\documentclass[12pt,a4paper,flqn]{article}
\pagestyle{empty}
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\begin{document}

\title{\blue Introduzione alla Fisica Teorica\\
        A.A. 2013-14}
\maketitle
\begin{center}
 \textbf{\cyan Meccanica Analitica}
\end{center}

	\begin{enumerate}
	
       \item 04-03-2014:\\ Presentazione del corso: 
	motivazioni ed obiettivi; contenuti. Testi di
	riferimento e materiale bibliografico on-line. 
	
       \item 04-03-2014 :\\
	La ``~mappa~'' della Fisica Teorica. L' idea di 
        ``~Unificazione~'' come tema di fondo della
        Fisica Teorica.
	
	\item 05-03-2014 :\\
	Coordinate generalizzate. Gradi di libert\`a
        e vincoli. Velocit\`a generalizzate.
        Forze generalizzate.
	
       \item 05-03-2014:\\
	\textbf{Es}. Gradi di libert\`a di una particella:\\
        i) su una retta\\
        ii) nel piano\\
        iii) nello spazio.\\
        Gradi di libert\`a di un corpo rigido:\\
        i) nel piano\\
        ii)nello spazio.\\
        Gradi di libert\`a del pendolo matematico.
	
         \item 07-03-2014:\\
	Forze conservative ed Energia cinetica generalizzate.
        La ``~funzione di Lagrange~''.  Eq. di Eulero-Lagrange come generalizzazione delle equazioni di Newton.
        Coordinate cicliche e costanti del moto.
	
        \item 07-03-2014:\\
	 \textbf{Es}. Particlla sul piano in presenza di forze centrali:\\
         ricavare la Lagrangiana;\\
         scrivere le equazioni di Lagrange;\\
         consevazione del momento angolare;\\
         potenziale efficace.
	
\item 11-03-2014\\ \textbf{Es}. Equazioni del moto di una particella libera in un sistema di coordinate rotante. 

 \item 11-03-2014\\ \textbf{Es}. Pendolo come sistema ``~vincolato~''. Moltiplicatori di Lagrange.\\
Moto di una particella in caduta liber lungo una ``~guida~'' $y=f(x)$. Moltiplicatore di Lagrange come
``~costante di accoppiamento~'' particella-potenziale vincolare.

\item 12-03-2014\\ \textbf{Es}.
Equazioni del moto di una particella in caduta lungo un piano inclinato mobile.\\
Oscillatori accoppiati: calcolo dei modi normali di vibrazione. 

\item 12-03-2014\\ ``Energia'' conservata nel formalismo lagrangiano.\\
Lagrangiana per una particella carica in un campo elettro-magnetico esterno.

\item 14-03-2014\\ Energia conservata per una particella carica in un campo elettro-magnetico esterno.

\item 14-03-2014 \\ Soluzione dell'equazioni del moto col metodo di separazione delle variabili.
Spazio di fase. Flusso di fase. Punti fissi

\item 18-03-2014\\ \textbf{Es}. Studiare i punti fissi e lo spazio di fase per:\\
i) oscillatore armonico, uni-dimensionale;\\
ii)`` oscillatore invertito'', uni-dimensionale;\\
iii) pendolo matematico

\item 18-03-2014\\ Punti fissi ellittici, iperbolici, marginali.
      Metodo generale per determinare i punti fissi e lo spazio di fase
      di un sistema meccanico ad 1 grado di libert\`a.

\item 19-03-2014\\
      Problema dei due-corpi in un campo di forze centrali. Separazione del moto del centro di massa
      e del moto relativo. Simmetria sferica e conservazione del momento angolare. La II Legge di Keplero.

\item 19-03-2014\\
      Equazioni del moto. Potenziale efficace e classificazione delle possibili orbite.
      Condizioni di esistenza per l'orbita circolare stabile.

\item 21-03-2014 \\
      I Legge di Keplero: orbite.\\
      III Legge di Keplero: periodo di rivoluzione.\\
      Correzzioni al potenziale newtoniano e precessione del perielio di Mercurio.

\item 21-03-2014\\
      \textbf{Es}.
      Studiare i punti fissi (eventuali) del potenziale efficace newtoniano, e disegnare lo spazio
      di fase.\\
      Calclare il periodo di rivoluzione di un satellite in ``orbita bassa'', circolare, a  200 km di altezza.\\
       Calclare il periodo di rivoluzione di un satellite in orbita ellittica, con perigeo a  200 km di altezza, ed apogeo a 7200 km di altezza.

