Il modo più elementare per risolvere il problema dei due corpi
in presenza di forze gravitazionali (o, in generale, centrali)
è, detto schematicamente, il seguente:
- Si riduce il problema dei due corpi di masse m1 e
m2 a quello di un solo corpo orbitante attorno ad un punto
fisso. Basta sostituire la massa inerziale (non quella
gravitazionale!) in F=ma con la massa ridotta m, definita come 1/m =
1/m1+1/m2. Nel caso del sistema Terra-Sole m è pressoché identica alla massa
terrestre; nel caso Terra-Luna è circa quella della Luna, ma
con una apprezzabile differenza.
- Si osserva che la forza gravitazionale è centrale, dunque
si conserva il momento angolare L = r x p: perciò
il moto si svolge sempre in un piano, quello perpendicolare al vettore
L.
- Essendo il problema ridotto al moto in un piano, bisogna cercare
due equazioni. Conviene passare in coordinate polari, r e f.
- Per la ragione esposta al punto (2), anche il modulo di L
si conserva. Perciò
a) r2 d f/ dt = A = costante (è la seconda
legge di Kepler: aree uguali sono percorse in tempi uguali). Questa
è la prima equazione, e A è la prima costante
d'integrazione.
- La seconda equazione si trova, per esempio, scrivendo l'energia
totale E = T + V in coordinate polari. Si nota che T contiene un
termine che dipende dalla velocità angolare d f/dt: la si elimina in favore di A/r2
usando la (a). Il termine addizionale che ne risulta dipende solo da
r ed è chiamato "potenziale centrifugo". L'energia E è
la seconda costante di integrazione.
- Si trova un' equazione della forma
b) dr/dt = f(r)
dove
f(r) è una precisa funzione che include il potenziale
d'interazione fra i due corpi. Nel caso gravitazionale (e coulombiano)
l'equazione si può integrare analiticamente e dà le
solite funzioni trigonometriche, quindi, per un sistema legato, orbite
ellittiche (prima legge di Kepler).
- Si può quindi calcolare il periodo dell'orbita in funzione
dei semiassi e si trova la terza legge di Kepler.
I passaggi matematici dettagliati si trovano nel Goldstein od in ogni
altro libro di Meccanica Analitica. In rete si trovano (in Italiano)
nella sezione di Astronomia del sito di Guido Antonelli ed in Inglese
su quello di Eric
Weisstein.
Bibliografia
H. Goldstein, Meccanica Classica, (ed. it. Zanichelli
1971) cap. 3.