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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 

\begin{document}

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\noindent
\begin{center}
{\bf Raccolta di esercizi e temi d'esame\\per il Corso di \\ FISICA
DELLO STATO SOLIDO \\ Universit\`a di Trieste}
\end{center}

\vspace{1truecm}

Questa raccolta di problemi, disponibile all' indirizzo \hfill\break
http://www-dft.ts.infn.it/~esmargia/physics/eserc-www.ps , comprende:

\begin{itemize}
\item[(i)] esercizi d'esame, sia d'appello che per i compitini in
corso d'anno,
\item[(ii)] esercizi usualmente svolti durante le esercitazioni,
\item[(iii)] alcuni esercizi pi\`u lunghi e complessi da svolgere a
casa.
\end{itemize}

Riguardo alla categoria (i), a cui appartengono gli esercizi il cui
titolo \`e preceduto da un asterisco, si noti che per l'esame scritto
o compitino a volte si chiede la soluzione di due problemi, a volte di
uno, in funzione della complessit\`a dei problemi stessi. Inoltre,
spesso il totale di punti a disposizione in una data prova, in
particolare per i compitini, pu\`o essere leggermente superiore al
massimo di 30/30; le domande possono avere, e spesso hanno, peso
diverso. Il tempo totale a disposizione \`e solitamente di tre ore.

Siccome lo scopo dell' esame \`e di valutare la capacit\`a dello
studente di risolvere problemi, si chiede che, per quanto possibile,
tutti i passaggi siano resi espliciti e siano motivati, in modo che si
possa comprendere il processo di soluzione usato. In caso in cui i
dettagli siano carenti o si dia solo il risultato la risposta non
viene conteggiata. L'uso di notazioni chiare e compatte \`e vivamente
incoraggiato, cos\`\i\ come l'uso sistematico del controllo
dimensionale delle espressioni via via raggiunte. Quando viene chiesta
una ``valutazione'' si intende una valutazione numerica, nelle unit\`a
eventualmente richieste. In questo caso a volte pu\`o essere
necessario lasciare indicato un parametro il cui valore esplicito non
\`e fornito, per esempio $\omega_c = 1.76 H\ (Gauss)$ Hertz. Se non
\`e specificato altrimenti, tutte le valutazioni vanno fornite con 3
cifre significative, {\it n\'e di pi\`u n\'e di meno.}

Il testo di riferimento \`e il libro di N. Ashcroft e N.~D. Mermin,
Solid State Physics, Saunders-College (1976). \`E anche utile il testo
di C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, Wiley
(1996). Attenzione alle possibili differenze di notazione e di
convenzioni!

Sull' Ashcroft-Mermin vi sono numerosi esercizi, di varia
difficolt\`a, alcuni dei quali vengono svolti a lezione. Degni di nota
i seguenti: Cap. {\bf 1}, n. 5; {\bf 2}, 1; {\bf 4}, 6; {\bf 8}, 1 e
2; {\bf 10}, 1, 2 e 3; {\bf 12}, 1, 2, 6 e 7; {\bf 13}, 1; {\bf 16}, 2
e 3; {\bf 17}, 3 e 5; {\bf 20}, 4; {\bf 22}, 1 e 5; {\bf 28}, 4, 6 e
7; {\bf 34}, 1.

La soluzione di esercizi tratti da altri testi \`e ovviamente
consigliata, con l'avvertenza gi\`a fatta. Pu\`o essere utile il libro
di L. Mih\'aly e M.~C. Martin, Solid State Physics: Problems and
Solutions (Wiley, 1996).

\newpage

\tableofcontents

\newpage

\section{\ * Conduttore organico cristallino}

\bigskip

Un conduttore organico cristallino ha $\omega_p=2.50\times
10^{15}s^{-1}$ come frequenza di plasma e $\tau=5.03\times 10^{-15}$
come tempo di rilassamento, a temperatura ambiente.

\bigskip

{\bf 1.} Si calcoli la conducibilit\`a elettrica ({\it statica})
$\sigma$ del conduttore utilizzando i dati forniti in c.g.s..

{\bf 2.} Si esprima ora $\sigma$ in MKSA, ovvero in unit\`a di (ohm
cm)$^{-1}$.\\ {\it Nota che:} 1 Volt = 1/300 statvolt (unit\`a cgs di
potenziale) e 1 Ampere = 3$\times$10$^{9}$ statampere (unit\`a cgs di
corrente).

{\bf 3.} Assumendo che il trasporto sia dovuto ad un solo tipo di
portatori (elettroni quasiliberi), con densit\`a $n=7.5\times 10^{20}
cm^{-3}$, si calcoli la massa efficace $m^*$ degli stessi, (i) in
grammi e (ii) in unit\`a di masse elettroniche.

{\bf 4.} Si calcoli il parametro $r_s$ dei portatori, usando la
definizione $1/n= 4 \pi r_s^3 a_0^3/3$.

{\bf 5.} Si calcoli l'energia di Fermi dei portatori in eV.

{\bf 6.} Si calcoli la temperatura di Fermi.

{\bf 7.} Si calcoli il contributo al calore specifico cristallino di
tali portatori (trattati come elettroni liberi di massa $m^*$ e
nell'approssimazione $T\ll T_F$). Si esprima $C_v$ in
$calorie/(mole~^oK)$. \`E corretta l'approssimazione $T\ll T_F$?

\newpage

\section{\ * Plasmone di superficie}

\bigskip

Si consideri un metallo omogeneo che occupi il semispazio $z>0$, il
restante semispazio essendo occupato dal vuoto. La funzione
dielettrica del metallo $\varepsilon(\omega)$ (trascurando la
dispersione spaziale) sia approssimata con la forma di Drude.

Si considerino onde di densit\`a nel metallo, che quindi non portino
ad accumulo di carica $\rho(z)=0$, $z>0$. Tali onde dovranno
soddisfare l'equazione di Poisson
\begin{equation}\nabla^2 V({\bf r})=0 \label{poisson}
\end{equation}
sia per $z>0$ che per $z<0$. Poniamo anche ${\bf s}\equiv (x,y)$,
cos\`{\i} che ${\bf r}=({\bf s},z)$.

\bigskip

{\bf 1.} Si consideri, per $z>0$, il potenziale $V({\bf r})= V_0
e^{-\kappa z} cos({\bf Q}\cdot {\bf s})$. Si trovi quale condizione
devono verificare ${\bf Q}$ e $\kappa$ perch\`e l'Eq. \ref{poisson}
sia soddisfatta.

{\bf 2.} Si calcoli il campo elettrico corrispondente al potenziale
del punto precedente.

{\bf 3.} Si consideri per $z<0$ il potenziale $V'({\bf r})= V_0'
e^{\kappa' z} cos({\bf Q}'\cdot {\bf s})$. Si trovi che relazione
devono soddisfare ${\bf Q}'$ e $\kappa'$.

{\bf 4.} Si calcoli il campo elettrico corrispondente al potenziale
del punto precedente.

{\bf 5.} Imponendo la continuit\`a del campo elettrico parallelo ${\bf
E}_p\equiv (E_x,E_y,0)$ a $z=0$, si ricavino le relazioni tra $V_0$ e
$V_0'$ e tra $\kappa$ e $\kappa'$.

{\bf 6.} Imponendo la continuit\`a dello spostamento trasverso ${\bf
D}_t\equiv (0,0,D_z)$ a $z=0$, si ottenga una condizione sulla
frequenza di propagazione $\omega$.

{\bf 7.} Nel regime di collisioni rare o regime di interazione
($\omega \tau\gg 1$) si ottenga una espressione esplicita della
frequenza di propagazione in termini della densit\`a media di
elettroni $n$, della loro massa $m$, carica $e$.

{\bf 8.} Si valuti la frequenza di cui sopra per l'alluminio
metallico a condizioni ambiente.

\newpage

\section{\ * Plasmone in una sferetta di {\sl jellium } alla densit\`a
dell'Sr}

\bigskip

Si consideri una sferetta di {\sl jellium}, costituita da (i) una
sferetta di raggio $R$ centrata all'origine di carica positiva con
densit\`a uniforme [il sostrato o {\sl background}] e (ii) $N$
elettroni che si muovono nel potenziale del sostrato. Il sistema \`e
elettricamente neutro e si considera la situazione nella quale gli
elettroni sono distribuiti con densit\`a uniforme su una sfera sempre
di raggio $R$ ed inizialmente concentrica con quella di sostrato.

Si descriva il modo [{\sl plasmone}] che corrisponde a piccoli
spostamenti della sfera elettronica rispetto a quella di sostrato.

\begin{enumerate}

\item Si dia la densit\`a di carica del sostrato in termini dei
parametri del problema, denotando il valore assoluto della carica
elettronica con $e$.

\item Sfruttando il teorema di Gauss si calcoli il campo elettrico
dovuto al sostrato dentro e fuori la sfera di sostrato.

\item Utilizzando la risposta al punto precedente si dia il campo
elettrico dovuto alla sfera di carica elettronica, al suo interno,
quando questa sia centrata in ${\bf d}$.

\item Si calcoli la forza dovuta a tutte le cariche su una carica test
che cada nell'intersezione delle sfere, quando la sferetta elettronica
sia spostata di ${\bf d}$ dall'origine e naturalmente $d<2R$.

\item Consideriamo $d \ll R$ e trascuriamo cosa succede agli elettroni
fuori dalla sferetta di sostrato. Utilizzando la risposta al punto
precedente sia dia la forza su un elettrone quando lo spostamento
della sferetta elettronica sia ${\bf d}$ e si scriva la sua equazione
del moto.

\item Si risolva l'equazione ottenuta al punto precedente e si valuti
la frequenza di oscillazione [ o frequenza plasmonica] nel caso in cui
$R=5\AA$ e $N=125$.

\item Il modo in questione potrebbe essere eccitato con della luce.
In che fascia di frequenza: infrarosso, visibile o ultravioletto?
[Questa domanda \`e facoltativa, ma la eventuale risposta va motivata
chiaramente.]

\end{enumerate}

\newpage

\section{Gas di elettroni unidimensionale}

\bigskip
Si consideri un sistema di N elettroni non interagenti che si possano
muovere su un segmento di lunghezza L. Si considerino due diverse
condizioni al contorno:
\begin{itemize}
\item[(a)] Condizioni al contorno di Born --- von Karman:
$\psi(x+L)=\psi(x)$
\item[(b)] Condizioni di ``parete dura'', cio\`e
$\psi(L)=\psi(0)=0$.
\end{itemize}

\noindent

Per ognuno dei casi (a) e (b):

\begin{enumerate}
\item Si calcolino autofunzioni ed autovalori.

\item Si calcoli la densit\`a $n(x)$. Si faccia un grafico
qualitativo. Si consideri in particolare che cosa succede nel limite
termodinamico ($N,~L\longrightarrow\infty$; $N/L=n$).

\item Si calcoli l'energia di Fermi $E_F(N,L)$ e se ne studi il limite
termodinamico.

\item Si calcoli l'energia totale $E_{tot}(N,L)$. Si studi
$E_{tot}(N,L)$ discutendo se nel limite termodinamico sia possibile
spezzarla in un termine di {\it volume}
\[E_V(N,L) = N {\cal E}_V\left(\displaystyle{N\over L}\right)\]
ed uno di {\it superficie}
\[E_S(N,L) = {\cal E}_S\left(\displaystyle{N\over L}\right),\]
pi\`u eventuali termini che vanno a zero nel limite considerato. Si
discuta una eventuale relazione con l'energia di Fermi.
\end{enumerate}
\bigskip

{\bf Indicazioni}
\begin{enumerate}
\item Sono utili le seguenti relazioni:
\[\sum_{n=1}^m n^2 = \displaystyle{1\over 6} m(m+1)(2m+1)\]
\[\sum_{n=1}^m a^n = \displaystyle{a-a^{m+1}\over 1-a} \]
\item Si ricordi l'espressione della funzione di Bessel
di ordine zero:
\[j_0(x) = \displaystyle{ \sin{x}\over x}.\]

\end{enumerate}

\newpage

\section{Condizioni al contorno e limite termodinamico}

\bigskip

Si considerino $N$ elettroni liberi [senza potenziali esterni] e non
interagenti che possano muoversi in una dimensione con $0\le x\le L$.
La densit\`a di particelle \`e data da $n=N/L$. Nel seguito, si assuma
per semplicit\`a $N=4M+2$, con $M$ un intero. \\[3mm]

\begin{enumerate}

\item Si risolva preliminarmente il problema di calcolare gli orbitali
di singola particella $\phi_k(x)$ con condizioni al contorno
periodiche $\phi_k(x+L)=\phi_k(x)$. Si calcolino i $k$ permessi,
quindi ricordandosi che in ciascun orbitale spaziale si possono
mettere 2 elettroni con proiezioni di spin opposte si calcolino:

\begin{itemize}

\item i $k$ occupati; 

\item l'energia per particella [si usino le identit\`a date di sotto].

\item Si discuta qual \`e la relazione tra il risultato del punto
precedente [relativo a $N$ elettroni sul segmento $L$] e quello di un
sistema di infiniti elettroni che si possano muovere su tutto l'asse
reale ma non densit\`a uguale a $n$. [Si pu\`o pensare questo come il
limite termodinamico nel quale $N$ ed $L$ vanno ad infinito con
$N/L=n$=costante].
\end{itemize}

\item Si risolva il problema del punto (1) precedente nel caso nel
quale le condizioni al contorno siano $\phi_k(x+L)=e^{i 2\pi
\alpha}\phi_k(x)$ limitatandosi a determinare i $k$ permessi e quelli
occupati.

\begin{itemize}

\item Si consideri [senza tentare di calcolarlo in quanto f e'
generica] il valor medio di una funzione $f(k)$ sui $k$ occupati
$$
\langle f \rangle =\frac{1}{N}\sum_{k,occup.} f(k).
$$
Questa quantit\`a dipender\`a da $\alpha$ in quanto i $k$ permessi
dipendono da $\alpha$. Quindi $\langle f \rangle = g(\alpha)$.

\item Si mostri che $\overline{g}$, la media su $\alpha$ di
$g(\alpha)$,
$$
\overline{g} = \int_{-1/2}^{1/2} d\alpha \; g(\alpha),
$$
con $N$ finito, coincide con il valore di $\langle f \rangle$ nel
limite termodinamico e $n=N/L$. Questo vale per qualsiasi funzione $f$
e non solo per l'energia. [Si suggerisce di profittare del fatto che
l'integrale della somma sui $k$ permessi diventa la somma di integrali
che ricoprono perfettamente un opportuno intervallo.]

\item Per poter mostrare quanto sopra bisogna naturalmente saper
scrivere $\langle f \rangle$ nel limite termodinamico come un
integrale.

