> Non mi è molto chiaro il concetto di polarizzazione in un
> materiale (diamagnetico, paramagnetico, ferromagnetico).

1) Magnetismo orbitale. Gli orbitali e le energie degli elettroni nel materiale vengono leggermente alterati dalla presenza del campo magnetico e di conseguenza gli elettroni, essendo particelle cariche in movimento, a loro volta generano un campo magnetico.

2) Magnetismo di spin. Gli elettroni (anche i nuclei, ma qui importano poco) possiedono un momento magnetico o, in altre parole, si comportano come minuscoli magneti. Sottoposti ad un campo magnetico questi spin tendono ad allinearsi lungo la direzione del campo esterno generando quindi anche loro un campo netto aggiuntivo.

Il campo indotto può essere parallelo (paramagnetismo) o antiparallelo (diamagnetismo) a quello del campo esterno. Se tutti gli elettroni appartengono a bande totalmente riempite (shell chiuse, nel linguaggio della fisica atomica), il che accade negli isolanti e nei semiconduttori, si ha diamagnetismo; se alcuni elettroni appartengono a bande parzialmente riempite (shell aperte), come nei metalli, si ha spesso paramagnetismo. Spesso, non sempre, perché un contributo diamagnetico lo si ha comunque e tutto dipende da quale è più intenso.

Il caso dei ferromagneti è un po' diverso. In essi il magnetismo è essenzialmente di spin ed esistono interazioni - elettrostatiche, non magnetiche - fra gli elettroni che tendono a mantenere allineati gli spin stessi. Evidentemente se poi un campo esterno esiste, più spin elettronici si allineeranno lungo di esso generando un campo indotto più forte. In virtù delle interazioni elettroniche suddette questo campo magnetico indotto rimane, almeno in parte, anche quando il campo esterno viene rimosso (isteresi magnetica), dando origine ai magneti permanenti.

I magneti permanenti

Il caso dei ferromagneti vale la pena di trattarlo a parte (visto anche che richiede una trattazione più tecnica) non fosse altro perché è alla base del fenomeno più familiare, quello delle calamite. Il problema è complicato per cui sarò costretto a semplificazioni brutali, in parte non del tutto corrette. Inoltre una teoria che spieghi il fenomeno in termini sia semplici che generali non esiste: per sapere se un materiale è ferromagnetico quasi sempre bisogna fare i calcoli (numerici, e piuttosto difficili) o l'esperimento. Bisogna infine tener conto che il magnetismo nella materia è un fenomeno che richiede necessariamente una trattazione quantistica; si può dimostrare facilmente che in un sistema all'equilibrio governato dalla meccanica classica non è possibile avere magnetizzazione di alcun tipo.

Alla base di tutto c'è la cosiddetta interazione di scambio. Gli elettroni, ed in generale i fermioni (le particelle a spin 1/2) sono descritti da funzioni d'onda antisimmetriche per scambio di particelle. Vale a dire che se f(r1,r2,s1,s2) è la funzione d'onda di un sistema di due elettroni con coordinate spaziali r1 ed r2 e di spin s1 ed s2, allora f(r2,r1,s2,s1)=-f(r1,r2,s1,s2). In assenza di interazioni che dipendono direttamente dallo spin, posso separare le funzioni d'onda in una parte dipendente da r ed una dipendente da s. Allora posso dire che la funzione d'onda deve essere: simmetrica per scambio di coordinate ed antisimmetrica per scambio di spin, oppure antisimmetrica per scambio di coordinate e simmetrica per scambio di spin. Se la funzione è antisimmetrica per scambio di spin è facile rendersi conto che entrambi gli spin devono puntare in direzioni opposte.

Ora, l'interazione degli elettroni con i corpi esterni (i nuclei soprattutto) e fra di loro, nell'ipotesi fatta, non dipende direttamente dalla funzione d'onda di spin. Ma la forma della funzione d'onda spaziale ne dipende: infatti la sua simmetria o antisimmetria dipende dalla (anti-)simmetria della funzione d'onda di spin. Quindi possiamo aspettarci che a seconda di come sono disposti gli spin - in particolare se sono paralleli od antiparalleli - l'energia dei nostri elettroni cambi. Quindi gli spin paralleli possono essere energeticamente favoriti rispetto agli antiparalleli... oppure no. E questo significa che c'è un'interazione indiretta tra gli spin. Queste interazioni sono a corto raggio, quindi non è una cattiva approssimazione pensare che ogni elettrone sia influenzato solo da quelli che gli sono più vicini. Chiamando J l'energia di scambio che due elettroni guadagnano allineando gli spin, rispetto alla situazione in cui gli spin sono orientati a caso, si vede subito che l'energia di scambio guadagnata da un sistema di N spin è proporzionale a NJ.

