ricavare
	\begin{equation}
	l_K =2\sqrt{\pi}\, 10^{-33}\,cm
	\end{equation}
	Settore di \textbf{\red Brans-Dicke}:  $\mathbf{ A_\mu=0}$.
	Teorie scalari-tensori della gravit\`a. \\
	Settore \textbf{\red Dilatonico-Elettromagnetico}:
	$\mathbf{ g^{(4)}_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}}$. Il 
	\textbf{\blue Dilatone}.
	\item 25-10-06:\\
	$P_5$ come costante del moto. Unificazione di Energia, Momento
	e Carica Elettrica.\\
	Riduzione dimensionale dell'equazione delle geodetiche da $5D$
	a $4D$. 
	\item 25-10-06:\\
	O. Klein e la compattificazione della quinta dimensione:
	$\mathcal{M}^{(5)}\equiv R^{(4)}\times S^{(1)}$. Condizione
	di periodicit\`a in $x^5$ e sviluppo in serie di Fourier.
	\textbf{\cyan Modo-zero} e \textbf{\blue modi-KK}.
	Riduzione dimensionale dell' equazione di campo
	$\nabla_{(5)}\Phi\left(\, x^5\, x^\mu \,\right)$.
	\item 26-10-06:\\ Studiare lo spettro di un campo
	di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$.
	Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$
	utilizando la relazione tra la carica elettrica ed $l_K$.
	\item 26-10-06:\\
	Il problema della \textit{ \green  Compattificazione Spontanea.}
	Il modello di \textbf{\blue Freund-Rubin}.\\
	``\textbf{ \green Large extra-dimensions}'' ed Unificazione al $TeV$.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{ Dinamica classica e quantistica della stringa bosonica}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
	\item 31-10-06:\\
	Variazione, ad estremi fissi, dell' azione di Nambu-Goto.
	Equazioni di Eulero-Lagrange e condizioni ai bordi:\\
	condizioni di periodicit\`a, (stringa chiusa);\\
	condizioni di Neumann, (stringa aperta);\\
	condizioni di Dirichlet, (stringa aperta).\\
	\item 31-10-06:\\
	Correnti di momento sulla superficie d' universo.
	Vincoli e condizioni di mass-shell.\\
	Moto delle estremit\`a libere della stringa.
	Soluzione delle equazioni del moto per una stringa rigida,
	aperta: lunghezza propria e lunghezza di coordinate.
	\item 2-11-06:\\
	Soluzione delle equazioni del moto per una stringa rigida,
	aperta: condizioni ai bordi di Neumann; moto delle estremita`
	libere; velocit\`a di un generico punto lungo la stringa;
	posizione del centro di massa nello spaziotempo traghetta;
	mass/energy e momento angolare totale, traiettoria di  Regge.
	\item 2-11-06:\\
	Gauge Conforme: equazioni del moto e correnti di momento.
	Sviluppo in serie di Fourier per la stringa aperta con 
	condizioni ai bordi di Neumann. Moto del centro di massa.
	Momento totale e condizione di mass-shell.
	\item 7-11-06:\\
	Stringa aperta: soluzione in serie di Fourier; costanti di integrazione.
	Moto del centro di massa. Momento totale della stringa e condizione
	di mass-shell.
	\item 7-11-06:\\
	Condizioni di vincolo sulle ampiezze di Fourier. Ampiezze di Virasoro.
	Spettro di massa.\\
	Stringa chiusa: soluzione in serie di Fourier.
	\item 8-11-06:\\
	Stringa chiusa: modi-left e modi-right. Spettro di massa.\\
	Coordinate di cono-luce, aspetti cinematici e dinamica della
	particella relativistica.
	\item 8-11-06:\\
	Stringa aperta nella \textbf{\blue gauge di cono-luce}. Equazioni
	di vincolo per le ampiezze di Fourier. Spettro di massa per i 
	modi trasversi.
	\item 9-11-06:\\
	Hamiltoniana di cono-luce. ``Prima quantizzazione'' : commutatori
	canonici. Decomposizione della stringa in oscillatori armonici
	quantistici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$.
	\item 9-11-06:\\
	Ambiguit\`a di ordinamento e prescrizione di \textbf{\blue Normal
	Ordering}.  Energia di punto-zero della stringa bosonica.
	Regolarizzazione  dell' energia di punto-zero mediante:\\
	a) funzione Zeta di Riemann;\\
	b) cut-off esponenziale.\\
	 Energia di punto-zero di oscillatori fermionici.
