\documentclass[12pt,a4paper]{article}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Fisica Teorica\\
        A.A. 2014-15}
\maketitle
\begin{center}
 \textbf{\cyan Meccanica Analitica}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	
       \item 03-03-2015:\\ Presentazione del corso: 
	obiettivi e contenuti. Testi di
	riferimento e materiale bibliografico on-line. 
	Modalit\`a di svolgimento dell'esame.
       \item 03-03-2015 :\\
	La meccanica Newtoniana come teoria fenomenologica del moto a bassa velocit\`a.
	Il problema dei vincoli. Coordinate generalizzate.
	

        \item 04-03-2014 :\\
        Gradi di libert\`a. Vincoli cinematici integrabili. Sistemi olonomi e sistemi
        anolonomi. Spazio delle configurazioni. Velocit\`a generalizzate: definizione
        e relazione con le velocit\`a nello spazio fisico.  Energia cinetica
        in termini delle velocit\`a generalizzate.
        
	
       \item 05-03-2014:\\
	\textbf{Es}. Si consideri un sistema di due particelle $P_1$ e $P_2$. La particella $P_1$ \`e
        vincolata a muoversi lungo l'asse $x$. La particella $P_2$ e collegata alla particella $P_1$
        da una sbarra rigida di lunghezza $a$, di massa trascurabile. 
        \begin{itemize}
         \item Conteggiare  il numero di gradi di libert\`a.
        \item  Determinare un possibile sistema di coordinate generalizzate.
        \item  Calcolare l'energia cinetica in funzione delle velocit\`a generalizzate.
         \end{itemize}
         \item 05-03-2014:\\
        \textbf{Es}. Si consideri un cilindro che rotola, (senza strisciare), su un piano inclinato.
         Dimostrare che il vincolo di rotolamento \`e integrabile e determinare il numero di gradi
         di libert\`a.\\
        Si consideri un disco di raggio $a$ vincolato a rotalare, (senza strisciare), su un 
	piano orizzontale, mantenendosi in un piano verticale. Verificare che il vincolo non \`e integrabile.
         \item 05-03-2015:\\
	Forze conservative ed Energia cinetica generalizzate.
        La ``~funzione di Lagrange~''.  Eq. di Eulero-Lagrange come generalizzazione delle equazioni di Newton.
        Coordinate cicliche e costanti del moto.
	\item 10-03-2015:\\
	 Covarianza delle equazioni di Lagrange per trasformazioni generali di coordinate. 
         Moltiplicatori di Lagrange.
	
\item 10-03-2014\\ \textbf{Es}. 
Equazioni del moto di una particella libera in un sistema di coordinate rotante. \\
Pendolo come sistema ``~vincolato~''. \\
Moto di una particella in caduta libera lungo una ``~guida~'' $y=f(x)$. 

\item 11-03-2015\\
Coordinate cicliche e costanti del moto. Potenziali centrali: conservazione del momento angolare e potenziale efficace.
Potenziali dipendenti dalle velocit\`a.\\
L' energia nel formalismo Lagrangiano.

\item 11-03-2015\\ \textbf{Es}. 
Particella carica in un campo eletromagnetico esterno. Lagrangiana, equazioni del moto, energia totale del sistema.\\
Particella in caduta lungo una spira rotante. Lagrangiana equazioni, del moto, energia totale del sistema.


\item 13-03-2015\\
      Problema dei due-corpi in un campo di forze centrali. Separazione del moto del centro di massa
      e del moto relativo. Simmetria sferica e conservazione del momento angolare. La II Legge di Keplero.

\item 13-03-2015\\
      Equazioni del moto. Potenziale efficace e classificazione delle possibili orbite.
      Equazione dell' orbita.


\item 17-03-2014 \\
      I Legge di Keplero: orbite ellittiche.\\
      III Legge di Keplero: periodo di rivoluzione.\\
      Correzioni al potenziale Newtoniano efficace e precessione del perielio di Mercurio.

\item 17-03-2014\\
      \textbf{Es}.
       Determinare la distanza minima dall' origine su: i) un' orbita ellittica; ii) un' orbita parabolica; un' orbita iperbolica
       Calcolare il periodo di rivoluzione di un satellite in ``orbita bassa'', circolare, a  $200\, km$ di altezza.\\
       Calcolare il periodo di rivoluzione di un satellite in orbita ellittica, con perigeo a  $200\, km$ di altezza, ed apogeo a 
       $7200\, km$ di altezza.

