\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
\pagestyle{empty}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Teoria delle Stringhe\\
        A.A. 2002-03}
\maketitle
	
	\begin{center}
	 \textbf{\red {\large Modelli Duali:\\} le Interazioni Forti nei
	 ``favolosi anni `60''.}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 01-10-02:\\ Motivazioni e struttura del corso. Testi di
	riferimento e materiale didattico on-line. Aspetti fenomenologici
	della fisica delle Interazioni Forti negli anni '60. Variabili
	di Mandelstam ed invarianza delle ampiezze elastiche per scambio
	$ s\leftrightarrow t $.\\ 
	\item 01-10-02: \\
	\textbf{ {Eserc.}1}\\
	 \textit{ Si consideri l'urto
	elastico $\pi_1 + \pi_2 \rightarrow \pi_3 + \pi_4$. Determinare
	la dipendenza da $s$ e $t$
	dell' ampiezza elastica di Born, nell' ipotesi
	che:\\
	i) nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$0$;\\
	ii)  nel canale-$t$ sia scambiata una particella di spin-$J$;\\
	iii) si determinini l'andamento dell' ampiezza ad ``$1$-loop''
	in funzione delllo spin-$J$ della particella scambiata.}  \\ 
	\item 02-10-02:\\  Ampiezze elastiche come ``somme infinite di poli''
	nel canale-$s$ e nel canale-$t$. La ``\textit{ \green  Dualit\`a}'' e
	l' \textit{ \green  Ampiezza di Veneziano.} Le  \textit{ \green Traiettorie di Regge.}
	\\  
	\item 02-10-02: \\ \textbf{ {Eserc.}2}\\ \textit{  Utilizzando le 
	propriet\`a
	di analiticit\`a della Funzione-$Gamma$ di Eulero, dimostrare che
	l'  ampiezza di Veneziano ha solo poli semplici nel canale-$s$ e nel
	canale-$t$.\\
	Ricavare la massa dell' oggetto scambiato nel canale-$s$ o nel
	canale-$t$ in funzione dei parametri $\alpha^\prime$ ed  $\alpha(0)$
	della traiettoria di Regge; verificare la relazione lineare
	tra spin e massa al quadrato dell' oggetto medesimo.\\
	Utilizzando la formula di Stirling determinare l'andamento
	asintotico dell' ampiezza di Veneziano a ``grandi $s$ e $t$ fissato''. } 
	  \\
	\item 14-10-02:\\ \textbf{ {Eserc.}3}\\ \textit{   Calcolare la massa
	totale $M$ ed il momento angolare $J$ di una sbarra rigida, ruotante 
	attorno al suo centro di massa in mod tale che le estremit\`a abbiano
	velocit\`a pari a quella della luce; determinare la relazione tra
	$M$ e $J$.} \\
	Andamento dell' ampiezza di Veneziano ad alta energia ed angolo
	di diffusione fisso. La fine dei modelli adronici a stringa.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{\yellow {\large Teorie di Kaluze-Klein}: viaggio guidato nella
	 ``quinta dimensione'' \dots  ed oltre!}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 14-10-02:\\
	La gravit\`a in cinque dimensioni. La ``\textit{ quinta dimensione}'' e
	l' ipotesi di Kaluza:
	$\partial_5\, \hat g_{MN}\left(\, x^\mu\ , x^5\,\right)=0$.
	\item 15-10-02:\\ 
	\textbf{ {Eserc.}4} \textit{ Dimostare che, se $\partial_5 \hat g_{MN}=0
	 $ vale in ogni sistema di coordinate, allora, segue che
	 $x^{\prime\, M}= \delta^M_5\, x^5 + f^M\left(\, x^\alpha\,\right)$.}\\
	 \textit{ Dimostrare che:\\
	 i) $\hat g_{55}$ si trasforma come un scalare;\\
	 ii)  $\left(\, \hat g_{5\,\mu}/\hat g_{55}\,\right)$  si trasfoma 
	 come un 
	 \textit{ \green campo di gauge abeliano} con $f^5\left(\, x^\alpha\,\right)$ 
	 funzione di gauge; \\
	 iii) $\hat g_{\mu\nu}- \left(\, \hat g_{5\,\mu}\hat g_{5\,\nu}/\hat
	 g_{55}\,\right)$ si trasforma come un tensore tipo $(\, 0\ , 2\,)$;}
	\item 15-10-02:\\
	Forma generale della metrica di Kaluza-Klein in termini di
	campi $4$-dimensionali. Coefficienti di Connessione ed equazione
	delle geodetiche in $5$-dimensioni.