\end{itemize} 

\end{enumerate}

Almeno in questo caso semplice la media sulle condizioni al contorno
pur con $N$ e $L$ finiti d\`a un risultato equivalente al limite
termodinamico per un sistema alla stessa densit\`a $n=N/L$!

\newpage

\section{\ * Film di Elio--3 (He$^3$).}

\bigskip

Si consideri un film di Elio--3, ovvero un sistema nel quale gli atomi
di Elio--3 (si tratta di particelle con spin 1/2, dunque fermioni)
sono costretti a muoversi in un mondo bidimensionale. Si pensi di
essere a temperatura prossima allo zero assoluto. La densit\`a areale
del film \`e $\rho=2.24\times 10^{-9} g/cm^2$. Si ponga la massa
atomica dell'Elio--3 uguale a 3.

\bigskip 

{\bf 1.} Si valuti la densit\`a areale $n$ in $atomi/cm^2$ per il film
considerato.

{\bf 2.} Si calcoli $r_s$, definito come il raggio (in unit\`a di
raggi di Bohr) del disco che in media contiene un atomo, come funzione
di $n$. Si valuti $r_s$.

{\bf 3.} Si calcoli il raggio del disco di Fermi $k_F$ come funzione
di $n$ e lo si esprima anche come funzione di $r_s$.

{\bf 4.} Si calcoli l'energia di Fermi $\epsilon_F$ come funzione di
$r_s$ in Ry.

{\bf 5.} Si valuti l'energia di Fermi per il film in questione, in eV.

{\bf 6.} Si valuti la temperatura di Fermi per il film in questione in $^o$K.

\newpage 

\section{\ * Metallo semplice}

\bigskip

Un metallo ha un calore specifico di 1879 erg cm$^{-3}$K$^{-1}$ a
T=3 K. Si descriva il metallo come un gas di elettroni.

\bigskip 

{\bf 1.} Si calcoli la densit\`a elettronica del metallo $n$ in
cm$^{-3}$.

{\bf 2.} Si calcoli l'energia di Fermi in eV.

{\bf 3.} Si calcoli la pulsazione delle oscillazioni di plasma in
s$^{-1}$.

{\bf 4.} \`E pi\`u grande l'energia di Fermi o l'energia del plasmone
$\hbar\omega_p$?

{\bf 5.} Si sa che, a T=77 K, $\omega_p\tau=1644$. Quanto vale a questa
temperatura la parte reale della funzione dielettrica alla frequenza
di plasma, come ordine di grandezza?

{\bf 6.} Alla stessa temperatura quanto vale la parte immaginaria
della funzione dielettrica alla frequenza di plasma, come ordine di
grandezza?

\newpage

\section{\ * Elettroni in 2 dimensioni}

\bigskip

Si considerino degli elettroni in 2 dimensioni [cio\`e vincolati a
muoversi nel piano (x,y)]. Gli elettroni sono sottoposti al potenziale
periodico $$ U({\bf r}) = -2U\left\{\cos{[g x]} +2
\cos{\left[\frac{gx}{2}\right]}\cos{\left[\frac{\sqrt{3}}{2} g
y\right]}\right\},$$ con $U>0$.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva $U({\bf r})$ in termini di componenti di
Fourier. Quante sono le componenti non nulle? Quali i corrispondenti
vettori d'onda ${\bf G}$? Quanto valgono le $U_{\bf G}$?

{\bf 2.} Si dia una base per il reticolo diretto. Si dia anche uno
schizzo qualitativo (ma corretto!) del reticolo reciproco e di quello
diretto.

{\bf 3.} Quanto vale il potenziale (i) all'origine; (ii) a met\`a della
congiungente tra due siti primi vicini; (iii) ad uno qualsiasi dei 6
punti pi\`u lontani dall'origine entro la cella di Wigner-Seitz.

{\bf 4.} Si supponga che ci siano due elettroni per cella e che gli
elettroni siano non interagenti. Per $U=0$ (elettroni liberi) si
esprimano $k_F$ e l'energia per elettrone $\epsilon_{el}$ in termini
di $g$.
 
{\bf 5.} Sempre per per $U=0$ si costruisca lo stato fondamentale {\it
occupando} i vettori d'onda all'interno della prima zona di Brillouin
(FBZ), invece che il disco di Fermi. Si esprima l'energia per
elettrone $\epsilon_{rv}$ in termini di $g$.

[Si consiglia di sfruttare la simmetria del problema per esprimere
l'energia come somma su un dodicesimo della FBZ (ad esempio
nell'angolo irriducibile $0<\phi< \pi/6)$.]

{\bf 6.} Quanto valgono i rapporti (i) $k_F/(g/2)$ e (ii)
$\epsilon_{el}/\epsilon_{rv}$?

{\bf 7.} Se $g=7.25\AA^{-1}$, quanto vale (in $\AA$) il parametro
reticolare del reticolo diretto?

{\bf 8.} E quanto vale $\epsilon_{el}$ in Ry?

\newpage

\section{\ * Reticolo a nido d'ape}

\bigskip

Si consideri il {\sl piastrellamento del piano con esagoni}. Nel
seguito denoteremo questo reticolo bidimensionale come {\it a nido
d'ape} e lo considereremo orientato in modo che uno dei lati
dell'esagono sia parallelo all'asse $y$. Le posizioni rispettivamente
alla base ed estremo superiore del lato verticale dell'esagono sono
occupate da atomi di tipo A e B.
 
\begin{enumerate}

\item Il reticolo in questione \`e un Bravais con base: qual \`e il
Bravais in questione? Si operi una scelta per i vettori primiti del
Bravais (${\bf a}_1$ ed ${\bf a}_2$) .

\item Si diano i vettori della base (${\bf b}_1$ ed ${\bf b}_2$) .

\item Si dia il reciproco del Bravais e i suoi vettori primitivi
(${\bf g}_1$ ed ${\bf g}_2$) .

\item Si calcoli il fattore di forma geometrico al generico vettore di
reticolo reciproco ${\bf G}=n_1 {\bf g}_1+n_2 {\bf g}_2$ , se $f_A$ e
$f_B$ (reali) sono i fattori di forma atomici, indipendenti dal
vettore d'onda [possiamo pensare a diffrazione di neutroni].

\item Per quali vettori ${\bf G}$ il fattore di forma geometrico
$F({\bf G})$ \`e reale, indipendentemente dal valore assunto dal
rapporto $\alpha=f_A/f_B$?

\item Se $f_B=-f_A$, ci sono dei ${\bf G}$ per i quali $F({\bf G})=0$?
Se si, si dica quali e si provi a disegnarli nel reticolo reciproco.

\end{enumerate}

\newpage

\section{\ * Reticolo quadrato con base }

\bigskip

Si consideri un reticolo quadrato di parametro reticolare $a$, con
base $\vec{0}$, $\vec{ d}=a(1/2,1/2)$, occupata da atomi
rispettivamente con potenziale $\phi_1(r)$ e $\phi_2(r)$.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva il potenziale cristallino $U({\bf r})$ come somma
reticolare.

{\bf 2.} Si scriva il potenziale $U({\bf r})$ in termini delle sue
componenti di Fourier.

{\bf 3.} Si ponga $ \phi_1(q) =[\alpha(q)+\beta(q)]/2 $ e $ \phi_2(q)
=[\alpha(q)-\beta(q)]/2$ e si riesprimano le componenti di Fourier di
$U({\bf r})$ in termini di $\alpha$ e $\beta$.

{\bf 4.} Si dica che semplificazioni si ottengono per le componenti
$U_{\bf G}$ del potenziale. In quanti sottoinsiemi si separa l'insieme
dei \{${\bf G}$\}?

{\bf 5.} Se $\alpha=0$, in spazio reciproco il potenziale ha la
simmetria di quale reticolo, in particolare con quale parametro
reticolare e quali assi?

{\bf 6.} Se $\beta=0$, in spazio reale il potenziale ha la simmetria
di quale reticolo, in particolare con quale parametro reticolare e
quali assi?

{\bf 7.} Si scriva l'ampiezza di scattering del cristallo ponendo per
i fattore di forma dei due atomi $ f_1(q) =[\gamma(q)+\delta(q)]/2$ e
$ f_2(q) =[\gamma(q)-\delta(q)]/2$. Nel caso in cui $\gamma=0$, quali
operazioni (rotazioni e traslazioni e in che ordine) bisogna fare per
riportare il reciproco ad un familiare Bravais?

\newpage

\section{\ * Riempimento delle bande in un reticolo bidimensionale quadrato.}

\bigskip

Si consideri l'equazione di Schr\"odinger di particella singola per un
elettrone che si muova su un piano nel potenziale $$U(x,y)=
-2U\left[cos\left(\frac{2\pi}{a}x\right)+
cos\left(\frac{2\pi}{a}y\right)\right].$$

\bigskip

{\bf 1.} In via preliminare si dica quali sono le posizioni e i valori
di minimo e di massimo del potenziale $U(x,y)$. Si disegni il reticolo
di Bravais corrispondente ai punti di massimo (o minimo).

{\bf 2.} Si dica quali sono gli $U_{\bf G}$ non nulli e che valore
abbiano ({\it Suggerimento}: si usi la rappresentazione esponenziale
complessa per le funzioni trigonometriche).

{\bf 3.} Si disegni la prima zona di Brillouin (FBZ).

{\bf 4.} Supponendo che U sia ``piccolo'', si calcoli, usando la
teoria delle perturbazioni degenere al primo ordine, di quanto si
modificano le onde piane agli angoli della FBZ che corrispondono a
$k=(\pi/a)(\pm 1,\pm 1)$. In particolare si definisca prima banda la
soluzione con energia pi\`u bassa.

{\bf 5.} Si ripeta il calcolo di cui sopra per le onde piane al centro
dei lati della FBZ e si classifichino come prima e seconda banda
rispettivamente la soluzione ad energia pi\`u bassa e quella ad
energia pi\`u alta.

{\bf 6.} Si trovi quale condizione deve essere soddisfatta affinch\`e
la seconda banda al centro del lato della FBZ diventi pi\`u bassa in
energia della prima banda agli angoli della FBZ.

{\bf 7.} Per un sistema con 2 elettroni per cella, quando la
condizione di cui al punto precedente \`e soddisfatta, quante bande
risultano occupate? Si saprebbe fare un disegno della superficie di
Fermi (nella FBZ) per $U\rightarrow 0$?
 
\bigskip

{\bf Variante:} lo stesso esercizio ma con $$U(x,y)=
-2U\left[cos\left(\frac{2\pi}{a}x\right)
cos\left(\frac{2\pi}{a}y\right)\right].$$

N.B. Nella variante il reticolo di Bravais sar\`a diverso, per cui le
coordinate degli angoli della FBZ di cui al punto 4 andranno modificate
di conseguenza.

\newpage

\section{\ * Tight binding in una dimensione}

\bigskip

Si considerino elettroni vincolati a muoversi in una
dimensione. Preliminarmente si consideri il problema di un elettrone
in presenza di un potenziale $V(x)=-e^2 U \delta(x/a_B)$, ($U>0$), con
$e$ e $a_B$ rispettivamente la carica dell'elettrone e il raggio di
Bohr.

\bigskip

{\bf 1.} Quali sono le unit\`a di $U$? 

{\bf 2.} Si scriva l'equazione di Schr\"odinger per il problema
dell'elettrone in presenza del potenziale di cui sopra in unit\`a
atomiche, unit\`a che saranno utilizzate in tutto il resto di questo
problema.

{\bf 3.} Si trovi la funzione d'onda dello stato legato (normalizzato)
del problema in questione, imponendo (i) la continuit\`a della
funzione d'onda e (ii) la discontinuit\`a (nota) della sua derivata
prima, all'origine. Ci sono altri stati legati oltre a quello trovato?

{\bf 4.} Si consideri ora una Bravais unidimensionale di delta
caratterizzato dal potenziale periodico $v(x)=-U\sum_n\delta(x-n)$ e
si pensi di trattarlo in tight binding. Con riferimento alle formule
del libro di testo per un singolo orbitale $s$, si calcoli lo shift
$\beta$ come funzione di $U$.

{\bf 5.} Si calcoli l'integrale di overlap $\alpha(n)$, come funzione di
$U$.

{\bf 6.} Si calcoli l'integrale di trasferimento $\gamma(n)$, come
funzione di $U$.

{\bf 7.} Si calcoli la massa efficace della banda al suo minimo.

\newpage

\section{* Catena lineare di atomi di idrogeno: bande {\it s} e {\it p} con
il metodo ``tight-binding''}

