Introduzione alla Teoria delle Stringhe
A.A. 2002-03

Modelli Duali:
le Interazioni Forti nei ``favolosi anni `60''.

1. 01-10-02:
   Motivazioni e struttura del corso. Testi di riferimento e materiale didattico on-line. Aspetti fenomenologici della fisica delle Interazioni Forti negli anni '60. Variabili di Mandelstam ed invarianza delle ampiezze elastiche per scambio $s\leftrightarrow t$.
   
2. 01-10-02:
   Eserc.1
   Si consideri l'urto elastico $\pi_1 + \pi_2 \rightarrow \pi_3 + \pi_4$. Determinare la dipendenza da $s$ e $t$ dell' ampiezza elastica di Born, nell' ipotesi che:
   i) nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$0$;
   ii) nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$J$;
   iii) si determinini l'andamento dell' ampiezza ad ``$1$-loop'' in funzione delllo spin-$J$ della particella scambiata.
   
3. 02-10-02:
   Ampiezze elastiche come ``somme infinite di poli'' nel canale-$s$ e nel canale-$t$. La `` Dualità'' e l' Ampiezza di Veneziano. Le Traiettorie di Regge.
   
4. 02-10-02:
   Eserc.2
   Utilizzando le proprietà di analiticità della Funzione-$Gamma$ di Eulero, dimostrare che l' ampiezza di Veneziano ha solo poli semplici nel canale-$s$ e nel canale-$t$.
   Ricavare la massa dell' oggetto scambiato nel canale-$s$ o nel canale-$t$ in funzione dei parametri $\alpha^\prime$ ed $\alpha(0)$ della traiettoria di Regge; verificare la relazione lineare tra spin e massa al quadrato dell' oggetto medesimo.
   Utilizzando la formula di Stirling determinare l'andamento asintotico dell' ampiezza di Veneziano a ``grandi $s$ e $t$ fissato''.
   
5. 14-10-02:
   Eserc.3
   Calcolare la massa totale $M$ ed il momento angolare $J$ di una sbarra rigida, ruotante attorno al suo centro di massa in mod tale che le estremità abbiano velocità pari a quella della luce; determinare la relazione tra $M$ e $J$.
   Andamento dell' ampiezza di Veneziano ad alta energia ed angolo di diffusione fisso. La fine dei modelli adronici a stringa.

Teorie di Kaluze-Klein: viaggio guidato nella ``quinta dimensione'' ...ed oltre!

1. 14-10-02:
   La gravità in cinque dimensioni. La `` quinta dimensione'' e l' ipotesi di Kaluza: $\partial_5\, \hat g_{MN}\left(\, x^\mu\ , x^5\,\right)=0$.
2. 15-10-02:
   Eserc.4 Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0$ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.
   Dimostrare che:
   i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;
   ii) $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$ si trasfoma come un campo di gauge abeliano con $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$ funzione di gauge;
   iii) $\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$;
3. 15-10-02:
   Forma generale della metrica di Kaluza-Klein in termini di campi $4$-dimensionali. Coefficienti di Connessione ed equazione delle geodetiche in $5$-dimensioni.
4. 16-10-02:
   Eserc.5
   Dimostrare che la componente-$5$ del momento lineare è una costante del moto in $5D$.
   Dimostrare che $\ddot x^\mu + \hat\Gamma^\mu{}_{AB}\dot x^A \dot x^B=0$ è equivalente a $\ddot x^\mu + \Gamma^\mu{}_{\nu\rho}\dot x^\nu \dot x^\rho= \frac{\kappa p_5}{m} F^\mu{}_\lambda \dot x^\lambda$.
   Dimostrare che $\hat p_\mu = p_\mu + \kappa p_5\, A_\mu$.
5. 16-10-02:
   L' ``unificazione'' di energia-momento-carica. La quinta dimensione come `` cerchio'' $S^1$. Modo-zero e livelli eccitati di un campo in $M^4\times S^1$. Il signifcato di $\partial_5\, \hat g_{MN}\left(\, x^\mu\ , x^5\,\right)=0$.
   Eserc.6
   Studiare lo spettro di un campo di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$.
6. 21-10-02 :
   Eserc.7
   Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$ utilizando la relazione tra la carica elettrica e $p_5$.
   Dall' azione
   

   $$S_{KK}= -\frac{1}{16\pi G_5}\int_{M^5} d^5x \sqrt{-g}\, g^{MN}\, R_{MN}$$ (1)