	\item 16-10-02:\\ \textbf{ {Eserc.}5 }\\
	 \textit{   Dimostrare che
	la componente-$5$ del momento lineare \`e una costante del moto
	in $5D$. \\
	Dimostrare che $\ddot x^\mu + \hat\Gamma^\mu{}_{AB}\dot x^A \dot x^B=0$
	\`e equivalente a $\ddot x^\mu + \Gamma^\mu{}_{\nu\rho}\dot x^\nu
	 \dot x^\rho= \frac{\kappa p_5}{m} F^\mu{}_\lambda \dot x^\lambda$.\\
	 Dimostrare che $\hat p_\mu = p_\mu + \kappa p_5\, A_\mu$.}
	 \item 16-10-02:\\
	L' ``unificazione'' di energia-momento-carica.
	La quinta dimensione come ``\textit{ \green cerchio}'' $S^1$. Modo-zero e
	livelli eccitati di un campo in $M^4\times S^1$. 
	Il signifcato di $\partial_5\, \hat g_{MN}\left(\,
	x^\mu\ , x^5\,\right)=0$.\\
	\textbf{ {Eserc.}6 } \\\textit{   Studiare lo spettro di un campo
	di Klein-Gordon, a massa nulla, in $Minkowki\times S^1$.}
	\item 21-10-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.}7 }\\ \textit{   Stimare la lunghezza del cerchio $S^1$
	utilizando la relazione tra la carica elettrica e $p_5$.\\
	Dall' azione
	\begin{equation}
	S_{KK}= -\frac{1}{16\pi G_5}\int_{M^5} d^5x \sqrt{-g}\, g^{MN}\, R_{MN}
	\end{equation}
	ricavare l'azione efficace per il ``modo-zero'' della metrica
	di Kaluza-Klein. ( {\green Riduzione dimensionale} ) }
	\item 21-10-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 8} \\\textit{   Ricavare la relazione tra $G_5$, $G_N$,
	ed $R$;\\
	si assuma $R\approx 10^{-2}cm $. Quanto vale $G_5$ in unit\`a naturali
	?\\
	Si ripeta il conto precedente nel caso in cui le extra dimensioni siano
	una $2$-sfera di raggio $R$.}\\
	``\textit{ \green Large extra-dimensions}'' ed Unificazione al $TeV$ ( CENNI ).
	\item 22-10-02 :\\  
	La formulazione alla Kaluza-Klein delle teorie di Yang-Mills ( CENNI).\\
	\textbf{ {Eserc.}9} \\\textit{   Determinare il
	numero minimo di dimensioni dello
	spazio compatto $K^{(D)}$ affinch\`e il gruppo di simmetria ``interna''
	contenga $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$. }\\
	Super Gravit\`a in $D=11$ ed $M$-Theory ( CENNI).
	\item 22-10-02 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}10}\\ \textit{   Dimostrare che le equazioni di Einstein
	in $4+D$ dimensioni, con $D>1$, nel vuoto non ammettono soluzioni del 
	tipo Minkoswki $\times$ spazio compatto.} \\
	Il problema della \textit{ \green  Compattificazione Spontanea.}
	La soluzione di Wetterich vs il modello di Freund-Rubin.
