\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
\pagestyle{empty}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Teoria delle Stringhe\\
        A.A. 2003-04}
\maketitle
	
	\begin{center}
	 \textbf{\red {\large Modelli Duali:\\} le Interazioni Forti nei
	 ``favolosi anni `60''.}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 29-09-03:\\ Motivazioni ed obiettivi del corso. Testi di
	riferimento e materiale didattico on-line. Cosa non \`e la
	Teoria delle stringhe. Cosa, fondamentalmente, \`e la Teoria delle
	Stringhe.\\
	\item 29-09-03: \\
	Aspetti fenomenologici
	della fisica delle Interazioni Forti negli anni '60. Variabili
	di Mandelstam ed invarianza delle ampiezze elastiche per scambio
	$ s\leftrightarrow t $.\\ 
	\item 30-09-03: \\
	\textbf{ {Eserc.}1}\\
	 \textit{ Si consideri l'urto
	elastico $\pi_1 + \pi_2 \rightarrow \pi_3 + \pi_4$. Determinare
	la dipendenza da $s$ e $t$
	dell' ampiezza elastica di Born, nell' ipotesi
	che:\\
	i) nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$0$;\\
	ii)  nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$J$;\\
	iii) si determinini l'andamento dell' ampiezza ad ``$1$-loop''
	in funzione delllo spin-$J$ della particella scambiata.}  \\ 
	\item 30-09-03:\\  Ampiezze elastiche come ``somme infinite di poli''
	nel canale-$s$ e nel canale-$t$. La ``\textit{ \green  Dualit\`a}'' e
	l' \textit{ \green  Ampiezza di Veneziano.} Le  \textit{ \green 
	Traiettorie di Regge.}
	\\  
	\item 01-10-03: Rappresentazione
	dell'  ampiezza di Veneziano come serie di poli nel canale-$s$ e nel
	canale-$t$.\\
	\textbf{ {Eserc.}2}\\
	 \textit{
	Ricavare dall' ampiezza di Veneziano la relazione fenomenologica 
	tra massa e spin dell' oggetto scambiato nel canale-$s$, o nel
	canale-$t$.}\\
	Andamento asintotico dell' ampiezza di Veneziano:\\
	i) nel limite di Regge;\\
	ii)ad alta energia ed angolo
	di diffusione fisso.\\
	\item 01-10-03:\\ \textbf{ {Eserc.}3}\\ \textit{   Calcolare la massa
	totale $M$ ed il momento angolare $J$ di una sbarra rigida, ruotante 
	attorno al suo centro di massa in mod tale che le estremit\`a abbiano
	velocit\`a pari a quella della luce; determinare la relazione tra
	$M$ e $J$.} \\
	La ``fine'' dei Modelli Duali.
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{\yellow {\large Teorie di Kaluze-Klein}: viaggio guidato nella
	 ``quinta dimensione'' \dots  ed oltre!}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 01-10-03:\\
	La gravit\`a in cinque dimensioni. La ``\textit{ quinta dimensione}'' e
	l' ipotesi di Kaluza:
	$\partial_5\, \hat g_{MN}\left(\, x^\mu\ , x^5\,\right)=0$.
	%\textbf{ {Eserc.}4} 
	\textit{ Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0
	 $ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che
	 $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.}\\
	 
	 \item 06-10-03:\\
	 \textbf{ {Eserc.}4}\textit{ Dimostrare che:\\
	 i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;\\
	 ii)  $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$  si trasfoma 
	 come un 
	 \textit{ \green campo di gauge abeliano} con $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$ 
	 funzione di gauge; \\
	 iii) $\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat
	 g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$;}
	\item 06-10-03:\\
	Forma generale della metrica di Kaluza-Klein in termini di
	campi $4$-dimensionali. Coefficienti di Connessione ed equazione
	delle geodetiche in $5$-dimensioni. $P_5$ come carica eletrica in
	$4D$.
	\item 07-10-03:\\ \textbf{ {Eserc.}5 }\\
	 \textit{   Dimostrare che
	la componente-$5$ del momento lineare \`e una costante del moto
	in $5D$. \\
	Dimostrare che $\ddot x^\mu + \hat\Gamma^\mu{}_{AB}\dot x^A \dot x^B=0$
	\`e equivalente a $\ddot x^\mu + \Gamma^\mu{}_{\nu\rho}\dot x^\nu
	 \dot x^\rho= \frac{\kappa p_5}{m} F^\mu{}_\lambda \dot x^\lambda$.\\
	 Dimostrare che $\hat p_\mu = p_\mu + \kappa p_5\, A_\mu$.}
	 \item 07-10-03:\\
	La quinta dimensione come ``\textit{ \green cerchio}'' $S^1$. Modo-zero e
	livelli eccitati di un campo in $M^4\times S^1$. 
