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 \begin{document}
 \parindent=15pt

 \title{APPUNTI DI ELETTRODINAMICA PER IL CORSO DI FISICA 4 - CdS IN
 MATEMATICA$^1$}

 \thanks{Disponibili su\\
 http://www-dft.ts.infn.it/\~\,esmargia/physics/fis4.tex,
 http://www-dft.ts.infn.it/\~\,esmargia/physics/fis4.tex}

 \author{E. Smargiassi\\ Dipartimento di Fisica
 dell'Universit\`a di Trieste\\\\ Telefono 040.22.40.414\\ E-mail:
 smargiassi@ts.infn.it} \date{}

 \maketitle

 %\begin{abstract}
 %\end{abstract}

 \tableofcontents

 \chapter{Richiami di elettrostatica}
 \label{elettrostatica}

 \section{Carica elettrica e campo elettrico}

 A tutti i corpi pu\`o essere assegnata una grandezza, eventualmente
 nulla, chiamata {\sl carica elettrica}, in funzione della quale essi
 si attraggono o si respingono. Esistono due tipi di carica elettrica,
 la positiva e la negativa; cariche di segno uguale si respingono,
 cariche di segno opposto si attraggono. Nel Sistema Internazionale
 (SI) di misura l'unit\`a di misura della carica \`e il {\sl Coulomb}
 (C), la cui definizione precisa \`e data nel par.\ref{legge_ampere}.
 La forza elettrica, nel vuoto, risulta dipendere, tra cariche in
 quiete relativa, esclusivamente dalla posizione delle cariche e dal
 loro valore.

 La carica elettrica \`e {\sl quantizzata}, ovvero si presenta sotto
 forma di ``granuli'' non ulteriormente divisibili. Tutte i valori
 delle cariche sono dunque multipli della carica elettrica $-e =
 -1.6022\ 10^{-19}$ C dell'elettrone\footnote{Escludiamo qui la carica
 dei costituenti di protone e neutrone, i {\sl quark}, che in modulo
 vale $e/3$, in quanto tali particelle non sono osservabili
 singolarmente e non sono quindi di interesse per questo corso.}, od
 $e$ del protone. Data per\`o la piccolezza di questa carica
 elementare, possiamo, in ogni problema macroscopico, trattare la
 carica come fosse una distribuzione continua senza praticamente
 commettere errori. Per questo definiamo anche una {\sl densit\`a di
 carica} $\rho({\bf r},t)$, ovvero la carica per unit\`a di volume, che
 supporremo una funzione regolare delle coordinate e del tempo.

 Gli elettroni sono solitamente i portatori della carica elettrica, in
 quanto sono le particelle pi\`u mobili. Va tenuto presente che in
 taluni casi, come nelle soluzioni elettrolitiche, anche gli atomi
 dotati di un elettrone in pi\`u od in meno del normale, e dunque
 carichi ({\sl ioni}), fungono da portatori di carica.

 Il problema dello studio dell' interazione elettrica e dei suoi
 effetti pu\`o essere diviso in due parti distinte:

 \begin{itemize}

 \item Si definisce in ogni punto dello spazio e ad ogni tempo un
 campo, detto {\sl campo elettrico} ed indicato con ${\bf E}$, generato
 dalle cariche elettriche;

 \item Si studia poi l'effetto di questo campo sul moto delle cariche.

 \end{itemize}

 Siccome la forza dipende solo dalla posizione della carica ed \`e
 proporzionale al valore della carica stessa, si pu\`o {\sl definire}
 il campo come la forza sentita da una carica di prova $q$ divisa per
 la $q$ stessa, ovvero

 \begin{equation}
 {\bf E} = {\bf F}/q \Leftrightarrow {\bf F} = q {\bf E}
 \label{florentz_elettrica}
 \end{equation}

 \noindent dove {\bf E} dipende solo dalle altre cariche presenti,
 supponendo che $q$ sia abbastanza piccola da non influenzarne la
 disposizione. Il campo {\bf E} si misura in N C$^{-1}$, un' unit\`a
 detta anche, pi\`u spesso, Volt/metro (V m$^{-1}$). Unendo la
 \ref{florentz_elettrica} con la seconda legge di Newton il problema
 di trovare il moto di cariche soggette ad un campo elettrico dato \`e
 in linea di principio risolto.

 \subsection{Le leggi di Gauss e di Coulomb}

 Rimane da stabilire come si determina il campo. Nel caso di due punti
 materiali reciprocamente a riposo, dotati di cariche di valore $q_1$ e
 $q_2$, la forza elettrica che si esercita tra di essi \`e data
 dall'espressione\footnote{In queste note usiamo la diffusa convenzione secondo
 la quale il ``cappelletto'' posto su di un vettore (${\bf \hat v}$) indica
 che si tratta di un versore, cio\`e di un vettore di modulo
 unitario. \`E chiaro che ${\bf v} = v {\bf \hat v}$ e ${\bf v}/v = {\bf \hat
 v}$.}

 \begin{equation}
 {\bf F} = \frac{q_1 q_2}{4\pi\epsilon_0 r^2}{\bf \hat r}
 \label{coulomb_forza}
\end{equation}

 \noindent detta {\sl legge di Coulomb}. Ne segue che il campo generato
 da una carica puntiforme $q$ \`e dato da

 \begin{equation}
 {\bf E} = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}{\bf \hat r}.
 \label{coulomb_campo}
\end{equation}

 In queste equazioni compare la costante empirica $\epsilon_0$, detta
 {\sl costante dielettrica del vuoto}, che vale $8.854\ 10^{-12}$
 N$^{-1}$ m$^{-2}$ C$^2$. Il problema della generazione del campo si
 riformula esprimendo la legge di Coulomb (e si vedr\`a che questa
 espressione \`e anche pi\`u generale) nella forma di Gauss tramite il
 {\sl flusso del campo elettrico} $\Phi_E$ calcolato su di una
 superficie chiusa:

 \begin{equation}
 \Phi_E = \oint {\bf E \cdot} d{\bf S} = q/\epsilon_0
 \label{gauss_int}
 \end{equation}

 \noindent dove la carica $q$ \`e tutta e sola quella contenuta nella
 regione di spazio delimitata dalla superficie sulla quale si calcola
 il flusso di {\bf E}. In forma differenziale l'equazione \ref{gauss_int}
diventa

 \begin{equation}
 \nabla \cdot {\bf E} = \rho/\epsilon_0.
 \label{gauss_diff}
 \end{equation}

 \noindent Si vede subito che dalla legge di Gauss si ottiene la legge
 di Coulomb per una carica puntiforme o comunque a simmetria
 sferica. Si pu\`o anche far vedere che se vale la legge di Coulomb
 vale anche la legge di Gauss; le due quindi, nel caso statico, sono
 equivalenti.