\bigskip

Consideriamo una catena lineare (lungo l'asse $z$) di atomi di
idrogeno equispaziati: ${\bf R}_n=(0,0,z_n)=(0,0,na)$, $n$=0, $\pm 1$,
$\pm 2$, \dots. Vogliamo studiare le bande che derivano dai primi
stati eccitati degeneri, cio\`e $2s$ e $2p$. \`E conveniente
considerare $p_x$, $p_y$, e $p_z$ (piuttosto che $p_{0,\pm 1}$),
dimodoch\`e si possono scrivere come $\psi_{2p_x}=x\phi_p(r)$,
$\psi_{2p_y}=y\phi_p(r)$, e $\psi_{2p_z}=z\phi_p(r)$ rispettivamente.
Nel metodo ``tight-binding'' le energie delle 4 bande provenienti da
tali stati sono date da (trascurando tutti gli integrali di {\it
overlap}):
$$
\left |({\cal E}(k) - E_0)\delta_{ij} + \beta_{ij} +\widetilde
\gamma_{ij}(k) \right |=0
$$
dove $E_0$ \`e l'energia dei livelli atomici $2s$ e $2p$, e:
\begin{eqnarray*}
\widetilde \gamma_{ij}(k)&=&\sum_n e^{\imath kz_n}
\gamma_{ij}(z_n)\approx \gamma_{ij}(a)e^{\imath ka}+
\gamma_{ij}(-a)e^{-\imath ka} \hfill
~~~~(appross. ~a~primi~vicini)\nonumber\\ \gamma_{ij}(z_n)&=&-\int
d{\bf r} \; \psi_i({\bf r}) \psi_j({\bf r-R}_n) \Delta U({\bf r})
\hfill ~~~~~~~~~~~~~~ (integrale~di~ ``hopping'') \nonumber\\
\beta_{ij}&=&\gamma_{ij}(0)
\end{eqnarray*}

con gli indici $i$, $j$, che corrono sui 4 orbitali atomici di base.

\bigskip

{\bf 1.} Scrivere l'espressione della funzione $\Delta U({\bf r})$
(mettersi nell'approssimazione a elettroni indipendenti, e considerare
il potenziale del cristallo dovuto ai soli nuclei puntiformi).
Discutere la simmetria di $\Delta U({\bf r})$, e dimostrare che lo
sviluppo di $\Delta U({\bf r})$ intorno all'origine e fino a termini
del terz'ordine compresi, \`e dato da
$$
\Delta U({\bf r}) \approx c_0 + c_1(x^2+y^2) + c_2 z^2.
$$

{\bf 2.} Mostrare che la matrice $\beta_{ij}$ \`e diagonale,
determinare quanti e quali sono gli elementi indipendenti. ({\it N.B.:
non si chiede il calcolo esplicito degli integrali})

{\bf 3.} Mostrare che anche gli gli integrali di {\it hopping}
$\gamma_{ij}({\bf R})$ e $\gamma_{ij}(-{\bf R})$ si possono ricondurre
a pochi elementi indipendenti, che nel linguaggio {\it tight binding}
sono: $\langle ss\sigma\rangle=\gamma_{ss}(a)$, $\langle
sp\sigma\rangle=\gamma_{sp_z}(a)$, $\langle
pp\sigma\rangle=\gamma_{p_zp_z}(a)$, $\langle
pp\pi\rangle=\gamma_{p_xp_x}(a)$. ({\it N.B.: anche in questo caso non
si chiede il calcolo esplicito degli integrali})

{\bf 4.} Mostrare che la matrice $\widetilde \gamma_{ij}$ \`e
diagonale a blocchi, dire quanti e quali sono gli elementi
indipendenti, e scriverli esplicitamente in funzione dei suddetti
$\langle ss\sigma\rangle$, $\langle sp\sigma\rangle$, $\langle
pp\sigma\rangle$, e $\langle pp\pi\rangle$.

{\bf 5.} Scrivere esplicitamente l'equazione che determina la
dispersione delle bande, e discuterne le soluzioni, specificando
eventuali degenerazioni. Farne un grafico qualitativo nella prima zona
di Brillouin. Quali parametri determinano l'{\it ampiezza} delle
bande?

{\bf 6.} Cosa cambierebbe, mantenendo le stesse approssimazioni, se
gli atomi anzich\`e di idrogeno fossero di elio?

\newpage

\section{* Tight binding in un reticolo triangolare.}

\bigskip

Si consideri un reticolo triangolare con un atomo ed un singolo
orbitale (che si pu\`o assumere di tipo $s$) per sito, che trattiamo
in approssimazione {\it tight binding}. Trascuriamo l'overlap e
assumiamo che siano non nulli soltanto $\beta$ e l'integrale di
trasferimento a primi vicini $\gamma$, e che $\beta,\gamma>0$
(notazione dell' A-M). L'energia dell'orbitale imperturbato \`e
$-\epsilon_0$, con $\epsilon_0>0$.

Si utilizzi come base in spazio reale ${\bf a}_1=a(1,0)$, ${\bf
a}_2=a(1/2,\sqrt{3}/2)$ e come base in spazio reciproco ${\bf
g}_1=(4\pi/\sqrt{3}a)(\sqrt{3}/2,-1/2)$ e ${\bf
g}_2=(4\pi/\sqrt{3}a)(0,1)$

\bigskip 

{\bf 1.} Si disegni la prima zona di Brillouin. Denoteremo (nella
zona) $\Gamma=(0,0)$, $A=(4\pi/3a,0)$, $B=(0,2\pi/\sqrt{3}a)$

{\bf 2.} Si calcoli la dispersione $\epsilon({\bf k})$ della banda
{\it tight binding}, esprimendola in modo che appaiano solo funzioni
reali.

{\bf 3.} Si disegni l'energia di banda sul segmento $\overline{\Gamma
A}$, dando in particolare il valore dell'energia a $\Gamma$ e a $A$ e
stando attenti agli andamenti qualitativi a questi punti.

{\bf 4.} Idem come sopra ma sul segmento $\overline{\Gamma B}$.

{\bf 5.} Si calcolino gli elementi del tensore di massa (inverso) ad
un generico ${\bf k}$.

{\bf 6.} Quanto valgono gli elementi fuori diagonale ai punti
$\Gamma$, $A$, $B$?

{\bf 7.} Si valutino gli elementi diagonali del tensore di massa ai
punti in questione e si ordinino le masse efficaci ai suddetti tre
punti in ordine di massa crescente.

\newpage

\section{\ Masse efficaci in un sistema unidimensionale.}

\bigskip

Si consideri un cristallo unidimensionale con parametro reticolare
$a$, e sia l'energia degli elettroni data da

$$
E(k) = \frac{\hbar^2}{ma^2} \left[ 7/8 - \mbox{\rm cos}(ka) + 1/8
\mbox{\rm cos}(2ka) \right] .
$$ 

\bigskip 

{\bf 1.} Si tracci un grafico della banda.

{\bf 2.} Si determinino le masse efficaci al minimo ed al massimo
della banda.

{\bf 3.} Si determini una seconda massa efficace $m_i$ applicando una
forza $F$ e scrivendo
$$
\frac{dv}{dt} = \frac{1}{m_i} F.
$$
Si tracci un grafico di $m_i(k)$.

{\bf 4.} Si determini una terza massa efficace $m_v$ tale che
$$
v = \frac{1}{m_v} \hbar k
$$
e si tracci un grafico di $m_v(k)$.

{\bf 5.} Si scriva la densit\`a degli stati $g$ in funzione di $k$. Si
scriva una ulteriore massa efficace $m_d$ tale che $g$ assuma la forma
della densit\`a degli stati di un gas unidimensionale di elettroni
liberi: $g=2 m_d/(\pi \hbar^2 k$).

{\bf 6.} In che relazione sono fra di loro le masse $m_i$, $m_v$ ed
$m_d$?

\newpage

\section{\ * Orbite di elettroni di Bloch in campo magnetico}

\bigskip

Si consideri un solido con un reticolo cubico semplice e con una banda
di energia che in approssimazione di legame stretto con un singolo
orbitale $s$ ha la dispersione $\epsilon({\bf q}) = -2 \gamma [cos(q_x
a)+cos(q_y a)+cos(q_z a)]$, dove $a$ \`e il parametro reticolare e si
\`e opportunamente scelto lo zero di energia. Si consideri il solido
immerso in un campo magnetico statico ${\bf H}=H \hat z$.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva la velocit\`a nel piano (x,y) di un elettrone in
uno stato della banda considerata
 
{\bf 2.} Si scriva la condizione che devono soddisfare le orbite nello
spazio ${\bf q}$, per $q_z=0$ ed energia $\epsilon({\bf q}) = E$.

{\bf 3.} Qual \`e l'orbita per $E= -2\gamma [ 3-\delta^2/2]$ e
$\delta\ll 1$?

{\bf 4.} Qual \`e il periodo dell'orbita nel caso in questione se si
pone $\gamma a^2 =\hbar^2/2 m^\ast$?

{\bf 5.} Si consideri ora il caso $E=-2\gamma$. Limitandosi al primo
quadrante in ($q_x$, $q_y$), in ragione della simmetria del problema,
si scriva la relazione che lega $q_x$ e $q_y$ sul {\it quarto} di
orbita in questione e si disegni tale quarto di orbita, nella prima
zona di Brillouin.

{\bf 6.} Si indichi chiaramente in che direzione viene percorsa
l'orbita.

{\bf 7.} Si riscrivano le componenti nel piano (x,y) della velocit\`a
di cui al punto (1) in termini della sola $q_x$, utilizzando la
risposta al punto precedente.

{\bf 8.} Si utilizzi la risposta al punto 7 per integrare l'equazione
di evoluzione temporale per $q_x$ sul quarto di orbita in questione,
per ottenere $T/4$, dove $T$ \`e il periodo dell'orbita. [{\sl Nota
$\int dx/sin(x)=ln(tan(x/2))$}]. Quanto vale $T$?

\bigskip
 
{\bf Variante:} si scelga lo zero di energia in modo che il minimo
della banda considerata valga -12$\gamma$.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva la velocit\`a nel piano (y,z) di un elettrone in
uno stato della banda considerata.
 
{\bf 2.} Si scriva la condizione che devono soddisfare le orbite nello
spazio ${\bf q}$, per $q_z=0$ ed energia $\epsilon({\bf q}) = E$.

{\bf 3.} Qual \`e l'orbita per $E= -4\gamma [ 3-\delta^2/4]$ e
$\delta\ll 1$?

{\bf 4.} Qual \`e il periodo dell'orbita in termini delle costanti
introdotte finora?

{\bf 5.} Quanto deve valere $\gamma$, in eV, affinch\`e l'orbita abbia
lo stesso periodo di quella di un elettrone libero, nel campo
assegnato?

{\bf 6.} Si scriva ora la condizione soddisfatta dall'orbita per
$q_z=2\pi/a$ e $E=-4\gamma[-1+ \delta^2]$, con $\delta\ll 1$ .

{\bf 7.} Qual'\`e il punto pi\`u vicino all'origine di questa seconda
orbita?

{\bf 8.} Si \`e in grado di fare un disegno qualitativo dell'orbita
sulla faccia della zona di Brillouin sulla quale l'orbita giace?

\newpage

\section{\ * Propriet\`a di un metallo anisotropo.}

\bigskip

Si consideri un metallo, con un elettrone di valenza per cella, la cui
banda di conduzione pu\`o essere approssimata con:
$$
\varepsilon({\bf k}) = \varepsilon_0 + \frac{\hbar^2}{2}
 \left( \frac{k^2_x+k^2_y}{m_t}+\frac{k^2_z}{m_l} \right).
$$

\bigskip

{\bf 1.} Si calcoli il tensore delle masse efficaci ${\bf M}$.

{\bf 2.} Si calcoli la densit\`a degli stati elettronici
$g(\varepsilon)$.

{\bf 3.} Sapendo che la densit\`a per cm$^{-3}$ di elettroni di
valenza \`e {\it n}, si calcoli l'energia di Fermi dalla
normalizzazione della densit\`a degli stati elettronici.

{\bf 4.} Sapendo che $n=10^{22}cm^{-3}$ e $m_l=2m_e=4m_t$, si valuti
(i) l'energia di Fermi in $^o$K e (ii) la densit\`a di stati al
livello di Fermi in $cm^{-3} eV^{-1}$.

\bigskip

{\bf ~} Si supponga ora che al solido in questione sia applicato un
campo magnetico ${\bf H} = H(\sin\theta,0,\cos\theta)$.

\bigskip

{\bf 5.} Si scrivano e si risolvano esplicitamente le equazioni
semiclassiche del moto elettronico.

{\bf 6.} Si dia l'espressione della massa efficace ciclotronica
$m^*_c$, ottenuta dal punto {\bf 5}.

\bigskip

{\bf ~} Si ponga ora $\theta=0$.

\bigskip

{\bf 7.} Si diano le orbite in spazio ${\bf k}$, per la scelta
menzionata di $\theta$, sfruttando la conservazione dell'energia
(invece che le equazioni del moto) e verificando che il risultato
ottenuto sia compatibile con quello trovato al punto {\bf 5}.

{\bf 8.} Si verifichi che il valore di $m^*_c$ trovato al punto {\bf
6} coincide con $\frac{\hbar^2}{2 \pi} \frac{\partial A}{\partial
\varepsilon}$, dove $A$ \`e l'area inclusa dalla traiettoria.

\newpage

\section{\ * Effetto Hall per un sistema con elettroni e buche.}

\bigskip

Si consideri un conduttore con elettroni con densit\`a $n$ e buche con
densit\`a $p$ in un campo elettrico esterno $E_x$ e campo magnetico
${\bf H}= (0,0,H)$, in geometria Hall. Buche ed elettroni hanno
rispettivamente masse $m_e$ e $m_b$ e tempi di collisione $\tau_e$ e
$\tau_b$. Poniamo $b=(\tau_e/m_e)/(\tau_b/m_b)$.

\bigskip 

{\bf 1.} Si scrivano alla stazionariet\`a le equazioni di evoluzione
rispettivamente dell'impulso medio di elettroni e dell'impulso medio
delle buche, componente per componente.

{\bf 2.} Essendo il circuito aperto nella direzione $y$,
$j_y=j_y^{(e)}+j_y^{(b)}=0$. Si imponga tale condizione per ottenere
due equazioni che contengano solo $j_x^{(e)}$ e $j_x^{(b)}$.

{\bf 3.} Si ottenga la relazione che lega $j_x^{(e)}$ e $j_x^{(b)}$
allorch\`e $n=p$.

{\bf 4.} Si calcoli il coefficiente Hall $E_y/(j_x H)$ per $n=p$.

{\bf 5.} Quanto vale $E_y$ allorch\`e le mobilit\`a ($\mu =e \tau/m$)
di elettroni e buche siano uguali e $n=p$?

\newpage

\section{Effetto De Haas-Van Alphen nel rubidio}

\bigskip

Si consideri un cristallo di Rubidio di dimensioni lineari dell'ordine
del cm, a basse temperature [vedi tabelle Cap 1 dell' AM],
nell'approssimazione di elettroni liberi.

\begin{enumerate}

\item Si calcoli il periodo in $1/H$ delle oscillazioni di De Haas-van
Alphen, esprimendo il campo magnetico in gauss.

\item Si calcoli a che variazione in $H$ corrisponde il periodo in
$1/H$, per un campo dell'ordine di $10^4g$.

\item Si calcoli il raggio delle orbite in spazio reale corrispondenti
alle orbite estremali in spazio $k$.