	\item 14-11-06:\\
	Stringa come famiglia infinita di oscillatori armonici quantistici:
	forma canonica del commutatore. \\
	Generatori di Lorentz in termini dei modi di oscillazione.
	Hermiticit\`a ed ordinamento normale di $M^{-\,j}$. 
	Operatori di Virasoro trasversi.
	\item 14-11-06:\\
	Il commutatore $\left[\,M^{-\,i}\ ,M^{-\,j}\,\right] $ e
	la \textbf{\red dimensione critica} dello spaziotempo.\\
	Ordinamento normale dell' operatore \textbf{numero} 
	e l' operatore $\mathbf{M^2}$.
	\item 15-11-06:\\
	Gli operatori $L_0^\perp$ ed $M^2$ in termini dell' operatore
	$N^\perp$.\\  Lo ``\textbf{\blue stato di vuoto} della stringa.
	Base nello spazio di Hilbert tramite auto-stati di $N^\perp$.\\
	Es. Calcolare gli auto-valori di $N^\perp$ sui seguenti stati:
	$\alpha_{-2}^i\,\vert\, 0\,\rangle$, 
	$\alpha_{-3}^j \alpha_{-2}^i\,\vert\, 0\,\rangle$.
	\item 15-11-06:\\
	Spettro della stringa aperta. Massa e numero di stati presenti nel:\\
	$\bullet$ \textbf{\green Ground State};\\
	$\bullet\bullet$ \textbf{\red Primo livello eccitato};\\
	$\bullet\bullet$ \textbf{\blue Secondo livello eccitato};\\
	Il ``Tachione'' e l' instabilt\`a del vuoto.
	\item 16-11-06:\\
	Soluzioni classiche per la stringa aperta con condizioni
	ai bordi di Dirichlet lungo una direzione, e condizioni
	di Neumann lungo tutte le altre. Moto delle stremit\`a
	libere. $D$-brane.
	\item 16-11-06:\\
	Spettro di massa in funzione della distanza delle due
	$D$-brane parallele. Distanza critica. Il ``\textbf{\blue Meccanismo
	di Higgs}'' .
	\item 21-11-06:\\
	I 4 ``settori'' di un modello di due $D$-brane parallele: forma
	esplicita di $X^{25}$ e di $M^2$.\\
	Stati di Vuoto nei vari settori.\\
	Primo livello eccitato nei vari settori. Invarianza di gauge
	e ``rottura'' $U\left(\, 2\,\right)\longrightarrow 
	U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right)$; campi di gauge
	massless e massivi.
	\item 21-11-06:\\
	Indici di \textbf{\blue Chan-Paton} e campi non-Abeliani.
	\textbf{\red Teorie di Yang-Mills} come ``\textbf{teorie efficaci}''
	per le eccitazioni pi\`u basse di un sistema di $D$-brane.\\
	Invarianza di gauge e rottura di simmetria in un sistema di
	$N$ $D$-brane parallele
	\item 22-11-06:\\
	Modelli a $D$-brane ed il problema del confinamento in $QCD$.\\
	Congetture sulla $M$-theory.
	\item 22-11-06:\\
	Stringa chiusa: identificazione dei modi-zero left e right;
	soluzione delle condizione di vincolo per $\alpha_n^-$ ed
	$\widetilde{\alpha}_n^-$.
	\item 23-11-06:\\
	Operatori di Virasoro, Hamiltoninano e spettro di massa per
	la stringa chiusa.  Massa e spin per lo stato fondamentale 
	ed il primo livello eccitato.
	\item 23-11-06:\\
	Teoria di campo efficace per la stringa chiusa, in termini
	del Dilatone, Gravitone e potenziale di Kalb-Ramond.\\
	Il Dilatone e la costante di accoppiamento della stringa chiusa.\\
	L' azione di Einstein come approssimazione di ordine-$0$ in
	$\alpha^\prime$ dell'azione per il gravitone.
	\item 28-11-06:\\
	Il campo di Kalb-Ramond come ``mediatore'' dell' interazione
	``elettro-magnetica'' tra stringhe chiuse.\\
	Stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$.
	Modi di \textbf{\blue winding} e Modi di \textbf{\green Kaluza-Klein}.
	\item 28-11-06:\\
	Spettro della stringa chiusa in $\mathcal{M}^{D-1}\times\mathcal{S}^1$.
	Stati di vuoto nei settori : 1) $n=w=0$; 2) $n=1\ , w=0$; $n=0\ ,
	w=1$.\\
	 Stati con $n=w=0$: Settore di vuoto, $N^\perp= \widetilde{N}^\perp=0$;
	 Settore massless, $N^\perp= \widetilde{N}^\perp=1$, intepretazione
	 dei campi via riduzione dimensionale alla Kaluza-Klein ed invarianza
	 di gauge  $U\left(\, 1\,\right)\times U\left(\, 1\,\right) $.
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 
	 
