Introduzione alla Fisica Teorica
A.A. 2015-16

Meccanica Analitica

1. 01-03-2016:
   Presentazione del corso: obiettivi e contenuti. Pre-requisiti. Testi di riferimento. Modalità di svolgimento dell'esame.
2. 03-03-2016 :
   La meccanica Newtoniana come teoria fenomenologica del moto a bassa velocità. Non-covarianza delle equazioni di Newton e `` forze inerziali ''.

3. 02-03-2016 :
   Vincoli geometrici e vincoli cinematici. Vincoli cinematici integrabili e non-integrabili. Sistemi olonomi e sistemi non-olonomi. Gradi di libertà. Spazio delle configurazioni.

4. 02-03-2016:
   Es. Esempi di sistemi con vincoli. Si consideri un sistema di due particelle $P_1$ e $P_2$. La particella $P_1$ è vincolata a muoversi lungo l'asse $x$. La particella $P_2$ e collegata alla particella $P_1$ da una sbarra rigida di lunghezza $a$, di massa trascurabile. i) Conteggiare il numero di gradi di libertà. ii Determinare un possibile sistema di coordinate generalizzate.
   Si consideri un cilindro che rotola, (senza strisciare), su un piano inclinato. Dimostrare che il vincolo di rotolamento è integrabile e determinare il numero di gradi di libertà.
   Si consideri una ruota che rotola su un piano perpendicolare alla ruota stessa: non-integrabilità del vincolo cinematico.

5. 04-03-2016:
   Energia cinetica nello spazio delle configurazioni. Esempio: energia cinetica per il sistema di due particelle $P_1$ e $P_2$ in cui la particella $P_1$ è vincolata a muoversi lungo l'asse $x$. La particella $P_2$ e collegata alla particella $P_1$ da una sbarra rigida di lunghezza $a$, di massa trascurabile.
   Momenti e forze generalizzate. Esempio: la forza peso generalizzata che agisce su un pendolo.

6. 04-03-2016:
   Equazioni di Lagrange come equazioni di Newton nello spazio delle configurazioni. La ``Lagrangiana'' per un sistema conservativo. Esempio: equazioni di Lagrange per una particella di massa $m$ in un potenziale $V(\vec{q})$.

7. 08-03-2016
   Es. Descrizione Lagrangiana del moto di una particella in un campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare. Potenziale efficace per il problema radiale equivalente.

8. 08-03-2016
   Coordinate cicliche e costanti del moto. Non-unicità della Lagrangiana. Potenziali dipendenti dalle velocità.

9. 09-03-2016
   Es. Particella in moto libero sul piano in coordinate polari. Particella carica in un campo eletro-magnetico esterno. Lagrangiana, equazioni del moto, energia totale del sistema.
   Particella in caduta lungo una spira rotante. Lagrangiana equazioni, del moto, energia totale del sistema.

10. 09-03-2016
    Definizione generale di energia per un sistema Lagrangiano autonomo. Esempi: particella in un campo di forze conservative; particella carica in un campo eletro-magnetico esterno; particella in caduta libera lungo una spira circolare rotante a velocità angolare costante.

11. 11-03-2016
    Lo spazio delle fasi per un oscillatore armonico e per una particella in un potenziale parabolico repulsivo. Orbite e punti fissi.

12. 11-03-2016
    Lo spazio delle fasi per il pendolo. Orbite e punti fissi.

13. 15-03-2016
    Oscillatore armonico smorzato. Caso di ``smorzamento forte''. Spazio delle fasi e punti fissi: ``nodo stabile

14. 15-03-2016
    Oscillatore armonico smorzato. Caso di ``smorzamento debole''. Spazio delle fasi e punti fissi: ``spirale stabile''. Caso di ``smorzamento debole''. Spazio delle fasi e punti fissi.

15. 16-03-2016
    Moltiplicatori di Lagrange. Esempi di moto vincolato lungo linee e superfici. Reazioni vincolari.

16. 16-03-2016
    Problema dei due-corpi in un campo di forze centrali. Separazione del moto del centro di massa e del moto relativo.

17. 18-03-2016
    Equazioni del moto. Potenziale efficace e classificazione delle possibili orbite. Orbite nello spazio delle fasi. La II Legge di Keplero.

18. 18-03-2016
    I Legge di Keplero: orbite come sezioni coniche. Eccentricità in funzione dell'energia. Orbite ellittiche. III Legge di Keplero: periodo di rivoluzione.
    