 Si definiscono {\sl linee di campo elettrico} le linee che ad ogni
 punto hanno come tangente il vettore {\bf E}. Si tratta di linee
 orientate: il loro verso \`e dato dal verso del campo elettrico nel
 punto tangente. Si vede dalla legge di Gauss che le linee di campo
 iniziano sulle cariche positive e terminano su quelle negative (si
 ricordi che le superfici su cui si calcolano i flussi, se chiuse, sono
 sempre orientate verso l'esterno). In altre parole, iniziano e
 terminano solo nei punti in cui la divergenza di {\bf E} non \`e
 nulla. Il termine stesso ``divergenza'' nasce da qui.

 \subsection{Filo carico}
 \label{filo_carico}

 Un caso importante \`e quello di un filo rettilineo infinito
 uniformemente carico. Sia $\lambda$ la densit\`a di carica per unit\`a
 di lunghezza, allora in una sezione lunga $L$ vi sar\`a una carica
 $q=\lambda L$. Il campo, per simmetria, sar\`a radiale. Applicando la
 legge di Gauss ad un cilindretto con l'asse principale parallelo al
 filo, di lunghezza $L$ e avente raggio di base $r$, si ha allora

 \begin{equation}
 2 \pi r L E(r) = \oint {\bf E}(r) \cdot d{\bf S} = q/\epsilon_0 =
 \lambda L/\epsilon_0 \Rightarrow E(r) = \frac{\lambda}{2 \pi
 \epsilon_0 r}.
 \label{campoel_filo}
 \end{equation}

 La forza per unit\`a di lunghezza tra due fili identici paralleli
 distanti $s$ vale allora

 \begin{equation}
 F/L = \int_0^{\lambda L} E(s)\ dq/L = \int_0^L \frac{\lambda}{2 \pi
 \epsilon_0 s}\lambda\ dl/L = \frac{\lambda^2}{2\pi \epsilon_0 s}.
 \end{equation}

 Immaginiamo ora che i fili, che sono composti da circa $10^{25}$
 atomi per metro, presentino uno sbilanciamento di carica elettrica
 --- per esempio un eccesso di elettroni --- di una parte su
 $10^{9}$. Ovvero, dei circa $10^{25}$ elettroni che trasportano la
 corrente, ce ne siano $10^{16}$ in pi\`u di quelli necessari a
 controbilanciare la carica positiva dei nuclei degli atomi che
 compongono il filo. Questo sbilanciamento implica un eccesso di
 carica negativa pari a $\lambda = 1.6\ 10^{-19} \times 10^{16} = 1.6\
 10^{-3}$ C/m. In questo caso la forza per unit\`a di lunghezza tra
 fili distanti 1 m varrebbe circa $5\ 10^5$ N/m, corrispondente circa
 al peso di un corpo di massa 50 tonnellate per metro di filo. Basta
 quindi uno squilibrio piccolissimo tra cariche positive e negative
 per generare forze enormi.

 \subsection{Dipoli elettrici}

 Un sistema semplice ma importante \`e quello detto {\sl dipolo
 elettrico}. Si definisce {\sl momento di dipolo elettrico} di un
 sistema di $N$ cariche di carica $q_i$ e poste in ${\bf r}_i$, oppure
 di una distribuzione continua di densit\`a di carica $\rho({\bf r})$, la
 grandezza

 \begin{equation}
 {\bf p} = \sum_{i=1}^N q_i {\bf r}_i = \int {\bf r} \rho({\bf r})\
 d\Omega
\label{dipolo_def}
 \end{equation}

 \noindent che per due cariche uguali ed opposte distanti ${\bf d}$
 (vettore che punta dalla carica negativa alla positiva) diventa ${\bf
 p} = q{\bf d}$.

 Il momento di dipolo \`e semplicemente il secondo termine di un
 particolare sviluppo in serie del campo elettrico, detto {\sl sviluppo
 in multipoli}, in cui ogni termine decade via via pi\`u velocemente
 con la distanza. Il termine di ordine pi\`u basso \`e il termine di
 ``monopolo elettrico'', proporzionale a $Q/r^2$, dove $Q$ \`e la
 carica totale. Si dimostra che il campo di dipolo vale ${\left[3\bf (p
 \cdot \hat r) \hat r - p \right]}/4\pi \epsilon_0r^3$. Il campo
 elettrostatico di un sistema neutro pertanto, a grandi distanze, ha
 sempre quest'ultima forma.

 Si dimostra che il momento torcente che agisce su di un dipolo immerso
 in un campo elettrico uniforme {\bf E} vale

 \begin{equation}
 {\bf \tau = p \times E}
 \end{equation}

 \noindent e l'energia \`e

 \begin{equation}
 E = - {\bf p \cdot E}
 \label{energia_mom_el}
 \end{equation}

 \noindent e risulta ovviamente minima quando ${\bf p}$ ed ${\bf E}$
 sono paralleli.

 \section{Il potenziale elettrostatico}

 La legge di Gauss non \`e in generale sufficiente per determinare
 univocamente il campo elettrico (nei calcoli precedenti si sono dovute
 invocare altre considerazioni, principalmente di simmetria). Ci vuole
 una seconda equazione, e risulta che \`e sufficiente un'equazione che
 determini la circuitazione di {\bf E} o, equivalentemente, il suo
 rotore:

 \begin{eqnarray}
 \oint {\bf E \cdot} d{\bf l} &=& 0 \\
 {\bf \nabla \times E} &=& 0
 \end{eqnarray}

 La prima di queste equazioni \`e equivalente all'affermazione che
 l'integrale di linea di {\bf E}, a estremi fissati, \`e indipendente
 dal cammino. Queste equazioni dicono che {\bf E} \`e un campo
 {\sl conservativo}, ovvero derivabile da una funzione scalare detta
 {\sl potenziale elettrico} $\phi$ tramite la

 \begin{eqnarray}
 \phi &=& - \int_O^P {\bf E \cdot} d{\bf l} \\
 {\bf E} &=& - \nabla \phi .
 \end{eqnarray}

