Il corso consta di 9 CFU e si divide in due parti.

La prima parte introduce gli studenti alla teoria delle funzioni analitiche; in particolare, alla derivazione ed integrazione su campo complesso, agli sviluppi in serie di Taylor e Laurent, alla teoria dei residui ed alle sue applicazioni nel calcolo di integrali. Queste tecniche sono poi applicate alle trasformate di Fourier e Laplace e a una breve introduzione alla teoria delle distribuzioni con particolare riferimento alla delta di Dirac.

La seconda parte del corso e’ un’introduzione alla teoria degli operatori lineari sugli spazi di Hilbert. Dopo aver introdotto i concetti di prodotto scalare e di completezza in norma per gli spazi vettoriali, verranno definiti i concetti di operatore aggiunto ed autoaggiunto, di operatore di proiezione, di spettro e di rappresentazione spettrale.

Programma:

1. Funzioni analitiche

1.1 Campo complesso

1.2 Funzioni analitche: condizioni di Cauchy-Riemann

1.3 Integrazione su campo complesso: rappresentazione integrale di Cauchy

1.4 Sviluppi in serie di Taylor e Laurent: zeri e punti singolari di funzioni analitiche

1.5 Teoria dei residui: lemma di Jordan ed applicazioni

1.6 Trasformate di Fourier e Laplace

1.7. Cenni di teoria delle distribuzioni: delta di Dirac

2. Spazi di Hilbert

2.1 Spazi vettoriali: prodotti scalari e norme

2.2 Spazi di Banach: competezza in norma

2.3 Spazi di Hilbert: completezza e basi ortonormali

2.4 Operatori limitati lineari su spazi di Hilbert: operatori aggiunti ed autoaggiunti

2.5 Spettro di un operatore e teorema spettrale

Testi di rifermimento

E.B. Saff, A.D. Snider: Fundamental of Complex Analysis, Prentice-Hall 1976

F. Bagarello: Fisica Matematica, Zanichelli 2007