\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Fisica Teorica\\
        A.A. 2015-16}
\maketitle
\begin{center}
 \textbf{\cyan Meccanica Analitica}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	
       \item 01-03-2016:\\ Presentazione del corso: 
	obiettivi e contenuti. Pre-requisiti. Testi di
	riferimento.  Modalit\`a di svolgimento dell'esame.
       \item 03-03-2016 :\\
	La meccanica Newtoniana come teoria fenomenologica del moto a bassa velocit\`a.
	Non-covarianza delle equazioni di Newton e ``~forze inerziali~''.
	

        \item 02-03-2016 :\\
        Vincoli geometrici e vincoli cinematici. Vincoli cinematici integrabili e non-integrabili.
        Sistemi olonomi e sistemi non-olonomi. Gradi di libert\`a. Spazio delle configurazioni. 
        
	
       \item 02-03-2016:\\
	\textbf{Es}. Esempi  di sistemi con vincoli. Si consideri un sistema di due particelle $P_1$ e $P_2$. La particella $P_1$ \`e
        vincolata a muoversi lungo l'asse $x$. La particella $P_2$ e collegata alla particella $P_1$
        da una sbarra rigida di lunghezza $a$, di massa trascurabile. 
        i) Conteggiare  il numero di gradi di libert\`a.
        ii Determinare un possibile sistema di coordinate generalizzate.\\
        %\item  Calcolare l'energia cinetica in funzione delle velocit\`a generalizzate.
         Si consideri un cilindro che rotola, (senza strisciare), su un piano inclinato.
         Dimostrare che il vincolo di rotolamento \`e integrabile e determinare il numero di gradi
         di libert\`a.\\
        Si consideri una ruota che rotola su un piano perpendicolare alla ruota
        stessa: non-integrabilit\`a del vincolo cinematico.  
       
        \item 04-03-2016:\\
        Energia cinetica nello spazio delle configurazioni. Esempio: energia cinetica per il sistema di due particelle $P_1$ e $P_2$ in cui
         la particella $P_1$ \`e
        vincolata a muoversi lungo l'asse $x$. La particella $P_2$ e collegata alla particella $P_1$
        da una sbarra rigida di lunghezza $a$, di massa trascurabile. \\
        Momenti e forze generalizzate. Esempio: la forza peso generalizzata che agisce su un pendolo.

	\item 04-03-2016:\\
	 Equazioni di Lagrange come equazioni di Newton nello spazio delle configurazioni. La ``Lagrangiana'' per
         un sistema conservativo.  Esempio: equazioni di Lagrange per una particella di massa $m$ in un potenziale
         $V(\vec{q})$.  
         
	
\item 08-03-2016\\ \textbf{Es}. 
Descrizione Lagrangiana del moto di una particella in un campo di forze centrali. Conservazione del momento angolare.
Potenziale efficace per il problema radiale equivalente.

\item 08-03-2016\\
Coordinate cicliche e costanti del moto. Non-unicit\`a della Lagrangiana.
Potenziali dipendenti dalle velocit\`a.


\item 09-03-2016\\ \textbf{Es}. 
Particella in moto libero sul piano in coordinate polari.
Particella carica in un campo eletro-magnetico esterno. Lagrangiana, equazioni del moto, energia totale del sistema.\\
Particella in caduta lungo una spira rotante. Lagrangiana equazioni, del moto, energia totale del sistema.


\item 09-03-2016\\
Definizione generale di energia per un sistema Lagrangiano autonomo. Esempi: particella in un campo di forze
conservative; particella carica in un campo eletro-magnetico esterno; particella in caduta libera lungo
una spira  circolare rotante a velocit\`a angolare costante. 

\item 11-03-2016\\
Lo spazio delle fasi per un oscillatore armonico e per una particella in un potenziale parabolico repulsivo.
Orbite e punti fissi.


\item 11-03-2016\\
Lo spazio delle fasi per il pendolo. Orbite e punti fissi.