 Il potenziale, che si misura in Volt (V), \`e definito, come
 l'energia potenziale, a meno di una costante arbitraria, che pu\`o
 essere fissata scegliendo il punto di riferimento $O$. Solo le
 differenze di potenziale hanno significato fisico. L'energia
 potenziale elettrostatica $U$ di una carica $q$ \`e

 \begin{equation}
 U = - \int {\bf F} \cdot d{\bf l} = -q\int {\bf E} \cdot d{\bf l} = q
 \phi.
 \end{equation}

 Potenziale elettrostatico ed energia potenziale elettrostatica sono
 dunque grandezze strettamente imparentate, ma non sono la stessa
 cosa. L'energia guadagnata da una carica elementare positiva $e$ che
 risale la differenza di potenziale di 1 V \`e detta {\sl elettronvolt}
 (eV) e vale 1.6022 10$^{-9}$ J.

 Inserendo la definizione del potenziale elettrostatico nella legge di
 Gauss si ottiene l'equazione per il potenziale elettrostatico:

 \begin{equation}
 \nabla^2 \phi = - \rho/\epsilon_0
 \label{poisson}
 \end{equation}

 L'equazione \ref{poisson} prende il nome di {\sl equazione di
 Poisson}. La sua versione omogenea, ovvero in assenza di cariche, \`e
 detta {\sl equazione di Laplace}, ed \`e una delle equazioni
 fondamentali della Fisica Matematica.

 Per trovare la soluzione formale della \ref{poisson} partiamo dal
 fatto che la sua soluzione, nel caso di una carica puntiforme
 infinitesima $dq$ posta in ${\bf r}^\prime$, \`e la legge di Coulomb:

 \begin{displaymath}
 d\phi ({\bf r}) =
\frac{dq({\bf r}^\prime)}{4\pi\epsilon_0 |{\bf r-r^\prime}|}.
 \end{displaymath}

 Se allora immaginiamo la distribuzione di carica in questione come la
 sovrapposizione di tante cariche approssimativamente puntiformi
 $dq({\bf r}^\prime) = \rho ({\bf r}^\prime) d\Omega^\prime$ possiamo
 scrivere
 la soluzione generale dell' equazione \ref{poisson}, in virt\`u della sua
 linearit\`a, come somma di tutte le soluzioni dei problemi in
 cui \`e presente solo la carica $\rho ({\bf r}^\prime) d\Omega^\prime$:

 \begin{equation}
 \phi ({\bf r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho({\bf
 r}^\prime) d\Omega^\prime}{|{\bf r- r^\prime}|}.
 \label{poisson_sol}
 \end{equation}
 \section{La corrente elettrica}

 Un insieme di cariche in moto costituisce un'entit\`a chiamata
 {\sl corrente elettrica}, la
 cui intensit\`a, che denota il numero di cariche che passano
 nell'unit\`a di tempo attraverso una superficie data, \`e misurata in
 Amp\`ere (A) = C s$^{-1}$ e solitamente \`e indicata con la
 lettera $I$. Tale corrente pu\`o essere anche descritta in termini di
 un vettore detto {\sl densit\`a di corrente}

 \begin{equation}
 {\bf j} = \rho {\bf v}
 \label{j_def}
 \end{equation}

 \noindent dove $\rho$ \`e la densit\`a di carica e ${\bf v}$ \`e la
 velocit\`a delle cariche. Entrambe queste quantit\`a saranno in
 generale funzione della posizione; la loro dipendenza dal tempo,
 finch\'e tratteremo di campi elettrici e magnetici statici, sar\`a
 ignorata. Sfortunatamente risulta che nei fili elettrici a muoversi
 sono gli elettroni, carichi negativamente, per cui la velocit\`a
 effettiva delle cariche \`e opposta al verso della corrente. Peraltro
 esistono molti casi in cui si muovono cariche positive o di entrambi i
 tipi; la conduzione nelle soluzioni elettrolitiche per esempio \`e di
 questo tipo. In questi casi la (densit\`a di) corrente totale \`e la
 somma delle (densit\`a di) corrente dei diversi tipi di cariche.

 Le unit\`a di misura di ${\bf j}$ nel SI sono chiaramente A
 m$^{-2}$. La relazione tra corrente e densit\`a di corrente \`e data
 dal fatto che la prima \`e il flusso della seconda:

 \begin{displaymath}
 I = \int {\bf j \cdot} d{\bf S}.
 \end{displaymath}

 \subsection{La legge di Ohm}

 Perch\'e si abbia una corrente dal punto 1 al punto 2 bisogna che le cariche
 siano sottoposte ad una forza che le trascini da 1 a 2. Quasi sempre
 si tratta di una forza elettrica, dunque deve essere presente una
 differenza di potenziale $V = \Delta \phi$.

 La {\sl legge di Ohm} indica la relazione tra differenza di potenziale
 e corrente elettrica ai capi di una vasta classe di dispositivi,
 principalmente fili metallici:

 \begin{equation}
 V = R I
 \end{equation}

 \noindent dove la costante positiva $R$ \`e detta {\sl resistenza} e si
 misura in Ohm ($\Omega$) = V/A = kg m$^2$ C$^{-2}$ s$^{-1}$. Un
 dispositivo descritto dalla legge di Ohm con un valore di $R$
 apprezzabile \`e pure detto resistenza o {\sl resistore}. Si tenga
 per\`o presente che tale legge vale anche per i conduttori.

 La legge di Ohm si esprime in forma vettoriale come

 \begin{equation}
 {\bf j} = \sigma {\bf E}
 \end{equation}

 \noindent e la {\sl conduttivit\`a} (o {\sl conducibilit\`a}) $\sigma$,
che \`e una grandezza
 caratteristica del materiale in cui scorre la corrente, si misura in
 $\Omega^{-1}$ m$^{-1}$ = kg$^{-1}$ m$^{-3}$ C$^2$ s. Il suo reciproco \`e
 detto {\sl resistivit\`a} e si indica normalmente col simbolo
 $\rho$. Le tipiche conducibilit\`a metalliche sono dell'ordine di
 $10^7 \div\ 10^8\ \Omega^{-1}$ m$^{-1}$.