	\end{enumerate}
	
	\begin{center}
	 \textbf{\cyan {\large  ``String-Wars I}: \\
	 ....  Il cono-luce sia con te!''}
	\end{center}
	
	\begin{enumerate}
	\item  23-10-02 :\\ Mini-Glossario dei modelli a stringa:
	``manifold d' universo'';  \textit{ \green  Coordinate}
	della stringa;   ``spazio targhetta'';  \textit{ \green Superficie
	d' universo.}
	\item  23-10-02 :\\ 
	La dinamica della stringa relativistica come dinamica della 
	\textit{ \green superficie d'universo.} L' azione di Nambu-Goto ed il
	suo significato geometrico.
	La \textit{ \green tensione della stringa.} 
	\item  24-10-02 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}11}\\
	 \textit{   Scrivere l' azione di Nambu-Goto in
	termini della ``metrica indotta'' sulla  superficie d'universo;\\
	dimostrare che l' azione di Nambu-Goto e` invariante per
	Diffeomorfismi  $\xi^a=\xi^a(\, \sigma^m\,)$ del manifold d' universo.\\
	Calcolare il limite non-relativistico dell' azione di Nambu-Goto.}
	\item  24-10-02 :\\ 
	Variazione ad estremi fissi dell' azione di Nambu-Goto. Condizioni ai
	bordi :  periodiche ( stringa chiusa ); Neumann ( stringa aperta ).
	Conservazione del flusso di momento $p_\mu^{(\sigma)}$ nei due casi.
	Condizioni ai bordi di Dirichlet (CENNI).
	\item  28-10-02 :\\ 
	Momento lineare totale e momento angolare totale di una stringa.
	Equazioni di Eulero-Lagrange per la superficie d' universo.
	Vincoli e condizioni di ``mass-shell''.
	\item  28-10-02 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.}12}\\
	\textit{ Data:
	\begin{equation}
	S_1=-m\int d\tau\sqrt{-{\dot x}^2}
	\end{equation}
	dimostrare che l' Hamiltoniana canonica \`e identicamente nulla.\\
	Si consideri
	\begin{equation}
	S_2=-\int d\tau\left[\, \frac{{\dot x}^2}{2e(\tau)}-\frac{m^2}{2}
	e(\tau) \,\right]
	\end{equation}
	Come deve trasformarsi la variabile ausiliaria $e(\tau)$ affinch\`e 
	$S_2$ sia invariante per riparametrizzazioni?\\
	Dimostrare che $S_1$ ed $S_2$ danno la stessa dinamica classica.}
	\item 29-10-02 : \\ L' \textit{ \green azione di Polyakov}: propriet\`a
	di simmetria e significato fisico. Equivalenza classica con
	l'azione di Nambu-Goto.
	\item 29-10-02 :\\ L' azione di Polyakov nella  
	\textit{\green Gauge Conforme}.
	 Equazioni del moto e condizioni di vincolo. 
	\item 30-10-02 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.} 13}\\
	\textit{ Calcolare $p^\tau{}_\mu$ e $p^\sigma{}_\mu$
	nella ``gauge conforme'', e verifcare le condizioni di vincolo.\\
	Risolvere le equazioni del moto $\ddot X^\mu -X^{\prime\prime\, \mu}=0$
	per una stringa aperta con condizioni ai bordi di Neumann tramite
	serie di Fourier.
	Determinare il significato fisico delle due costanti di integrazione.}
	\item 30-10-02 :\\ 
	\textbf{ {Eserc.} 14}\\
	\textit{ Determinare a quali condizioni devono
	soddisfare le ampiezze di Fourier $\alpha^\mu_n$ affinch\`e $X^\mu$
	siano reali.\\
	Risolvere le equazioni del moto $\ddot X^\mu -X^{\prime\prime\,
	\mu}=0$ per una stringa chiusa con condizioni di
	periodicita\`a ai bordi tramite serie di Fourier.}
	\item 04-11-02 :\\ 
	Equazioni di vincolo in termini delle componenti di Fourier
	del tensore energia impulso. $L_0=0$ come spettro di massa
	della stringa classica.
	\item 04-11-02 :\\ 
	Invarianza di gauge ``\textit{ \green residua}'' nella gauge conforme.
	Coordinate di cono-luce nello spazio targhetta.
