Corso: Relatività A
A.A. 2001-02

Relatività Speciale e Gravitazione

1. 02-10-02: Presentazione del corso. Contenuti e motivazioni. Ruolo attuale della Relatività Generale nella Fisica Teorica delle Alte Energie.
2. 02-10-02: Notazione e convenzioni. Coordinate. Trasformazioni di Lorentz come esempio di trasformazioni di coordinate. Covarianza delle leggi fisiche per trasformazioni di coordinate. Elemento di linea di Minkowski. Segnatura.
3. 03-10-02: Covarianza ed Invarianza di Lorentz. Tempo proprio. 4-velocità e 4-momento.
4. 03-10-02:
   Eserc. Mostrare che è un invariante di Lorentz. Calcolare il modulo della 4-velocità. Calcolare il modulo del 4-momento.
5. 04-10-02:
   Eserc. Derivazione euristica delle equazioni d'onda per il campo elettromagnetico.
6. 04-10-02: Gravità newtoniana vs Relatività Ristretta. Il problema della sorgente. Massa Inerziale, Massa Gravitazionale Attiva, Massa Gravitazionale Passiva. Principio di Equivalenza (Debole).
7. 09-10-02: Esperimento concettuale per provare che la sorgente del campo garivtazionale deve essere la mass-energy, e non la massa di riposo. Non-linearit`a di una teoria relativistica della gravitazione.
8. 09-10-02:
   Eserc. determinare i ``coefficienti metrici'' nei seguenti casi:
   i) piano euclideo in coordinate cartesiane e coordinate polari;
   ii) spazio euclideo tri-dimensionale in coordinate cartesiane e coordinate polari;
   iii) spazio-tempo di Minkowski in coordinate cartesiane e coordinate polari.
9. 10-10-02: ``Coordinate Piatte'' e ``Coordinate Curvilinee''.
   Eserc.Mostrare che la metrica
   
   può essere ricondotta alla forma
   
   tramite un' opportuna trasformazione di coordinate.
   Definizione ``intuitiva'' di spazio(tempo)curvo.
10. 10-10-02: ``Coordinate Localmente Piatte''.
    Eserc. Determinare un sitema di coordinate localmente piatte su una sfera di raggio a, nell' intorno del punto di coordinate , . Trasfomazioni non-lineari tra sistemi di coordinate localmente piatte. Utilità delle coordinate localmente piatte.
11. 11-10-02: Linee Geodetiche. Lunghezza invariante di una curva nello spazio(tempo).
    Eserc. Ricavare l'equazione delle geodetiche dalla condizione di stazionarietà:
    
    
12. 11-10-02: Invarianza per ri-parametrizzazioni di e forma canonica dell'equazioni delle geodetiche. Geodetiche in coordinate localmente piatte.
13. 16-10-02: ``Parametri Affini''. ``L'ascensore di Einstein''. Il ``peso'' come forza apparente. Equivalenza tra sitemi di riferimento accelerati uniformemente e campi gravitationali costanti.
14. 16-10-02: Forze di marea. Sistemi di riferimento localmente inerziali.
15. 17-10-02: La `` Curvatura di Riemann'' e la ``Curvatura di Ricci'' a confronto.