   
   
   ricavare l'azione efficace per il ``modo-zero'' della metrica di Kaluza-Klein. ( Riduzione dimensionale )
7. 21-10-02 :
   Eserc. 8
   Ricavare la relazione tra $G_5$, $G_N$, ed $R$;
   si assuma $R\approx 10^{-2}cm$. Quanto vale $G_5$ in unità naturali ?
   Si ripeta il conto precedente nel caso in cui le extra dimensioni siano una $2$-sfera di raggio $R$.
   `` Large extra-dimensions'' ed Unificazione al $TeV$ ( CENNI ).
8. 22-10-02 :
   La formulazione alla Kaluza-Klein delle teorie di Yang-Mills ( CENNI).
   Eserc.9
   Determinare il numero minimo di dimensioni dello spazio compatto $K^{(D)}$ affinchè il gruppo di simmetria ``interna'' contenga $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$.
   Super Gravità in $D=11$ ed $M$-Theory ( CENNI).
9. 22-10-02 :
   Eserc.10
   Dimostrare che le equazioni di Einstein in $4+D$ dimensioni, con $D>1$, nel vuoto non ammettono soluzioni del tipo Minkoswki $\times$ spazio compatto.
   Il problema della Compattificazione Spontanea. La soluzione di Wetterich vs il modello di Freund-Rubin.

``String-Wars I:
.... Il cono-luce sia con te!''

1. 23-10-02 :
   Mini-Glossario dei modelli a stringa: ``manifold d' universo''; Coordinate della stringa; ``spazio targhetta''; Superficie d' universo.
2. 23-10-02 :
   La dinamica della stringa relativistica come dinamica della superficie d'universo. L' azione di Nambu-Goto ed il suo significato geometrico. La tensione della stringa.
3. 24-10-02 :
   Eserc.11
   Scrivere l' azione di Nambu-Goto in termini della ``metrica indotta'' sulla superficie d'universo;
   dimostrare che l' azione di Nambu-Goto e` invariante per Diffeomorfismi $\xi^a=\xi^a(\, \sigma^m\,)$ del manifold d' universo.
   Calcolare il limite non-relativistico dell' azione di Nambu-Goto.
4. 24-10-02 :
   Variazione ad estremi fissi dell' azione di Nambu-Goto. Condizioni ai bordi : periodiche ( stringa chiusa ); Neumann ( stringa aperta ). Conservazione del flusso di momento $p_\mu^{(\sigma)}$ nei due casi. Condizioni ai bordi di Dirichlet (CENNI).
5. 28-10-02 :
   Momento lineare totale e momento angolare totale di una stringa. Equazioni di Eulero-Lagrange per la superficie d' universo. Vincoli e condizioni di ``mass-shell''.
6. 28-10-02 :
   Eserc.12
   Data:
   

   $$S_1=-m\int d\tau\sqrt{-{\dot x}^2}$$ (2)

   
   
   dimostrare che l' Hamiltoniana canonica è identicamente nulla.
   Si consideri
   

   $$S_2=-\int d\tau\left[\, \frac{{\dot x}^2}{2e(\tau)}-\frac{m^2}{2} e(\tau) \,\right]$$ (3)

   
   