\item 18-03-2015 \\
Il calcolo delle variazioni. Funzionali e derivate funzionali. Principi di ``minimo'' secondo Fermat ed Hamilton.
\item 18-03-2015 \\
\textbf{Es}. Determinare il  ``cammino piu` breve'' , nel piano, tra due punti dati, medianti il calcolo delle variazioni.
Verificare che la retta \`e effettivamente un ``minimo''.

\item 20-03-2015 \\
\textbf{Es}. 
Ricavare la Legge di Snell dal Principio (variazionale) di Fermat.\\
Il problema della ``brachistocrona''.


\item 20-03-2015 \\
Equazioni di Lagrange, e traiettorie classiche, come estremali, dell' Integrale di Azione.
Variazione ad ``estremi fissi''.

\item 24-03-2015\\
\textbf{Es}.
Calcolare l'azione per: i) una particella libera; ii) una particella in un campo di forze centrali; iii)
dimostrare che l'azione ricavata in ii) soddisfa l'equazione di Hamilton-Jacobi.\\
Dimostrare che l'invarianza per traslazioni spaziali implica la conservazione del momento lineare, e l'invarianza per
rotazioni la conservazione del momento angolare.

\item 24-03-2015\\
Il Teorema di Emi Noether (versione semplificata). Le ``cariche di Noether''.

\item 25-03-2015\\
Sistemi dinamici (cenni). Spazio delle fasi. Flusso di fase. \emph{Punti fissi}.
\item 25-03-2014\\ 
\textbf{Es}. Studiare i punti fissi e lo spazio di fase per:\\
i)un oscillatore armonico, uni-dimensionale;\\
ii)un oscillatore uni-dimensionale con costante elastica negativa;\\
%iii) pendolo matematico

\item 27-3-2015
Lo spazio delle fasi ed i punti fissi, per il pendolo. \\
Discussione generale della relazione tra punti fissi e punti
di stazionarieta` del potenziale, per sistemi conservativi.

\item 31-03-2015 \\
L' ``Hamiltoniana'', definizione e significato fisico. Le quazioni di Hamilton.
La Trasformata di Legendre e la sua interpretazione geometrica.

\item 31-03-2015\\
\textbf{Es.}
Data la Lagrangiana 
\begin{equation}
 L= \frac{1}{2} \dot{q}^i A_{ij}\left(\, q\,\right) \dot{q}^j - V(q^i)
\end{equation}
Ricavare l' Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton.\\
Data al Lagrangiana 

\begin{equation} 
 L= \frac{m}{2}\, \dot{q}^i \dot{q}_i + e\,\phi -e \,\dot{q}^i A_i
\end{equation}
ricavare:\\
i) l' Hamiltoninana;\\
ii) le equazioni di Hamilton.\\

Dimostrare che per un sistema autonomo l' Hamiltoniana \`e una costante del moto.

\item 2-04-2014 \\
Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale.
L'equazione di Hamilton-Jacobi

\item 2-04-2014 \\
Equazione di Hamilton-Jacobi come limite classico dell'equazione di Schr\"odinger.

\item 4-04-2014 \\
Simmetria tra spazio e tempo in teorie relativistiche (cenni). Covariantizzazione 
del formalismo Lagrangiano e a non-covarianza del formalismo Hamiltoniano.\\
  

\item 4-04-2014\\
La ``forma simplettica'' (cenni). Le ``parentesi di Poisson'': definizione
e propriet\`a.

\item 08-04-2015
\textbf{Es.} Ottenere le equazioni di Hamilton dalle parentesi di Poisson.\\
Calcolare le seguenti Parentesi di Poisson
\begin{eqnarray}
 &&\left\{\, q^i\ , q^j\,\right\}=?\ ,\nonumber\\
 &&\left\{\, p_i\ , p_j\,\right\}=?\ ,\nonumber\\
 &&\left\{\, q^i\ , q_j\,\right\}=?\ ,\nonumber\\
 &&\left\{\, L^i\ , L^j\,\right\}=?\ .
\end{eqnarray}

\item 08-04-2015

Trasformazioni canoniche infinitesime e funzione generatrice.\\
``Cariche di Noether'' come generatori di trasformazioni canoniche.

