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Introduzione alla Teoria delle Stringhe
A.A. 2003-04

Modelli Duali:
le Interazioni Forti nei ``favolosi anni `60''.
  1. 29-09-03:
    Motivazioni ed obiettivi del corso. Testi di riferimento e materiale didattico on-line. Cosa non è la Teoria delle stringhe. Cosa, fondamentalmente, è la Teoria delle Stringhe.
  2. 29-09-03:
    Aspetti fenomenologici della fisica delle Interazioni Forti negli anni '60. Variabili di Mandelstam ed invarianza delle ampiezze elastiche per scambio $ s\leftrightarrow t $.
  3. 30-09-03:
    Eserc.1
    Si consideri l'urto elastico $\pi_1 + \pi_2 \rightarrow \pi_3 + \pi_4$. Determinare la dipendenza da $s$ e $t$ dell' ampiezza elastica di Born, nell' ipotesi che:
    i) nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$0$;
    ii) nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$J$;
    iii) si determinini l'andamento dell' ampiezza ad ``$1$-loop'' in funzione delllo spin-$J$ della particella scambiata.
  4. 30-09-03:
    Ampiezze elastiche come ``somme infinite di poli'' nel canale-$s$ e nel canale-$t$. La `` Dualità'' e l' Ampiezza di Veneziano. Le Traiettorie di Regge.
  5. 01-10-03: Rappresentazione dell' ampiezza di Veneziano come serie di poli nel canale-$s$ e nel canale-$t$.
    Eserc.2
    Ricavare dall' ampiezza di Veneziano la relazione fenomenologica tra massa e spin dell' oggetto scambiato nel canale-$s$, o nel canale-$t$.
    Andamento asintotico dell' ampiezza di Veneziano:
    i) nel limite di Regge;
    ii)ad alta energia ed angolo di diffusione fisso.
  6. 01-10-03:
    Eserc.3
    Calcolare la massa totale $M$ ed il momento angolare $J$ di una sbarra rigida, ruotante attorno al suo centro di massa in mod tale che le estremità abbiano velocità pari a quella della luce; determinare la relazione tra $M$ e $J$.
    La ``fine'' dei Modelli Duali.
Teorie di Kaluze-Klein: viaggio guidato nella ``quinta dimensione'' ...ed oltre!
  1. 01-10-03:
    La gravità in cinque dimensioni. La `` quinta dimensione'' e l' ipotesi di Kaluza: $\partial_5\, \hat g_{MN}\left(\, x^\mu\ , x^5\,\right)=0$. Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0 $ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.

  2. 06-10-03:
    Eserc.4 Dimostrare che:
    i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;
    ii) $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$ si trasfoma come un campo di gauge abeliano con $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$ funzione di gauge;
    iii) $\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$;
  3. 06-10-03:
    Forma generale della metrica di Kaluza-Klein in termini di campi $4$-dimensionali. Coefficienti di Connessione ed equazione delle geodetiche in $5$-dimensioni. $P_5$ come carica eletrica in $4D$.
  4. 07-10-03:
    Eserc.5
    Dimostrare che la componente-$5$ del momento lineare è una costante del moto in $5D$.
    Dimostrare che $\ddot x^\mu + \hat\Gamma^\mu{}_{AB}\dot x^A \dot x^B=0$ è equivalente a $\ddot x^\mu + \Gamma^\mu{}_{\nu\rho}\dot x^\nu \dot x^\rho= \frac{\kappa p_5}{m} F^\mu{}_\lambda \dot x^\lambda$.
    Dimostrare che $\hat p_\mu = p_\mu + \kappa p_5\, A_\mu$.
  5. 07-10-03:
    La quinta dimensione come `` cerchio'' $S^1$. Modo-zero e livelli eccitati di un campo in $M^4\times S^1$.
    Eserc.6
    Studiare lo spettro di un campo di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$.
  6. 08-10-03 :
    Eserc.7
    Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$ utilizando la relazione tra la carica elettrica e $p_5$.
    Dall' azione
    \begin{displaymath} S_{KK}= -\frac{1}{16\pi G_5}\int_{M^5} d^5x \sqrt{-g}\, g^{MN}\, R_{MN} \end{displaymath} (1)