\item 25-03-2014 \\
Il problema del ``cammino piu` breve''. Equazioni di Eulero-Lagrange. Derivate funzionali e calcolo
delle variazioni. L' integrale di Azione.

\item 25-03-2014 \\
Equazioni di Lagrange, e traiettorie classiche, come estremali, dell' Integrale di Azione.
Variazione ad ``estremi fissi''.

\item 26-03-2014 \\
\textbf{Es}.
Calcolare l'azione per una particella libera.\\
Determinare la forma della funzione $y=f(x)$ che genera la superficie di rivoluzione di area minima.\\
Determinare la forma della ``brachistocrona'' in un campo gravitazionale costante. 

\item 26-03-2014 \\
Variazione seconda dell' azione di un oscillatore armonico, attorno alla soluzione classica.
Condizioni di minimo, massimo e flesso ( punto a sella ).

\item 27-03-2014 \\
\textbf{Es.}
Invarianza per traslazioni spaziali e conservazione del momento.\\
Invarianza per rotazioni e conservazione del  momento angolare.   \\
Invarianza per traslazioni temporali e conservazione dell' energia.  

\item 27-03-2014 \\
Il Teorema di Emi Noether.  ``Cariche'' conservate.
Invarianza di gauge, equazione di continuit\`a e conservazione della carica elettrica.

\item 1-04-2014 \\
L' ``Hamiltoniana''. Le quazioni di Hamilton.
La Trasformata di Legendre.

\item 1-04-2014\\
\textbf{Es.}
Data al Lagrangiana 
\begin{equation}
 L= \frac{1}{2} \dot{q}^i A_{ij}\left(\, q\,\right) \dot{q}^j - V(q^i)
\end{equation}
Ricavare l' Hamiltoniana e le equazioni di Hamilton.\\
Data al Lagrangiana 

\begin{equation} 
 L= \frac{m}{2} \dot{q}^i \dot{q}_i + e\phi -e \dot{q}^i A_i
\end{equation}
ricavare:\\
i) l' Hamiltoninana;\\
ii) le equazioni di Hamilton;\\
iii) l'equzione del moto in forma Lagrangiana 

\item 2-04-2014 \\
Le equazioni di Hamilton da un principio variazionale.
L'equazione di Hamilton-Jacobi

\item 2-04-2014 \\
Approssimazione iconale dell'ottica geometrica ed equazione di Hamilton-Jacobi.
Equazione di Hamilton-Jacobi come limite classico dell'equazione di Schr\"odinger.

\item 4-04-2014 \\
La non-covarianza del formalismo Hamiltoniano.\\
Le ``parentesi di Poisson''.  Parentesi di Poisson
e ``commutatori''.

\item 4-04-2014\\
\textbf{Es.} Ottenere le equazioni di Hamilton dalle parentesi di Poisson.\\
Calcolare le seguenti parentesi di Poisson:\\
$\left\{\, q^i\ , q^j\,\right\}$,  $\left\{\, p_i\ , p_j\,\right\}$, $\left\{\, q^i\ , p_j\,\right\}$.

\end{enumerate} 
	
\begin{center}
\textbf{ \red La crisi della fisica classica}
\end{center}

\begin{enumerate}

\item 8-04-2014 \\
La radiazione di ``~corpo nero~''.  La Legge di Rayleigh-Jeans e la ``~catastrofe ultravioletta~''. 
L' ipotesi di Planck: ``~quantizzazione~'' come ``~discretizzazione~'' di una variable
classicamente continua. La densit\`a spettrale di energia, di Planck, e la legge di Stefan-Boltzmann.

\item 8-04-2014 \\
\textbf{Es.} Calcolare i modi normali del campo elettromagnetico in una ``scatola'' con pareti riflettenti.\\
Calcolare la Funzione di Partizione di Planck:

\begin{equation} \\
 Z_{Pl.}\left(\, \beta\, \right) = \sum_{n=0}^\infty e^{-\beta n\hbar \omega}\ ,\quad \beta\equiv \frac{1}{\kappa_B T}
\end{equation}

Nota $Z_{Pl.}$ ricavare la densit\`a spettrale di energia a temperatura $T$.\\
Calcolare l'energia elettromagnetica totale nella scatola.