In quali casi c'è un'interazione apprezzabile? Risulta che le funzioni d'onda elettroniche devono essere estese, ma non troppo. Se sono ben localizzate, gli elettroni se ne stanno sempre accompagnati a due a due con spin uno "su" e l'altro "giù"; niente magnetismo di spin, perché il campo generato da uno spin viene annullato da quello del suo vicino. Questo è il caso degli isolanti come la plastica. I materiali più adatti sono alcuni metalli di transizione (e molte loro leghe): ferro, cobalto, nichel, cromo...

Perché allora gli spin non sono sempre necessariamente allineati - in altre parole, perché un pezzo di ferro dolce non è sempre una calamita? Le ragioni sono fondamentalmente due.

Da una parte, c'è l'agitazione termica. Il moto caotico degli atomi "squassa" il sistema di spin, un po' come l' agitare una cassetta piena di biglie le mette in disordine. Man mano che la temperatura sale, la tendenza degli spin ad allinearsi viene soffocata e al di sopra di una temperatura critica T_c, detta temperatura di Curie, scompare del tutto ed il materiale è completamente privo di magnetizzazione. Ciò che accade a T_c è molto interessante dal punto di vista delle transizioni di fase, ma non è questo il momento per discuterlo.

Dall'altra parte, ho trascurato finora l'effetto del campo magnetico. Ogni elettrone contribuisce al campo magnetico a seconda della direzione del proprio spin; se gli spin sono antiparalleli gli effetti si cancellano, ma se sono paralleli si sommano; è proprio questo campo magnetico che rende tali le calamite. Il contributo è piccolo, e finché gli spin allineati sono pochi si può trascurare. Però... l'energia magnetica (quella che si deve spendere per generare un campo magnetico H) è proporzionale ad H². Se N elettroni contribuiscono ad H, l'energia necessaria per creare H sarà proporzionale, da quanto detto più sopra, a (NJ)², cioè a N². L'energia guadagnata allineando gli spin è invece proporzionale soltanto ad N; per cui per grandi valori di N la "spesa magnetica" risulta quindi superiore al "guadagno di scambio" ed il sistema trova sfavorevole allineare gli spin.

Quello che succede, allora, è che nel materiale si formano zone, dette "domini magnetici", in cui gli spin sono allineati in un verso, ma ai bordi ("muri di Bloch") si girano e si passa ad un altro dominio in cui sono allineati nel verso opposto. Questo permette di avere tanti spin orientati nel verso giusto per massimizzare il guadagno dovuto allo scambio, ma al tempo stesso di minimizzare il campo magnetico macroscopico, perché ogni dominio genera un H che tende ad essere cancellato dall'H generato dal dominio adiacente.

Se si applica un campo magnetico esterno i domini paralleli al campo esterno saranno favoriti energeticamente rispetto agli altri, dunque si espanderanno a discapito dei secondi; il materiale si magnetizza. Se poi il campo è veramente forte, tutti gli spin puntano nella sua direzione e da quel punto in poi la magnetizzazione non cresce più; è la "saturazione". È da notare che i metalli hanno struttura cristallina (o policristallina, tanti cristallini attaccati insieme), quindi non sono isotropi: non tutte le direzioni sono create uguali. Per cui in certe direzioni i domini si espandono più facilmente ed in altre meno, e si parla di assi di magnetizzazione "soffici" e "duri".

Quando tolgo il campo esterno, la situazione dovrebbe tornare in equilibrio; però di fatto la riconversione non è facile, ed il magnete rimane intrappolato in una situazione in cui i domini che puntano in una direzione rimangono in maggioranza. Questo fenomeno, detto "isteresi magnetica", è alla base dell'esistenza dei magneti permanenti.

Bibliografia:

N. W. Ashcroft & N. D. Mermin, Solid State Physics (Saunders).

C. Kittel, Fisica dello stato solido (Boringhieri)