19. 21-03-2016
    Correzioni al potenziale Newtoniano efficace e precessione del perielio di Mercurio.

20. 21-03-2016
    Cinematica del ``corpo rigido'' . Sistemi di riferimento inerziale e proprio. Velocità ed energia cinetica totale. Il ``tensore d' inerzia''.

21. 23-03-2016
    Relazione tra il momento angolare del corpo rigido ed il tensore di inerzia. Momenti e prodotti d' inerzia. Assi principali. Teorema dell asse parallelo (Teor. di Steiner)

22. 23-03-2016
    Es. Dato il tensore d'inerzia:
    

    $$I^{mn}= m a^2 \,\left(\, \begin{array}[c]{lll} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 4 \end{array}\,\right)$$ (1)

    
    

    trovare i momenti d'inerzia e gli assi principali.
    Data una sbarra omogenea di lunghezza $L$ e dimensioni trasverse trascurabili, determinare $I^{mn}$ ripetto il punto medio della sbarra.

23. 30-03-2016
    Es Data una sbarra omogenea di lunghezza $L$ e dimensioni trasverse trascurabili, determinare $I^{mn}$ : a) rispetto un' estremità della sbarra; b) verificare il Teorema di Steiner.
    Dato un disco omogeneo calcolare $I^{mn}_{C.M.}$ ed $I^{mn}$ rispetto un sistema di assi traslati parallelamente sulla circonferenza. Verificare che anche in entrambi i casi $I^{zz}=I^{xx}+I^{yy}$.

24. 30-03-2016
    Teorema dell'asse perpendicolare.
    Gli angoli di Eulero.

25. 01-04-2016
    Velocità angolare ed energia cinetica del corpo rotante in funzione degli angoli di Eulero. La Lagrangiana della ``trottola simmetrica''. Coordinate cicliche e costanti del moto.

26. 01-04-2016
    Es Dimostrare che la linea piu` corta tra due punti nel piano cartesiano e` la retta che li unisce. Procedere cercando un ``estremo'' della lunghezza di una curva generica tra i due punti.

27. 05-04-2016
    Es. Il problema della ``brachistocrona''. Ricavare la Legge di Snell dal Principio (variazionale) di Fermat.
    

28. 05-04-2016
    Il calcolo delle variazioni: funzionali e derivate funzionali. Principio di ``minima azione'' secondo Maupertuis.

29. 06-04-2016
    Principio di ``minima azione'' di Hamilton: equazioni di Lagrange, e traiettorie classiche, come estremali, dell' azione. Variazione ad ``estremi fissi''. Calcolo esplicito dell'azione per una particella libera. Derivazione variazionale del moto di una carica in un campo elettrico e magnetico esterno.

30. 06-04-2016
    Trasformazioni di simmetria e variazione on-shell dell' azione. Il Teorema di Emi Noether: le ``cariche di Noether''.

31. 07-04-2016
    Es Calcolare le cariche di Nother associate a simmetria per: i) traslazioni spaziali; ii) rotazioni; iii) traslazioni nel tempo.

32. 07-04-2016
    Le equazioni di Hamilton.
    Es Calcolare l' Hamiltoniana per: i) particella libera in un campo di forze conservative; ii) una carica in un campo elettrico e campo magnetico esterni.
    La Trasfomata di Legendre. Analogie tra ottica e meccanica nel formalismo Hamiltoniano.

33. 12-04-2016
    Equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Conservazione dell'energia nel formalismo Hamiltoniano. Lo spazio delle fasi come ``fluido incompressibile''.

34. 12-04-2016
    La parentesi di Poisson: definizione e proprietà.
    Es
    Dimostrare che le equazioni di Hamilton si possono scrivere come:

    
    

    $$\dot{q}^i= \left\{\, q^i\ ,H\,\right\}\ ,$$

    $$\dot{p}_i= \left\{\, p_i\ ,H\,\right\}\ ,$$

    
    

    Calcolare :

    
    

    $$\left\{\, q^i\ ,q^j\,\right\}\ ,\quad \left\{\, p_i\ ,p_j\,\right\}\ ,\quad \left\{\, q^i\ ,p_j\,\right\}$$ (2)

    
    

    Dimostrare che

    
    

    $$\left\{\, L^i\ ,L^j\,\right\}=\epsilon^{ijk}\, L_k$$ (3)

    
    

35. 13-04-2016
    Es Ricordando il teorema di E. Noether, dimstrare che :
    per traslazioni spaziali $\delta q^i= \epsilon^m \left\{\, q^i\ , p_m\,\right\}$ ;
    per rotazioni $\delta q^i= \omega^m \left\{\, q^i\ , L_m\,\right\}$ ;
    per traslazioni nel tempo $\delta q^i= \epsilon \left\{\, q^i\ , H\,\right\}$.