\item 9-04-2014 \\
 L' effetto Foto-elettrico.  La spiegazione di Einstein e la natura corpuscolare della luce.
Il ``~fotone~'' come ``~quanto~'' di energia elettromagnetica. 

\item 9-04-2014 \\
 L' effetto Compton come urto-elastico fotone-elettrone. Il ``~microscopio~'' di Heisenberg.

\item 11-04-2014 \\
 L' atomo di Bhor. Quantizzazione del momento angolare. Orbite discrete ed spettro dei
livelli energetici. Formula di Rydberg.

\item 11-04-2014 \\
 L' ipotesi di DeBrogli\`e. L' equazione d'onda di Schr\"odinger.

\item 15-04-2014 \\
 L' esperimento di Davidson e Germer: diffrazione di elettroni da una doppia fenditura.
Intensita` dell' onda di De Broglie e intensita` di un fascio di particelle.
Interpretazione di Born della funzione d'onda.

\item 15-04-2014 \\ ``Anatomia'' dell'esperimento di diffrazione.   Il dualismo onda/particella. 
                  Impossibilita` di definire una traiettoria classica. 

\item 16-04-2014 \\
\textbf{Es.}
Costruire un rappresentazione "vettoriale" del moto uni-dimensionale di una particella. Moto nello spazio fisico vs. moto
sulla sfera unitaria nello spazio vettoriale. Interpretazione fisica "alla Born" dei vettori di stato. 



\end{enumerate}



 \begin{center}
 \textbf{\blue Introduzione alla Meccanica Meccanica Quantistica}
\end{center}

\begin{enumerate}
 \item 16-04-2014 \\
La notazione di Dirac: i "bra" ed i "ket". Funzioni a quadrato sommabile come vettori complessi
ad infinite componenti.  Lo Spazio di Hilbert e la sua importanza per la meccanica quantistica. Operatori
ed "elementi di matrice".
\item 23-04-2014 \\
 Valori di aspettazione e valori medi. Scarto quadratico medio come ``incertezza''.
Operatore momento

\item 23-04-2014 \\
Operatori Hemitiani. Operatore Hamiltoniano.  Teorema di Ehrnfest.

\item 29-04-2014 \\
\textbf{Es.} Calcolare : $\partial_t < x>$ e $\partial_t < p_x>$ utilizzando l' eq. di Schr\"odinger.\\
Dimostrare che l' eq. di Schr\"odinger per potenziali independenti dal tempo si pu\`o risolvere col metodo di separazione
delle variabili.

\item 29-04-2014 \\
\textbf{Es.}
 Corrente di probabilit\`a e leggi di conservazione locale e globale.\\
L' eq. di Schr\"odinger stazionaria come equazione agli auto-valori per l' Hamiltoniano.


\item 30-04-2014\\ \textbf{Es.}
 Risolvere l'eq. di Schr\"odinger stazionaria per una particella libera in 1D.
Trovare la soluzione generale col metodo di Fourier. Determinare la condizione di normalizzazione della funzione
d'onda nello spazio dei momenti. 
\item 30-04-2014 \\ \textbf{Es.}
 Sia lo stato iniziale di una particella descritto dal pacchetto d'onda gaussiano
\begin{equation}
 \psi(x, 0)=N e^{-x^2/2a^2} e^{ip_0 x/\hbar}
\end{equation}
i) determinare il coeeficiente di normalizzazione $N$; ii) il valor medio $<x>$; iii) il valor medio $<p>$, iv) l'incertezza $\Delta x$;
v) la funzione d'onda nello spazio dei momenti:
\begin{equation}
 \psi(p)= \int dx e^{-ip x/\hbar} \psi(x, 0)
\end{equation}

Determinare l'evoluzione del pachetto, i.e. calcolare

\begin{equation}
 \psi(x, t)= \int \frac{dp}{2\pi\hbar} \exp\left[\, i\left(\, px - \frac{p^2}{2m}t\,\right)\,\right]\psi(p)
\end{equation}

\item 06-05-2014 \\ \textbf{Es.}
   Data $ \psi(x, t) $ determinare l'evoluzione dei valori medi  $< x>$, $<p>$, e delle
incertezze $\Delta x$, $\Delta p$.\\
Calcolare quanto tempo impiega un pacchetto gaussiano con $a=10^{-10} m $, e $ m= 9.1 \times 10^{-31} kg $, per:\\
i) raddoppiare la sua estensione lineare, i.e. calcolare $t_{2a}$: $ a(t_{2a})=2a $;
ii estendersi fino ad una distanza macroscopica $A=10 cm $;
iii) ripetere i conti i) e ii) per una massa $m= 0.25 kg.$ 

\item 06-05-2014 \\
 Il Principio di Heisenberg ( per il pacchetto gaussiano ).\\
     Velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo per la sovrapposizione di due onde piane.