	\\
	\textbf{ {Eserc.}6 } \\\textit{   Studiare lo spettro di un campo
	di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$.}
	\item 08-10-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.}7 }\\ \textit{   Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$
	utilizando la relazione tra la carica elettrica e $p_5$.\\
	Dall' azione
	\begin{equation}
	S_{KK}= -\frac{1}{16\pi G_5}\int_{M^5} d^5x \sqrt{-g}\, g^{MN}\, R_{MN}
	\end{equation}
	ricavare l'azione efficace per il ``modo-zero'' della metrica
	di Kaluza-Klein. ( {\green Riduzione dimensionale} ) }
	\item 08-10-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 8} \\\textit{Ricavare la relazione tra $G_5$, $G_N$,
	ed $R$;\\
	si assuma $R\approx 10^{-2}cm $. Quanto vale $G_5$ in unit\`a naturali
	?\\
	Si ripeta il conto precedente nel caso in cui le extra dimensioni siano
	una $2$-sfera di raggio $R$.}\\
	``\textit{ \green Large extra-dimensions}'' ed Unificazione al $TeV$ ( CENNI ).
	\item 13-10-03 :\\  
	La formulazione alla Kaluza-Klein delle teorie di Yang-Mills ( CENNI).\\
	\textbf{ {Eserc.}9} \\\textit{   Determinare il
	numero minimo di dimensioni dello
	spazio compatto $K^{(D)}$ affinch\`e il gruppo di simmetria ``interna''
	contenga $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$. }\\
	Super Gravit\`a in $D=11$ ed $M$-Theory ( CENNI).
	\item 13-10-03 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}10}\\ \textit{   Dimostrare che le equazioni di Einstein
	in $4+D$ dimensioni, con $D>1$, nel vuoto non ammettono soluzioni del 
	tipo Minkoswki $\times$ spazio compatto.} \\
	Il problema della \textit{ \green  Compattificazione Spontanea.}
	La soluzione di Wetterich vs il modello di Freund-Rubin.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{\cyan {\large  ``String-Wars I}: \\
	 ....  Il cono-luce sia con te!''}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
	\item  14-10-03 :\\ 
	``Manifold universale'' ;  \textit{ \green  Coordinate}
	della stringa;   ``Spazio(tempo) Targhetta'';  
	\textit{ \green Superficie d' universo.}; bi-vettore tangente;
	\textit{ \cyan Metrica Indotta}; l' {\red Azione di Nambu-Goto} ed il
	suo significato geometrico.
	\item  14-10-03 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}11}\\
	 \textit{   Scrivere l' azione di Nambu-Goto in
	termini della ``metrica indotta'' sulla  superficie d'universo;\\
	dimostrare che l' azione di Nambu-Goto e` invariante per
	Diffeomorfismi  $\xi^a=\xi^a(\, \sigma^m\,)$ del manifold d' universo.\\
	Calcolare il limite non-relativistico dell' azione di Nambu-Goto.}
	\item  15-10-03 :\\ 
	Variazione ad estremi fissi dell' azione di Nambu-Goto;
	superfici d' universo estremali. Condizioni ai
	bordi:  periodiche ( stringa chiusa ); Neumann ( stringa aperta ).
	Conservazione del flusso di momento $p_\mu^{(\sigma)}$ nei due casi.
	Condizioni ai bordi di Dirichlet (CENNI).
	\item  15-10-03 :\\ 
	Forma esplicita di $P_\mu^{(\tau)}$, $P_\mu^{(\sigma)}$
	Vincoli e condizioni di ``mass-shell''. Moto delle estremit\`a
	libere di una stringa aperta.
	\item  20-10-03 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}12}\\
	\textit{Dimostrare che le funzioni}
	\begin{eqnarray}
	&& X^0=0\nonumber\\
	&& X^1=A\,\left(\,\sigma
	-\frac{\pi}{2}\,\right)\cos\omega\,\tau\nonumber\\
	 && X^2=A\,\left(\,\sigma
	-\frac{\pi}{2}\,\right)\sin\omega\,\tau\nonumber\\
	 && X^3=0\nonumber\\
	 \end{eqnarray}
	 \textit{risolvono le equazioni del moto per una stringa aperta, con condizioni
	 ai bordi di Neumann. Calcolare la mass/energy ed il momento angolare
	 totale. Verificare la relazione di Regge. 
	 }
	\item 20-10-03 :\\ L' azione di Polyakov. La stringa come Teoria di
	Campo in $2D$. Equivalenza con l'azione di Nambu-Goto. 