\item Si dica per quali valori del campo $H_1$ le orbite estremali in
spazio reale diventano dell'ordine delle dimensioni del campione.

\item In che rapporto \`e $H_1$ con il campo naturale terrestre?

\end{enumerate}

\newpage

\section{* Tensore di conducibilit\`a in un metallo}

\bigskip
Si consideri l'espressione del tensore di conducibilit\`a in
approssimazione di tempo di rilassamento
$$
\sigma_{ij} = e^2 \int \frac{d {\bf k}}{4 \pi^3} \tau(\epsilon({\bf
k}))\left[\frac{-\partial g^o}{\partial \epsilon({\bf k})}\right]
v_i({\bf k}) v_j({\bf k})
$$
per un metallo. Si assuma che ci sia una sola banda attraversata dalla
superficie di Fermi.

\bigskip

{\bf 1.} Si assuma che $T_F\gg T$ (e che l'energia di Fermi sia ben
lontana dagli estremi della banda). Si porti il $\tau$ fuori
dall'integrale dicendo a che energia va valutato e perch\'e.

{\bf 2.} Sfruttando il fatto che la velocit\`a \`e un gradiente
dell'energia si riscriva l'Eq. 1 facendo apparire il gradiente
rispetto a ${\bf k}$ di $g^o(\epsilon({\bf k}))$.

{\bf 3.} Si integri per parti l'espressione ottenuta al punto
precedente, considerando che tutte le funzioni che appaiono sotto
l'integrale sono periodiche e che l'integrale \`e esteso all'intera
zona di Brillouin.

{\bf 4.} Si riarrangi l'espressione precedente in modo da far apparire
l'inverso del tensore di massa $\left[\frac{1}{m({\bf
k})}\right]_{ij}$.

{\bf 5.} Nell'ipotesi che il tensore di massa sia $m_{ij}({\bf
k})=m_{ij}$, indipendente da ${\bf k}$, e che quindi si possa portare
fuori dall'integrale, si calcoli esplicitamente quello che rimane
dell'integrale e si dia un'espressione di $\sigma_{ij}$ in termini di
$n$ (la densit\`a di portatori nella banda), $\tau$, e il tensore di
massa.

{\bf 6.} Se il tensore di massa \`e diagonale $m_{ij}=\delta_{ij}m^*$
qual \`e la forma del tensore di conducibilit\`a?

{\bf 7.} Utilizzando l'espressione ottenuta al punto 4 sopra ed il
fatto che il tensore di massa \`e il gradiente di una funzione
periodica si riscriva la conducibilit\`a in termini delle buche
piuttosto che degli elettroni.

\newpage

\section{Funzione di risposta densit\`a-densit\`a in elettroni non
interagenti}

\bigskip

Si consideri un insieme di $N$ elettroni non-interagenti in un volume
$V=L^d$ in $d$-dimensioni, con condizioni periodiche al contorno
(PBC). Applicando un potentiale esterno $U({\bf r})=\int \frac{d{\bf
q}}{(2\pi)^d}U({\bf q}) e^{i{\bf q}\cdot{\bf r}}$ la densit\`a
elettronica cambia da $n({\bf r})=n_0\equiv\frac{N}{V}$ a $n({\bf
r})=n_0+n_1({\bf r})+\cdots$, con $n_1$ lineare in $U$.

\begin{enumerate}

\item Si calcoli la funzione di risposta lineare densit\`a-densit\`a
$\chi(q)$, che lega la trasformata di Fourier del cambiamento di
densita al primo ordine $n_1({\bf r})$ alle componenti di Fourier di
$U$, $$n_1({\bf q})=\chi(q) U({\bf q}).$$ A questo scopo si proceda
come di seguito suggerito:

\begin{enumerate}

\item Si usi la teoria delle perturbazioni (statiche) per calcolare il
cambiamento al primo ordine $\psi_{\bf k}^{1}({\bf r})$ degli orbitali
di elettroni non-interagenti
$$ \psi_{\bf k}({\bf r}) = \psi_{\bf k}^{0}({\bf r}) + \psi_{\bf
k}^{1}({\bf r}) +\cdots.$$ Per definizione $\psi_{\bf k}^{1}({\bf r})$
\`e lineare nel potenziale $U$.

\item Si calcoli la variazione di densit\`a $n_1({\bf r})$ indotta dal
potentiale $U$ utilizzando $$ n({\bf r}) = \sum_{\bf k} f_{\bf k}
\psi_{\bf k}({\bf r})^2 = n_0+n_1({\bf r})+\cdots,$$ con $f_{\bf k}$
il numeo di occupazione dell'orbitale ${\bf k}$.

\item Si calcoli la trasformata di Fourier di $n_1({\bf r})$, ottenuta
al punto precedente e da questa si ottenga
\begin{eqnarray}
 \chi(q) &=& 
 V^{-1} \sum_{\bf k} f_{\bf k} 
 ( \frac{1}{\epsilon_{\bf k} - \epsilon_{{\bf k}+ {\bf q}} } 
 + \frac{1}{\epsilon_{\bf k} - \epsilon_{{\bf k}- {\bf q}} } ) 
 \nonumber \\ &=&
 V^{-1}\sum_{\bf k} 
 \frac{ f_{ {\bf k}-{\bf q}/2 }- f_{ {\bf k}+{\bf q}/2 } } 
 { \epsilon_{ {\bf k}- {\bf q}/2 } - \epsilon_{ {\bf k}+ {\bf q}/2} }.
 \label{chi_k}
\end{eqnarray} 

\item In tutte le manipolazioni algebriche dei punti precedenti si
tenga conto che $\psi_{\bf k}^0= \frac{1}{\sqrt{V}}e^{i{\bf
q}\cdot{\bf r}}$. $\epsilon_{\bf k}$ denota l'energia dell'orbitale
$\psi_{\bf k}^0$.

\end{enumerate}

\item Ci si specializzi al caso $d=2$ e si calcoli esplicitamente la
$\chi(q)$ per elettroni spolarizzati ($f_{\bf k} =2$ per $k\leq k_F$)
[funzione di Stern] procedendo come segue:

\begin{enumerate}

\item Si usi la relazione \ref{chi_k} e si riscriva la somma sui ${\bf k}$
discreti compatibili con le PBC come integrale in coordinate polari.

\item Si valuti prima l'integrale angolare.

\item Si valuti poi l'integrale radiale [ovvero integrale in $k$].

\item Si dovrebbe ottenere: 
\begin{eqnarray*} 
 \chi(q) &=& - \frac{m}{\pi \hbar^2}, ~~~~~q<2q_F \\
 \chi(q) &=& - \frac{m}{\pi \hbar^2}[1-\sqrt{1-4q_F^2/q^2}] ,
 ~~q>2q_F
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Nota:} bisogna saper fare gli integrali $\int dt/(1+t^2)$ e $\int
dt/(1-t^2)$.

\newpage

\section{\ * Instabilit\`a di Peierls.}

\bigskip

Si consideri un gas di elettroni non interagenti in una dimensione.
La definizione di funzione di risposta statica
(densit\`a--densit\`a)in trasformata di Fourier \`e $$
\chi_0(q)=\frac{2}{L}\sum_{k}\left[\frac{f(k-q/2)-f(k+q/2)}{\varepsilon(k-q/2)-
\varepsilon(k+q/2)}\right],$$ con $\varepsilon(k)$ il livello di
energia di elettroni non interagenti, e $f(k)=\theta(k_F-|k|)$ la
funzione di Fermi a $T=0$.
 
\bigskip  
\begin{enumerate}

\item Si calcoli $\chi_0(q)$ a partire dalla formula data, fornendo
tutti i passaggi rilevanti.

\item Si faccia un disegno semiquantitativo di $\chi_0(q)$ come
funzione di $Q=q/k_F$, per $Q\ge 0$. Si commenti sulla forma del
grafico per $Q\le 0$, senza disegnarlo.

\item La risposta in densit\`a ad un campo di energia esterno $V$ \`e
data da $\rho(q)=\chi_0(q)V(q)$. Cosa ci si aspetta che accada se si
applica un campo comunque piccolo con $V(2k_F)\ne 0$? Quale sar\`a la
periodicit\`a del sistema modulato? (Si ricorda che in una dimensione
$k_F=\pi n_0/2$, con $n_0=N/L$.)

\item L'energia cinetica per elettrone di un gas di elettroni omogeneo
in una dimensione \`e $t(n_0)=C n_0^2$, con $C=(\hbar^2\pi^2)/(24
m)$. Si scriva $E^{LDA}[n]$, il funzionale energia totale in
approssimazione di densit\`a locale (LDA) per un sistema inomogeneo.

\item Utilizzando la seguente definizione alternativa per la funzione
di risposta di un fluido omogeneo unidimensionale:
$$\chi^{-1}_0(x,y) = -\left[\frac{\delta^2E[n]}{\delta n(x)\delta
n(y)}\right]_{n(x)=n_0},$$ dove $\chi^{-1}_0$ \`e tale che
$$\int dz\; \chi_0(x,z)\chi^{-1}_0(z,y) = \delta(x,y),$$ si calcoli la
funzione di risposta in LDA nello spazio dei vettori d'onda.

\item Si confronti il risultato del punto precedente con quello del
primo punto, sul disegno di cui al punto 2, e si dica in che limite i
due risultati coincidono e perch\'e.
 
\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Nota:} Si ricordi che in un sistema invariante per traslazione
$\chi_0(x,y) = \chi_0(x-y)$.

\newpage

\section{\ * Modello per l'energia coesiva in un metallo}

\bigskip

Si consideri l'idrogeno metallico, come un gas di elettroni nel quale
sia immerso il reticolo degli ioni considerati puntiformi. L'energia
coesiva per {\it atomo} $E_a$ sar\`a data dall'energia per elettrone
$E_e$ pi\`u l'energia per ione $E_i$. Nel seguito si esprimano le
lunghezze in unit\`a di $a_0$, il raggio di Bohr, e le energie in
unit\`a di Rydberg ($1Ry=e^2/(2a_0)=\hbar^2/(2m_ea_0^2)$). Si ponga in
particolare $V/N_e=4\pi r_s^3a_0^2/3$ per $N_e$ elettroni in un volume
$V$.

Si consideri $E_e$ come data dall somma dell'energia cinetica $K_e$
per particella di un gas di elettroni pi\`u l'energia di scambio
(Hartree-Fock) per particella $V_x$.
 
Supponendo che gli ioni {\it vedano} gli elettroni come una
distribuzione omogenea di carica, si approssimi $E_i$ come l'energia
coulombiana dell'unit\`a formata da uno ione puntiforme al centro di
una sferetta di carica elettronica di raggio $r_sa_0$. $E_i$ \`e
quindi dato dalla somma di: (i) l'interazione $E_{ie}$ dello ione con
la di carica elettronica, pi\`u (ii) l'energia di autointerazione
coulombiana $E_{ee}$ della sferetta.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva $K_e$ in Ry come funzione di $r_s$

{\bf 2.} Si scriva $V_x$ in Ry come funzione di $r_s$.

{\bf 3.} Si calcoli $E_{ie}$ e se ne dia l'espressione in Ry come
funzione di $r_s$.

{\bf 4.} Si calcoli il campo elettrico generato dalla sferetta di
carica elettronica per (i) $r<r_s$ e (ii) $r>r_s$

{\bf 5.} Si calcoli l'energia $E_{field}$ immagazzinata dal campo
elettrico prodotto dalla sferetta in tutto lo spazio.

{\bf 6.} Che relazione c'e' tra $E_{field}$ e $E_{ee}$?

{\bf 7.} Si dia $E_a$ in Ry come funzione di $r_s$.

{\bf 8.} Si calcoli il valore di $r_s$ al quale $E_a(r_s)$ \`e minima.

{\bf 9. } Si dica se in questa descrizione il metallo \`e stabile
rispetto allo stato di gas atomico.

\newpage

\section{\ * Solido quantistico.}

\bigskip

Si consideri un sistema modello unidimensionale [moto ristretto ad una
linea] di atomi di He$^4$.

\bigskip

{\bf 1.} Si supponga per il momento che ciascun degli atomi sia
costretto in un segmento di lunghezza $a= 1/n$, dove $n$ \`e la
densit\`a lineare di atomi [numero di atomi per unit\`a di
lunghezza]. Si risolva il problema del singolo atomo libero di
muoversi sul segmento $a$ con condizione $\psi(0)=\psi(a)=0$ e sia dia
l'energia (cinetica) dello stato fondamentale $t(a)$.

{\bf 2.} Supponendo di avere una catena lineare finita di N atomi,
qual \`e la forza (pressione) che bisogna applicare agli estremi della
catena per evitare che questa si espanda?

{\bf 3.} Si considerino ora gli atomi interagenti con un potenziale di
van der Waals: si scriva l'energia potenziale per atomo $u(a)$ della
catena infinita sapendo che $\sum_{n=1}^{\infty}n^{-6} = 1.02$ e
$\sum_{n=1}^{infty}n^{-12} = 1.00$ e considerando gli atomi
equidistanziati.

{\bf 4.} Si consideri l'energia totale per atomo $$e(a)=t(a)+u(a)=A
\left(\frac{\sigma}{a}\right)^{2} +B
\left(\frac{\sigma}{a}\right)^{12}
-C\left(\frac{\sigma}{a}\right)^{6}.$$ Si valutino le costanti
$A,B,C$, sapendo che i parametri di van der Waals per l'He$^4$ sono
$\varepsilon=10.2 ^oK$ e $\sigma=2.56\AA$.

{\bf 5.} Si valutino gli estremi della funzione $e(a)$ come funzione
di $a$ nei due casi semplificati: (i) $A=0$ e $B,C$ come sopra; (ii)
$B=0$ ed $A,C$ come sopra. Si dica per ciascuno se si tratta di
minimo o massimo.

{\bf 6.} La soluzione {\it} completa di $de(a)/da=0$ con
$d^2e(a)/da^2>0$ da $a^*\simeq1.14\sigma$. Si valuti la forza di cui
al punto 2) in dyne, al parametro $a$ di equilibrio.

{\bf 7.} Si valuti il {\it modulo di bulk} ${\cal B}$ del solido
unidimensionale all'equilibrio, in dyne.

{\bf 8.} Che pressione bisogna applicare al solido per variare il parametro
reticolare $a$ del $2\%$ rispetto al suo valore all'equilibrio? [Si usi la
risposta al punto precedente.] 

\newpage

\section{* Propriet\`a di una catena ionica}

\bigskip

Si consideri una catena lineare di ioni di valenza $\pm 1$ disposti a
segni alterni ed equidistanti. Oltre all'interazione Coulombiana tra
ioni puntiformi [$\pm \phi(|x|) = \pm e^2/|x|$] \`e presente una
repulsione a corto raggio che agisce solo tra primi vicini ed \`e
della forma $v(|x|)=e^2 b \ln{2}/x^2$, con $b$ una lunghezza
caratteristica del problema.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva l'energia (potenziale) totale $U$ della catena in
termini di $\phi$ e $v$.

{\bf 2.} Si scriva l'energia per coppia ionica $u_p$ in termini di
$\phi$ e $v$.

{\bf 3.} Si scriva il contributo Coulombiano $u_c$ ad $u_p$
esplicitando la forma di $\phi(|x|)$: si sommi la serie di Madelung
risultante sfruttando il fatto che $\sum_{m=1}^{\infty}
1/[(2m(2m-1)]=\ln{2}$.