\item 15-03-2016\\
Oscillatore armonico smorzato. Caso di ``\emph{smorzamento forte}''. Spazio delle fasi e punti fissi:
``\emph{nodo stabile}

\item 15-03-2016\\
Oscillatore armonico smorzato. Caso di ``\emph{smorzamento debole}''. Spazio delle fasi e punti fissi:
``\emph{spirale stabile}''. Caso di ``\emph{smorzamento debole}''. Spazio delle fasi e punti fissi.

\item 16-03-2016\\
       Moltiplicatori di Lagrange. Esempi di moto vincolato lungo linee e superfici. Reazioni vincolari.


\item 16-03-2016\\
      Problema dei due-corpi in un campo di forze centrali. Separazione del moto del centro di massa
      e del moto relativo. 

\item 18-03-2016\\
      Equazioni del moto. Potenziale efficace e classificazione delle possibili orbite. Orbite nello spazio
      delle fasi. La II Legge di Keplero.


\item 18-03-2016 \\
      I Legge di Keplero: orbite come sezioni coniche. Eccentricit\`a in funzione dell'energia. Orbite ellittiche. 
      III Legge di Keplero: periodo di rivoluzione.\\
      

\item 21-03-2016\\
      Correzioni al potenziale Newtoniano efficace e precessione del perielio di Mercurio.

\item    21-03-2016\\
      Cinematica del ``corpo rigido'' . Sistemi di riferimento \emph{inerziale} e \emph{proprio}.
      Velocit\`a ed energia cinetica totale.  Il ``\emph{tensore d' inerzia}''.    




\item    23-03-2016\\
      Relazione tra il momento angolare del corpo rigido ed il tensore di inerzia.  Momenti e prodotti
      d' inerzia. Assi principali. Teorema dell asse parallelo (Teor. di Steiner)


\item    23-03-2016\\
         \textbf{Es}. 
         Dato il tensore d'inerzia:
\begin{equation}
 I^{mn}= m a^2 \,\left(\,
\begin{array}[c]{lll}
2 & 1 & 0\\
1 & 2 & 0\\
0 & 0 & 4
 \end{array}
\,\right)
\end{equation}

trovare i momenti d'inerzia e gli assi principali.\\
Data una sbarra omogenea di lunghezza $L$ e dimensioni trasverse trascurabili,
 determinare $I^{mn}$ ripetto il punto medio della sbarra. 

\item 30-03-2016 \\
\textbf{Es}
Data una sbarra omogenea di lunghezza $L$ e dimensioni trasverse trascurabili,
 determinare $I^{mn}$ : a) rispetto un' estremit\`a della sbarra; b) verificare
il Teorema di Steiner.\\
Dato un disco omogeneo calcolare $I^{mn}_{C.M.}$ ed $I^{mn}$ rispetto un sistema di assi
traslati parallelamente sulla circonferenza. Verificare che anche in entrambi i casi
$I^{zz}=I^{xx}+I^{yy}$.


\item 30-03-2016 \\
Teorema dell'asse perpendicolare.\\
Gli angoli di Eulero.


\item 01-04-2016 \\
Velocit\`a angolare ed energia cinetica del corpo rotante in funzione degli angoli di Eulero.
La Lagrangiana della ``trottola simmetrica''.  Coordinate cicliche e costanti del moto.


\item 01-04-2016 \\
\textbf{Es} Dimostrare che la linea piu` corta tra due punti nel piano cartesiano e` la retta 
che li unisce. Procedere cercando un ``estremo'' della lunghezza di una curva generica tra i due punti.


\item 05-04-2016 \\
\textbf{Es}. 
Il problema della ``brachistocrona''.
Ricavare la Legge di Snell dal Principio (variazionale) di Fermat.\\


\item 05-04-2016 \\
Il calcolo delle variazioni: funzionali e derivate funzionali. Principio di ``minima azione'' secondo Maupertuis.


\item 06-04-2016 \\
Principio di ``minima azione'' di Hamilton: equazioni di Lagrange, e traiettorie classiche, come estremali, dell'  azione.
Variazione ad ``estremi fissi''. Calcolo esplicito  dell'azione per una particella libera. Derivazione variazionale
del moto di una carica in un campo elettrico e magnetico esterno.