36. 13-04-2016
    Trasformazioni Canoniche. Invarianza della matrice simplettica e della parentesi di Poisson. Funzione genratrice. L' evoluzione di un sistema come trasformazione canonica gnerata dall' Hamiltoniana.
    Es Dato un oscillatore armonico in una dimensione, dimostrare che la trasformazione
    

    $$p= i\,\left(\, m\omega q -\sqrt{2m\omega}\, Q\,\right)\ ,$$ (4)

    $$P= i\,\left(\, \sqrt{2m\omega}\,q - Q\,\right)\ ,$$ (5)

    
    

    è canonica. Trovare la funzione generatrice. Scrivere l' Hamiltoniana come funzione di $Q$ e $P$.

37. 15-04-2016
    L' azione come funzione dell'estremità finale della traiettoria. Il principio variazionale di Jacobi.

38. 15-04-2016
    L' equazione di Hamilton-Jacobi.
    Es. Risolvere l'eq. di H-J neo caso della particella libera.

39. 19-04-2016
    La radiazione di ``corpo-nero''. Radianza spettrale e densità di energia per intervallo di frequenza.

40. 19-04-2016
    Es. Ricavare la legge di Rayleigh-Jeans assumento che il corpo nero e` una ``scatola'' cubica metallica: calcolare il numero di onde stazionarie per intervallo di frequenza, ed utilizzare di seguito il teorema classico di equipartizione dell'energia. La ``catastrofe ultra-violetta''.

41. 20-04-2016
    Es. Calcolare

    
    

    $$<E>=\frac{\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-nh\nu/k T}}{\sum_{n=0}^\infty e^{-nh\nu/k T}}$$ (6)

    
    

    Discutere i limiti di alta e bassa frequenza della densità di energia di corpo-nero.

42. 20-04-2016
    L' effetto foto-elettrico: la luce come fascio di ``fotoni''.
    la diffusione di raggi-x da parte di eletroni: la spiegazione di Compton (cenni)

43. 22-04-2016
    I postulati di Bohr. Il modello semi-classico dell'atomo di Idrogeno. Spettro dei livelli enegetici.

44. 22-04-2016
    Es. Dimostrare che $E=h\nu$, e $L= n\hbar$, sono casi particolari della regola di quantizzazione di Wilson-Sommerfeld
    

    $$\oint p_q dq= n_q h$$ (7)

    
    

    L' ipotesi di De Broglie.

45. 26-04-2016
    L'esperimento di diffrazione di elettroni attraverso una doppia fenditura (Davisson-Germer). Il ``dualismo onda-corpuscolo''. L' interpretazione di Born della ``funzione d'onda''.

46. 26-04-2016
    Es
    Esprimere l' intensità di $e^-$ che arrivano sul sistema di rivelazione nell' esperimento di Davisson-Germer:
    a) come intensità di un' onda
    b) come intensità di un fascio di corpuscoli
    c) dal confronto ricavare il sisgnificato statistico di $\vert\, \psi\,\vert^2$

47. 27-04-2016
    L' equazione di Schrödinger. L'equazione di continuità per la corrente di probabilità.

48. 27-04-2016
    L' equazione di Schrödinger stazionaria come equazione agli auto-valori per l'energia. $-i\hbar \nabla$ come ``operatore momento'', $i\hbar \partial/\partial t$ come ``operatore energia''. L' operatore Hamiltoniano.

49. 29-04-2016
    Risolvere L' equazione di Schrödinger , in una dimensione, per una particella libera col metodo di Fourier. ``Pacchetti d'onda''. Velocità di gruppo e velocità di fase.

50. 29-04-2016
    Es Dato lo stato iniziale:
    

    $$\psi\left(\, 0 \ , x\,\right)= N e^{x^2/2a^2} e^{ip_0 x}\ ,\nonumber$$

    
    

    calcolare al tempo $t=0$

    • il coefficiente di normalizzazione $N$
    • i valori medi: $<x>$, $<x^2>$, $<p>$, $<p^2>$
    • verificare che $\Delta x \Delta p \ge \hbar/2$

51. 03-04-2016
    Es
    Dimostrare che la funzione d'onda dei momenti di un pacchetto gaussiano nelle coordinate e` ancora una gaussiana. Confrontare le due larghezze.
    Calcolare la funzione d'onda completa $\psi(t\ ,x)$ per un pacchetto Gaussiano a $t=0$, e studiarne l'evoluzione.
    Calcolare: $<x(t)>$, $<p(t)>$, $\Delta x(t)$.