 La potenza (eventualmente negativa) trasferita dal campo elettrico alle
 cariche che
 compongono una corrente $I$, soggetta ad una differenza di potenziale
 $V$, vale dunque

 \begin{equation}
 W = \frac{dU}{dt} = \frac{dq}{dt} V = V I
 \end{equation}

 \noindent e se vale la legge di Ohm la potenza dissipata $P$ \`e espressa
 dalla {\sl legge di Joule}

 \begin{equation}
 P = V I = R I^2.
 \label{joule}
 \end{equation}

 \section{Conservazione della carica elettrica}

 Come sappiamo dall'esempio dei due fili esposto in precedenza, basta
 uno sbilanciamento di carica veramente minimo per generare forze
 elettrostatiche enormi. Il fatto che queste forze non siano mai
 osservate \`e un forte argomento in favore del fatto che la carica
 totale non cambia mai in nessuna circostanza. Tutto quello che pu\`o
 fare \`e di spostarsi da un punto all'altro. In termini quantitativi
 possiamo scrivere che la carica inclusa in una regione di spazio
 $\Omega$ varia col tempo solo se c'\`e un flusso di carica in entrata
 o in uscita attraverso il bordo $\Sigma$ di tale regione che compensa
 esattamente questa variazione. In formule, $dq/dt=-I$ (la corrente
 infatti \`e positiva quando esce e fa calare $q$), vale a dire:

 \begin{equation}
 \frac{d}{dt} \int_\Omega \rho\ d\Omega + \oint_\Sigma {\bf j} \cdot
 d{\bf S} = 0.
 \label{continuita_int}
 \end{equation}

 Usando il teorema di Gauss \ref{teorema_gauss} e sfruttando il fatto
 che l'eq. \ref{continuita_int} deve valere per ogni volume $\Omega$ ne
 otteniamo la forma differenziale:

 \begin{equation}
 \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf j} = 0.
 \label{continuita_diff}
 \end{equation}

 L' equazione \ref{continuita_int} o \ref{continuita_diff} \`e detta
 {\sl equazione di continuit\`a della carica}. Si pu\`o osservare che
 non abbiamo usato alcuna propriet\`a della carica tranne la sua
 conservazione (locale); pertanto queste equazioni, previa
 reinterpretazione dei termini, descrivono la conservazione di
 qualunque quantit\`a. Per esempio, se $\rho=$ densit\`a di massa e
 ricordiamo che ${\bf j}=\rho {\bf v}$, queste equazioni rappresentano
 la legge di conservazione della massa, e come tali sono fondamentali,
 per esempio, in fluidodinamica.


 \section{Il campo elettrico nella materia}

 \subsection{Induzione elettrostatica. Il condensatore}
\label{induzione_condensatore}

 Quando un materiale \`e soggetto ad un campo elettrico esterno, le
 cariche che in esso sono presenti si spostano. Se si tratta di un
 conduttore lo spostamento \`e macroscopico, un fenomeno detto {\sl
 induzione elettrostatica}. Le cariche positive si accumulano sul lato
 in cui il potenziale \`e minore e quelle negative sul lato dove \`e
 maggiore; all'interno del conduttore il potenziale \`e uniforme.

 Siccome un insieme di cariche genera anche un campo elettrico, oltre
 che esserne influenzato, ne segue che se abbiamo due conduttori $A$ e
 $B$, affacciati l'uno verso l'altro ma isolati tra loro, e vi \`e per
 una qualche ragione uno squilibrio di cariche per esempio positive sul
 lato di $A$ affacciato su $B$, allora sul lato di $B$ affacciato su
 $A$ compaiono cariche negative per induzione. Queste cariche ---
 positive su $A$, negative su $B$ --- si attraggono a vicenda e
 pertanto costituiscono un sistema stabile.

 Un dispositivo del genere viene chiamato {\sl condensatore} o {\sl
 capacitore} e i due corpi $A$ e $B$ sono detti {\sl armature}. Le
 armature possono poi essere connesse ad altri corpi, dai lati opposti
 a quelli con cui si affacciano vicendevolmente, in modo tale da far
 fluire via le altre cariche e da far s\`i che ciascuna armatura possa
 rimanere con una carica netta $q$ e $-q$.

 Un condensatore \`e caratterizzato dalla sua {\sl capacit\`a}, ovvero
 dal rapporto (in modulo) tra la carica $q$ su ciascuna armatura e la
 differenza di potenziale tra di esse:

 \begin{equation}
 C = q/V
 \end{equation}

 \noindent capacit\`a che si misura in Farad (F) = m$^{-2}$ kg$^{-1}$
 s$^2$ C$^2$. L' energia totale accumulata sul condensatore vale

 \begin{equation}
 U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{q^2}{2C}.
 \label{energia_condensatore}
 \end{equation}

 Il prototipo del condensatore \`e il {\sl condensatore piano},
 composto da due lastre metalliche di area $S$ separate da una distanza
 $d$. Se $S >\!> d^2$ il campo elettrico pu\`o essere preso
 approssimativamente uniforme e pari a $V/d$, e la capacit\`a \`e data
 da

 \begin{equation}
 C = \frac{\epsilon_0 S}{d}.
 \end{equation}

  Per questo condensatore l'energia accumulata $U$ \`e esprimibile
  direttamente in funzione del campo elettrico $E=V/d$:

  \begin{equation}
  U = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \frac{\epsilon_0 S}{d} (E d)^2=
  \Omega \frac{\epsilon_0 E^2}{2}
  \end{equation}

  \noindent dove $\Omega=Sd$ \`e il volume del condensatore.

 \subsection{I dielettrici}

 Se il corpo soggetto al campo esterno \`e isolante lo spostamento di
 cariche al suo interno \`e microscopico, ovvero su scala atomica, e si
 rivela nella comparsa di un campo elettrico, sempre diretto in
 direzione opposta a quello esterno, che si aggiunge a quello
 esterno. Questo effetto viene detto {\sl polarizzazione dei
 dielettrici}.