\item 06-04-2016\\
Trasformazioni di simmetria e variazione on-shell dell' azione. 
Il Teorema di Emi Noether: le ``cariche di Noether''.


\item 07-04-2016\\
\textbf{Es} Calcolare le cariche di Nother associate a simmetria per: i) traslazioni spaziali; ii) rotazioni; iii)
            traslazioni nel tempo.

\item 07-04-2016\\
Le equazioni di Hamilton.\\
 \textbf{Es} Calcolare l' Hamiltoniana per: i) particella libera in un campo di forze conservative; ii)
una carica in un campo elettrico e campo magnetico esterni.\\
La Trasfomata di Legendre. Analogie tra ottica e meccanica nel formalismo Hamiltoniano.


\item 12-04-2016\\
Equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Conservazione dell'energia nel formalismo Hamiltoniano.
Lo spazio delle fasi come ``fluido incompressibile''.

\item 12-04-2016\\
La parentesi di Poisson: definizione e propriet\`a.\\
\textbf{Es} \\
Dimostrare che le equazioni di Hamilton si possono scrivere come:

\begin{eqnarray}
 && \dot{q}^i= \left\{\, q^i\ ,H\,\right\}\ ,\nonumber\\
 && \dot{p}_i= \left\{\, p_i\ ,H\,\right\}\ ,\nonumber
\end{eqnarray}

Calcolare :

\begin{equation}
 \left\{\, q^i\ ,q^j\,\right\}\ ,\quad \left\{\, p_i\ ,p_j\,\right\}\ ,\quad \left\{\, q^i\ ,p_j\,\right\}
\end{equation}

Dimostrare che

\begin{equation}
 \left\{\, L^i\ ,L^j\,\right\}=\epsilon^{ijk}\, L_k
\end{equation}

\item 13-04-2016\\
\textbf{Es}  
Ricordando il teorema di E. Noether, dimstrare che :\\
per traslazioni spaziali $\delta q^i= \epsilon^m \left\{\, q^i\ , p_m\,\right\}$ ;\\
per rotazioni $\delta q^i= \omega^m \left\{\, q^i\ , L_m\,\right\}$ ;\\
per traslazioni nel tempo  $\delta q^i= \epsilon \left\{\, q^i\ , H\,\right\}$.

\item 13-04-2016\\
Trasformazioni Canoniche. Invarianza della matrice simplettica e della parentesi di Poisson. Funzione genratrice.
L' evoluzione di un sistema come trasformazione canonica gnerata dall' Hamiltoniana.\\
\textbf{Es} Dato un oscillatore armonico in una dimensione, dimostrare che la trasformazione
\begin{eqnarray}
&& p= i\,\left(\, m\omega q -\sqrt{2m\omega}\, Q\,\right)\ ,\\
&& P= i\,\left(\, \sqrt{2m\omega}\,q - Q\,\right)\ ,\\
\end{eqnarray}

\`e canonica. Trovare la funzione generatrice. Scrivere l' Hamiltoniana come funzione di $Q$ e $P$.

\item 15-04-2016\\
L' azione come funzione dell'estremit\`a finale della traiettoria.
Il principio variazionale di Jacobi.

\item 15-04-2016\\
L' equazione di Hamilton-Jacobi. \\
\textbf{Es}.
Risolvere l'eq. di H-J neo caso della particella libera.


\item 19-04-2016\\
La radiazione di ``corpo-nero''. Radianza spettrale e densit\`a di energia per intervallo di frequenza.

\item 19-04-2016\\
\textbf{Es}. Ricavare la legge di Rayleigh-Jeans assumento che il corpo nero e` una ``scatola'' cubica
metallica: calcolare il numero di onde stazionarie per intervallo di frequenza, ed utilizzare
di seguito il teorema classico di equipartizione dell'energia.  La ``catastrofe ultra-violetta''.