   Come deve trasformarsi la variabile ausiliaria $e(\tau)$ affinchè $S_2$ sia invariante per riparametrizzazioni?
   Dimostrare che $S_1$ ed $S_2$ danno la stessa dinamica classica.
7. 29-10-02 :
   L' azione di Polyakov: proprietà di simmetria e significato fisico. Equivalenza classica con l'azione di Nambu-Goto.
8. 29-10-02 :
   L' azione di Polyakov nella Gauge Conforme. Equazioni del moto e condizioni di vincolo.
9. 30-10-02 :
   Eserc. 13
   Calcolare $p^\tau{}_\mu$ e $p^\sigma{}_\mu$ nella ``gauge conforme'', e verifcare le condizioni di vincolo.
   Risolvere le equazioni del moto $\ddot X^\mu -X^{\prime\prime\, \mu}=0$ per una stringa aperta con condizioni ai bordi di Neumann tramite serie di Fourier. Determinare il significato fisico delle due costanti di integrazione.
10. 30-10-02 :
    Eserc. 14
    Determinare a quali condizioni devono soddisfare le ampiezze di Fourier $\alpha^\mu_n$ affinchè $X^\mu$ siano reali.
    Risolvere le equazioni del moto $\ddot X^\mu -X^{\prime\prime\, \mu}=0$ per una stringa chiusa con condizioni di periodicitaà ai bordi tramite serie di Fourier.
11. 04-11-02 :
    Equazioni di vincolo in termini delle componenti di Fourier del tensore energia impulso. $L_0=0$ come spettro di massa della stringa classica.
12. 04-11-02 :
    Invarianza di gauge `` residua'' nella gauge conforme. Coordinate di cono-luce nello spazio targhetta.
13. 05-11-02 :
    Risoluzione delle equazioni dei vincoli in coordinate di cono-luce. Gradi di libertà fisici.
14. 05-11-02 :
    Eserc.15
    Calcolare lo spettro di massa $M^2$ nella gauge di cono-luce in funzione delle ampiezze di Fourier.
    Determinare l' Hamiltoniana nella gauge di cono-luce.

``String-Wars II:
... Il cono-luce colpisce ancora!''