 La polarizzazione si pu\`o descrivere tramite un vettore ${\bf P}$
 definito come il momento di dipolo elettrico del materiale per unit\`a
 di volume e si misura in C m$^{-2}$. A partire da ${\bf P}$ e da
 ${\bf E}$ si definisce un terzo vettore ${\bf D} = \epsilon_0{\bf E} +
 {\bf P}$, detto {\sl spostamento elettrico}. L'importanza di questo
 terzo vettore sta nel fatto che si pu\`o dimostrare che in funzione di
 esso la legge di Gauss assume una forma pi\`u semplice:

 \begin{equation}
 \oint {\bf D \cdot} d{\bf S} = q_{libera}\Leftrightarrow \nabla \cdot
 {\bf D} = \rho_{libera}
 \label{d}
 \end{equation}

 \noindent dove il pedice ``libera'' indica che non si considerano le
 cariche di polarizzazione all'interno del materiale; in pratica, si
 considerano solo le cariche accessibili direttamente allo
 sperimentatore.

 Si tratta di una relazione del tutto generale; si osservi per\`o che
 non si pu\`o dare una relazione altrettanto generale per il rotore di
 {\bf D} --- che non \`e un campo conservativo, se non nel vuoto ---
 per cui \`e necessario conoscere la {\sl relazione costitutiva} che
 lo collega con {\bf E}.

 A questo fine, se si assume che ${\bf P}$ ed ${\bf E}$ siano paralleli
 e proporzionali tra loro, si pone

 \begin{displaymath}
 {\bf D} = \epsilon {\bf E} \Leftrightarrow {\bf P} =
 (\epsilon-\epsilon_0) {\bf E}
 \end{displaymath}

 \noindent dove il nuovo coefficiente $\epsilon$ \`e detto {\sl
 costante dielettrica} del mezzo e indica di quanto viene ridotto il
 campo elettrico in presenza di un materiale. Infatti

 \begin{displaymath}
 \oint \epsilon {\bf E \cdot} d{\bf S} = \oint {\bf D} \cdot d{\bf S} =
 q_{libera} \Rightarrow \oint {\bf E \cdot} d{\bf S} =
 q_{libera}/\epsilon
 \end{displaymath}

 \noindent e confrontandola con la \ref{gauss_int} si vede che
 l'effetto del materiale sul campo generato da una carica data \`e di
 sostituire $\epsilon_0$ con $\epsilon$. Si definisce infine una {\sl
 costante dielettrica relativa} $\epsilon_r = \epsilon/\epsilon_0$,
 adimensionale. Si vede immediatamente che, essendo
 $\epsilon>\epsilon_0$, l'interazione tra due cariche immerse in un
 dielettrico \`e diminuita di un fattore $\epsilon_r$, e cos\`i pure le
 differenze di potenziale. Ne segue che la capacit\`a di un
 condensatore viene {\sl aumentata} di un fattore $\epsilon_r$ dalla
 presenza di un dielettrico.

 \chapter{Magnetostatica}

 \section{Il campo magnetico}

 Esiste una seconda interazione tra cariche che dipende dal loro stato
 di moto, ed in particolare dalla loro velocit\`a. Questa interazione
 \`e detta {\sl interazione magnetica}. In completa analogia con il
 caso elettrostatico, si pu\`o dividere il problema dello studio di
 questa interazione e dei suoi effetti in due parti distinte:

 \begin{itemize}

 \item Si definisce un nuovo campo, detto {\sl campo magnetico} ed
 indicato con ${\bf B}$\footnote{Molti testi, specie quelli pi\`u
 vecchi, chiamano ${\bf B}$ {\sl induzione magnetica}.}, generato dalle
 cariche in moto, ovvero dalle correnti elettriche;

 \item Si studia poi l'effetto di questo campo sul moto delle cariche.

 \end{itemize}

 Una volta risolti entrambi i problemi, e conoscendo il campo elettrico
 e le altre forze eventualmente presenti, sar\`a possibile, a meno di
 difficolt\`a tecniche a volte notevoli, risolvere completamente il
 problema del moto di un qualunque sistema di cariche interagenti. In
 particolare, il problema delle interazioni magnetiche \`e in generale
 riconducibile ad un problema di interazione tra correnti.

 Il campo magnetico, cos\`i come quello elettrico, compare quindi come
 un intermediario metodologico che non figura nel risultato finale
 dello studio di un sistema; vedremo per\`o in seguito, nella sezione
 \ref{conservazione}, come per\`o questi campi possano vantare un
 ``grado di realt\`a'' pi\`u elevato di quanto questa presentazione
 possa far pensare.



 \section{La forza di Lorentz}
 \label{forza_lorentz}

 Il secondo problema posto sopra \`e in realt\`a il pi\`u semplice dei
 due. L'esperienza insegna che la forza su di una carica dovuta ad una
 interazione magnetica \`e sempre perpendicolare alla velocit\`a della
 carica. \`E ragionevole pertanto supporre che tale forza si possa
 esprimere nel modo seguente:

 \begin{equation}
 {\bf F} = q {\bf v} \times {\bf B}
 \label{florentz}
 \end{equation}

 \noindent visto che il risultato di un prodotto vettore \`e un vettore
 perpendicolare ad entrambi i fattori.  In generale, se \`e presente
 anche un campo elettrico, la forza su di una carica \`e data da

 \begin{equation}
 {\bf F} = q \left( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B} \right).
 \label{florentz_totale}
 \end{equation}

 Dalla \ref{florentz} si vede che le unit\`a di ${\bf B}$ sono kg
 s$^{-1}$ C$^{-1}$; questa unit\`a \`e chiamata Tesla (T), o a
 volte Weber/m$^2$ (il Weber \`e l'init\`a di misura del flusso
 magnetico $\Phi_B = \oint {\bf B \cdot} d{\bf S}$). Il campo magnetico
 terrestre al suolo ha un'intensit\`a di
 circa $0.4\div0.5\ 10^{-4}$ T. L'unit\`a $10^{-4}$ T \`e chiamata
 Gauss, ma non fa parte del SI.

 \`E immediato rendersi conto che il campo magnetico, qualunque sia,
 non trasferisce energia alla carica. Infatti l'energia trasferita per
 unit\`a di tempo (ovvero la potenza) \`e

 \begin{displaymath}
 W = dE/dt = {\bf F \cdot } d{\bf r}/dt =  {\bf F \cdot v} = 0
 \end{displaymath}

 \noindent siccome ${\bf F}$ \`e perpendicolare a ${\bf v}$.
Pertanto l'energia si conserva anche qualora ${\bf B}$ non sia
 conservativo nel senso dell'analisi vettoriale (ovvero abbia
rotazionale nullo od obbedisca ad altre condizioni equivalenti;
vedremo subito che in generale non ne soddisfa nessuna).