52. 03-04-2016
    Es
    Determinare in quanto tempo un pacchetto gaussiano di larghezza $a= 10^{-8}cm$ raddoppia la sua larghezza, ed in quanto tempo raggiunge dimensioni macroscopiche, per:
    
    • un elettrone
    • un palla da baseball di massa $m=0.25\, kg$.
    Studiare i casi limite:
    • $\psi(0\ , x)\propto \delta(x)$;
    • $f(p)\propto \delta(p-p_0)$

    Calcolare la corrente per un' onda piana.

53. 04-04-2016
    Es
    Risolvere l' equazione di Schrödinger per una particella in un potenziale a gradino.
    A) Caso $E < V_0$. Dimostrare che il coefficiente di riflessione $R=1$, e discutere il significato della funzione d'onda sotto il gradino.

54. 04-04-2016
    Es
    Risolvere l' equazione di Schrödinger per una particella in un potenziale a gradino.
    B) Caso $E > V_0$. Calcolare il coefficiente di riflessione $R=$ e di trasmissione $T$. Dimostrare che $R+T =1$

55. 06-05-2016
    Es
    La buca di potenziale infinita: auto-funzioni e spettro dell'energia. Normalizzazione. Funzioni d'onda dei momenti.
    La buca di potenziale infinita simmetrica per riflessioni: ``parita''' degli stati.

56. 06-05-2016
    Es
    La buca di potenziale semi-infinita:
    

    $$V(x)=\infty\ , x<0\ ,$$

    $$V(x)=0 \ , 0\le x \le L \ ,$$

    $$V(x)=V_0 \ , L\le x$$ (8)

    
    

    Spettro all' interno della buca di potenziale finita.

57. 10-05-2016
    Es
    Si consideri una barriera di potenziale rettangolare di base $a$ ed altezza $V_0$. Calcolare il coefficiente di tramissione (``Effetto Tunnel'') quando $E\le V_0$. Ricavare la formula di Gamow per il coefficiente di trasmissione nel limite $8m(V_0 - E) a^2 >>\hbar^2$

58. 10-05-2016
    Es
    Usare la formula di Gamow per calcolare la probabilt` di decadimento-$\alpha$ di un nucleo radiattivo. Stimare la vita media di una particella $\alpha$ all'interno del nucleo.

59. 11-05-2016
    Es
    Calcolare il coefficiente di riflessione e trasmissione di una particella sopra una barriera di potenziale rettangolare quando $E > V_0$. Determinare quando $R=0$ e $T=1$ (``risonanza'').
    Risolvere l'equazione di Schrödinger per una particella in una ``scatola'' con pareti perfettamente riflettenti.

60. 11-05-2016
    Es
    Stimare l'energia minima di un oscillatore armonico quantistico usando il principio di Indeterminazione. Risolvere l'equazione di Schrödinger per l'oscillatore armonico in una dimensione. Andamenti asintotici della funzione d'onda. Soluzione per serie col metodo di ricorrenza.

61. 13-05-2016
    Lo spettro dell' oscillatore armonico quantistico. I polinomi di Hermite.

62. 12-05-2016
    Es
    Normalizzare la funzione d'onda dell'oscillatore armonico. Confrontare la densità di probabilità del primo stato eccitato, i.e. $\vert \psi_1(x)\vert^2$, con la probabilità classica.

63. 17-05-2016
    Es
    Calcolare lo spettro e le autofunzioni per una particella nel potenziale
    

    $$V(x)=\infty \ ,\quad x<0$$

    $$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \ ,\quad x\ge 0$$ (9)

    
    

    Risolvere l'equazione di Schrödinger in un potenziale (oscillatore armonico anisotropo)
    

    $$V(x)=\frac{1}{2}m \left(\, \omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2 +\omega_z^2 z^2 \right)$$ (10)

    
    

    Discutere la degerazione dei livelli nel limite isotropo.

64. 17-05-2016
    Quantizzazione dell' oscillatore armonico col metodo algebrico. L' algebra degli operatori di creazione/distruzione $a$, $a^\dagger$. Definizione dello stato di ``vuoto'' e calcolo esplicito della funzione d'onda.