	 
	 
	 \textbf{ Homeworks}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item Dimostrare che il D'Alembertiano covariante sugli scalari
	si scrive come:
	
	\begin{equation}
	g^{mn}\nabla_m\partial_n\vert_{scal.}=\frac{1}{\sqrt{-g}}
	\partial_m g^{mn}\sqrt{-g}\partial_n
	\end{equation}
	Ricavare la forma esplicita del tensore energia impulso della
	stringa dalla definizione
	
	\begin{equation}
	T^{mn}\equiv -\frac{2}{\sqrt{-g}}\frac{\delta S_P}{\delta g_{mn}}
	\end{equation}
	\item
	Si consideri una ri-parametrizzazione infinitesima 
	$\delta\sigma^m=\varepsilon^m$. Dimostrare che dall' invarianza
	dell' azione deriva:
	
	\begin{equation}
	\delta_\varepsilon S_P=0\longrightarrow \nabla_m \, T^{mn}=0
	\end{equation}
	
	Cosa implica la condizione $\nabla_m \, T^{mn}=0$ ? \\
	
	Si consideri una trasformazione di Weyl infinitesima 
	$\delta g_{mn}= 2\omega^2(\sigma)\,g_{mn} $.
	Dimostrare che dall' invarianza
	dell' azione deriva:
	\begin{equation}
	\delta_\omega S_P=0\longrightarrow  T^m_m=0
	\end{equation}
	\item
	Variabili di Mandelstam. Dimostrare che
	
	\begin{equation}
	s+t+u= \sum_i\left(\, M_i\,\right)^2
	\end{equation}
	
	\item
	Dimostrare che:
	
	\begin{equation}
	\frac{1}{\mathbf{g}^\prime{}_{55}} \mathbf{g}^\prime_{\mu\, 5}
 \mathbf{g}^\prime_{\nu\, 5} =
	\frac{\partial x^5}{\partial x^{\prime\, \mu}}
\frac{\partial x^5}{\partial x^{\prime\, \nu}}\mathbf{g}_{55} +
2\frac{\partial x^\nu}{\partial x^{\prime\, \mu}} 
\frac{\partial x^5}{\partial x^{\prime\, \nu}} \mathbf{g}_{\nu5}+
\frac{1}{\mathbf{g}_{55}}
\frac{\partial x^\alpha}{\partial x^{\prime\, \mu}}
\frac{\partial x^\beta}{\partial x^{\prime\, \nu}} \mathbf{g}_{\alpha\, 5}
\mathbf{g}_{\beta\, 5}
	\end{equation}
	
	\item
	Ricavare le equazioni di campo per $g_{\mu\nu}$, $A_\mu$, $\phi$
	dall' azione:
	
	\begin{equation} 
\mathbf{ S^{(5)}= - \frac{1}{16\pi\, G_N}\int d^4x \,
 \sqrt{-\mathrm{Det}( g^{(4)}_{\mu\nu} )}\,\left[\,
\, R^{(4)} +\frac{l_K^2}{4}  \,\phi\,
 F_{\mu\nu}\, F^{\mu\nu} +
\frac{1}{6\phi^2}g^{(4)\,\mu\nu}\partial_\mu\phi\,\partial_\nu\phi\,\right]
 }
\end{equation}
	
	\item Dimostrare che
	
	\begin{equation}
	\frac{d}{d\tau}\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^M}=
	\frac{\partial L}{\partial {x}^M}\longrightarrow
	\ddot{x}^M + \Gamma^M{}_{AB} \dot{x}^A\dot{x}^B=0
	\end{equation}
	\item
	verificare che
	\begin{equation}
	\left(\, dy^M\ , \frac{\partial }{\partial y^N}\, \right)=
	\delta^M{}_N
	\end{equation}

	con
	\begin{equation}
	\frac{\partial }{\partial y^\mu}\equiv \frac{\partial }{\partial x^\mu}
	-l_K \,A_\mu\,\frac{\partial }{\partial y^5}
	\end{equation}
	
	\item
	Calcolare
	\begin{equation}
		\left[\,  \frac{\partial }{\partial {y}^\mu}\ ,
		   \frac{\partial }{\partial {y}^\nu}  \,\right]=?
	\end{equation}	
	
	
	
	
	   
		
	
	
	\end{enumerate}
	\end{document}