\item 10-04-2015
Azione ed equazioni di Lagrange per una particella libera  relativistica.
Coservazione dell'energia e del momento in meccanica relativistica.

\item 10-04-2015

Difficolt\`a nel definire uan formulazione Hamiltoniana della particella
relativistica. Moltiplicatore di Lagrange ed azione equivalente on-shell.
Hamiltoniana come ``vincolo'' di mass-shell.

\item 10-04-2015
La dinamica della particella relativistica nella ``gauge sincrona''. Azione in forma
Lagrangiana ed Hamiltoniana.

\item 10-04-2015
L' elettromagnetismo come teoria Lagrangiana di un ``mezzo continuo''. Azione Lagrangiana
ed equazioni di Maxwell da un principio variazionale. $A_0$ come moltiplicatore di Lagrange
e $\nabla \cdot \vec{E}= e\rho $ come ``vincolo''. Azione in forma Hamiltoniana.
\end{enumerate}
	
\begin{center}
\textbf{\red La crisi della fisica classica}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item 15-04-2015 \\
Il ``~corpo nero~''.  La Legge di Rayleigh-Jeans per la densit\`a spettrale di energia
di corpo nero. La ``~catastrofe ultravioletta~''. 
\item 15-04-2015 \\
\textbf{Es.} Conteggiare i modi normali del campo elettromagnetico in una ``scatola'' con pareti conduttrici riflettenti.
Ricavare la legge di Rayleigh-Jeans utilizzando il teorema di equipartizione dell'energia.

\item 17-04-2015
L' ipotesi di Planck: ``~discretizzazione~'' dell'energia della radiazione di corpo-nero.
\item 17-04-2015 \\
\textbf{Es.} 
Calcolare la Funzione di Partizione di Planck:

\begin{equation} \\
 Z_{Pl.}\left(\, \beta\, \right) = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n\hbar \omega}\ ,\quad \beta\equiv \frac{1}{\kappa_B T}
\end{equation}

Nota $Z_{Pl.}$ ricavare la densit\`a spettrale di energia a temperatura $T$.

\item 17-04-2015 \\
 L' effetto Foto-elettrico.  La spiegazione di Einstein e la natura corpuscolare della luce.
Il ``~fotone~'' come ``~quanto~'' di energia elettromagnetica. 

\item 21-04-2015 \\
La natura ondulatoria vs la natura corpuscolare delle luce. L'esperimento di diffrazione di
Young come ``diffusione'' di fotoni.

\item 21-04-2015 \\
Diffusione di raggi-x da elettroni. Il picco primario e secondario.
L' effetto Compton come urto-elastico fotone-elettrone. 


\item 22-04-2015
Interpretazione fisica dei picchi principale e secondario, nell' effetto Compton. Scattering di
Rayleigh e Scattering Compton.

\item 22-04-2015
Il ``~microscopio~'' di Bhor ed il Principio
di Indeterminazione di Heisemberg.




\item 24-04-2015 \\
Gli spettri degli atomi idrogenoidi. La costante di
Rydberg e la formula di Balmer.

\item 24-04-2015 \\
I postulati di Bohr. La quantizzazione del momento angolare. Spettro degli atomi idrogenoidi.
L'ipotesi di De Broglie. Velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo.

\item 28-04-2015 \\
 Ricavare la quantizzazione dell'energia e del momento
angolare dalla condizione di quantizzazione di Bohr-Sommerfeld

\item 28-04-2015 \\
 Descrizione qualitative del esperimento di Davidson-Germer: diffrazione di elettroni da una doppia fenditura. 
Comportamento corpuscolare vs comportamento ondulatorio

\item 29-04-2015 \\ 
\item 29-04-2015 \\ 
Descrizione quantitativa dell' esperimento di Davidson-Germer. Interpretazione probabilistica della funzione
d'onda.
\end{enumerate}
\begin{center}
\textbf{ \red Meccanica Ondulatoria}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item 05-05-2015\\
Onde piane come autofunzioni del momento e dell'energia.\\
L' equazione di Schrodinger.

\item 05-05-2015\\
L' equazione di Schrodinger stazionaria: soluzione col metodo di separazione delle variabili.\\
Equazione di continuit\`a per una particella in moto lungo l'asse-x.


\item 06-05-2015\\
Equazione di continuit\`a in tre dimensioni. Forma esplicita per autofunzioni del momento.
Onda piana come pacchetto ``lungo'' per una singola particella, o come descrizione effettiva
di un fascio di particelle di momento definito.