{\bf 4.} Utilizzando il risultato del punto precedente
nell'espressione di $u_p$ si calcoli la distanza $a^*$ tra primi
vicini all'equilibrio in termini di $b$.

{\bf 5.} Si dia l'espressione di $u_p(a^*)$ in termini di $e$ e $b$,
effettuando tutte le semplificazioni possibili ma nessuna valutazione
numerica.

{\bf 6.} Si dia l'espressione del ``modulo di bulk'' $B(a^*)=L d^2
E/d L^2$, dove $L$ \`e la lunghezza della catena. Di nuovo si esprima
il risultato in termini di $e$ e $b$, effettuando tutte le
semplificazioni possibili ma nessuna valutazione numerica.

{\bf 7.} Utilizzando i risultati dei due punti precedenti si valutino
$u_p(a^*)$ e $B(a^*)$, rispettivamente in eV ed eV/\AA, quando $b= 2
a_B$.

\newpage

\section{Catena unidimensionale di atomi di gas raro}

\bigskip

Si consideri una catena lineare di atomi di Kripton e si assuma
un'interazione di coppia della forma di Lennard-Jones $\phi(|x|) =
4\epsilon [(\sigma/x)^{12} - (\sigma/x)^{6}]$.

\begin{enumerate}

\item Si scriva l'energia potenziale per particella $u(a)$ quando le
particelle siano disposte in modo regolare spaziate di $a$, cio\`e
quando $x_n=na$. Si calcoli: (i) la distanza $a_0$ d'equilibrio in
termini di $\sigma$ e (ii) l'energia coesiva in termini di $\epsilon$.

\item Si calcoli la dispersione dei fononi [cioe $\omega(q)$ come
funzione di $q$], nell'ipotesi che le interazioni oltre i primi vicini
possano essere trascurate. Si esprima esplicitamente la legge di
dispersione in termini di $\epsilon, \sigma, M$, dove M \`e la massa
dell'atomo di gas raro.

\item Si consideri la situazione nella quale a $t=0$ uno degli atomi
sia spostato dalla posizione di equilibrio della quantit\`a $l$ con $l
\ll a_0$, mentre tutti gli altri sono in posizione d'equilibrio.
Tutti gli atomi hanno velocit\`a zero a $t=0$. In simboli, se $u(n,t)$
indica al tempo $t$ lo spostamento dell'atomo n-esimo dalla posizione
d'equilibrio $na_0$, stiamo considerando la situazione
\begin{eqnarray*}
 u(n,0) = l
\delta_{n,0},\cr \dot{u}(n,0) = 0, \forall n. 
\end{eqnarray*}

\begin{itemize}

\item[A.] Si determini l'evoluzione temporale della catena per $t>0$.

\item[B.] Si calcoli a quale tempo $t_1>0$ [in secondi] l'atomo
0-esimo ripassa dalla posizione d'equilibrio [$u(0,t_1)=0$].

\item[C.] Si calcoli la velocit\`a [in cm/sec] con la quale l'atomo
0-esimo ripassa dalla posizione d'equilibrio per $t=t_1$.

\end{itemize}

\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Suggerimenti}: 

\begin{itemize}

\item I parametri del potenziale di Lennard-Jones per i gas rari si
possono trovare sull' Ashcroft-Mermin [AS].

\item Valori numerici delle funzioni zeta di Riemann
[$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$] si possono trovare, ad
esempio, sul libro [HMF]:{\it Handbook of Mathematical Functions},
Edited by M. Abramowitz and I. A. Stegun, (Dover, New York, 1970 o
altra data).

\item Si ricordi che i fononi sono i modi normali di oscillazione
della catena, in approssimazione armonica. Quindi qualsiasi
spostamento degli atomi dalla posizione d'equilibrio [purch\`e
sufficientemente piccolo da poter essere considerato armonico, pu\`o
essere analizzato in termini di fononi]. Bisogna quindi trovare qual
\`e la combinazione lineare di oscillazioni normali che soddisfa le
condizioni della (1).

\item Si ricordi l'identit\`a $\sum_q exp(iqna_0)= N \delta_{n,0}$
dove la somma su $q$ \`e sulla prima zona di Brillouin e si considera
una catena di $N$ atomi con condizioni periodiche al contorno.

\item Si rammenta la definizione di funzione di Bessel
$$
 J_n(z) = \frac{1}{\pi} \int _0^{\pi}d x \; cos(nx - zsinx).
$$
Zeri ed altre propriet\`a delle funzioni di Bessel si possono trovare
sul libro HMF citato sopra, o su vari altri libri specifici.

\end{itemize}

\newpage

\section{* Stabilit\`a di cristalli monoatomici a $T>0$}

\bigskip

\noindent
Si consideri un cristallo armonico con un atomo per cella in $D$
dimensioni (evidentemente siamo interessati in particolare a
$D=1,2,3$.)

\bigskip

{\bf 1.} Si mostri che la densit\`a di stati fononici a basse frequenze
($\omega_s({\bf k})=c_s(\hat{\bf k}) k$ per $\omega<\omega_c$) ha
l'andamento $g(\omega)= A\omega^{D-1}$.
 
[Per la precisione dovrebbe risultare $A=[D\Omega_D]/[(2\pi)^D c^D]$,
con $\Omega_D$ {\it l'angolo solido} in $D$ dimensioni e $c$ una
opportuna media su angoli e polarizzazioni di una funzione di
$c_s(\hat{\bf k})$: quale?]

{\bf 2.} Si consideri ora, lo spostamento quadratico medio degli atomi
dalla posizione di equilibrio, definito da $$ \overline{{\bf u}^2} =
\frac{1}{N}\sum_{\bf R} \langle{\bf u}^2({\bf R})\rangle, $$ con
$\langle \dots \rangle$ la media a data temperatura. Si esprima $
\overline{{\bf u}^2}$ come una somma sulle frequenze dei modi normali.

[Si consiglia di utilizzare tra l'altro i seguenti fatti:\hfill\break
(i) ${\bf u}({\bf R})=(1/\sqrt{N})\sum_{{\bf k},s} {\bf u}_s({\bf
k})e^{i{\bf k}\cdot{\bf R}}$, con ${\bf u}_s({\bf k})$ le coordinate
{\it normali} e ${\bf k} \in {\rm FBZ}$; (ii) ${\bf u}_s({\bf
k})\propto \mbox{\boldmath{$\epsilon$}}_s({\bf k})$, e
$\mbox{\boldmath{$\epsilon$}}_s({\bf
k})=\mbox{\boldmath{$\epsilon$}}_s(-{\bf k})$; (iii) il valor medio a
data temperatura dell'energia potenziale di un oscillatore normale
eguaglia evidentemente met\`a del valor medio dell'energia totale
$\hbar \omega_s({\bf k}) (n_s({\bf k})+1/2)$.]

{\bf 3.} Si riesprima $\overline{{\bf u}^2}$ come un integrale in
frequenza, introducendo la densit\`a di stati.

{\bf 4.} Si specializzi la formula precedente ad un sistema finito,
semplicemente limitando l'integrale in frequenze a $\omega> \omega_t=
2 \pi c /L$, dove nella frequenza di taglio $\omega_t$ vale $L=
N^{1/D}/\rho^{1/D}$, con $ \rho$ la densit\`a di atomi e a meno di
costanti adimensionali di ordine 1.

{\bf 5.} Si stimi per $T>0$ il contributo dominante a $\overline{{\bf
u}^2}$ dovuto ai modi a bassa frequenza ($\omega_t<\omega<\omega_c$),
nel regime $\beta\hbar\omega\ll 1$ .

{\bf 6.} Cosa succede a $\overline{{\bf u}^2}$ per $D=2$ quando
$N\rightarrow \infty$?

{\bf 7.} Idem come sopra per $D=1$.

\newpage

\section{Catene unidimensionali con interazioni a lungo raggio: modi di
vibrazione e stabilit\`a}

\bigskip

Si consideri un sistema di particelle costrette a muoversi in una sola
direzione [ad esempio l'asse $x$] interagenti con un potenziale di
coppia $\phi(|x_n -x_m|; |n-m|)$.

\begin{enumerate}

\item Si scriva l'energia potenziale per particella $u(a)$ quando le
particelle siano disposte in modo regolare spaziate di $a$, cio\`e
quando $x_n=na$.

\item Si considerino piccole oscillazioni delle particelle intorno
alla disposizione regolare del punto 1, cio\`e $x_n=na+\delta_n$ con
$|\delta_n|\ll a$. Si scriva allora l'energia potenziale totale in
potenze dei $\delta_n$, fino al secondo ordine incluso. Il termine di
ordine zero, ovviamente coincide con $Nu(a)$, se si considera un pezzo
di catena con N particelle [e condizioni al contorno di Born - von
Karman].
 
\begin{itemize}

\item[2.a)] Si mostri che il termine del primo ordine \`e sempre
assente, cos\`\i\ che la configurazione $x_n=na$ \`e sempre un estremo
dell'energia per ogni $a$.

\item[2.b)] Si scriva la matrice dinamica $D(|n-m|)$, che determina il
pezzo del secondo ordine, in termini dei $\phi^{\prime\prime}(|n|a;
|n|)$, dove il doppio apice indica la derivata seconda di $\phi$
rispetto al suo primo argomento.

\item[2.c)] Usando il risultato del punto 2.b) si scriva la relazione
di dispersione per le piccole oscillazioni [vibrazioni armoniche] in
termini dei $\phi^{\prime\prime}(|n|a; |n|)$, assumendo che la massa
delle particelle sia $M$; cio\`e si scriva esplicitamente
$\omega^2(k)$.

\end{itemize}

\item Si consideri un potenziale di coppia del tipo 
$$ \phi(|x|; |n|) = \frac{C}{|x|^{\alpha}} +\frac{e^2}{|x|} (-1)^n,$$
che comprende sia una repulsione [$C>0$ e consideriamo per il momento
$\alpha>0$ per avere una repulsione che decresca con la distanza], sia
interazioni di tipo Coulombiano.

\begin{itemize}

\item[3.a)] Si scriva la relazione di dispersione in questo caso
particolare, usando la notazione: $G=\alpha(\alpha+1)C/a^{\alpha+2}$,
con $G$ una costante di forza, $\sigma=e^2/(Ga^3)$ un parametro
adimensionale che misura l'importanza relativa della interazione
Coulombiana rispetto a quella repulsiva, e $\omega_0^2 =4G/M$. Si
dovrebbe ottenere
$$\frac{\omega^2(k)}{\omega^2_0} = \sum_{n=1}^{\infty}
\frac{1}{n^{\alpha+2}} sin^2(\frac{kna}{2}) +\sigma
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^3} [1-cos(kna)]$$.

\item[3.b)] Si consideri la relazione ottenuta in 3.a) al bordo zona,
cio\`e per $k=\pi/a$. A questo scopo si introduca la funzione di
Riemann $\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$. Si tenga anche conto
della identit\`a $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^{-s}= -\zeta(s)
(1-2^{1-s})$, che pu\`o essere agevolmente dimostrata separando la
somma in termini pari e dispari e sommando e sottraendo una volta i
termini pari.

\item[3.c)] Usando il risultato di 3.b) si mostri che il quadrato
della frequenza diventa negativo per $\sigma \geq \sigma_c^{\pi}= 4
\zeta(\alpha+2) /(7 \zeta(3))$. Questo segnala un'instabilit\`a del
cristallo unidimensionale. Ovvero la configurazione assunta come
d'equilibrio \`e solo un estremo e non corrisponde ad un minimo.

\item[3.d)] Si consideri la dispersione a piccoli $k$, cio\`e per
$k\rightarrow 0$. Assumendo che $\alpha>1$, si calcoli esplicitamente
la velocit\`a del suono. Si mostri che questa diventa immaginaria per
$\sigma \geq \sigma_c^0= \zeta(\alpha) /(2 ln 2)$. Con conclusioni
simili a quelle del punto precedente.

\end{itemize}
 
\item Chiaramente per $\sigma \geq \sigma_c^{\pi}$, ci sono frequenze
immaginarie vicino al bordo zona e per $\sigma \geq \sigma_c^0$ anche
al centro zona. Questo tipo di instabilit\`a, peraltro, riguarda
deformazioni del cristallo a {\it densit\`a} fisse, cio\`e a fissato
$a$.

\begin{itemize}
 
\item[4.a)] Si provi a studiare la stabilit\`a rispetto alle
variazioni di $a$, considerando l'energia d'equilibrio $u(a)$ del
punto 1. Si mostri che la richiesta che $u(a)$ sia minima fornisce un
parametro d'equilibrio $a_0 = [\alpha C \zeta(\alpha)/(e^2 ln
2)]^{1/(\alpha-1)}$, con la condizione addizionale che $\alpha>1$.
[Confronta con l'assunzione del punto 3.d)].

\item[4.b)] Si assuma di considerare le piccole oscillazioni intorno
alle posizioni d'equilibrio ottenute in (4.a). Allora ad $a_0$
corrisponder\`a un $G_0$ e quindi un $\sigma_0
=\zeta(\alpha)/((\alpha+1)\ln 2)$. Si mostri che in questo caso la
velocit\`a del suono rimane sempre reale. Con riferimento al punto
3.c, si provi a discutere cosa succede al bordo zona per valori interi
di $\alpha$, con $\alpha>1$. [Se si vuole attaccare l'ultimo punto
bisogna valutare numericamente $\zeta(n)$,che si pu\`o trovare
tabulata nel libro {\it Handbook of Mathematical Functions},
edit. M. Abramowitz and I. Stegun, (Dover, NY, ~ 1972).]

\end{itemize} 

\end{enumerate}
\newpage

\section{* Catena unidimensionale di gas raro e sua stabilit\`a.}

\bigskip

Si consideri una catena lineare di atomi di Xenon. Si assuma
un'interazione di coppia della forma di Lennard-Jones $\phi(|x|) =
4\epsilon [(\sigma/x)^{12} - (\sigma/x)^{6}]$. Si assuma che gli atomi
siano equispaziati all'equilibrio (con spaziatura $a$: $x_n^0=na$) e
che possano compiere piccole oscillazioni intorno alle posizioni
d'equilibrio ($x_n=x_n^0+u_n=na+u_n$, $u_n\ll a$).

\bigskip

{\bf 1.} Si calcoli l'energia per particella $e(a)$ per data
spaziatura, come funzione di $\epsilon$ e $\sigma$. [{\sl Nota:}
approssimando ciascuna delle somme $\zeta(p)=\sum_{n=1}^{\infty}
n^{-p}$, $p=6,12$, con i primi 3 termini si trova $\zeta(6)=1.02$ e
$\zeta(12)=1.00$].

{\bf 2.} Si calcoli la spaziatura d'equilibrio come funzione di $\sigma$