	\item 21-10-03 :\\ 
	Simmetrie dell' azione di Polyakov. Condizioni di vincolo e loro
	significato fisico. Corenti di momento nella gauge conforme.
	\item 21-10-03 :\\ 
	Soluzione dell' equazioni del moto di una stringa aperta col metodo
	di Fourier. Centro di massa e momento totale della stringa.
	\item 22-10-03 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.} 13}\\
	\textit{ Determinare una ``Lagrangiana efficace'' per le ampiezze di
	Fourier $\alpha^\mu_n$ della stringa. Dalla forma della ``Lagrangiana
	efficace'' ricavare la forma dello spettro.}
	\item 22-10-03 :\\ 
	Soluzione dell' equazioni del moto di una stringa chiusa. Condizioni
	di vincolo. Ampiezze di Virasoro, $L_n$.
	 $L_0=0$ come spettro di massa della stringa classica.
	\item 27-10-03 :\\ 
	Aspetti concettuali, e difficolt\`a tecniche della ``{\it\blue Prima
	Quantizzazione}'' di una stringa relativistica. Unitarieta` ed
	invarianza di Lorentz.
	\item 27-10-03 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.} 14}\\
	\textit{Dall' Azione di Polyakov nella gauge conforme ricavare
	l' Hamiltoniana in coordinate di cono-luce. Discuterne il significato
	fisico ed isolare le coppie di variabili dinamiche.}
	\item 28-10-03 :\\ 
	Invarianza di gauge ``\textit{ \green residua}'' nella gauge conforme.
	Coordinate di cono-luce nello spazio targhetta.
	Risoluzione delle equazioni dei vincoli in coordinate di cono-luce.
	Gradi di libert\`a fisici.
	\item 28-10-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.}15 }\\
	\textit{Calcolare lo spettro di massa $M^2$
	nella gauge di cono-luce in funzione delle ampiezze di Fourier 
	trasverse.\\
	Determinare l' Hamiltoniana nella gauge di cono-luce trasverse.}
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{\cyan {\large  ``String-Wars II}: \\
	 ... Il cono-luce colpisce ancora!''}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 29-10-03 :\\ 
	Commutatori Canonici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$,
	$\left(\, \alpha^j_m\, \right)^\dagger$, i.e. l'~algebra degli 
	oscillatori armonici quantistici della stringa.
	Ambiguit\`a di ordering. \textit{ \green  Normal ordering.} L' operatore
	Hamiltoniano di cono-luce.  \textit{ \green Energia di punto-zero}
	della stringa.
	\item 29-10-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 16}\\
	\textit{ Calcolare l`` Energia di Casimir'' della
	stringa, definita come: $2 a_{reg.}\equiv\left(\, D-2\, \right) 
	\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty} n\exp\left(-\epsilon\, n  
	\right)$; determinare $D$ in modo che $a_{reg.}=1$ affinche` l'
	invarianza di Lorentz sia preservata.\\
	Ripetere il conto aggiungendo il contributo di ``oscillatori fermionici''
	 $2 a_{reg.}\rightarrow 2a_{reg.} +\left(\, D-2/2\, \right) 
	\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\, 2n+1\,\right)
	\exp\left(-\epsilon\, n  \right)$; calcolare il corrispondente
	valore di $D$.\\
	Studiare il ground state della stringa bosonica.}
	\item 04-11-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 17}\\
	\textit{Calcolare gli autovalori dell'operatore $N$, numero di 
	occupazione, ed $M^2$, sui seguenti stati di una stringa aperta:
	\begin{eqnarray}
	&& N\, \alpha^j_{-1}\, \vert\, 0\, \rangle=? \ , \quad
	M^2\, \alpha^j_{-1}\, \vert\, 0\, \rangle=? \nonumber\\
	&& N\, \alpha^j_{-2}\, \vert\, 0\, \rangle=? \ , \quad
	M^2\, \alpha^j_{-2}\, \vert\, 0\, \rangle=? \nonumber\\
	&& N\, \alpha^j_{-1}\alpha^i_{-1}\vert\, 0\, \rangle=? \ , \quad
	M^2\, \alpha^j_{-1}\alpha^i_{-1}\vert\, 0\, \rangle=?\nonumber\\
	\end{eqnarray}
	 contare il numero totale di stati presenti sui livelli
	 $N=1$, $N=2$. Dimostrare che
	 il numero di stati presenti sul livello $N=2$ \`e lo stesso delle
	 componenti di un tensore simmetrico, a traccia nulla, di rango $2$
	 in D=26; calcolare la massa di questo oggetto.}
	\item 04-11-03 :\\ 
	Energia di Punto-zero ed Invarianza di Lorentz: importanza in Teoria
	delle Stringhe.\\
	Operatori di Virasoro ed algebra dei vincoli.