\item 06-05-2015\\
Funzione d' onda in forma ``polare'' . Equazioni per il modulo e la fase. Equazione di
Hamilton-Jacobi ``~quantistica'' e funzioni d' onda ''~semi-classiche~``.
Funzioni d'onda nello spazio dei momenti.

\item 08-05-2015\\
\textbf{Es.} Dimostrare che un pacchetto d'onde Gaussiano in momento \`e anche Gaussiano in posizione.
Dimostrare che un pacchetto Gaussiano corrisponde ad uno stato di \emph{minima indeterminazione} per una
particella libera.
\item 08-05-2015\\
\textbf{Es.} Dimostrare che nel corso della sua evoluzione il pacchetto resta Gaussiano, ma che il
picco della distribuzione di probabilit\`a si sposta e la larghezza cresce monotonamente.
Dimostrare che i valori medi $<x>$, $<p>$ soddisfano le equazioni del moto \emph{classiche}, di una
particella libera.\\
Calcolare quanto tempo impiega un pacchetto gaussiano con $a=10^{-10} m $, e $ m= 9.1 \times 10^{-31} kg $, per:\\
i) raddoppiare la sua estensione lineare, i.e. calcolare $t_{2a}$: $ a(t_{2a})=2a $;
ii) estendersi fino ad una distanza macroscopica $A=10 cm $;
iii) ripetere i conti i) e ii) per una massa $m= 0.25 kg.$ 




\item 12-05-2015 \item 12-05-2014 \\ 
 \textbf{Es.} Si consideri un particella nel potenziale a gradino
\begin{equation}
 V(x)=V_0 \Theta(x)
\end{equation}
1) Discutere le condizioni di continuit\`a di $\psi$ e $\psi^\prime$ in $x=0$.\\
2) Risolvere l'equazione d' onda nel caso $E< V_0$.\\
3) Determinare le ampiezze dell'onda incidente e di quella riflessa in funzione dell'ampiezza dell'onda
   trasmessa.\\
4) Calcolare il coefficiente di riflession $R$ della barriera, la ``~lunghezza di penetrazione~'' e discuterne
la misurabilit\`a.

\item 13-05-2015 \item 13-05-2014 \\ 
 \textbf{Es.} Si consideri un particella nel potenziale a gradino
\begin{equation}
 V(x)=V_0 \Theta(x)
\end{equation}
Risolvere l'equazione d'onda per $E> V_0$. Determinare il coefficiente di riflessione $R$ e trasmissione $T$. Verificare
che $T+R=1$. \\
Si consideri una barriera di potenziale rettangolare di base $a$ ed altezza $V_0$. Calcolare il coefficiente di tramissione 
(``Effetto Tunnel''). Formula di Gamow e decadimento $\alpha$ dell' Uranio ${238}$.

\item 15-05-2015 \item 15-05-2015 \\
\textbf{Es.}
Si consideri la buca di potenziale ``infinita``
\begin{eqnarray}
 && V(x)= 0\ ,\qquad 0 < x < L\ ,\\
 && V(x)=\infty \ ,\qquad x< 0 \ ,\quad x>L
\end{eqnarray}
i) Discutere le condizioni di ''saldatura'' in $x=0\ ,x=L$.\\
ii) Risolvere l'equazione d'onda e determinare lo spettro dell'energia.
iii) Normalizzare la funzione d'onda.
iv) Ricavare l'energia dello stato fondamentale dal Prinicipio di Indeterminazione.
v) Traslare $x\longrightarrow x -L/2$. Discutere le proprieta` di simmetria delle
auto-funzioni per riflessioni $x-\longrightarrow -x$.\\
Si consideri la buca di potenziale ``finita``
\begin{eqnarray}
 && V(x)= 0\ ,\qquad 0 < x < L\ ,\\
 && V(x)=V_0<\infty \ ,\qquad x< 0 \ ,\quad x>L
\end{eqnarray}
Discutere il tipo di soluzioni e lo spettro dell' energia, per $E<V_0$.