 Infine si noti che si conserva anche la componente del momento
 angolare ${\bf L = r \times p}$ lungo il campo {\bf B}. Infatti,
 ricordando che ${\bf p} = m {\bf v}$ e ${\bf F} = d{\bf p}/dt$,

 \begin{equation}
 \frac{d{\bf L}}{dt} = \frac{d{\bf r}}{dt} \times {\bf p} + {\bf r}
 \times \frac{d{\bf p}}{dt} = m \overbrace{\bf v \times v}^{=0} + q\
 {\bf r} \times ({\bf v \times B})
 \label{momento_angolare}
 \end{equation}

 \noindent e l'ultimo termine \`e perpendicolare a {\bf B}. Infatti dalla
\ref{scal_vett} segue

 \begin{displaymath}
 {\bf B \cdot r \times \left( v \times B \right) =
r \cdot \left[ \left( v \times B \right) \times B \right] = r \cdot 0 = 0}.
 \end{displaymath}



 \subsection{Lo spettrometro di massa}

 \`E elementare risolvere le equazioni del moto per una particella per
 cui ${\bf E=0}$ e ${\bf B} = B {\bf \hat z}$ costante e
 uniforme\footnote{Si tenga presente sempre la differenza tra i due
 termini: {\sl costante} si riferisce all'indipendenza dal tempo, {\sl
 uniforme} all'indipendenza dalla posizione.}. Posto ${\bf r}_0 = 0,
 {\bf v}_0 = (v_0,0,0)$, l'equazione del moto $ m{\bf a} = {\bf F} = q
 \left( {\bf v} \times {\bf B} \right) = q \left( v_x {\bf \hat x} +
 v_y {\bf \hat y} + v_z {\bf \hat z} \right) \times B {\bf \hat z} = q
 B \left( v_y {\bf \hat x} - v_x {\bf \hat y} \right) $ diventa,
 scritta per componenti,

 \begin{displaymath}
 \begin{array}{rl}
 \ddot x = & \phantom{-} q B \dot y /m \\
 \ddot y = & - q B \dot x /m \\
 \ddot z = &\phantom{-qB} 0
 \end{array}
 \end{displaymath}

 \noindent e la sua soluzione \`e semplice da trovare, usando le
 normali tecniche di integrazione dei sistemi di equazioni lineari a
 coefficienti costanti:

 \begin{displaymath}
 \begin{array}{rl}
 x = & v_0/\omega \sin (\omega t)\\
 y = & v_0/\omega \left[ \cos(\omega t) -1 \right] \\
 z = & 0
 \end{array}
 \end{displaymath}

 \noindent dove si \`e introdotta la {\sl frequenza di ciclotrone}
 $\omega = q B/m$. Si vede che la traiettoria ha equazione cartesiana
 $x^2+y^2+2 v_0 y/\omega = 0$ ed \`e perci\`o un arco di cerchio di
 raggio $v_0/\omega$, giacente sul piano $xy$ e con centro in
 $(0,-v_0/\omega, 0)$. La deflessione delle particelle cos\`i lanciate
 dipende quindi, oltre che dai valori di $B$ e di $v_0$, controllati
 dallo sperimentatore, dal loro rapporto carica/massa
 $q/m$. Particelle con valori di $q/m$ diversi vengono deflesse in
 maniera diversa.

 Questo fatto \`e alla base dello strumento di analisi chimica detto
 {\sl spettrometro di massa}. Per determinare la composizione chimica
 quantitativa di un campione basta infatti vaporizzarlo, ionizzare in
 qualche modo controllato le molecole che si producono, ed inviarle a
 velocit\`a nota (per esempio facendole passare attraverso una
 differenza di potenziale elettrico data) in un campo magnetico
 noto. Le molecole si raggrupperanno sul fianco dello strumento ed in
 base alle posizioni in cui sono raggruppate si determina $q/m$ e da
 l\`i il tipo di molecola in questione. In questo modo si ottengono
 sensibilit\`a estremamente elevate.

 \section{Solenoidalit\`a di B}
 \label{solenoidalita}

 Veniamo al problema di determinare il campo magnetico dal moto delle
 cariche. Come per il caso del campo elettrico, \`e sufficiente trovare
 due equazioni, una per la divergenza di ${\bf B}$ ed una per il suo
 rotore. L'equazione alla divergenza risulta essere semplicissima:

 \begin{equation}
 {\bf \nabla \cdot B} = 0. 
 \label{b_sol_diff}
 \end{equation}

 \noindent La corrispondente equazione in forma integrale, ovviamente,
 \`e

 \begin{equation}
 \oint {\bf B \cdot} d{\bf S} = 0
 \label{b_sol_int}
 \end{equation}

 \noindent ed \`e equivalente all'affermazione che {\sl il flusso di
 {\bf B} \`e indipendente dalla superficie su cui lo si calcola},
 purch\'e il bordo di tale superficie sia fissato.

 Prendiamo infatti due superfici $A$ e $B$ aventi lo stesso
 bordo $\lambda$; $\lambda$ potrebbe essere, per fissare le idee, una
 circonferenza nel piano $xy$, orientata in senso antiorario per chi
 vede l'asse $z$ puntare verso l'alto, $A$ la superficie del cerchio
 incluso e $B$ la semicirconferenza che ``sporge'' nella direzione
 dell'asse $z$ positivo. Sia $A$ che $B$ sono, in questo caso,
 orientate nel senso positivo delle $z$. Il flusso di {\bf B} su queste
 superfici sia rispettivamente $\Phi_A$ e $\Phi_B$.

 Consideriamo la superficie $C=A + B$: \`e una superficie chiusa; per\`o
 bisogna notare che per convenzione le superfici chiuse sono orientate
 verso l'esterno. Perci\`o per calcolare $\Phi_C$ bisogna invertire
 l'orientazione di una delle due superfici, nel nostro esempio la
 superficie $A$. Pertanto il flusso su $A$ cambia segno e $\Phi_C =
 \Phi_B-\Phi_A$, ma siccome il flusso di {\bf B} attraverso una
 qualunque superficie chiusa \`e nullo, abbiamo $\Phi_C=0$, dunque
 $\Phi_B=\Phi_A$, CVD.