\item 20-04-2016\\
\textbf{Es}. Calcolare 

\begin{equation}
 <E>=\frac{\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-nh\nu/k T}}{\sum_{n=0}^\infty  e^{-nh\nu/k T}}
\end{equation}

Discutere i limiti di alta e bassa frequenza della densit\`a di energia di corpo-nero.

\item 20-04-2016\\
L' effetto foto-elettrico: la luce come fascio di ``fotoni''.\\
la diffusione di raggi-x da parte di eletroni: la spiegazione di Compton (cenni)

\item 22-04-2016 \\
I postulati di Bohr. Il modello semi-classico dell'atomo di Idrogeno.
Spettro dei livelli enegetici.

\item 22-04-2016 \\
\textbf{Es}. Dimostrare che $E=h\nu$, e $L= n\hbar$, sono casi particolari della regola di quantizzazione
di Wilson-Sommerfeld
\begin{equation}
 \oint p_q dq= n_q h
\end{equation}

L' ipotesi di De Broglie.

\item 26-04-2016\\
      L'esperimento di diffrazione di elettroni attraverso una doppia fenditura (Davisson-Germer). Il ``dualismo onda-corpuscolo''.
      L' interpretazione di Born della ``funzione d'onda''.

\item 26-04-2016\\
\textbf{Es}\\
 Esprimere l' intensit\`a di $e^-$ che arrivano sul sistema di rivelazione nell' esperimento di Davisson-Germer:\\
            a) come intensit\`a di un' onda\\
            b) come intensit\`a di un fascio di corpuscoli\\
            c) dal confronto ricavare il sisgnificato statistico di $\vert\, \psi\,\vert^2$

\item 27-04-2016\\
      L' equazione di Schr\"odinger. L'equazione di continuit\`a per la corrente di probabilit\`a.
      
\item 27-04-2016\\
      L' equazione di Schr\"odinger stazionaria come equazione agli auto-valori per l'energia.
      $-i\hbar \nabla$ come   ``operatore momento'', $i\hbar \partial/\partial t$ come   ``operatore energia''.
      L' operatore Hamiltoniano.
      

\item 29-04-2016\\
 Risolvere L' equazione di Schr\"odinger , in una dimensione, per una particella libera col metodo di Fourier.
 ``Pacchetti d'onda''. Velocit\`a di gruppo e velocit\`a di fase.

\item 29-04-2016 \\
\textbf{Es}
 Dato lo stato iniziale:
\begin{equation}
  \psi\left(\, 0 \ , x\,\right)= N e^{x^2/2a^2} e^{ip_0 x}\ ,\nonumber
 \end{equation}

calcolare al tempo $t=0$
\begin{itemize}
 \item il coefficiente di normalizzazione $N$
 \item i valori medi: $<x>$, $<x^2>$, $<p>$, $<p^2>$
 \item verificare che $\Delta x \Delta p \ge \hbar/2$
\end{itemize}

\item  03-04-2016\\
 \textbf{Es}\\
   Dimostrare che la funzione d'onda dei momenti di un pacchetto gaussiano nelle coordinate e` ancora una gaussiana. Confrontare
   le due larghezze.\\
   Calcolare la funzione d'onda completa $\psi(t\ ,x)$ per un pacchetto Gaussiano a $t=0$, e studiarne l'evoluzione.\\
   Calcolare: $<x(t)>$, $<p(t)>$, $\Delta x(t)$.

\item  03-04-2016\\
 \textbf{Es}\\
Determinare in quanto tempo un pacchetto gaussiano di larghezza $a= 10^{-8}cm$ raddoppia la sua larghezza, ed in quanto tempo raggiunge 
dimensioni macroscopiche, per:\\
\begin{itemize}
 \item un elettrone 
 \item un palla da baseball di massa $m=0.25\, kg$.
\end{itemize}
Studiare i casi limite:
\begin{itemize}
 \item $\psi(0\ , x)\propto \delta(x)$;
\item $ f(p)\propto \delta(p-p_0)$
\end{itemize}

Calcolare la corrente per un' onda piana.