\item 19-05-2015 \item 19-05-2015 \\
\textbf{Es.}
Si consideri la buca di potenziale ``finita``
\begin{eqnarray}
 && V(x)= 0\ ,\qquad 0 < x < L\ ,\\
 && V(x)=V_0<\infty \ ,\qquad x< 0 \ ,\quad x>L
\end{eqnarray}
Discutere il tipo di soluzioni e lo spettro dell' energia, per $E>V_0$.
Si ricavi il coefficiente di trasmissione e si determini quando $T=1$.
\\
Determinare l'energia minima di un oscillatore armonico quantistico
usando il principio di Indeterminazione.
\item 20-05-2015 \\
\textbf{Es.}
L'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico
in una dimensione. Andamenti asintotici della funzione d'onda.
Soluzione col metodo di ricorrenza ed auto-valori dell'energia.



\end{enumerate}

\end{document}






 



\



\item 07-05-2014\\
 Velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo per un generico pacchetto d'onda.
      Principio di Indeterminazione e stabilit`a dell'atomo di idrogeno.

\item  07-05-2014\\
 \textbf{Es.} Calcolare gli autovalori e le autofunzioni di una particella in una buca
                         di potenziale, rettangolare, infinita. 

\item  13-05-2014 \\
 \textbf{Es.} Calcolare i seguenti valori medi per una particella nella buca 
di potenziale, rettangolare, infinita: $< x >$, $< p >$, $< E >$.\\
Dimostrare che l'energia cinetica della particella nella buca deriva unicamente dal principio
di indeterminazione.

\item 
 13-05-2014\\
 Autostati dell' Hamiltoniano come valori misurabili dell'energia. 
Significato fisico dei coefficienti dello sviluppo in autostati dell'energia.

\item  14-05-2014 \\
\textbf{Es.} Calcolare il coefficiente di riflessione di una ``barriera infinita'' nell'origine. \\
Si consideri un potenziale a ``gradino'' di altezza finita $V_0$ per $x\le 0$. Risolvere l'equazione di Schrodinger per $E> V_0$ ed 
imporre le condizioni di continui\`a sulla funzione d'onda e la sua derivata prima.

\item  14-05-2014 \\
 \textbf{Es.}  
Calcolare il coefficiente di riflessione e  di trasmissione del ``gradino''.  Studiare i limiti $V_0\to \infty$
e $ V_0\to 0 $.
\item  15-05-2014\\
 \textbf{Es.}  Calcolare il coefficiente di riflessione e  di trasmissione del ``gradino'' per $E< V_0$.
Determinare la forma della funzione d'onda sotto il gradino. Calcolare lo ``sfasamento'' tra l'onda incidente e l'onda
riflessa.

\item  15-05-2014 \\ \textbf{Es.}
  Calcolare il coefficiente di trasmissione attraverso una barriera di potenziale rettangolare
(Effetto Tunnel)

\item  16-05-2014 \\
\textbf{Es.} Calcolare il coefficente di trasmissione e di riflessione
di una buca di potenziale rettangolare.  Determinare le
condizioni di "trasparenza" totale della buca (Effetto Ramsauer).

\item  16-05-2014 \\
 \textbf{Es.}  Risolvere l'equazione di Schrodinger all' interno della
buca. Studiare lo spettro dei livelli energetici. 
Parita` degli stati legati nella buca.

\item  21-05-2014 \\
  
\item  21-05-2014 \\
 Spettro dei livelli energetici e possibili interpretazioni fisiche. 
Energia di punto-zero come conseguenza del principio di indeterminazione.
	
\item 23-05-2014 \\
I polinomi di Hermite e le funzioni d'onda dell' oscillatore armonico. \\
L'algebra degli operatori $a$, $a^\dagger $ definizione e propriet\`a.


\item 23-05-2014 \\
L' Hamiltoniano in termini di $a$, $a^\dagger $. Lo stato
fondamentale come stato di ``vuoto''.

\item 27-05-2014 \\
 \textbf{Es.}
Ricavare le funzioni d'onda dell' oscillatore armonico partendo da $a \vert 0>=0 $. 
Calcolare i valori medi di $<\psi_n\vert x\vert \psi_n >$,  $<\psi_n\vert x^2\vert \psi_n >$, 
$<\psi_n\vert p\vert \psi_n >$, $<\psi_n\vert p^2\vert \psi_n >$. Dimostrare che
\begin{equation}
 \Delta x \Delta p= \left(\, n +\frac{1}{2}\, \right) \hbar \omega
\end{equation}


\item 27-05-2014 \\
 Domande e risposte sugli argomenti svolti nel corso.

\end{enumerate}
	\end{document}