 Il significato delle equazioni \ref{b_sol_diff}, \ref{b_sol_int} \`e
 chiaro: il campo magnetico non ha sorgenti nel senso in cui le ha il
 campo elettrico; alternativamente, si pu\`o dire che {\sl non esistono
 cariche magnetiche}, altrimenti dette {\sl monopoli magnetici}. Si
 tratta di un puro dato sperimentale: non esistono ragioni teoriche o
 di principio che vietino l'esistenza di monopoli magnetici. Di fatto,
 per\`o, essi non sono mai stati osservati ed assumeremo dunque la
 validit\`a delle equazioni \ref{b_sol_diff}, \ref{b_sol_int}.

 Le linee di campo magnetico quindi non hanno inizio n\'e fine (si
 pensi, per confronto, a quelle di campo elettrico, che iniziano sulle
 cariche positive e terminano su quelle negative, nei punti in cui
 $\nabla \cdot {\bf E} \ne 0$) e possono solo essere o infinite o
 chiuse su s\'e stesse. Questo si esprime dicendo che il campo
 magnetico \`e {\sl solenoidale}.

 Il significato geometrico della solenoidalit\`a rende evidente il fatto
 esposto pi\`u sopra dell'indipendenza dalla superficie del flusso di
 {\bf B}: il numero delle linee che passano attraverso una superficie deve
 essere lo stesso di quelle che escono da un' altra avente lo stesso
 bordo, e viceversa.

 \section{La legge di Amp\`ere}
 \label{legge_ampere}

 Siccome l'equazione alla divergenza per il campo magnetico non
 contiene le sorgenti del campo, che sono le correnti, queste devono
 essere considerate nell'equazione al rotore, che prende la seguente
 forma ({\sl equazione di Amp\`ere}):

 \begin{equation}
 \nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf j}
 \label{ampere_diff}
 \end{equation}

 \noindent e la corrispondente equazione integrale \`e, applicando il
 teorema di Stokes,

 \begin{equation}
 \oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \mu_0 I
 \label{ampere_int}
 \end{equation}

 \noindent visto che il flusso di ${\bf j}$ \`e $I$. Si intende che la
 corrente che compare a secondo membro dell'equazione \ref{ampere_int}
 \`e la corrente totale --- ovvero la somma algebrica di tutte le
 correnti --- su di una qualunque superficie che abbia come bordo la
 curva su cui viene calcolata la circuitazione a primo membro. Si
 tratta naturalmente di curve e superfici orientate; convenzionalmente
 si intende orientata la superficie nel senso definito dalla regola
 della mano destra.

 Questa regola dice che, se si osserva il bordo della superficie in
 modo tale che sia orientato in senso antiorario, allora la superficie
 \`e orientata verso l'alto. Cos\`i, per esempio, la superficie di un
 cerchio giacente nel piano $xy$ il cui bordo \`e percorso in modo tale
 che un punto vada dall' intercetta con l' asse positivo delle $x$
 all'intercetta conl'asse positivo delle $y$ ecc., \`e orientata verso
 l'asse $z$ positivo. Un altro modo di definirlo \`e questo: se si
 stringe il pugno destro con le dita nel verso in cui \`e percorso il
 bordo della superficie, il pollice indica il verso di ${\bf S}$.

 La costante $\mu_0$ \`e detta {\sl permeabilit\`a magnetica del
 vuoto} ed \`e introdotta per rendere coerenti le unit\`a di misura ai
 due membri dell'equazione di Amp\`ere. \`E definita come {\sl
 esattamente} $4 \pi \ 10^{-7}$ m kg\ C$^{-2}$. Questa nuova unit\`a
 di misura \`e anche nota come Henry/m. Ritroveremo l'Henry (H) pi\`u
 avanti. Si noti come $\mu_0$ non sia una costante empirica come
 $\epsilon_0$, che \`e invece {\sl misurata}. La ragione sta nel fatto
 che l'unit\`a di corrente, l' Amp\`ere, \`e appositamente definita in
 modo tale che $\mu_0$ abbia il valore summenzionato. Infatti nella
 versione attuale del SI l' Amp\`ere \`e un'unit\`a fondamentale ed il
 Coulomb \`e derivata, vale a dire che 1 C \`e definito come la
 quantit\`a di carica che passa in un secondo in un filo percorso da
 una corrente di 1 A. In altri termini, per definizione 1 A \`e la
 corrente che, percorrendo due fili paralleli molto lunghi posti a
 distanza di 1 m, genera una forza tra di essi pari a 2 10$^-7$ N/m
 (si veda l'Appendice \ref{sistemi}).


 \subsection{Filo infinito}

 Applichiamo ora la legge di Amp\`ere al caso di un filo rettilineo
 infinito percorso da una corrente $I$. Poniamo l'asse $z$ del nostro
 sistema di riferimento lungo l'asse del filo. Per simmetria, ci
 aspettiamo che il campo dipenda solo dalla distanza $r$ dal filo e non
 dalla coordinata $z$ n\'e dall'angolo di rotazione attorno al
 filo. Siccome le linee di campo devono essere chiuse, la simmetria ci
 dice anche che esse devono essere cerchi aventi il centro lungo il
 filo e giacenti su piani perpendicolari ad esso. Prendendo quindi come
 percorso d'integrazione uno di questi cerchi, di raggio $r$, abbiamo
 che ivi ${\bf B}$ \`e costante in modulo e sempre tangente al
 cerchio. Perci\`o $\oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \int_0^{2 \pi r} B\
 dl = 2\pi r B $ e la \ref{ampere_int} diventa

 \begin{equation}
 B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}.
 \label{biot}
 \end{equation}

 Il verso del campo \`e stabilito, anche in questo caso, dalla regola
 della mano destra: se si stringe il pugno destro puntando il pollice nel verso
 della corrente, le altre dita indicano il verso di ${\bf
 B}$. Pertanto, in forma vettoriale, la \ref{biot} diventa

 \begin{equation}
 {\bf B} = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\ {\bf \hat z \times \hat r} =
 \frac{\mu_0 I}{2 \pi r^2} \left( -y{\bf \hat x}+x{\bf \hat y}\right)
 \label{biot_vett}
 \end{equation}

 \noindent se si suppone positiva la corrente che scorre nel verso
 positivo dell'asse $z$ ({\it Esercizio}: verificare l'identit\`a delle
 due forme dell'equazione \ref{biot_vett}).

