Introduzione alla Fisica Teorica
A.A. 2014-15

Meccanica Analitica

1. 03-03-2015:
   Presentazione del corso: obiettivi e contenuti. Testi di riferimento e materiale bibliografico on-line. Modalità di svolgimento dell'esame.
2. 03-03-2015 :
   La meccanica Newtoniana come teoria fenomenologica del moto a bassa velocità. Il problema dei vincoli. Coordinate generalizzate.

3. 04-03-2014 :
   Gradi di libertà. Vincoli cinematici integrabili. Sistemi olonomi e sistemi anolonomi. Spazio delle configurazioni. Velocità generalizzate: definizione e relazione con le velocità nello spazio fisico. Energia cinetica in termini delle velocità generalizzate.

4. 05-03-2014:
   Es. Si consideri un sistema di due particelle $P_1$ e $P_2$. La particella $P_1$ è vincolata a muoversi lungo l'asse $x$. La particella $P_2$ e collegata alla particella $P_1$ da una sbarra rigida di lunghezza $a$, di massa trascurabile.
   • Conteggiare il numero di gradi di libertà.
   • Determinare un possibile sistema di coordinate generalizzate.
   • Calcolare l'energia cinetica in funzione delle velocità generalizzate.
5. 05-03-2014:
   Es. Si consideri un cilindro che rotola, (senza strisciare), su un piano inclinato. Dimostrare che il vincolo di rotolamento è integrabile e determinare il numero di gradi di libertà.
   Si consideri un disco di raggio $a$ vincolato a rotalare, (senza strisciare), su un piano orizzontale, mantenendosi in un piano verticale. Verificare che il vincolo non è integrabile.
6. 05-03-2015:
   Forze conservative ed Energia cinetica generalizzate. La `` funzione di Lagrange ''. Eq. di Eulero-Lagrange come generalizzazione delle equazioni di Newton. Coordinate cicliche e costanti del moto.
7. 10-03-2015:
   Covarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni generali di coordinate. Moltiplicatori di Lagrange.

8. 10-03-2014
   Es. Equazioni del moto di una particella libera in un sistema di coordinate rotante.
   Pendolo come sistema `` vincolato ''.
   Moto di una particella in caduta libera lungo una `` guida '' $y=f(x)$.

9. 11-03-2015
   Coordinate cicliche e costanti del moto. Potenziali centrali: conservazione del momento angolare e potenziale efficace. Potenziali dipendenti dalle velocità.
   L' energia nel formalismo Lagrangiano.

10. 11-03-2015
    Es. Particella carica in un campo eletromagnetico esterno. Lagrangiana, equazioni del moto, energia totale del sistema.
    Particella in caduta lungo una spira rotante. Lagrangiana equazioni, del moto, energia totale del sistema.

11. 13-03-2015
    Problema dei due-corpi in un campo di forze centrali. Separazione del moto del centro di massa e del moto relativo. Simmetria sferica e conservazione del momento angolare. La II Legge di Keplero.

12. 13-03-2015
    Equazioni del moto. Potenziale efficace e classificazione delle possibili orbite. Equazione dell' orbita.

13. 17-03-2014
    I Legge di Keplero: orbite ellittiche.
    III Legge di Keplero: periodo di rivoluzione.
    Correzioni al potenziale Newtoniano efficace e precessione del perielio di Mercurio.

14. 17-03-2014
    Es. Determinare la distanza minima dall' origine su: i) un' orbita ellittica; ii) un' orbita parabolica; un' orbita iperbolica Calcolare il periodo di rivoluzione di un satellite in ``orbita bassa'', circolare, a $200\, km$ di altezza.
    Calcolare il periodo di rivoluzione di un satellite in orbita ellittica, con perigeo a $200\, km$ di altezza, ed apogeo a $7200\, km$ di altezza.

15. 18-03-2015
    Il calcolo delle variazioni. Funzionali e derivate funzionali. Principi di ``minimo'' secondo Fermat ed Hamilton.
16. 18-03-2015
    Es. Determinare il ``cammino piu` breve'' , nel piano, tra due punti dati, medianti il calcolo delle variazioni. Verificare che la retta è effettivamente un ``minimo''.