Vettori, Tensori e Forme differenziali

1. 17-10-02: Manifold come modello geometrico dello spaziotempo. Vettori controvarianti. Spazio Tangente. Base di vettori nello Spazio Tangente.
2. 18-10-02: Base Naturale, o Base di Coordinate. Trasformazioni di coordinate nel manifold e trasformazioni di base nello spazio tangente.
3. 18-10-02: 1-forme, definizione e proprità. Spazio Co-tangente. Prodotto Scalare tra una 1-forma ed un vettore. Base Naturale di 1-forme. Differenziale di un funzione.
4. 23-10-02: Tensori, definizione e proprità. Base per un tensore tipo (r,s). Componenti covarianti e controvarianti. Legge di trasformazione delle componenti di un tensore, per trasformazioni di base in e . Saturazione di un indice covariante e di un indice controvariante.
5. 23-10-02:
   Eserc. Dimostrare che la saturazione di un indice covariante e di un indice controvariante non dipende dalla scelta della base.
   Parte simmetrica e parte antisimmetrica di un tensore. p-forme.
6. 24-10-02: Prodotto Esterno di p-forme. Base di p-forme.
   Eserc.Come si trasforma ? Densità Tensoriali.
   Eserc.Dimostrare che nello spazio(tempo) di Minkowski esiste un unico ``Simbolo di Levi-Civita'' totalmente anti-simmetrico in tutti e quattro gli indici.
7. 24-10-02:
   Eserc. Dimostrare che il Simbolo di Levi-Civita è una Densità tensoriale per trasformazioni di coordinate.
   Costruire il Tensore di Levi-Civita.
   Costruire un elemento di volume invariante per trasformazioni di coordinate.
8. 25-10-02: La metrica e la sua inversa. Corrispondenza tra componenti controvarianti e componenti covarianti.
   Eserc.Come si può definire il ``tensore controvariante di Levi-Civita '' ?
   Quanto vale in 4 dimensioni?
9. 25-10-02: Definizione di Campo Tensoriale. La Derivata Esterna di una p-forma: definizione e proprietà formali.
   Eserc. Dimostrare che per ogni p-forma .
   Costruire una rappresentazione grafica per il differenziale di una funzione f;
   Costruire una rappresentazione grafica per le 1-forme della base naturale .
10. 30-10-02:
    Eserc.Si consideri un campo magnetico lungo la direzione x.
    i) Ricavare le componenti del tensore (controvariante) elettromagnetico corrisponente;
    ii)Ricavare le componenti della 2-forma F corrispondente;
    iii) Dare una rappresentazione grafica della 2-forma di cui al punto ii);
    iv) Si consideri una carica in moto con velcità nel campo . Calcolare il prodotto scalare .
11. 30-10-02:
    Eserc. Dimostrare che le equazioni :
    i) scritte in componenti diventano ;
    ii) implicano l'esitenza di una 1-forma potenziale A: , e che in componenti questo significa , e che la 1-forma potenziale A è definita ``a meno di una 1-forma di gauge ;
    Duale di Hodge di una p-forma.
12. 31-10-02:
    Eserc. Ricavare come si passa dalle componenti di alle componenti del suo duale .
    Definizione e propietà della derivata esterna aggiunta, o co-derivata esterna, .
13. 31-10-02:
    Eserc.Dimostrare che le equazioni , con J 1-forma di corrente, in componenti danno
    
    L' accopiamento tra la 1-forma potenziale A e la corrente J è descritto geometricamente dal prodotto scalare . Mantenendo fisso questo tipo di accoppiamento, costruire la p-forma che si accoppia alla p-forma potenziale e descriverne il significato geometrico.
14. 6-11-02:
    Eserc. Il Teorema di Stokes ammette una formulazione del tutto generale come:
    
    Considerare il caso e è una curva spaziale chiusa;
    Considerare il caso , e è una superficie chiusa.
    
15. 6-11-02: Base Ortonormale.
    Eserc. Si consideri l'elemento di linea di una 2-sfera . Determinare:
    i) la base naturale in e ;
    ii)la base ortonormale in e ; La vierbein . Relazione tra vierbein e tensore metrico.
    Coefficienti di Rotazione di Ricci.
16. 6-11-02: Proprietà di trasfomazione di . Simboli di Connessione. Derivata Covariante di un vettore.
17. 7-11-02: Proprietà di trasformazione della connessione, e della derivata covariante, per ``rotazioni locali'' della base. Derivata Covariante di una 1-forma.
18. 7-11-02:Derivata Covariante di un tensore tipo (r,s)
19. 7-11-02: Connessione in una base di coordinate. Connessione e campi di forze inerziali.
20. 8-11-02: Definizione di campo vettoriale (tensoriale) Costante in senso Covariante. Trasporto Parallelo di un vettore lungo una curva. Curve auto-parallele. La Connessione di Christoffel.
21. 8-11-02: Proprietà di auto-parallelismo delle geodetiche. 4-Accelerazione Covariante. Geodetiche, auto-parallele,e moto ``libero'' in uno spazio(tempo) curvo. Conservazione del modulo di un 4-vettore per trasporto parallelo e condizioni di Compatibilità tra metrica e connessione.
    Eserc. Dimostrare che la connessione che soddisfa la condizione di Compatibilità
    
    ed è simmetrica negli indici covarianti, in una Base di Coordinate, i.e.
    