e si valuti l'energia coesiva per particella per il sistema in esame
(Xenon) in eV.

{\bf 3.} Si esprima la matrice dinamica $D(n-m)$ in termini del
potenziale di coppia $\phi$.

{\bf 4.} Si calcoli la branca di dispersione fononica $\omega(q)$ per la
catena assumendo di trascurare le interazioni oltre i primi vicini.

{\bf 5.} Si valuti la frequenza a bordo zona $\omega(q=\pi/a)$ (in
Hertz).

{\bf 6.} Lo spostamento quadratico medio di un atomo dalla posizione
d'equilibrio, per una catena di lunghezza $N$ pu\`o essere calcolato
usando la formula
$$ \langle u_n^2\rangle= \frac{1}{N} \sum_q\frac{\hbar}{2 M \omega_q}
(1+2 n(q)),$$ con $n(q)$ l'occupazione media del modo $q$--esimo,
$n(q)=[\exp(\beta\hbar\omega_q) -1]^{-1}$. Si calcoli $ \langle
u_n^2\rangle$ a $T=0$, come funzione di $N$. [Per catena grande ma
finita si approssimi la somma in questione con un integrale, ecludendo
peraltro il modo a $q=0$: $q_c\leq |q| \leq \pi/a$ con
$q_c=2\pi/(Na)$.] Cosa succede quando $N\longrightarrow\infty$? \`E
sensato parlare di piccole oscillazioni per una catena {\it lunga}?

{\bf 7.} Per quale valore di $N$ si ha $ \sqrt{\langle u_n^2\rangle}=a$,
per lo Xenon? Quanto sarebbe lunga la catena, in metri?

\bigskip

{\bf Nota:} $\int dx \; [\sin(x)]^{-1}=\log(\tan(x/2))$.

\newpage

\section{\ * Anomalia di Kohn.}

\bigskip

Si consideri una catena lineare di atomi identici con spaziatura
d'equilibrio $a$. Sia $u(n)$ la deviazione dalla posizione
d'equilibrio ($na$) dell n--esimo atomo. Ci sono molle agenti tra
tutti gli atomi, cos\`\i\ che la forza sull'atomo n--esimo \`e data da
$F(n) =\sum_m C_m[u(n+m)-u(na)]$.

\bigskip 

{\bf 1.} Si scriva l'equazione del moto del generico atomo.

{\bf 2.} Si mostri che soluzioni del tipo $e^{i(qna -\omega_q t)}$
soddisfano le equazioni del moto, ottenendo un'espressione per
$\omega_q^2$.

{\bf 3.} Si assuma che $$C_m=C \frac{sin(mk_0a)}{ma}$$ e si calcoli
$d\omega_q^2/dq$.

{\bf 4.} Quanto vale $d\omega_q^2/dq$ a $q=k_0$?

{\bf 5.} Si faccia un disegno qualitativo di $\omega_q$ in funzione di
$q$ intorno a $q=k_0$.

\newpage

\section{\ * Catena unidimensionale con interazioni a pi\`u vicini.}

\bigskip

Si considerino i modi di oscillazioni di una catena lineare di atomi
con massa $M$, nel caso nel quale ci siano interazioni oltre i primi
vicini.

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva l'energia della catena denotando con $u(na)$ lo
spostamento dalla posizione di equilibrio $na$ dell'atomo $n-$esimo e
con $C_m$ la costante di forza di ordine $m$, $m\geq 1$.\\ Si ricorda
che l'energia di interazione tra tra l'atomo $n-$esimo e il suo
$m-$esimo vicino \`e $(1/2)C_m\left[u(na)-u[(n+m)a]\right]^2$.

{\bf 2.} Si scriva la relazione di dispersione $\omega(k)$.

{\bf 3.} Si consideri $C_1=C$, con $C_m=0$ per $m>1$, e si disegni
$\tilde \omega(q)\equiv \omega \sqrt{M/C}/2$, dove $q\equiv ka/2$, per
$0\leq q\leq \pi/2$.

{\bf 4.} Si consideri ora $C_1=C$, $C_2=C/4$ con $C_m=0$ per $m>2$ e
si disegni di nuovo $\tilde \omega(q)$. [\`E sufficiente concentrarsi
sulle differenze dal caso di cui al punto 3 per piccoli $q$ e per
$q=\pi/2$.]

{\bf 5.} Si consideri ora $C_1=C$, $C_2=C/4$, $C_3=-C/5$ con $C_m=0$
per $m>3$, e si disegni di nuovo $\tilde \omega(q)$. [Si consiglia di
considerare esplicitamente il comportamento a piccoli $q$ e i punti
$q=\pi/6,\pi/3, \pi/2$.]

\newpage

\section{* Eccitazioni localizzate in una catena unidimensionale }

\bigskip

Si considerino i modi normali (fononi) di una catena lineare infinita
di atomi con spaziatura di equilibrio $a$, in approssimazione
armonica, con {\it molle} solo tra primi vicini.

\bigskip

{\bf 1.} Si scrivano esplicitamente le soluzioni indipendenti delle
equazioni del moto $u_{\pm}(q,n,t)$ in termini di $q$, $n$, $t$ e
$\omega(q)$, come esponenziali complessi descriventi delle onde. Per
convenienza si pensi ad una catena di lunghezza $L=Na$, con condizioni
al contorno periodico. Per ogni $-\pi/a\leq q < \pi/a$ il $\pm$ si
riferisce rispettivamente al modo con $\pm \omega(q)$.

{\bf 2.} Si consideri una sovrapposizione lineare di tali modi con
ampiezza $a_{+}(q)=a_{-}(q)=a(q) = C\, exp(-l^2 q^2)$. In particolare,
si scelga (i) $C=(2\sqrt{\pi}\,l\,a)/(10 L)$ e si assuma (ii) $l \gg
a/\pi$ in modo che la sovrapposizione coinvolga solo modi
acustici. Sfruttando le semplificazioni che seguono dalla condizione
(ii) si calcoli esplicitamente $$u(n,t) = \sum_{\sigma=\pm,q}
a_{\sigma}(q) u_{\sigma}(q,n,t).$$

{\bf 3.} Quanto \`e la velocit\`a di ciascun atomo a $t=0$ per questa
eccitazione?

{\bf 4.} Quali atomi sono spostati dalla posizione di equilibrio a
$t=0$ e di quanto?

{\bf 5.} Quali atomi sono spostati dall'equilibrio a $t=na/c$ e di
quanto?

{\bf 6.} Si descriva in modo qualitativo l'eccitazione a tempi $t>0$.

\newpage

\section{* Calore specifico di una catena lineare }

\bigskip

Si consideri una catena lineare di atomi di Zinco connessi da molle di
costante $K$ ignota. Nella configurazione classica di equilibrio gli
atomi sono equidistanziati con passo reticolare $a=2.88\AA$.

\bigskip

{\bf 1.} Si esprima la velocit\`a del suono in funzione di $K$ e di
$M$ [la massa dell'atomo di Zinco].

{\bf 2.} Sapendo che $c = 100\ m/s$ si valuti $K$, in cgs.

{\bf 3.} Si ottenga il calore specifico ``reticolare'' $c_V^L$ a basse
temperature, sfruttando semplificazioni simili a quelle utilizzate nel
caso tridimensionale. Come dipende $c_V^L$ dalla temperatura ad ordine
dominante?

{\bf 4.} Si valuti il calore specifico a $T=1^o$K, per unit\`a di
lunghezza, in cgs.

{\bf 5.} Supponendo che la catena sia metallica e che gli atomi di
Zinco abbiano la stessa valenza del metallo tridimnsionale si valuti
il calore specifico elettronico $c_V^e$ (per unit\`a di lunghezza e
nel modello di Sommerfeld) a ordine dominante in $T$. (N.B.: \`E
possibile usare la formula valida per elettroni in tre dimensioni
purch\`e si usi la densit\`a di stati elettronica unidimensionale
$g(E)=n/(2\sqrt{\epsilon_F E})$ con $n$ il numero di elettroni per
unit\`a di lunghezza).

{\bf 6.} Che precisione sperimentale \`e richiesta per poter
controllare la predizione di cui sopra per il calore specifico totale
$c_V=c_V^L+c_V^e$ a basse temperature, ovvero per discriminare $c_V^e$
su $c_V$?

{\bf Nota:} $\int_0^{\infty}dx \; x/(e^x-1)=\pi^2/6$.\\

\newpage

\section{\ * Cristallo armonico quadrato}

\bigskip

Si consideri un cristallo quadrato con parametro reticolare
$a$. Ciascun atomo di massa $M$ \`e connesso ai primi vicini da molle
di costante $G_x$ nella direzione $x$ e $G_y$ nella direzione $y$.
 
\bigskip

{\bf 1.} Si scriva l'energia potenziale $U$ del cristallo quando gli
atomi compiano piccole escursioni dai siti del reticolo. [Le molle
hanno lunghezze di riposo $a$ e il moto \`e strettamente
bidimensionale.]

{\bf 2.} Si scriva l'equazione del moto per il generico atomo.

{\bf 3.} Si risolva l'equazione ottenuta in (2) utilizzando una
soluzione ad onda piana e si caratterizzino i due modi ottenuti

{\bf 4.} Qui e nel seguito di prenda $G_y=4G_x$. Si disegnino i due
modi: (i) lungo il cammino (in unit\`a di $\pi/a$) (0,0) $\rightarrow$
(1,0) $\rightarrow$ (1,1) $\rightarrow$ (0,1) $\rightarrow$ (0,0) e
(ii) lungo il cammino (sempre in unit\`a di $\pi/a$) (0,0)
$\rightarrow$ (1,1). [I cammini sono da intendersi come rette
congiungenti i punti dati.]

{\bf 5.} Si dia la dispersione dei due modi quando $\sqrt{q_x^2+q_y^2}
\ a\ll 1$.

{\bf 6.} Si ricavi il calore specifico fononico a basse temperature,
in modo simile a quanto si fa in 3 dimensioni e sapendo che
$\int_0^{\infty} dx \; x/(e^x-1)=\pi^2/6$.

{\bf 7.} Si scriva la matrice dinamica come matrice rispetto agli
indici cartesiani (x,y) e di reticolo (m,n). [{\sl Nota:} le
traslazioni di Bravais sono ${\bf R}=(m,n)a$].

\newpage

\section{* Calore specifico a basse temperature}

\bigskip

{\bf 1.} Si calcoli la densit\`a di stati fononici corrispondente
all'approssimazione di Debye (3 modi acustici con dispersione
$\omega=ck$ per $k\leq k_D$).

{\bf 2.} Si scriva la formula per il calore specifico
$$
\frac{\partial}{\partial T}\sum_s\int\frac{d{\bf k}}{(2\pi)^3}
\frac{\hbar\omega_s({\bf k})}{e^{\hbar\omega_s({\bf k})/K_BT} -1}
$$
come integrale in frequenza introducendo la densit\`a di stati
fononici.
 
{\bf 3.} Si mostri, utilizzando le risposte ai due punti precedenti,
che l'approssimazione di Debye da il corretto calore specifico a basse
temperature se la velocit\`a del suono $c$ presente al punto 1)
soddisfa:
$$
\frac{1}{c^3}=\frac{1}{3}\sum_s\int \frac{d \Omega}{4
\pi}\frac{1}{c_s(\hat{\bf k})^3}.
$$
 
{\bf 4.} Utilizzando la definizione di densit\`a di stati e
l'esistenza di modi acustici si mostri che per un cristallo in $D$
dimensioni la densit\`a di stati a basse frequenze ha l'andamento
$g(\omega)\propto \omega^{D-1}$.

{\bf 5.} Utilizzando il risultato del punto precedente si mostri che
il calore specifico a basse temperature varia come $T^D$ in $D$
dimensioni.

{\bf 6.} Si calcoli l'andamento a bassa frequenza di $g(\omega)$ in
$D$ dimensioni nel caso in cui i modi a bassa frequenza vadano a $0$
con $k$ come $k^{\nu}$.

{\bf 7.} Si ottenga l'andamento a basse temperature del calore
specifico in $D$ dimensioni qualora i modi a bassa frequenza vadano a
$0$ con $k$ come $k^{\nu}$.

\newpage

\section{\ * Masse efficaci in un semiconduttore}

\bigskip

L'analisi sperimentale di un semiconduttore mostra che la densit\`a di
stati in energia di una particolar banda ha, vicino all'estremo ${\bf
k}^*$ della banda stessa, l'atteso andamento a radice $g(\epsilon) = C
\sqrt{\epsilon}$, ove $\epsilon=|E -E^*|$ e $C=6.97\times
10^{20}\,cm^{-3}/eV^{3/2}$. Nel seguito supporremo che il sistema di
laboratorio coincida con il sistema di assi principali $(\hat{x}_1,\,
\hat{x}_2,\, \hat{x}_3)$ del tensore di massa a ${\bf k}^*$.

\bigskip

{\bf 1.} Quanto vale il determinante del tensore di massa in unit\`a
di $m_e^3$?

{\bf 2.} Con esperimenti in campo magnetico si trova che ruotando
${\bf H} $ intorno all'asse $\hat{x}_3$ la massa efficace di
ciclotrone non cambia. Quanti sono al pi\`u gli autovalori distinti
del tensore di massa? Si argomenti in dettaglio la risposta.

{\bf 3.} Sapendo che per campo magnetico ortogonale all'asse
$\hat{x}_3$la massa di ciclotrone vale $m^*({\bf H})= 0.253m_e$ si
calcolino gli autovalori del tensore massa (in unit\`a di $m_e$).

{\bf 4.} Si ha un'idea di quale potrebbe essere il semiconduttore in
questione?

{\bf 5.} Qual \`e la forma delle orbite per un campo magnetico lungo
$\hat{x}_3$?

{\bf 6.} E per un campo magnetico lungo $\hat{x}_1$?

{\bf 7.} Quale sar\`a la frequenza di ciclotrone misurata (in
cm$^{-1}$ ) per un campo magnetico con
$\hat{H}=(1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2})$?

\newpage

\section{* Accettori nel silicio.}

\bigskip

Si consideri il silicio (Si) drogato con alluminio (Al) a temperature
prossime allo zero assoluto. Si considerino alla sommit\`a della banda
di valenza due massimi sferici degeneri, ma con masse efficaci
diverse. Supponiamo che esperimenti di assorbimento ottico mostrino
prima un picco di assorbimento isolato a $\hbar\omega_{12}$ e poi, al
crescere dell'energia dei fotoni incidenti un continuo di assorbimento
per $\omega> \omega_2> \omega_{12}$.

{\bf Nota:} In questo esercizio si richiedono valutazioni numeriche
per tutte le risposte.

\bigskip 

{\bf 1.} Sapendo che $\hbar\omega_2=0.0463 eV$ si ricavi la costante
dielettrica $\epsilon$ del Si.

{\bf 2.} Si calcoli il raggio di Bohr efficace in \AA\ del livello
accettore responsable della transizione con energia $\hbar\omega_2$.

{\bf 3. } Si calcoli in eV l'energia $\hbar\omega_1$ dell'altro
livello accettore.

{\bf 4.} Si calcoli in \AA\ il raggio di Bohr dell'altro del livello
accettore.

{\bf 5.} Si calcoli in eV $\hbar\omega_{12}$.