	\item 05-11-03 :\\ 
	Algebra dei Diffeomorfismi sul cerchio. Il termine ``\textit{anomalo}''.
	L' equazione per l' anomalia e la sua soluzione.
	\item  05-11-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 18}\\
	\textit{ Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_1\ , L_{-1}\,\right]
	\,\vert \, 0\,\rangle $ }\\
	\textit{ Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_2\ , L_{-2}\,\right]
	\,\vert \, 0\,\rangle $ }\\
	\textit{ Calcolare i coefficienti $a_1$ ed $a_3$ della carica centrale.}
	\textit{ Esprimere le componenti $M^{-i}$ dei generatori di Lorentz
	tramite gli operatori di Virasoro, $L_m$.}
	\item  10-11-03 :\\
	{\it \red L' Anomalia di Lorentz} e la {\it \green Dimensione Critica}
	dello Spaziotempo. Dimensioni Compatte in teorie di stringa.
	\item 10-11-03 :\\
	Quantizzazione canonica della stringa bosonica chiusa. Operatore
	Hamiltoniano ed operatore $M^2$. Stato fondamentale: {\red Tachione}. 
	\item 11-11-03 :\\
	Quantizzazione canonica della stringa bosonica chiusa.
	Primo livello eccitato:  Massa e numero totale di
	stati. Il {\cyan gravitone}, il  {\yellow dilatone}, ed il
	{\green potenziale di Kalb-Ramond}.
	\item 11-11-03 :\\
	\textit{Teoria di campo efficace} per i modi-zero della stringa
	chiusa. Riduzione dimensionale. ``Large/Small'' extra-dimensions
	ed Unificazione al $TeV$.
	\item 12-11-03 :\\
	Spettro di massa per una stringa chiusa
	in uno spazio targhetta con una dimensione compatta, e.g.
	$X^{25}\sim X^{25} + 2\pi R$. \textit{\blue Winding Number} e livelli di
	eccitazione topologici. 
	Quantizzazione di $p^{25}$ e stati eccitati di Kaluza-Klein.
	\textit{\red T-Dualit\`a} e ``{\red Lunghezza Minima}''.
	\item 12-11-03 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 19}\\
	\textit{Calcolare lo spettro di massa per una stringa aperta con
	condizioni ai bordi di Neumann su $X^\mu(\,\tau\ ,\sigma\,)$ per
	$\mu=0\ ,1\ ,\dots \ , 24$, e condizioni di Dirichlet per 
	$X^{25}(\,\tau\ ,\sigma\,)$: $X^{25}(\,\tau\ ,0\,)=0$,
	$X^{25}(\,\tau\ ,\pi\,)=y$;\\
	si studi, in particolare, la massa del ``fotone'', i.e.
	il primo livello eccitato della stringa aperta.}\\
	\item 17-11-03 :\\
	{\yellow $D$-Brane}: significato fisico e propriet\`a rilevanti.
	Equazioni del moto delle estremit\`a libere di una stringa aperta,
	in presenza di $D$-brane.
	\item 17-11-03 :\\
	$D0$-particelle e $D$-Istantoni (CENNI qualitativi).
	Il Meccanismo di Higgs e $D$-Brane (CENNI qualitativi)
	\item 18-11-03 :\\
	L' universo come una ``$D3$-Brana'': possibili conseguenze
	fenomenologiche per la fisica delle particelle elementari.
	Gravit\`a quantistica ed acceleratori di particelle della
	prossima generazione.
	\item 18-11-03 :\\
	L' interazione fondamentale per stringhe aperte e stringhe
	chiuse. Sviluppo perturbativo dell' ampiezza di scattering
	come ``sviluppo nella topologia'' della superificie d' universo.
	\item 19-11-03 :\\
	Confronto tra lo sviluppo perturbativo in Teoria Quantistica dei Campi
	e lo sviluppo in ``{\blue genus}'' in teorie quantistiche di stringa.
	\item 19-11-03 :\\
	Ampiezze di {\green Scattering On-Shell}. Formulazione a 
	``\textit{path-integral}'' delle ampiezze di scattering stringa-stringa.
	\item 24-11-03 :\\
	{\cyan Ampiezza elastica tachione-tachione}:
	integrazione gaussiana sulle coordinate di stringa e contributo
	dei modi-zero. Regolarizzazione della funzione di Green in 2D.
	\item 24-11-03 :\\
	Simmetria residua dell'ampiezza di scattering
	per trasformazioni di scala globali della misura d' integrazione.
	Gauge fixing. Rinormalizzazione della costante di accopiamento.
	Ampiezza di Virasoro-Shapiro.
	\end{enumerate}
	\end{document}