17. 20-03-2015
    Es. Ricavare la Legge di Snell dal Principio (variazionale) di Fermat.
    Il problema della ``brachistocrona''.

18. 20-03-2015
    Equazioni di Lagrange, e traiettorie classiche, come estremali, dell' Integrale di Azione. Variazione ad ``estremi fissi''.

19. 24-03-2015
    Es. Calcolare l'azione per: i) una particella libera; ii) una particella in un campo di forze centrali; iii) dimostrare che l'azione ricavata in ii) soddisfa l'equazione di Hamilton-Jacobi.
    Dimostrare che l'invarianza per traslazioni spaziali implica la conservazione del momento lineare, e l'invarianza per rotazioni la conservazione del momento angolare.

20. 24-03-2015
    Il Teorema di Emi Noether (versione semplificata). Le ``cariche di Noether''.

21. 25-03-2015
    Sistemi dinamici (cenni). Spazio delle fasi. Flusso di fase. Punti fissi.
22. 25-03-2014
    Es. Studiare i punti fissi e lo spazio di fase per:
    i)un oscillatore armonico, uni-dimensionale;
    ii)un oscillatore uni-dimensionale con costante elastica negativa;
    

23. 27-3-2015 Lo spazio delle fasi ed i punti fissi, per il pendolo.
    Discussione generale della relazione tra punti fissi e punti di stazionarieta` del potenziale, per sistemi conservativi.

24. 31-03-2015
    L' ``Hamiltoniana'', definizione e significato fisico. Le quazioni di Hamilton. La Trasformata di Legendre e la sua interpretazione geometrica.

25. 31-03-2015
    Es. Data la Lagrangiana
    

    $$L= \frac{1}{2} \dot{q}^i A_{ij}\left(\, q\,\right) \dot{q}^j - V(q^i)$$ (1)

    
    
    Ricavare l' Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton.
    Data al Lagrangiana

    
    

    $$L= \frac{m}{2}\, \dot{q}^i \dot{q}_i + e\,\phi -e \,\dot{q}^i A_i$$ (2)

    
    
    ricavare:
    i) l' Hamiltoninana;
    ii) le equazioni di Hamilton.
    

    Dimostrare che per un sistema autonomo l' Hamiltoniana è una costante del moto.

26. 2-04-2014
    Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale. L'equazione di Hamilton-Jacobi

27. 2-04-2014
    Equazione di Hamilton-Jacobi come limite classico dell'equazione di Schrödinger.

28. 4-04-2014
    Simmetria tra spazio e tempo in teorie relativistiche (cenni). Covariantizzazione del formalismo Lagrangiano e a non-covarianza del formalismo Hamiltoniano.
    

29. 4-04-2014
    La ``forma simplettica'' (cenni). Le ``parentesi di Poisson'': definizione e proprietà.

30. 08-04-2015 Es. Ottenere le equazioni di Hamilton dalle parentesi di Poisson.
    Calcolare le seguenti Parentesi di Poisson
    

    $$\left\{\, q^i\ , q^j\,\right\}=?\ ,$$

    $$\left\{\, p_i\ , p_j\,\right\}=?\ ,$$

    $$\left\{\, q^i\ , q_j\,\right\}=?\ ,$$

    $$\left\{\, L^i\ , L^j\,\right\}=?\ .$$ (3)

    
    

31. 08-04-2015

    Trasformazioni canoniche infinitesime e funzione generatrice.
    ``Cariche di Noether'' come generatori di trasformazioni canoniche.

32. 10-04-2015 Azione ed equazioni di Lagrange per una particella libera relativistica. Coservazione dell'energia e del momento in meccanica relativistica.

33. 10-04-2015

    Difficoltà nel definire uan formulazione Hamiltoniana della particella relativistica. Moltiplicatore di Lagrange ed azione equivalente on-shell. Hamiltoniana come ``vincolo'' di mass-shell.

34. 10-04-2015 La dinamica della particella relativistica nella ``gauge sincrona''. Azione in forma Lagrangiana ed Hamiltoniana.