    è la Connessione di Christoffel.
22. 13-11-02: Limite classico dell'equazioni delle geodetiche. Red-Shift gravitazionale.
23. 13-11-02:
    Eserc.Dimostrare che il Simbolo di Christoffel, nella base naturale, si trasforma come una connessione per trasformazioni generali di coordinate.
    Ricavare l'espressione delle coordinate localmente inerziali in termini di un sistema di coordinate dato e della connessione.
    Dimostrare che se la metrica è diagonale, in una base di coordinate, allora:
    se ;
    ;
    .
24. 14-11-02:
    Eserc. Dimostrare che se , anche .
    Dimostrare che ha una parte anti-simmetrica nella base ortonormale.
    Dimostrare che
    
    Ricavare la forma esplicita, in una base naturale, per la divergenza covariante di:
    un vettore controvariante;
    un tensore controvariante a due indici;
    un tensore controvariante a due indici anti-simmetrico.
    Dimostrare che in una base naturale il rotore covariante di un vettore covariante mantiene la sua forma ordinaria.
25. 14-11-02:
    Eserc. Scrivere la forma covariante del tensore eletromagnetico, in termini del potenziale vettore , e mostrare che mantiene la sua forma standard in una base naturale; dimostrare che le Identitdi Bianchi per mantengono la forma standard in una base naturale.
    Ricavare la forma covariante generale dell' equazione d'onda per:
    un campo scalare ; un campo vettoriale . Principio di Covarianza Generale
26. 15-11-02: Trasporto parallelo di una base lungo un percorso chiuso. Curvatura della Connessione e Tensore di Riemann-Christoffel.
    Eserc. Dimostrare che:
    le matrici di trasformazione di base in soddisfano la condizione ;
    Dimostrare che:
    
    dimostrare che si trasforma come un tensore.
27. 15-11-02:
    Eserc. Dimostrare che:
    se è una ``Connessione Piatta'', i.e. , la corrispondente curvatura è zero;
    se , allora esiste una matrice di trasformazione che permette di scrivere la metrica in forma piatta dovunque.
    Calcolare il ``Limite Classico'' del Tensore di Riemann-Christoffel.
28. 20-11-02:
    Eserc.Calcolare le componenti del tensore di Riemann-Christoffel, per una sfera; da questo risultato ricavare una ``curvatura scalare'' .
    Si consideri il vettore nel punto . Calcolare le componenti ed il modulo del vettore trasportato parallelo lungo la linea .
29. 20-11-02:Identità di Bianchi.Tensore e Scalare di Ricci. Derivazione euristica delle Equazioni di Campo di Einstein.
30. 21-11-02:
    Eserc.Dimostrare che:
    ;
    Limite classico delle equazioni di campo di Einstein.
31. 21-11-02:
    Eserc.Analisi dimensionale delle equazioni di campo di Einstein. Limiti di applicabilità della Teoria della Relatività Generale. Il termine cosmologico.
32. 22-11-02:
    Definizione euristica del Tensore Energia-Impulso come ``corrente del 4-vettore energia-impulso''.
    Eserc.Costruire il Tensore Energia-Impulso per una particella puntiforme;
    mostrare che se non ci sono forze esterne, allora in un sistema di coordinate localmente inerziali;
    mostrare che in un sistema di riferimento generico che, se allora la particella si muove lungo una geodetica.
33. 22-11-02:
    Tensore Energia-Impulso di un fluido perfetto. Tensore Energia-Impulso del vuoto e la Costante Cosmologica.

 
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