	\item 05-11-02 :\\ 
	Risoluzione delle equazioni dei vincoli in coordinate di cono-luce.
	Gradi di libert\`a fisici.
	\item 05-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.}15 }\\
	\textit{Calcolare lo spettro di massa $M^2$
	nella gauge di cono-luce in funzione delle ampiezze di Fourier.\\
	Determinare l' Hamiltoniana nella gauge di cono-luce.}
	\end{enumerate}
	\begin{center}
	 \textbf{\cyan {\large  ``String-Wars II}: \\
	 ... Il cono-luce colpisce ancora!''}
	\end{center}
	\begin{enumerate}
	\item 06-11-02 :\\ 
	Commutatori Canonici. Algebra degli operatori $\alpha^i_n$,
	$\left(\, \alpha^j_m\, \right)^\dagger$, i.e. l'~algebra degli 
	oscillatori armonici quantistici della stringa.
	\item 06-11-02 :\\ 
	Ambiguit\`a di ordering. \textit{ \green  Normal ordering.} L' operatore
	Hamiltoniano di cono-luce.  \textit{ \green Energia di punto-zero}
	della stringa.
	\item 11-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 16}\\
	\textit{ Calcolare l`` Energia di Casimir'' della
	stringa, definita come: $2 a_{reg.}\equiv\left(\, D-2\, \right) 
	\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty} n\exp\left(-\epsilon\, n  
	\right)$; determinare $D$ in modo che $a_{reg.}=1$ affinche` l'
	invarianza di Lorentz sia preservata.\\
	Ripetere il conto aggiungendo il contributo di ``oscillatori fermionici''
	 $2 a_{reg.}\rightarrow 2a_{reg.} +\left(\, D-2/2\, \right) 
	\lim_{\epsilon\to 0^+}\sum_{n=1}^{n=\infty}\left(\, 2n+1\,\right)
	\exp\left(-\epsilon\, n  \right)$; calcolare il corrispondente
	valore di $D$.}
	\item 11-11-02 :\\
	Operatori ``\textit{ \green  Numero di Occupazione.}'' e ``\textit{
	\green Massa al Quadrato.}''. 
	Lo \textit{ \green Stato Fondamentale} della stringa bosonica (aperta)
	Il primo livello eccitato della stringa bosonica (aperta) ed il problema
	dell' invarianza di Lorentz.
	\item 12-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 17}\\
	\textit{Calcolare gli autovalori dell'operatore $N$, numero di 
	occupazione sui seguenti stati: $\alpha^j_{-2}\vert\, 0\, \rangle$;
	 $\alpha^j_{-1}\alpha^i_{-1}\vert\, 0\, \rangle$. Dimostrare che
	 il numero di stati presenti sul livello $N=2$ \`e lo stesso delle
	 componenti di un tensore simmetrico, a traccia nulla, di rango $2$
	 in D=26; calcolare la massa di questo oggetto.}
	\item 12-11-02 :\\ Lo spettro di massa della stringa bosonica e le
	traiettorie di Regge: ancora  $D=26$.  \\
	L' invarianza di Lorentz in coordinate di cono-luce: $M^{-i}$
	come possibili generatori \textit{ \red anomali}.
	\item 13-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 18}\\
	\textit{Calcolare il commutatore: $\left[\, \alpha^i_m\
	,\alpha^-_n\,\right]$. }\\
	\textit{Calcolare il commutatore: $\left[\,\alpha^-_m\ ,\alpha^-_n\,
	\right]$. }
	\item 13-11-02 :\\
	L' \textit{\green Algebra di Virasoro} come ``estensione centrale''
	dell' algebra dei diffeomorfismi sul cerchio, i.e. l' \textit{\green
	Anomalia} dell'algebra degli operatori di Virasoro $L_m$.
	Le identit\`a di Jacobi per gli $L_m$ e l' equazione
	per il termine anomalo in $\left[\, L_m\ , L_n\,\right]$.