{\bf 6.} Quanto vale approssimativamente la densit\`a massima di
accettori $n_c$ in $cm^{-3}$ perch\`e l'approssimazione idrogenoide
rimanga valida?

{\bf 7.} Se si considera che al raggiungimento della densit\`a $n_c$
le buche dei donori si sleghino e formino un gas di elettroni, quanto
vale il $k_F$ di questo gas di elettroni?

\newpage

\section{\ * Impurezze bivalenti}

\bigskip

Si consideri un semiconduttore con costante dielettrica
$\epsilon=12.5$ e massa efficace in conduzione $m=0.067m_e$, drogato
con pochi donori bivalenti, che quindi possono essere considerati
indipendenti. Si ricorda che l'energia di legame totale dell'atomo di
$He$ \`e $E=5.81Ry$.

\bigskip

\begin{enumerate}

\item Si dia l'espressione ed il valore (in eV) dell'energia di legame
$\varepsilon_1$, rispetto alla banda di conduzione, per un singolo
elettrone sul donore.

\item Si dia l'espressione ed il valore (in eV) dell'energia di legame
$\varepsilon_2$ per l'aggiunta al donore di un secondo elettrone.

\item Si valuti il raggio di Bohr (in $\AA$) efficace dell'impurezza
con un solo elettrone e si dica se l'approssimazione ``idrogenoide''
\`e ragionevole. Ci si aspetta che con due elettroni la situazione sia
peggiore o migliore?

\item Si calcoli l'occupazione media di questi centri donori
(indipendenti) facendo l'opportuna media. Quanto vale a $T=0$?

\item Si determini la posizione del potenziale chimico per
$T\rightarrow 0$, sapendo che ci sono solo i donori in questione.

\item Se $N_d$ \`e la densit\`a dei droganti donori e si aggiungono
anche dei droganti accettori (monovalenti) con densit\`a $N_a=N_d$,
dove si posiziona il potenziale chimico per $T\rightarrow 0$?

\end{enumerate}

\newpage

\section{\ * Conducibilit\`a da impurezze}

\bigskip

Si consideri il semiconduttore cristallino GaAs (arseniuro di gallio).
Si tratta di un semiconduttore a gap diretta ($E_g\simeq 1.52\ eV$ a
$T$ ambiente: si trascuri la dipendenza di $E_g$ da $T$). La banda di
conduzione ha una massa efficace misurata di $m_c=0.068m_e$ e quella
di valenza $m_v=0.41m_e$. La costante dielettrica misurata \`e
$\epsilon=14.6$.

Si assuma di drogare il semiconduttore con dei donori e si supponga di
poter descrivere lo stato degli elettroni in eccesso cos\`\i\
introdotti usando il modello {\it idrogenoide}.

\bigskip

{\bf 1.} Si calcoli l'energia di legame $E_d$ (in eV) degli elettroni
di eccesso rispetto al fondo della banda di conduzione.

{\bf 2.} Si calcoli il raggio di Bohr efficace $a_B^*$ (in $\AA$) di
tali elettroni, assumendo che ciascuno sia nel livello fondamentale
{\it idrogenoide} centrato su un donore.

{\bf 3.} Il valore ottenuto per $a_B^*$ \`e compatibile con il modello
idrogenoide utilizzato?

{\bf 4.} Si assuma che quando la distanza media tra i centri donori
diventa paragonabile ad $a_B^*$ gli elettroni si {\it schermino}
vicendevolmente, cessando di essere legati e finendo in banda di
conduzione. Per quale valore critico della densit\`a $n_{cr}$ di
donori (elettroni) questo avviene? Si dia $n_{cr}$ in $cm^{-3}$.\\~
[Si suggerisce di scrivere la densit\`a media di donori/elettroni come
$n_d=[(4\pi/3)a^3]^{-1}$ e di prendere $a$ come misura della distanza
media tra donori. Altri possibili modi di stimare $n_{cr}$ non sono
peraltro scoraggiati.]

{\bf 5.} Si stimi la densit\`a di portatori ($n_c+p_v$, in $cm^{-3}$)
a $T=10K^o$ nel semiconduttore puro (senza drogaggio) utilizzando i
dati forniti nel preambolo.

{\bf 6.} Confrontando le densit\`a di portatori ottenute al punto 4 e
al punto 5, si dica se a $T= 100K^o$ e per $n_d>n_{cr}$ il
semiconduttore drogato \`e in regime estrinseco (dominato dal
drogaggio) o intrinseco.

{\bf 7.} A $T=0$ e per una densit\`a di donori $n_d>n_{cr}$, l'$GaAs$
drogato \`e un isolante, un semiconduttore o un metallo? E perch\`e?

\newpage

\section{* Semiconduttore drogato}

\bigskip

Si consideri un semiconduttore che in regime intrinseco abbia una gap
$E_g=1.1200eV$. Si sa inoltre da esperimenti di risonanza di
ciclotrone a $B=1000$gauss che gli elettroni alla sommit\`a della
banda di valenza hanno $\omega_c=3.59 \times 10^{10}$ cicli e gli
elettroni al fondo della banda di conduzione $\omega_c=5.18 \times
10^{10}$ cicli. Si sa inoltre che la soglia di fotoassorbimento del
semiconduttore drogato con soli donori \`e a 0.0338 eV. Sia la banda
di conduzione che quella di valenza hanno dispersione sferica
all'estremo.

\bigskip

{\bf 1.} Si dica qual \`e la massa efficace in valenza, in unit\`a di
$m_e$.

{\bf 2.} Quanto vale (in eV) l'energia di legame del livello donore?

{\bf 3.} Quanto vale la costante dielettrica?

{\bf 4.} Si calcoli il raggio di Bohr efficace $a^*_B$ del livello
donore (in unit\`a di $a_B$).

{\bf 5.} Si dica se l'approssimazione idrogenoide \`e ragionevole nel
trattare tale donore, motivando in dettaglio la risposta.

{\bf 6.} Quanto vale la massa efficace in valenza?

{\bf 7.} A che energia comincerebbe il fotoassorbimento in un campione
(i) drogato con soli accettori e (ii) drogato con accettori e donori?

{\bf Nota:} Si diano le valutazioni numeriche con 5 cifre
significative.

\newpage

\section{* Elettroni in pozzi quantistici a base di GaAs/AlGaAs}

\bigskip

\`E possibile realizzare in laboratorio eterostrutture a base
GaAs/AlGaAs nelle quale si realizza un gas di elettroni (circa)
bidimensionale.

Si sa che la costante dielettrica di questi sistemi \`e
$\epsilon=12.5$. Inoltre esperimenti di risonza ciclotronica con un
campo $B=10^4gauss$ rivelano una frequenza di ciclotrone
$\omega_c=1.76\times 10^{11}s^{-1}$ per gli elettroni.

Si pu\`o assumere che gli elettroni in questione si muovano in un {\it
continuo} dielettrico.

\bigskip

{\bf 1.} Si valuti la massa efficace $m^*$ degli elettroni in unit\`a di
massa elettronica $m_e$.

{\bf 2.} Quanto valgono l'energia per elettrone $\varepsilon$ e l'energia
di Fermi $E_F$ (in eV) per tale gas di elettroni bidimensionale se la
densit\`a \`e $n=3.18\times 10^9 cm^{-2}$?

{\bf 3.} Quanto vale $T_F$ in K?

{\bf 4.} Si faccia una grafico qualitativo della funzione di Fermi in
funzione dell'energia per $0\leq E\leq 0.1 eV$, riportando $f(E)$ come
funzione di $E/E_F$.

{\bf 5.} L'importanza dell'interazione tra gli elettroni pu\`o essere
misurata dal rapporto $\gamma$ tra (i) l'energia potenziale di due
elettroni alla tipica distanza media $a= \sqrt{1/(\pi n)}$ e (ii)
l'energia di Fermi $E_F$. Quanto vale $\gamma$ in questo gas di
elettroni?

\newpage

\section{\ * Trasferimento di carica in pozzi quantici accoppiati}

\bigskip

Si considerino due pozzi quantici simmetrici strettamente
bidimensionali a distanza $d$.

[Ciascun pozzo quantico intrappola gli elettroni costringendoli a
muoversi esclusivamente in un piano. Il primo pozzo (A) pu\`o essere
schematizzato come il piano ortogonale all'asse $z$ e passante per
$z=0$, il secondo (B) \`e parallelo al primo e passa per
$z=d$. Inizialmente ciascun piano \`e neutro con una densit\`a areale
(di numero) di elettroni $N/A=\rho$ neutralizzata da un sostrato
uniforme di carica positiva con densit\`a (areale di carica)
$e\rho$. Si noti che i due sostrati sono fissi, mentre gli elettroni
possono trasferirsi da un piano all'altro.]

Senza perdita di generalit\`a considereremo la possibilit\`a che
elettroni si trasferiscano da B ad A. Le distribuzioni di densit\`a
elettroniche rimangono sempre uniformi in ciascun piano.

\bigskip 

{\bf 1.} Si dica qual \`e la variazione di energia elettrostatica per
unit\`a di area $E_H(n,d)$ causata dal traferimento di $n \leq \rho$
elettroni (per unit\`a di area) da B as A. [Suggerimento: il
traferimento di carica porta ad una densit\`a di carica netta $-en$
sul piano A e $+ en$ sul piano B. Si consideri l'energia immagazzinata
dal campo per unit\`a di area, o equivalentemente il lavoro per
unit\`a di area necessario a separare i due piani carichi da distanza
0 a distanza $d$.]

{\bf 2.} In Hartree-Fock gli elettroni in ciascun piano interagiscono
tra di loro con una energia per unit\`a di area della forma
$E_I(\rho_I)=C\rho_I^2 -D\rho_I^{3/2}$, I=A, B, con $C= e^2\pi a_B/2$
e $D=e^2 (4/3)\sqrt{2/\pi}$; evidentemente $\rho_B=\rho-n$ e
$\rho_A=\rho+n$. Si scrivano le energie per unit\`a di area dovuta
alle interazioni nei due piani $E_A(\rho+n)$ e $E_B(\rho-n)$.

{\bf 3.} Si scriva l'energia totale per unit\`a di area
$E_T(\rho,n,d)=E_A+E_B+E_H$

{\bf 4.} Si scriva (i) il cambiamento in energia totale corrispondente
al trasferimento di carica da B ad A $\Delta(\rho,n,d)=E_T(\rho,n,d)
-E_T(\rho,0,d)$ e (ii) si consideri poi in particolare il caso di
trasferimento totale $n=\rho$ ovvero si calcoli
$\Delta_t=\Delta(\rho,\rho,d)$.

{\bf 5.} Per fissata distanza $d$ ci sono situazioni nelle quali il
trasferimento totale \`e energeticamente favorevole (cio\`e $\Delta_t
<0$)? Se s{\'\i,} si specifichi la condizione che deve essere
soddisfatta dalla densit\`a $\rho$.

{\bf 6.} Nell'ipotesi di risposta affermativa al punto precedente si
consideri il caso particolare nel quale $d=200\AA$ e il raggio di Bohr
efficace $a_B=100\AA$ e si stimi la densit\`a massima $\rho^*$ (in
$cm^{-2}$) alla quale il trasferimento pu\`o essere osservato.

{\bf 7.} Quanto vale il raggio $r_s^*$ del disco di Wigner
corrispondente alla densit\`a del punto precedente? [ $\pi (r_s^*
a_B)^2=\rho^{*-1}$]

\newpage

\section{\ * Propriet\`a di molecole con stato eccitato di tripletto.}

\bigskip

Si considerino delle molecole con uno stato eccitato di tripletto ad energia
di $\Delta$ superiore allo stato fondamentale di singoletto. Entrambi gli
stati hanno momento angolare orbitale nullo. Tutti gli altri stati eccitati si
possono trascurare alle temperature di interesse. Si immagini un gas non
interagente di tali molecole a temperatura $T$.

\bigskip  

\begin{enumerate}
 
\item Si scriva l'energia libera di Helmoltz per molecola di tale gas, in
presenza di un campo magnetico ${\bf B}=B\hat{z}$. 

\item Si calcoli la magnetizzazione media per molecola.

\item Si calcoli la suscettivit\`a magnetica   molecolare.

\item Si diano espressioni limite per la suscettivit\`a magnetica quando (i)
$\beta\Delta\ll 1$ e (ii) $\beta\Delta\gg 1$.

\item Si calcoli l'entropia per molecola a campo $B=0$  e si provi a farne un
grafico qualitativo in funzione di $K_BT/\Delta$.

\item Si calcoli il calore specifico molecolare e se ne dia un grafico
qualitativo in  funzione di $K_BT/\Delta$.

\end{enumerate}

\newpage

\section{\ * Magnetismo del gas di elettroni e condizione di Stoner.}

\bigskip

Un gas di elettroni omogeneo in 3 dimensioni \`e immerso in un campo
magnetico $B$ nella direzione $z$. Si consideri uno stato nel quale
$N_+$ elettroni hanno proiezione di spin positiva (lungo $z$) e $N_-$
negativa e si definisca la polarizzazione di spin $\zeta=(N_+-N_-)/N$
con $N=N_++N_-$. L'energia di ciascuna componente di spin
($\sigma=\pm$) consta di 3 contributi: (i) l'energia cinetica
$N_{\sigma}(3/5)(\hbar^2 K_{F,\sigma}^2)/(2m)$, (ii) l'energia di
scambio $N_{\sigma}(3 e^2 K_{F,\sigma})/(4 \pi)$, e l'energia di
accoppiamento tra i momenti magnetici di spin e il campo $B$;
evidentemente $K_{F,\sigma}$ \`e il vettore d'onda di Fermi delle
componente di spin con proiezione $\sigma$.

\bigskip  

\begin{enumerate}

\item Si scriva l'energia degli elettroni con spin in su.

\item Si scriva l'energia degli elettroni con spin in gi\`u.

\item Si scriva l'energia totale e si dia la condizione che determina
la polarizzazione d'equilibrio ad $N$ e $V$ costanti.

\item Si specializzi la condizione di cui al punto precedente al caso
$\zeta \ll 1$ e si dia una formula esplicita per lo $\zeta$
d'equilibrio.

\item Si dica per quali valori di $r_s$, considerando dei $B$ di circa
$10^4$ gauss, lo $\zeta$ trovato al punto precedente risulta
effettivamente piccolo.
 
\item Qual \`e la condizione per la quale lo stato con $\zeta=0$