    ricavare l'azione efficace per il ``modo-zero'' della metrica di Kaluza-Klein. ( Riduzione dimensionale )
  7. 08-10-03 :
    Eserc. 8
    Ricavare la relazione tra $G_5$, $G_N$, ed $R$;
    si assuma $R\approx 10^{-2}cm $. Quanto vale $G_5$ in unità naturali ?
    Si ripeta il conto precedente nel caso in cui le extra dimensioni siano una $2$-sfera di raggio $R$.
    `` Large extra-dimensions'' ed Unificazione al $TeV$ ( CENNI ).
  8. 13-10-03 :
    La formulazione alla Kaluza-Klein delle teorie di Yang-Mills ( CENNI).
    Eserc.9
    Determinare il numero minimo di dimensioni dello spazio compatto $K^{(D)}$ affinchè il gruppo di simmetria ``interna'' contenga $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$.
    Super Gravità in $D=11$ ed $M$-Theory ( CENNI).
  9. 13-10-03 :
    Eserc.10
    Dimostrare che le equazioni di Einstein in $4+D$ dimensioni, con $D>1$, nel vuoto non ammettono soluzioni del tipo Minkoswki $\times$ spazio compatto.
    Il problema della Compattificazione Spontanea. La soluzione di Wetterich vs il modello di Freund-Rubin.

``String-Wars I:
.... Il cono-luce sia con te!''

  1. 14-10-03 :
    ``Manifold universale'' ; Coordinate della stringa; ``Spazio(tempo) Targhetta''; Superficie d' universo.; bi-vettore tangente; Metrica Indotta; l' Azione di Nambu-Goto ed il suo significato geometrico.
  2. 14-10-03 :
    Eserc.11
    Scrivere l' azione di Nambu-Goto in termini della ``metrica indotta'' sulla superficie d'universo;
    dimostrare che l' azione di Nambu-Goto e` invariante per Diffeomorfismi $\xi^a=\xi^a(\, \sigma^m\,)$ del manifold d' universo.
    Calcolare il limite non-relativistico dell' azione di Nambu-Goto.
  3. 15-10-03 :
    Variazione ad estremi fissi dell' azione di Nambu-Goto; superfici d' universo estremali. Condizioni ai bordi: periodiche ( stringa chiusa ); Neumann ( stringa aperta ). Conservazione del flusso di momento $p_\mu^{(\sigma)}$ nei due casi. Condizioni ai bordi di Dirichlet (CENNI).
  4. 15-10-03 :
    Forma esplicita di $P_\mu^{(\tau)}$, $P_\mu^{(\sigma)}$ Vincoli e condizioni di ``mass-shell''. Moto delle estremità libere di una stringa aperta.
  5. 20-10-03 :
    Eserc.12
    Dimostrare che le funzioni
        $\displaystyle X^0=0$  
        $\displaystyle X^1=A\,\left(\,\sigma -\frac{\pi}{2}\,\right)\cos\omega\,\tau$  
        $\displaystyle X^2=A\,\left(\,\sigma -\frac{\pi}{2}\,\right)\sin\omega\,\tau$  
        $\displaystyle X^3=0$  

