> Ho un campo magnetico uniforme che varia nel tempo, vale a dire dB/dt > ha lo stesso valore in tutti i punti dello spazio fino all'infinito. > Come si dispongono le linee del campo elettrico indotto? > Ho una distribuzione di carica uniforme in tutto l'universo. Come si > dispongono le linee del campo elettrico?Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali alle derivate parziali, e come tali le loro soluzioni non sono univocamente determinate se non si specificano le condizioni al contorno. Nella quasi totalità dei casi questa difficoltà viene evitata supponendo che i campi si annullino all' infinito, cosa che nei casi di cui sopra è evidentemente impossibile. Landau scripsit1: "[...] considerando un campo magnetico come uniforme in tutto lo spazio, è impossibile, in linea di massima, determinare il campo elettrico generato dalla variazione di H, perché esso dipende in realtà da condizioni concrete all'infinito". Bisognerebbe in effetti fissare delle condizioni sul valore di B e E all'infinito; queste rompono la simmetria ed i campi rimangono determinati.
Devo ammettere che non mi è del tutto chiaro come tradurre questo ragionamento nel formalismo integrale. Si può comunque vedere la cosa scrivendo la soluzione delle equazioni di Maxwell in presenza di sorgenti nella forma di Kirchhoff2, vale a dire (sistema di Gauss):
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(ed analogamente per il potenziale vettore A), dove S è la superficie che delimita il volume W, scelto a piacere, e d/dn la derivata normale a S. Il primo integrale è il solito integrale dei potenziali ritardati, il secondo integrale contiene i campi ma non le sorgenti ed in qualche modo assorbe le condizioni al contorno. Se il bordo viene spinto all' infinito e inoltre si assume che i campi all' infinito si annullino allora rimane il solo familiare termine dei potenziali ritardati. Ma se questo non accade il risultato può dipendere crucialmente dalle condizioni al contorno.
Alternativamente, si possono considerare le equazioni d'onda per i potenziali:
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(e similmente per A) ed osservare che la soluzione è data, come per tutte le equazioni differenziali lineari, dalla somma di (a) una soluzione particolare dell'equazione inomogenea con (b) la soluzione generale dell' equazione omogenea associata. La parte (b) non contiene le sorgenti del campo e rappresenta perciò un' onda che viene "dall' esterno": in altre parole, contiene le condizioni al contorno. Anche qui la soluzione ne dipenderà in maniera decisiva, se non si possono assumere i potenziali come nulli all' infinito.
Bibliografia
1. Corso di Fisica Teorica II - Teoria dei Campi, Editori Riuniti, nota a piè di pagina al § 21.