1. 06-11-02 :
   Commutatori Canonici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$, $\left(\, \alpha^j_m\, \right)^\dagger$, i.e. l' algebra degli oscillatori armonici quantistici della stringa.
2. 06-11-02 :
   Ambiguità di ordering. Normal ordering. L' operatore Hamiltoniano di cono-luce. Energia di punto-zero della stringa.
3. 11-11-02 :
   Eserc. 16
   Calcolare l`` Energia di Casimir'' della stringa, definita come: $2 a_{reg.}\equiv\left(\, D-2\, \right) \lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty} n\exp\left(-\epsilon\, n \right)$; determinare $D$ in modo che $a_{reg.}=1$ affinche` l' invarianza di Lorentz sia preservata.
   Ripetere il conto aggiungendo il contributo di ``oscillatori fermionici'' $2 a_{reg.}\rightarrow 2a_{reg.} +\left(\, D-2/2\, \right) \lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\, 2n+1\,\right) \exp\left(-\epsilon\, n \right)$; calcolare il corrispondente valore di $D$.
4. 11-11-02 :
   Operatori `` Numero di Occupazione.'' e `` Massa al Quadrato.''. Lo Stato Fondamentale della stringa bosonica (aperta) Il primo livello eccitato della stringa bosonica (aperta) ed il problema dell' invarianza di Lorentz.
5. 12-11-02 :
   Eserc. 17
   Calcolare gli autovalori dell'operatore $N$, numero di occupazione sui seguenti stati: $\alpha^j_{-2}\vert\, 0\, \rangle$; $\alpha^j_{-1}\alpha^i_{-1}\vert\, 0\, \rangle$. Dimostrare che il numero di stati presenti sul livello $N=2$ è lo stesso delle componenti di un tensore simmetrico, a traccia nulla, di rango $2$ in D=26; calcolare la massa di questo oggetto.
6. 12-11-02 :
   Lo spettro di massa della stringa bosonica e le traiettorie di Regge: ancora $D=26$.
   L' invarianza di Lorentz in coordinate di cono-luce: $M^{-i}$ come possibili generatori anomali.
7. 13-11-02 :
   Eserc. 18
   Calcolare il commutatore: $\left[\, \alpha^i_m\ ,\alpha^-_n\,\right]$.
   Calcolare il commutatore: $\left[\,\alpha^-_m\ ,\alpha^-_n\, \right]$.
8. 13-11-02 :
   L' Algebra di Virasoro come ``estensione centrale'' dell' algebra dei diffeomorfismi sul cerchio, i.e. l' Anomalia dell'algebra degli operatori di Virasoro $L_m$. Le identità di Jacobi per gli $L_m$ e l' equazione per il termine anomalo in $\left[\, L_m\ , L_n\,\right]$.
9. 18-11-02 :
   Eserc. 19
   Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_1\ , L_{-1}\,\right] \,\vert \, 0\,\rangle$
   Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_2\ , L_{-2}\,\right] \,\vert \, 0\,\rangle$
   Calcolare i coefficienti $a_1$ ed $a_3$ della carica centrale.
10. 18-11-02 :
    Quantizzazione canonica della stringa bosonica chiusa. Operatore Hamiltoniano ed operatore $M^2$. Stato fondamentale: Tachione. Primo livello eccitato: gravitone, dilatone, potenziale di Kalb-Ramond.
11. 19-11-02 :
    Eserc. 20
    Calcolare lo spettro di massa per una stringa chiusa in uno spazio targhetta con $X^{25}\sim X^{25} + 2\pi R$.
12. 19-11-02 :
    Winding Number e livelli di eccitazione topologici. Quantizzazione di $p^{25}$ e stati eccitati di Kaluza-Klein. T-Dualità e le sue conseguenze fisiche.
13. 20-11-02 :
    Eserc. 21
    Calcolare lo spettro di massa per una stringa aperta con condizioni ai bordi di Neumann su $X^\mu(\,\tau\ ,\sigma\,)$ per $\mu=0\ ,1\ ,\dots \ , 24$, e condizioni di Dirichlet per $X^{25}(\,\tau\ ,\sigma\,)$: $X^{25}(\,\tau\ ,0\,)=0$, $X^{25}(\,\tau\ ,\pi\,)=y$;
    si studi, in particolare, la massa del ``fotone'', i.e. il primo livello eccitato della stringa aperta.
    $D$-Brane e Meccanismo di Higgs (CENNI)
14. 20-11-02 :
    L' interazione fondamentale per stringhe aperte e stringhe chiuse. Sviluppo perturbativo dell' ampiezza di scattering come ``sviluppo nella topologia'' della superificie d' universo. Scattering On-Shell.
15. 25-11-02 :
    Eserc. 22
    Si consideri l' urto elastico (tra particelle): $1+2\longrightarrow 3+4$ al ``tree-level'', nel canale-s. Ricavare una rappresentazione a ``path-integral'' per l'ampiezza di scattering.
16. 25-11-02 :
    Eserc. 23
    Dimostrare che il path-integral nell'ampiezza di scattering puo` essere ricavato sia:
    i) tramite una teoria di campo; sia
    ii) tramite un integrale sui cammini di tipo quanto-meccanico.
    Ricavare l'espressione :
    

    $$A\left(\, p_1\ , p_2\ , p_3\ ,p_4\,\right)\propto \delta\le... ..._2+ p_3+p_4\,\right)\frac{1}{\left(\,p_1+ p_2\,\right)^2+m^2}$$ (4)

    
    

17. 26-11-02 :
    Lo scattering elastico stringa-stringa al tree-level. Operatori di vertice e rappresentazione a ``path integral'' per l'ampiezza di scattering.
18. 26-11-02 :
    Ampiezza elastica tachione-tachione: integrazione gaussiana sulle coordinate di stringa e contributo dei modi-zero. Regolarizzazione della funzione di Green in 2D.
19. 27-11-02 :
    Simmetria residua dell'ampiezza di scattering per trasformazioni di scala globali della misura d' integrazione. Gauge fixing. Rinormalizzazione della costante di accopiamento.
20. 27-11-02 L' Ampiezza di Virasoro-Shapiro. Invarianza per scambio delle variabili di Mandelstam. Andamento alla Regge. Limite di ``hard-scattering''.