    risolvono le equazioni del moto per una stringa aperta, con condizioni ai bordi di Neumann. Calcolare la mass/energy ed il momento angolare totale. Verificare la relazione di Regge.
  6. 20-10-03 :
    L' azione di Polyakov. La stringa come Teoria di Campo in $2D$. Equivalenza con l'azione di Nambu-Goto.
  7. 21-10-03 :
    Simmetrie dell' azione di Polyakov. Condizioni di vincolo e loro significato fisico. Corenti di momento nella gauge conforme.
  8. 21-10-03 :
    Soluzione dell' equazioni del moto di una stringa aperta col metodo di Fourier. Centro di massa e momento totale della stringa.
  9. 22-10-03 :
    Eserc. 13
    Determinare una ``Lagrangiana efficace'' per le ampiezze di Fourier $\alpha^\mu_n$ della stringa. Dalla forma della ``Lagrangiana efficace'' ricavare la forma dello spettro.
  10. 22-10-03 :
    Soluzione dell' equazioni del moto di una stringa chiusa. Condizioni di vincolo. Ampiezze di Virasoro, $L_n$. $L_0=0$ come spettro di massa della stringa classica.
  11. 27-10-03 :
    Aspetti concettuali, e difficoltà tecniche della ``Prima Quantizzazione'' di una stringa relativistica. Unitarieta` ed invarianza di Lorentz.
  12. 27-10-03 :
    Eserc. 14
    Dall' Azione di Polyakov nella gauge conforme ricavare l' Hamiltoniana in coordinate di cono-luce. Discuterne il significato fisico ed isolare le coppie di variabili dinamiche.
  13. 28-10-03 :
    Invarianza di gauge `` residua'' nella gauge conforme. Coordinate di cono-luce nello spazio targhetta. Risoluzione delle equazioni dei vincoli in coordinate di cono-luce. Gradi di libertà fisici.
  14. 28-10-03 :
    Eserc.15
    Calcolare lo spettro di massa $M^2$ nella gauge di cono-luce in funzione delle ampiezze di Fourier trasverse.
    Determinare l' Hamiltoniana nella gauge di cono-luce trasverse.
``String-Wars II:
... Il cono-luce colpisce ancora!''
  1. 29-10-03 :
    Commutatori Canonici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$, $\left(\, \alpha^j_m\, \right)^\dagger$, i.e. l' algebra degli oscillatori armonici quantistici della stringa. Ambiguità di ordering. Normal ordering. L' operatore Hamiltoniano di cono-luce. Energia di punto-zero della stringa.
  2. 29-10-03 :
    Eserc. 16
    Calcolare l`` Energia di Casimir'' della stringa, definita come: $2 a_{reg.}\equiv\left(\, D-2\, \right) \lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty} n\exp\left(-\epsilon\, n \right)$; determinare $D$ in modo che $a_{reg.}=1$ affinche` l' invarianza di Lorentz sia preservata.
    Ripetere il conto aggiungendo il contributo di ``oscillatori fermionici'' $2 a_{reg.}\rightarrow 2a_{reg.} +\left(\, D-2/2\, \right) \lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\, 2n+1\,\right) \exp\left(-\epsilon\, n \right)$; calcolare il corrispondente valore di $D$.
    Studiare il ground state della stringa bosonica.
  3. 04-11-03 :
    Eserc. 17
    Calcolare gli autovalori dell'operatore $N$, numero di occupazione, ed $M^2$, sui seguenti stati di una stringa aperta:
        $\displaystyle N\, \alpha^j_{-1}\, \vert\, 0\, \rangle=? \ , \quad M^2\, \alpha^j_{-1}\, \vert\, 0\, \rangle=?$  
        $\displaystyle N\, \alpha^j_{-2}\, \vert\, 0\, \rangle=? \ , \quad M^2\, \alpha^j_{-2}\, \vert\, 0\, \rangle=?$  
        $\displaystyle N\, \alpha^j_{-1}\alpha^i_{-1}\vert\, 0\, \rangle=? \ , \quad M^2\, \alpha^j_{-1}\alpha^i_{-1}\vert\, 0\, \rangle=?$  

