Sin dai suoi esordi, la Fisica moderna è stata caratterizzata dall'esigenza di rigore matematico-quantitativo, sia dal punto di vista teorico che da quello sperimentale. Si tratta di un aspetto chiave di quello che Alexandre Koyré chiama il passaggio "dal mondo del pressappoco all'universo della precisione".

Dal punto di vista sperimentale questo si estrinseca nella richiesta di una sempre maggior precisione ed accuratezza delle misure; da quello teorico nella necessità di un apparato matematico che permetta deduzioni quantitative le più rigorose possibili di fenomeni osservabili. Ed in effetti l'una cosa non avrebbe senso senza l'altra. Fu proprio la combinazione di rigore matematico e di precise osservazioni che permise alla meccanica Newtoniana di trionfare sulle rivali, che permise la scoperta delle onde Hertziane, e tante altre cose.

Da una teoria fisica quindi si richiede come conditio sine qua non che riesca ad esprimere in forma quantitativa, dunque matematica, i suoi concetti, le sue deduzioni e le sue predizioni empiriche: nessuna costruzione intellettuale, per quanto attraente, può nemmeno cominciare ad essere presa in considerazione come teoria fisica compiuta se non soddisfa questa richiesta. La soddisfa la TOC? La mia risposta è no.

La miglior prova di questa affermazione è che le predizioni che Cassani stesso offre come testimonianze del successo della TOC sono o puramente qualitative, o sono dedotte in modo inaccettabilmente lacunoso, o non sono dedotte per niente. Porto come primo esempio uno scelto fra quelli forniti nel messaggio d'apertura si questo dibattito: la presunta spiegazione del valore della Costante di Struttura Fine a, come esposta nel libro "Einstein aveva ragione: Dio non gioca a dadi" (edizioni Demetra, capitolo "Il mistero svelato della costante di ctruttura fine", pag. 234 e seguenti) e nel sito Web. Si tratta del punto di tutta l'opera di Cassani in cui apparentemente più ci avviciniamo ad una deduzione quantitativa valida. Ma è solo un'impressione superficiale.

  1. Si incomincia affermando che la TOC permette di dimostrare la quantizzazione dell'azione di Hamilton (S = integrale di K-V, energia cinetica meno energia potenziale, rispetto al tempo), da cui si dedurrebbe la condizione di Bohr, condizione che gioca un ruolo essenziale nel proseguio del ragionamento. Ma questa dimostrazione non c'è: ci sono solo alcune frasi che argomentano la plausibilità della deduzione di un principio di minimo da parte di una teoria ondulatoria. Evidentemente argomentazioni del genere in matematica valgono poco più di zero. Perché la forma dovrebbe essere l'integrale rispetto al tempo di K-V e non, per esempio, di K+V? O magari di K2/V? O di una qualsiasi altra forma? O non un integrale rispetto allo spazio? Senza una deduzione matematica la scelta di quella specifica forma non è giustificata.

  2. Il ragionamento sarebbe comunque errato: non è vero che per quantizzare il moto nell'atomo di Bohr si quantizzi l'azione di Hamilton. Si quantizzano le variabili d'azione1, che sono cosa tutta diversa: sono il prodotto di un momento generalizzato - per esempio, la componente L del momento angolare lungo un asse - rispetto alla variabile coniugata - per esempio, l'angolo di rotazione attorno a quell'asse - integrato, nel caso di un moto periodico, su di un periodo. Il risultato è J = 2 p L = 2 p m v r nel caso di un moto circolare uniforme; ponendo J = n h, e quantizzando analogamente le altre due variabili d'azione, si ottengono le condizioni di quantizzazione ed i livelli energetici di Bohr-Sommerfeld.
    Non è vero invece che l'azione di Hamilton in un moto circolare uniforme abbia questo valore. Il valore giusto si calcola molto facilmente2 ed è S=3 p m v r. Quantizzando questa S si ottengono dunque valori errati. Quindi se effettivamente dalla TOC si deducono le condizioni di quantizzazione in questo modo, la TOC dà un risultato erroneo.

  3. Si dice che applicando la formula dell'effetto Doppler relativistico si ottengono i valori 136 e 138, ma questo è sbagliato. La formula per l'effetto Doppler relativistico, in termini di lunghezza d'onda l è:
    1/l = 1/l (1+-b)/(
    1-b2
     
    		 )

    dove il segno +- indica i due segni necessari per le due direzioni relative (redshift e blueshift) e b = v/c nel caso dell' atomo di Bohr vale 1/137. Ponendo1/l = lunghezza d'onda in unità della lunghezza dell'orbita = 137 si ottengono rispettivamente i numeri (non interi: ma la condizione di risonanza delle onde dov'è finita?) 138.00368 e 136.00362. Inoltre secondo Cassani si dovrebbe prendere la media aritmetica di questi valori: ma la media è 137.00365 che non è né 137, come dovrebbe essere secondo Cassani, né compatibile col risultato sperimentale per 1/a = 137.035989 +- 0.000006 (occhio agli zeri!). Se la differenza sembra piccola, si tenga conto che è comunque 5000 volte maggiore dell'errore sperimentale.

  4. Si arriva infine al punto in cui bisogna giustificare il fatto che la costante di struttura fine non è esattamente 1/137. La giustificazione originaria di Cassani non solo non era sviluppata quantitativamente, ma era intrinsecamente errata (si basava su di un'inesistente ellitticità dell'orbita di di stato fondamentale nel modello di Bohr-Sommerfeld). Quella attuale, accennata in un post su Usenet, si baserebbe sul salto di un elettrone da un'orbita all'altra e, tanto per cambiare, è nebulosa ed interamente qualitativa.

    Si potrebbe continuare a lungo ad elencare errori ed omissioni su argomenti importanti e meno importanti, ma questo può bastare come inizio. Certo l'assenza di prove non è una prova di assenza, ed è quindi possibile che Cassani abbia in realtà sviluppato un poderoso apparato formale che risolve alcuni dei problemi che ho sollevato qui sopra (certamente non le obiezioni 2 e 3). In tal caso sarà necessario che lo esponga ora, visto che nonostante abbia avuto molte occasioni e molte richieste in proposito, a partire almeno dal 1996, questo non è mai successo.


    1. Si veda per esempio H. Goldstein, Meccanica Classica, Zanichelli, cap. 9.

    2. L'azione di Hamilton di un moto tra i tempi 0 e T per un moto circolare uniforme nell'atomo di H (e=carica dell'elettrone, m=massa, r=raggio dell'orbita; uso il sistema di unità di Gauss) è:

    S =
    		T

    0 
    		 (K-V) dt =
    		T

    0 
    		 ( 1
    2
    		 m v2 + e2/r) dt

    Ricordando l'espressione per l'accelerazione centripeta si ha e2/r2 = F = m v2/r e perciò, l'integrando essendo costante,

    S =
    		T

    0 
    		 3
    2
    		 m v2 dt = 3
    2
    		 m v2 T = 3 pm v r

    dove l'ultimo passaggio si ottiene applicando la formula ad un periodo.