diventa instabile (un massimo!).

\end{enumerate}

\newpage

\section{Calore specifico in un ferromagnete di Heisenberg}

\bigskip

Si consideri un ferromagnete di Heisenberg in 3 dimensioni, in assenza
di campi magnetici esterni. Gli spins abbiano {\it grandezza $S$} e
siano posti su un reticolo BCC con parametro reticolare $a_L$. Si
assumano interazioni di scambio {\it a soli primi vicini}, con
costante di accoppiamento di scambio $J$.

\begin{enumerate}

\item Si considerino eccitazioni dallo stato fondamentale nella forma
di onde di spin. Si trovi la dispersione delle energie di eccitazione
per piccoli valori del vettore d'onda ${\bf k}$, scrivendo
esplicitamente l'energia di eccitazione $\epsilon({\bf k})$ dell'onda
di spin in funzione di $S, a_L, J, k$.

\item { Si consideri il calore specifico per unit\`a di volume, a
volume costante, $c_v^M$, derivante dalle eccitazioni magnetiche, {\it
nel limite di basse temperature}, assumendo che le eccitazioni di
bassa energie siano dovute ad onde di spin e abbiano la forma trovata
al punto precedente.\\ Si esprima $c_v^M$ in termini di $S, a_L, J,
K_B, T$. [{\sl Nota: il problema \`e assai simile a quello del calore
specifico a basse temperature dovuto alle vibrazioni reticolari,
laddove si considerino le onde di spin ( o magnoni) al posto dei
fononi.}] }

\item Si dia per noto il calore specifico reticolare $c_v^L$ a basse
temperature [in termini di $K_B, T, \hbar, c$, con $c$ l'opportuno
valor medio della velocita del suono].\\ Assumendo che il cristallo in
questione sia un isolante e che il calore specifico totale $c_v
=c_v^M+c_v^L$, derivi dai soli contributi reticolare e magnetico, si
stimi a quale temperatura $T^*$ [espressa in termini di $K_B, \hbar,
c, S, a_L, J$] si ha $c_v^M=c_v^L$.
 
\item Con riferimento al punto 3, si dica quale condizione deve essere
soddisfatta dalla temperatura affinch\'e il calore specifico magnetico
domini su quello reticolare e sia quindi facilmente osservabile.

\end{enumerate}

\bigskip

{\bf Nota:} La funzione zeta di Rieman, $\zeta(s) =
\sum_{1,\infty} n^{-s}$, $n$ intero, si pu\`o trovare tabulata nel
libro: Jahnke-Emde-L\"osche, {\it Tables of higher functions},
McGraw-Hill, NY 1960.

\newpage

\section{* Instabilit\`a di Peierls in un conduttore unidimensionale}

\bigskip

Si consideri un sistema di ioni ed elettroni costretti a muoversi su
una linea. Gli ioni sono di carica unitaria e c'\`e un elettrone per
ione, cos\`\i\ che il sistema \`e globalmente neutro. Si supponga che
gli ioni siano nelle posizioni $X_n^0=na$ e che si conoscano i livelli
di energia elettronici $\epsilon^0(q)$. Per semplicit\`a assumeremo
$\epsilon^0(q)=\hbar^2q^2/2m$. Nello stato fondamentale sono occupati
i livelli con $|q|\leq q_F$, con $q_F=\pi/2a$ e l'energia per
elettrone risulta essere $E_e^0=\epsilon_F/3$.

Si consideri una deformazione del reticolo 
\begin{eqnarray*}
X_n&=&X_n^0+u(n),\cr
u(n)&=&\Delta\, cos(2q_Fna)=\Delta\, cos(\pi n)
\end{eqnarray*}
dove $\Delta$ \`e un parametro.

\bigskip

{\bf 1.} Qual \`e la periodicit\`a del reticolo deformato?

{\bf 2.} Si calcoli la variazione di energia ione-ione (per ione)
$E_a$, descrivendo l'interazione tra gli ioni come dovuta a molle di
costante elastica $C$ (e lunghezza a riposo $a$), che uniscono
ciascuno ione ai suoi primi vicini.

{\bf 3.} La deformazione reticolare induce un potenziale addizionale
elettrone-ione della forma
\begin{eqnarray*}
U_{ei}&=&2A\Delta cos(2q_F x)=A\Delta(e^{i 2q_Fx} +e^{-i 2q_Fx}).
\end{eqnarray*}
$U_{ei}$ accoppia stati con vettori d'onda che differiscono di 
$2q_F\equiv G_1$, con ampiezza $U_{G_1}=A\Delta$.

Nello schema a due livelli, ogni autovalore $\epsilon^0(q)$ d\`a luogo
a due livelli perturbati. Evidentemente ad ogni $q$ gli elettroni
occuperanno il livello pi\`u basso $\epsilon(q)\equiv \epsilon_-(q)$.
Si calcoli l'energia per elettrone nel reticolo deformato
\begin{eqnarray*}
E_e=\frac{1}{q_F}\int_0^{q_F} dq \; \epsilon(q).
\end{eqnarray*}
(Per valutare agevolmente l'integrale si suggerisce di passare alla
variable $y=q_F-q$).

{\bf 4.} Si determini il $\Delta^*$ di equilibrio minimizzando
l'energia totale $E(\Delta)=E_a+E_e$ rispetto a $\Delta$, ovvero
imponendo
\begin{eqnarray*}
\frac{dE(\Delta)}{d\Delta}=0.\cr
\end{eqnarray*}

{\bf 5.} Si sfrutti l'espressione di $\Delta^*$ per mostrare che
$E(\Delta^*)-E(0)<0$. Questo dimostra che il sistema con deformazione
ha energia pi\`u bassa e quindi \`e lo stato d'equilibrio. Il sistema
con deformazione \`e un metallo o un isolante?

{\bf 6.} Si semplifichi l'espressione di $\Delta^*$ assumendo che
$C\epsilon_F/A^2$ sia molto maggiore di uno, cos\`\i\ che $\sinh(x)
\approx e^x/2$. Si riscriva poi la quantit\`a $C\epsilon_F/A^2$ in
termini della densit\`a di stati in $ q$ al livello di
Fermi, $N_0= g(\epsilon_F)/2$, e del potenziale efficace
elettrone-elettrone $V_0= A^2a/2C$. L'espressione trovata ricorda
qualcosa?

{\bf Note:}

{\bf 1.} Si ricorda che: $\int dt \; \sqrt{1+t^2}= (1/2)[t\sqrt{1+t^2}
+ \mbox{arcsinh}(t)]$, e $(d/dx)\mbox{arcsinh}(x) = 1/\sqrt{1+x^2}.$

{\bf 2.} Si ricorda che in $D$ dimensioni la densit\`a di stati di
elettroni liberi \`e $$g(\epsilon)=\frac{Dn}{2
\epsilon_F}\left[\frac{\epsilon}{\epsilon_F}\right]^{D/2-1},$$ con $n$
la densit\`a.

\newpage

\section{* Superconduttori}

\bigskip
Si consideri un metallo che ha un calore specifico elettronico a basse
temperature $c_v=\gamma T$, con $\gamma=4.4 10^{-4} cal-mole^{-1}
K^{-2}$ e temperatura di debye $\Theta=170 K$. Si sa inoltre che il
metallo diventa superconduttore a $T=3.72 K$

\bigskip

{\bf 1.} Si calcoli la densit\`a di stati elettronica alla superficie
di Fermi ($cm^{-3}eV^{-1}$).

{\bf 2.} Quanti cicli vale la frequenza di Debye $\omega_D$?

{\bf 3.} Quanto vale (in teoria BCS) $V_0$, l'attrazione media tra
elettroni, in eV$cm^3$?

{\bf 4.} Quanto vale la gap di energia del superconduttore a $T=0$, in
eV?

{\bf 5.} Sapendo che la massa efficace degli elettroni \`e 1 (in
unit\`a di $m_e$), si stimi la lunghezza di correlazione nella fase
superconduttrice a $T=0$.

\newpage

\section{* Onde elettromagnetiche in un superconduttore}

\bigskip

Si consideri un superconduttore nel modello a due fluidi, secondo il quale
c'e' una frazione di elettroni superconduttori con densit\`a $n_S$ ed una
frazione di elettroni normali con densit\`a $n_N$. Evidentemente $n=n_S+n_N$ e
${\bf j}= {\bf j}_S+{\bf j}_N$. Per la corrente normale vale la solita
relazione  ${\bf j}_N = \sigma_0 {\bf E}$ mentre per quella superconduttrice 
vale la la relazione di London \& London. Nel seguito si chiede di ricavare 
la relazione di dispersione per la propagazione  di onde 
elettromagnetiche nel superconduttore.

\bigskip\bigskip

\begin{enumerate}


\item Si scrivano le equazioni di Maxwell in termini di ${\bf E}$ e ${\bf B}$,
trascurando in quella per il rotore di ${\bf B}$ il termine di
magnetizzazione. 
 
\item Si scriva l'equazione delle onde in termini del campo ${\bf B}$, dando
la condizione (di dispersione) che deve essere soddisfatta per onde piane.

\item Utilizzando l'espressione di Drude per la conducibilit\`a statica si 
esprima la relazione di dispersione in modo da far apparire la frequenza di
plasma.

\item  Sotto quale condizione il contributo degli elettroni normali pu\`o
essere trascurato?

\item Scrivendo la relazione di dispersione come una relazione per
$q^2c^2$ dove $q$ \`e il vettore d'onda dell'onda e $c$ la velocit\`a
della luce si stimi l'ordine di grandezza dei vari contributi a
$q^2c^2$, in $s^{-2}$, usando valori tipici per la lunghezza di London
a densit\`a metalliche, e ricordandosi che la propagazione delle onde
nel superconduttore non deve distruggere la superconduttivit\`a. Si
consideri $n_S=n/2$.
 
\end{enumerate}

\newpage

\section{\ * Penetrazione del campo magnetico in un superconduttore}

\bigskip

Si consideri un superconduttore, che occupa la regione di spazio
$|z|\leq d$, immerso in un campo magnetico uniforme $B_0\hat
x$. Evidentemente $d$ sar\`a molto maggiore della lunghezza di London
$\Lambda$.

\bigskip

\begin{enumerate}

\item Si scriva l'equazione soddisfatta dal campo all'interno della
regione superconduttrice.

\item Sfruttando le condizioni di continuit\`a del campo ${\bf B}$
alle superfici di separazione tra vuoto e regione superconduttore, si
determini il campo ${\bf B}$ all'interno del superconduttore e se ne
faccia un grafico qualitativo.

\item Si calcoli la densit\`a di corrente all'interno del
superconduttore e se ne faccia un grafico qualitativo.

\item Si dia l'espressione della magnetizzazione all'interno del
superconduttore.

\item Considerazioni elementari mostrano che, in presenza di un campo
magnetico $B$ minore del campo critico, l'energia libera di un
volumetto di superconduttore \`e pi\`u grande che in assenza del campo
stesso della quantit\`a $B({\bf r})^2 d{\bf r}/(4\pi)$. Si dica di
quanto \`e la crescita di energia libera per unit\`a di volume per il
superconduttore in questione.

\item Si dia il valore medio della magnetizzazione nel superconduttore
in questione.

\end{enumerate}

\newpage

\section{\ Coppia di Cooper in onda p}

\bigskip
Si consideri di aggiungere 2 elettroni ad un metallo normale. Il
metallo normale \`e descritto con il modello di Sommerfeld, di
elettroni non interagenti, che occupano tutte le onde piane
all'interno della sfera di Fermi.

Si consideri la funzione d'onda dei 2 elettroni aggiunti che soddisfa
l'equazione
$$
\left[-\frac{\hbar^2 \nabla^2_1}{2m} -\frac{\hbar^2 \nabla^2_2}{2m} 
+V({\bf r_1}-{\bf r_2}) -E\right]\Psi({\bf r_1},{\bf r_2})=0.
$$
 
L'equazione in questione \`e separabile nelle variabili del centro di
massa ${\bf R} =({\bf r}_1+{\bf r}_2)/2$ e del moto relativo ${\bf r}
={\bf r}_2-{\bf r}_1$. Il moto del centro di massa \`e libero. Quindi
si pu\`o porre $\Psi({\bf r}_1,{\bf r}_2) =\exp(i{\bf Q}\cdot{\bf R})
\phi({\bf r})$. Evidentemente lo stato fondamentale corrisponde a
$Q=0$, che implica $\Psi_0({\bf r_1},{\bf r_2})=\phi_0({\bf r}) $

\bigskip

{\bf 1.} Si scriva l'equazione di Schr\"odinger soddisfatta da
$\phi_0({\bf r}) $ nella rappresentazione delle onde piane, ovvero
l'equazione soddisfatta dai cofficienti $g({\bf k})$, $\phi_0({\bf r})
=\sum_{\bf k}g({\bf k}) exp(i{\bf k}\cdot{\bf r})$. Si assuma che
$\langle{\bf q}| V|{\bf k}\rangle = -V_1 \hat{q}\cdot\hat{k}$, per
onde piane con energie $\epsilon_F \leq \epsilon^{(0)}(q \leq
\epsilon_F +\hbar\omega_D$, dove $\omega_D$ \`e una tipica frequenza
di Debye.

{\bf 2.} Si dica quale simmetria abbia $g({\bf k})$ rispettivamente
per lo stato di singoletto e per lo stato di tripletto.

{\bf 3.} Si dica quale \`e l'energia minima dello stato di singoletto.

{\bf 4.} Per il tripletto, utilizzando la formula di addizione
riportata in calce e sviluppando $g({\bf k})$ in armoniche sferiche,
$g({\bf k})=\sum_{l}\sum_{m=-l}^l g_{lm}(k)Y_{lm}(\hat{k})$ si dica
quali $g_{lm}(k)$ sono non nulli e si scriva l'equazione
autoconsistente da essi soddisfatta.

{\bf 5.} La condizione per la quale l'equazione precedente risulta
soddisfatta determina l'energia dello stato fondamentale: si calcoli
tale energia introducendo la densit\`a di stati (per proiezione di
spin) e approssimandola nell'integrale con il suo valore al livello di
Fermi, $n_0$.

{\bf 6.} Si approssimi la formula precedente nel caso in cui
$V_1n_0\ll 1$.

{\bf 7.} Prendendo per $\omega_D$ una tipica frequenza fononica ed
assumendo che $V_1n_0\simeq 0.5$ si dica quanto vale (in eV) l'energia
di legame della coppia definita come $\varepsilon =2\epsilon_F -E$.

{\bf Nota:} La formula di addizione esprime l'angolo tra due direzioni
assegnate in termini delle armoniche sferiche:
$$
\hat{q}\cdot\hat{k} =\frac{4 \pi}{3}\sum_{m=-1}^1
Y_{1,m}^*(\hat{q})Y_{1,m}(\hat{k})=\frac{4 \pi}{3}\sum_{m=-1}^1 Y_{1,m}^*
(\hat{k})Y_{1,m}(\hat{q})$$

\end {document}