    contare il numero totale di stati presenti sui livelli $N=1$, $N=2$. Dimostrare che il numero di stati presenti sul livello $N=2$ è lo stesso delle componenti di un tensore simmetrico, a traccia nulla, di rango $2$ in D=26; calcolare la massa di questo oggetto.
  4. 04-11-03 :
    Energia di Punto-zero ed Invarianza di Lorentz: importanza in Teoria delle Stringhe.
    Operatori di Virasoro ed algebra dei vincoli.
  5. 05-11-03 :
    Algebra dei Diffeomorfismi sul cerchio. Il termine ``anomalo''. L' equazione per l' anomalia e la sua soluzione.
  6. 05-11-03 :
    Eserc. 18
    Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_1\ , L_{-1}\,\right] \,\vert \, 0\,\rangle $
    Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_2\ , L_{-2}\,\right] \,\vert \, 0\,\rangle $
    Calcolare i coefficienti $a_1$ ed $a_3$ della carica centrale. Esprimere le componenti $M^{-i}$ dei generatori di Lorentz tramite gli operatori di Virasoro, $L_m$.
  7. 10-11-03 :
    L' Anomalia di Lorentz e la Dimensione Critica dello Spaziotempo. Dimensioni Compatte in teorie di stringa.
  8. 10-11-03 :
    Quantizzazione canonica della stringa bosonica chiusa. Operatore Hamiltoniano ed operatore $M^2$. Stato fondamentale: Tachione.
  9. 11-11-03 :
    Quantizzazione canonica della stringa bosonica chiusa. Primo livello eccitato: Massa e numero totale di stati. Il gravitone, il dilatone, ed il potenziale di Kalb-Ramond.
  10. 11-11-03 :
    Teoria di campo efficace per i modi-zero della stringa chiusa. Riduzione dimensionale. ``Large/Small'' extra-dimensions ed Unificazione al $TeV$.
  11. 12-11-03 :
    Spettro di massa per una stringa chiusa in uno spazio targhetta con una dimensione compatta, e.g. $X^{25}\sim X^{25} + 2\pi R$. Winding Number e livelli di eccitazione topologici. Quantizzazione di $p^{25}$ e stati eccitati di Kaluza-Klein. T-Dualità e ``Lunghezza Minima''.
  12. 12-11-03 :
    Eserc. 19
    Calcolare lo spettro di massa per una stringa aperta con condizioni ai bordi di Neumann su $X^\mu(\,\tau\ ,\sigma\,)$ per $\mu=0\ ,1\ ,\dots \ , 24$, e condizioni di Dirichlet per $X^{25}(\,\tau\ ,\sigma\,)$: $X^{25}(\,\tau\ ,0\,)=0$, $X^{25}(\,\tau\ ,\pi\,)=y$;
    si studi, in particolare, la massa del ``fotone'', i.e. il primo livello eccitato della stringa aperta.
  13. 17-11-03 :
    $D$-Brane: significato fisico e proprietà rilevanti. Equazioni del moto delle estremità libere di una stringa aperta, in presenza di $D$-brane.
  14. 17-11-03 :
    $D0$-particelle e $D$-Istantoni (CENNI qualitativi). Il Meccanismo di Higgs e $D$-Brane (CENNI qualitativi)
  15. 18-11-03 :
    L' universo come una ``$D3$-Brana'': possibili conseguenze fenomenologiche per la fisica delle particelle elementari. Gravità quantistica ed acceleratori di particelle della prossima generazione.
  16. 18-11-03 :
    L' interazione fondamentale per stringhe aperte e stringhe chiuse. Sviluppo perturbativo dell' ampiezza di scattering come ``sviluppo nella topologia'' della superificie d' universo.
  17. 19-11-03 :
    Confronto tra lo sviluppo perturbativo in Teoria Quantistica dei Campi e lo sviluppo in ``genus'' in teorie quantistiche di stringa.
  18. 19-11-03 :
    Ampiezze di Scattering On-Shell. Formulazione a ``path-integral'' delle ampiezze di scattering stringa-stringa.
  19. 24-11-03 :
    Ampiezza elastica tachione-tachione: integrazione gaussiana sulle coordinate di stringa e contributo dei modi-zero. Regolarizzazione della funzione di Green in 2D.
  20. 24-11-03 :
    Simmetria residua dell'ampiezza di scattering per trasformazioni di scala globali della misura d' integrazione. Gauge fixing. Rinormalizzazione della costante di accopiamento. Ampiezza di Virasoro-Shapiro.

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Euro Spallucci 2004-01-15