	\item 18-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 19}\\
	\textit{ Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_1\ , L_{-1}\,\right]
	\,\vert \, 0\,\rangle $ }\\
	\textit{ Calcolare $\langle\, 0\,\vert \,\left[\, L_2\ , L_{-2}\,\right]
	\,\vert \, 0\,\rangle $ }\\
	\textit{ Calcolare i coefficienti $a_1$ ed $a_3$ della carica centrale.}
	\item 18-11-02 :\\
	Quantizzazione canonica della stringa bosonica chiusa. Operatore
	Hamiltoniano ed operatore $M^2$. Stato fondamentale: {\red Tachione}. 
	Primo livello eccitato: {\cyan gravitone}, {\yellow dilatone}, 
	{\green potenziale di Kalb-Ramond}.
	\item 19-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 20}\\
	\textit{Calcolare lo spettro di massa per una stringa chiusa
	in uno spazio targhetta con $X^{25}\sim X^{25} + 2\pi R$.
	}
	\item 19-11-02 :\\
	\textit{\blue Winding Number} e livelli di eccitazione topologici. 
	Quantizzazione di $p^{25}$ e stati eccitati di Kaluza-Klein.
	\textit{\red T-Dualit\`a} e le sue conseguenze fisiche.
	\item 20-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 21}\\
	\textit{Calcolare lo spettro di massa per una stringa aperta con
	condizioni ai bordi di Neumann su $X^\mu(\,\tau\ ,\sigma\,)$ per
	$\mu=0\ ,1\ ,\dots \ , 24$, e condizioni di Dirichlet per 
	$X^{25}(\,\tau\ ,\sigma\,)$: $X^{25}(\,\tau\ ,0\,)=0$,
	$X^{25}(\,\tau\ ,\pi\,)=y$;\\
	si studi, in particolare, la massa del ``fotone'', i.e.
	il primo livello eccitato della stringa aperta.}\\
	{\yellow $D$-Brane} e Meccanismo di Higgs (CENNI)
	\item 20-11-02 :\\
	L' interazione fondamentale per stringhe aperte e stringhe
	chiuse. Sviluppo perturbativo dell' ampiezza di scattering
	come ``sviluppo nella topologia'' della superificie d' universo.
	{\green Scattering On-Shell}.
	\item 25-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 22}\\
	\textit{ Si consideri l' urto elastico (tra particelle):
	$1+2\longrightarrow 3+4$ al ``tree-level'', nel canale-s.
	Ricavare una rappresentazione a ``path-integral'' per l'ampiezza
	di scattering.   }
	\item 25-11-02 :\\
	\textbf{ {Eserc.} 23}\\
	\textit{ Dimostrare che il path-integral nell'ampiezza di scattering
	puo` essere ricavato sia:\\
	i) tramite una teoria di campo; sia\\   
	ii) tramite un integrale sui cammini di tipo quanto-meccanico.\\
	Ricavare l'espressione :
	\begin{equation}
	A\left(\, p_1\ , p_2\ , p_3\ ,p_4\,\right)\propto \delta\left(\,
	p_1+ p_2+ p_3+p_4\,\right)\frac{1}{\left(\,p_1+ p_2\,\right)^2+m^2}
	\end{equation}
	}
	\item 26-11-02 :\\
	Lo scattering elastico stringa-stringa al tree-level.
	{\green Operatori di vertice} e rappresentazione a ``path integral''
	per l'ampiezza di scattering.
	\item 26-11-02 :\\
	{\cyan Ampiezza elastica tachione-tachione}:
	integrazione gaussiana sulle coordinate di stringa e contributo
	dei modi-zero. Regolarizzazione della funzione di Green in 2D.
	\item 27-11-02 :\\
	Simmetria residua dell'ampiezza di scattering
	per trasformazioni di scala globali della misura d' integrazione.
	Gauge fixing. Rinormalizzazione della costante di accopiamento.
	\item 27-11-02 
	L' {\green Ampiezza di Virasoro-Shapiro}. Invarianza per scambio
	delle variabili di Mandelstam. Andamento alla Regge.
	Limite di ``hard-scattering''.
	\end{enumerate}
	\end{document}