35. 10-04-2015 L' elettromagnetismo come teoria Lagrangiana di un ``mezzo continuo''. Azione Lagrangiana ed equazioni di Maxwell da un principio variazionale. $A_0$ come moltiplicatore di Lagrange e $\nabla \cdot \vec{E}= e\rho$ come ``vincolo''. Azione in forma Hamiltoniana.

La crisi della fisica classica

1. 15-04-2015
   Il `` corpo nero ''. La Legge di Rayleigh-Jeans per la densità spettrale di energia di corpo nero. La `` catastrofe ultravioletta ''.
2. 15-04-2015
   Es. Conteggiare i modi normali del campo elettromagnetico in una ``scatola'' con pareti conduttrici riflettenti. Ricavare la legge di Rayleigh-Jeans utilizzando il teorema di equipartizione dell'energia.

3. 17-04-2015 L' ipotesi di Planck: `` discretizzazione '' dell'energia della radiazione di corpo-nero.
4. 17-04-2015
   Es. Calcolare la Funzione di Partizione di Planck:

   
   

   $$\\ Z_{Pl.}\left(\, \beta\, \right) = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n\hbar \omega}\ ,\quad \beta\equiv \frac{1}{\kappa_B T}$$ (4)

   
   

   Nota $Z_{Pl.}$ ricavare la densità spettrale di energia a temperatura $T$.

5. 17-04-2015
   L' effetto Foto-elettrico. La spiegazione di Einstein e la natura corpuscolare della luce. Il `` fotone '' come `` quanto '' di energia elettromagnetica.

6. 21-04-2015
   La natura ondulatoria vs la natura corpuscolare delle luce. L'esperimento di diffrazione di Young come ``diffusione'' di fotoni.

7. 21-04-2015
   Diffusione di raggi-x da elettroni. Il picco primario e secondario. L' effetto Compton come urto-elastico fotone-elettrone.

8. 22-04-2015 Interpretazione fisica dei picchi principale e secondario, nell' effetto Compton. Scattering di Rayleigh e Scattering Compton.

9. 22-04-2015 Il `` microscopio '' di Bhor ed il Principio di Indeterminazione di Heisemberg.

10. 24-04-2015
    Gli spettri degli atomi idrogenoidi. La costante di Rydberg e la formula di Balmer.

11. 24-04-2015
    I postulati di Bohr. La quantizzazione del momento angolare. Spettro degli atomi idrogenoidi. L'ipotesi di De Broglie. Velocità di fase e velocità di gruppo.

12. 28-04-2015
    Ricavare la quantizzazione dell'energia e del momento angolare dalla condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld

13. 28-04-2015
    Descrizione qualitative del esperimento di Davidson-Germer: diffrazione di elettroni da una doppia fenditura. Comportamento corpuscolare vs comportamento ondulatorio

14. 29-04-2015
    
15. 29-04-2015
    Descrizione quantitativa dell' esperimento di Davidson-Germer. Interpretazione probabilistica della funzione d'onda.

Meccanica Ondulatoria

1. 05-05-2015
   Onde piane come autofunzioni del momento e dell'energia.
   L' equazione di Schrodinger.

2. 05-05-2015
   L' equazione di Schrodinger stazionaria: soluzione col metodo di separazione delle variabili.
   Equazione di continuità per una particella in moto lungo l'asse-x.

3. 06-05-2015
   Equazione di continuità in tre dimensioni. Forma esplicita per autofunzioni del momento. Onda piana come pacchetto ``lungo'' per una singola particella, o come descrizione effettiva di un fascio di particelle di momento definito.

4. 06-05-2015
   Funzione d' onda in forma ``polare'' . Equazioni per il modulo e la fase. Equazione di Hamilton-Jacobi `` quantistica'' e funzioni d' onda '' semi-classiche ``. Funzioni d'onda nello spazio dei momenti.