\item 07-05-2014\\
 Velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo per un generico pacchetto d'onda.
      Principio di Indeterminazione e stabilit`a dell'atomo di idrogeno.

\item  07-05-2014\\
 \textbf{Es.} Calcolare gli autovalori e le autofunzioni di una particella in una buca
                         di potenziale, rettangolare, infinita. 

\item  13-05-2014 \\
 \textbf{Es.} Calcolare i seguenti valori medi per una particella nella buca 
di potenziale, rettangolare, infinita: $< x >$, $< p >$, $< E >$.\\
Dimostrare che l'energia cinetica della particella nella buca deriva unicamente dal principio
di indeterminazione.

\item 
 13-05-2014\\
 Autostati dell' Hamiltoniano come valori misurabili dell'energia. 
Significato fisico dei coefficienti dello sviluppo in autostati dell'energia.

\item  14-05-2014 \\
\textbf{Es.} Calcolare il coefficiente di riflessione di una ``barriera infinita'' nell'origine. \\
Si consideri un potenziale a ``gradino'' di altezza finita $V_0$ per $x\le 0$. Risolvere l'equazione di Schrodinger per $E> V_0$ ed 
imporre le condizioni di continui\`a sulla funzione d'onda e la sua derivata prima.

\item  14-05-2014 \\
 \textbf{Es.}  
Calcolare il coefficiente di riflessione e  di trasmissione del ``gradino''.  Studiare i limiti $V_0\to \infty$
e $ V_0\to 0 $.
\item  15-05-2014\\
 \textbf{Es.}  Calcolare il coefficiente di riflessione e  di trasmissione del ``gradino'' per $E< V_0$.
Determinare la forma della funzione d'onda sotto il gradino. Calcolare lo ``sfasamento'' tra l'onda incidente e l'onda
riflessa.

\item  15-05-2014 \\ \textbf{Es.}
  Calcolare il coefficiente di trasmissione attraverso una barriera di potenziale rettangolare
(Effetto Tunnel)

\item  16-05-2014 \\
\textbf{Es.} Calcolare il coefficente di trasmissione e di riflessione
di una buca di potenziale rettangolare.  Determinare le
condizioni di "trasparenza" totale della buca (Effetto Ramsauer).

\item  16-05-2014 \\
 \textbf{Es.}  Risolvere l'equazione di Schrodinger all' interno della
buca. Studiare lo spettro dei livelli energetici. 
Parita` degli stati legati nella buca.

\item  21-05-2014 \\
  L'equazione di Schrodinger per l'oscillatore armonico
in una dimensione.  Soluzione col metodo di ricorrenza.

\item  21-05-2014 \\
 Spettro dei livelli energetici e possibili interpretazioni fisiche. 
Energia di punto-zero come conseguenza del principio di indeterminazione.
	
\item 23-05-2014 \\
I polinomi di Hermite e le funzioni d'onda dell' oscillatore armonico. \\
L'algebra degli operatori $a$, $a^\dagger $ definizione e propriet\`a.


\item 23-05-2014 \\
L' Hamiltoniano in termini di $a$, $a^\dagger $. Lo stato
fondamentale come stato di ``vuoto''.

\item 27-05-2014 \\
 \textbf{Es.}
Ricavare le funzioni d'onda dell' oscillatore armonico partendo da $a \vert 0>=0 $. 
Calcolare i valori medi di $<\psi_n\vert x\vert \psi_n >$,  $<\psi_n\vert x^2\vert \psi_n >$, 
$<\psi_n\vert p\vert \psi_n >$, $<\psi_n\vert p^2\vert \psi_n >$. Dimostrare che
\begin{equation}
 \Delta x \Delta p= \left(\, n +\frac{1}{2}\, \right) \hbar \omega
\end{equation}


\item 27-05-2014 \\
 Domande e risposte sugli argomenti svolti nel corso.

\end{enumerate}
	\end{document}
