> Qualcuno potrebbe spiegarmi cosa sia il metodo montecarlo e quali siano le
> sue reali applicazioni nella fisica e nell' ingegneria ?
In generale si può chiamare Montecarlo (MC) ogni metodo computazionale che fa uso di numeri casuali. Prendi, come esempio classico, il problema del calcolo di p (si tratta di un esempio semplice e, se hai qualche esperienza di programmazione, ti raccomando di scrivere un programmino che lo realizza). Dato che il rapporto fra l'area di un quadrato di lato 2 e quella del cerchio inscritto (quindi di raggio 1) è 4/p, puoi procedere in questo modo:
  1. genera N (N = un numero grande) coppie di numeri casuali (xi,yi), i=1,...,N, compresi tra -1 e 1. Pensali come coordinate di N punti in un piano cartesiano: per come sono generati, questi punti giacciono all'interno del quadrato e, se sono veramente casuali, lo ricopriranno più o meno uniformemente.
  2. Calcola ri = xi2 + yi2. Se ri è minore di 1, allora il punto i-esimo cade nel cerchio: tieni il conto di quanti sono. Chiamiamo M questo numero.
  3. Siccome i numeri sono generati casualmente, il rapporto M/N (n. di punti con ri < 1 diviso il n. totale di punti generati) è un'approssimazione del rapporto fra le due aree (cerchio e quadrato), quindi del valore di p/4. Il valore calcolato è tanto migliore quanto maggiore è N; più precisamente, per avere D cifre decimali devi generare all' incirca N = 102D coppie: 3 cifre=1.000.000 di coppie etc..
Non si tratta di un metodo molto efficiente per il calcolo di p, ma illustra il concetto. Un matematico direbbe che il MC serve a calcolare integrali, in particolare integrali che sono difficili da calcolare numericamente per altra via perché per es. l'integrando varia molto rapidamente. In fisica tante cose si esprimono tramite integrali per cui il metodo MC è di uso abbastanza comune.

Uno dei primi casi in cui il MC fu usato fu il calcolo delle reazioni nucleari a catena. Quando un neutrone urta un nucleo non si può dire con certezza se il nucleo si scinda o meno, né quanti neutroni verranno prodotti: conosciamo solo la probabilità di questi eventi. Allora simuliamo l'urto generando un numero casuale (i primi calcoli vennero fatti usando una roulette, da cui il nome) ed a seconda del numero uscito diciamo "è avvenuto questo o quell'evento". Per esempio, poniamo che si sappia che in ogni urto la probabilità di generare un neutrone è il 45%, quella di generarne due è il 30%, e quella di non generarne nessuno è il 25%. Allora estraiamo p.es. un numero fra 1 e 100 (vabbè, la roulette va da 0 a 36 :-) e diciamo: "se esce un numero fra 1 e 45 supponiamo che sia stato prodotto un neutrone; se esce un numero fra 46 e 75 supponiamo che ne siano stati prodotti due; e se esce un numero fra 76 e 100 supponiamo che non ne sia stato generato nessuno." La simulazione dunque procede come segue:

  1. si parte con un certo numero di neutroni;
  2. si calcola la probabilità che ciascun neutrone ne produca altri, col metodo descritto sopra;
  3. si calcolano le altre grandezze a cui si possa essere interessati (p.es. l'energia rilasciata in ogni scissione);
  4. per ognuno dei nuovi neutroni si calcola la probabilità di generarne altri, e si ripete...
Metodi di questo tipo sono tuttora usati in ingegneria nucleare, ed altri simili si usano per descrivere il moto degli elettroni nei dispositivi elettronici al fine di predirne o studiarne il funzionamento.

Altri esempi importanti riguardano il calcolo di proprietà della materia condensata (solidi e liquidi) e no (plasmi etc). In un sistema che non sia allo zero assoluto atomi e molecole sono agitati in continuazione ed in modo sostanzialmente casuale (forse hai sentito nominare il "moto Browniano"). Con il metodo MC si simula questa agitazione generando numeri casuali e spostando gli atomi/le molecole di conseguenza. Come esattamente vengano effettuati gli spostamenti è un argomento un po' tecnico e non posso descriverlo qui. Basti dire che se si fanno le cose nel modo giusto si possono calcolare con buona precisione molte caratteristiche della materia; per esempio la conformazione delle proteine etc..

Bibliografia