5. 08-05-2015
   Es. Dimostrare che un pacchetto d'onde Gaussiano in momento è anche Gaussiano in posizione. Dimostrare che un pacchetto Gaussiano corrisponde ad uno stato di minima indeterminazione per una particella libera.
6. 08-05-2015
   Es. Dimostrare che nel corso della sua evoluzione il pacchetto resta Gaussiano, ma che il picco della distribuzione di probabilità si sposta e la larghezza cresce monotonamente. Dimostrare che i valori medi $<x>$, $<p>$ soddisfano le equazioni del moto classiche, di una particella libera.
   Calcolare quanto tempo impiega un pacchetto gaussiano con $a=10^{-10} m$, e $m= 9.1 \times 10^{-31} kg$, per:
   i) raddoppiare la sua estensione lineare, i.e. calcolare $t_{2a}$: $a(t_{2a})=2a$; ii) estendersi fino ad una distanza macroscopica $A=10 cm$; iii) ripetere i conti i) e ii) per una massa $m= 0.25 kg.$

7. 12-05-2015
8. 12-05-2014
   Es. Si consideri un particella nel potenziale a gradino
   

   $$V(x)=V_0 \Theta(x)$$ (5)

   
   
   1) Discutere le condizioni di continuità di $\psi$ e $\psi^\prime$ in $x=0$.
   2) Risolvere l'equazione d' onda nel caso $E< V_0$.
   3) Determinare le ampiezze dell'onda incidente e di quella riflessa in funzione dell'ampiezza dell'onda trasmessa.
   4) Calcolare il coefficiente di riflession $R$ della barriera, la `` lunghezza di penetrazione '' e discuterne la misurabilità.

9. 13-05-2015
10. 13-05-2014
    Es. Si consideri un particella nel potenziale a gradino
    

    $$V(x)=V_0 \Theta(x)$$ (6)

    
    
    Risolvere l'equazione d'onda per $E> V_0$. Determinare il coefficiente di riflessione $R$ e trasmissione $T$. Verificare che $T+R=1$.
    Si consideri una barriera di potenziale rettangolare di base $a$ ed altezza $V_0$. Calcolare il coefficiente di tramissione (``Effetto Tunnel''). Formula di Gamow e decadimento $\alpha$ dell' Uranio ${238}$.

11. 15-05-2015
12. 15-05-2015
    Es. Si consideri la buca di potenziale ``infinita``
    

    $$V(x)= 0\ ,\qquad 0 < x < L\ ,$$ (7)

    $$V(x)=\infty \ ,\qquad x< 0 \ ,\quad x>L$$ (8)

    
    
    i) Discutere le condizioni di ''saldatura'' in $x=0\ ,x=L$.
    ii) Risolvere l'equazione d'onda e determinare lo spettro dell'energia. iii) Normalizzare la funzione d'onda. iv) Ricavare l'energia dello stato fondamentale dal Prinicipio di Indeterminazione. v) Traslare $x\longrightarrow x -L/2$. Discutere le proprieta` di simmetria delle auto-funzioni per riflessioni $x-\longrightarrow -x$.
    Si consideri la buca di potenziale ``finita``
    

    $$V(x)= 0\ ,\qquad 0 < x < L\ ,$$ (9)

    $$V(x)=V_0<\infty \ ,\qquad x< 0 \ ,\quad x>L$$ (10)

    
    
    Discutere il tipo di soluzioni e lo spettro dell' energia, per $E< V_0$.

13. 19-05-2015
14. 19-05-2015
    Es. Si consideri la buca di potenziale ``finita``
    

    $$V(x)= 0\ ,\qquad 0 < x < L\ ,$$ (11)

    $$V(x)=V_0<\infty \ ,\qquad x< 0 \ ,\quad x>L$$ (12)

    
    
    Discutere il tipo di soluzioni e lo spettro dell' energia, per $E> V_0$. Si ricavi il coefficiente di trasmissione e si determini quando $T=1$.
    Determinare l'energia minima di un oscillatore armonico quantistico usando il principio di Indeterminazione.
15. 20-05-2015
    Es. L'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico in una dimensione. Andamenti asintotici della funzione d'onda. Soluzione col metodo di ricorrenza ed auto-valori dell'energia.