\item  04-04-2016\\
 \textbf{Es}\\
Risolvere l' equazione di Schr\"odinger per una particella in un potenziale a gradino.\\
A) Caso $E < V_0$. Dimostrare che il coefficiente di riflessione $R=1$, e discutere il
significato della funzione d'onda sotto il gradino.

\item  04-04-2016\\
 \textbf{Es}\\
Risolvere l' equazione di Schr\"odinger per una particella in un potenziale a gradino.\\
B) Caso $E > V_0$. Calcolare  il coefficiente di riflessione $R=$ e di trasmissione $T$. Dimostrare
che $R+T =1$

\item 06-05-2016\\
\textbf{Es} \\
La buca di potenziale infinita: auto-funzioni e spettro dell'energia. Normalizzazione.
Funzioni d'onda dei momenti.\\
La buca di potenziale infinita simmetrica per riflessioni: ``parita''' degli stati.


\item 06-05-2016\\
\textbf{Es} \\
La buca di potenziale semi-infinita: 
\begin{eqnarray}
 && V(x)=\infty\ , x<0\ ,\nonumber\\
 && V(x)=0 \ , 0\le x \le L \ ,\nonumber\\
&& V(x)=V_0 \ , L\le x 
\end{eqnarray}

Spettro all' interno della buca di potenziale finita.

\item 10-05-2016\\
\textbf{Es} \\
Si consideri una barriera di potenziale rettangolare di base $a$ ed altezza $V_0$. Calcolare il coefficiente di tramissione 
(``Effetto Tunnel'') quando $E\le V_0$. 
Ricavare la formula di Gamow per il coefficiente di trasmissione nel limite $ 8m(V_0 - E) a^2 >>\hbar^2 $

\item 10-05-2016\\
\textbf{Es} \\
Usare la formula di Gamow per calcolare la probabilt\a` di  decadimento-$\alpha$ di un nucleo radiattivo.
Stimare la vita media di una particella $\alpha$ all'interno del nucleo.


\item 11-05-2016\\
\textbf{Es} \\
Calcolare il coefficiente di riflessione e trasmissione di una particella sopra una barriera di potenziale rettangolare
quando $E> V_0$. Determinare quando $R=0$ e $T=1$ (``risonanza'').\\
Risolvere l'equazione di Schr\"odinger per una particella in una ``scatola'' con pareti perfettamente riflettenti.



\item 11-05-2016\\
\textbf{Es} \\
Stimare l'energia minima di un oscillatore armonico quantistico
usando il principio di Indeterminazione.
Risolvere l'equazione di Schr\"odinger per l'oscillatore armonico
in una dimensione. Andamenti asintotici della funzione d'onda.
Soluzione per serie col metodo di ricorrenza.

 

 \item 13-05-2016\\
Lo spettro dell' oscillatore armonico quantistico. I polinomi di Hermite. 

\item 12-05-2016\\
\textbf{Es} \\
Normalizzare la funzione d'onda dell'oscillatore armonico. 
Confrontare la densit\`a di probabilit\`a del primo stato eccitato, i.e.
$\vert \psi_1(x)\vert^2 $, con la probabilit\`a classica.

\item 17-05-2016\\
\textbf{Es} \\
Calcolare lo spettro e le autofunzioni per una particella nel potenziale
\begin{eqnarray}
 && V(x)=\infty \ ,\quad x<0\nonumber\\
 && V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2 x^2 \ ,\quad x\ge 0
\end{eqnarray}

Risolvere l'equazione di Schr\"odinger in un potenziale (oscillatore armonico anisotropo)
\begin{equation}
 V(x)=\frac{1}{2}m \left(\, \omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2 +\omega_z^2 z^2  \right)
\end{equation}

Discutere la degerazione dei livelli nel limite isotropo.

\item 17-05-2016\\
Quantizzazione dell' oscillatore armonico col metodo algebrico. L' algebra degli operatori di creazione/distruzione $a$, $a^\dagger$.
Definizione dello stato di ``vuoto'' e calcolo esplicito della funzione d'onda.

\end{enumerate}

\end{document}






 



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