 \subsection{Solenoide}

 Un solenoide \`e un avvolgimento di filo sagomato ad elica molto
 stretta in modo da formare un cilindro, e pu\`o essere pensato, con
 ottima approssimazione, come un insieme di spire circolari (si chiama
 spira un filo che forma un circuito chiuso) collegate in serie. Tutte
 queste spire quindi sono percorse dalla stessa corrente $I$. Il caso
 pi\`u semplice da trattare, e che nel magnetismo svolge lo stesso
 ruolo illustrativo che il condensatore infinito a facce piane e
 parallele svolge in elettrostatica, \`e quello del solenoide infinito
 i cui avvolgimenti sono uniformemente distribuiti lungo la superficie
 del cilindro con densit\`a lungo l'asse di $n=N/L$ spire per unit\`a
 di lunghezza.

 \`E semplice calcolare il campo all'interno di un tale solenoide
 ideale. Per simmetria il campo ${\bf B}$ sar\`a parallelo all'asse del
 cilindro, e siccome le linee di campo non possono uscire possiamo
 supporre che ${\bf B = 0}$ al di fuori del solenoide. Prendiamo allora
 un circuito $ABCD$ tale che due lati --- $AB$ e $CD$ --- siano lunghi
 $L$ e paralleli all'asse del solenoide, $AB$ all'interno e $CD$
 all'esterno, e gli altri due --- $BC$ e $DA$ ---
 perpendicolari. Allora

 \begin{displaymath}
 \oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \left( \int_A^B + \int_B^C + \int_C^D +
 \int_D^A \right) {\bf B \cdot} d{\bf l} =
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
 = \int_0^L B\ dl + \int_B^C B \cos(\pi/2)\ dl + \int^0_L 0\ dl +
 \int_D^A B \cos(\pi/2)\ dl = B L
 \end{displaymath}

 \noindent per cui dalla \ref{ampere_int}, tenendo conto che in un
 tratto lungo $L$ ci sono $N=nL$ spire ciascuna percorsa dalla corrente
 $I$, segue

 \begin{equation}
 B = \mu_0 I_{totale}/L = \mu_0 N I/L =\mu_0 n I.
 \label{solenoide}
 \end{equation}

 Un solenoide quindi \`e un buon modo per creare campi magnetici
 intensi senza dover ricorrere a correnti eccessivamente elevate: \`e
 sufficiente aumentare la densit\`a degli avvolgimenti. Questo \`e il
 prototipo degli {\sl elettromagneti}.

 \section{Forze magnetiche su correnti}
 \label{forze_su_correnti}

 Siccome la forza magnetica si esercita su cariche in moto, e la
 corrente non \`e altro che un insieme di cariche in moto, possiamo
 concludere che un filo percorso da corrente ed immerso in un campo
 magnetico \`e sottoposto ad una forza. Si noti che questa forza esiste
 anche nel caso, quello pi\`u comune, in cui il filo \`e elettricamente
 neutro.

 Per calcolare tale forza partiamo, com'\`e ovvio, dalla forza di
 Lorentz \ref{florentz}. Per applicarla, dobbiamo in qualche modo
 collegare i parametri macroscopici del filo --- la sua lunghezza e la
 corrente $I$ che lo percorre --- con la velocit\`a e la carica che
 figurano nelle equazioni \ref{florentz} e \ref{j_def}.

 Notiamo che ${\bf j}$ ha in ogni punto la stessa direzione del filo,
 e che questa direzione (e verso) \`e data dal versore tangente al
 filo ${\bf \hat l} = d{\bf l}/dl$. Inoltre possiamo scrivere per il
 modulo di $j = I/S $ se $S$ \`e la sezione trasversale del filo e
 ${\bf j}$ \`e uniforme in esso, visto che $I$ \`e il flusso di ${\bf
 j}$. Dunque $ {\bf j}\ d\Omega = {\bf \hat l}I d\Omega/S = I d{\bf
 l}$, visto che $d\Omega=S dl$ \`e il volume di un pezzo di filo lungo
 $dl$. Applicando la \ref{j_def} troviamo quindi che la forza \`e

 \begin{equation}
 {\bf F} = \sum_i q_i {\bf v}_i {\bf \times B} = \int \rho {\bf v
 \times B}\ d\Omega = \int {\bf j \times B}\ d\Omega = I \int d{\bf l
 \times B}.
 \label{forza_filo}
 \end{equation}

 \subsection{Forza tra fili paralleli}

 Combinando l' equazione \ref{forza_filo} con la \ref{biot_vett}
 otteniamo la forza per unit\`a di lunghezza tra due fili infiniti
 paralleli, posti a distanza $s$ e giacenti in direzione $z$, percorsi
 da correnti $I_1$ e $I_2$. Per la forza sul filo 1 si ha:

 \begin{displaymath}
 {\bf F}_1/L = I_1/L \int d{\bf l \times B}_2 = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2
 \pi s L} \int d{\bf l} \times \left( {\bf \hat z \times \hat s}
 \right)
 \end{displaymath}

 \noindent dove l'integrale viene calcolato su di un tratto del filo 1
 di lunghezza $L$ e ${\bf \hat s}$ \`e un versore che punta dal filo 2
 al filo 1. \`E immediato rendersi conto che il doppio prodotto
 vettore, nelle condizioni date, genera un vettore di modulo $dl$, la
 cui direzione \`e perpendicolare ad entrambi i fili e che passa per
 essi. Il verso dipende dalla direzione delle correnti: se sono
 concordi punta verso il filo 2, se sono discordi punta nel verso
 opposto.

 \`E chiaro che lo stesso risultato si ottiene scambiando i ruoli dei
 due fili, cio\`e gli indici 1 e 2. Possiamo perci\`o concludere che
 {\sl due fili percorsi da corrente si attraggono se le correnti sono
 concordi, si respingono se sono discordi}. Il modulo della forza per
 unit\`a di lunghezza, uguale sia per il filo 1 che per il 2, \`e

 \begin{equation}
 F/L = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi s}.
 \label{forza_coppiafili}
 \end{equation}

 Prendiamo un caso abbastanza tipico: $I_1=I_2=1$ A e $s=0.1$ m. In
 questo caso abbiamo che $F/L = 2\ 10^{-6}$ N/m, una forza molto
 piccola: infatti la forza su di un metro di filo in questo caso
 corrisponde al peso di un corpo di circa 0.2 milligrammi. Il filo
 stesso pesa ben di pi\`u. Nella sezione \ref{filo_carico} si \`e
 visto che la forza elettrica per unit\`a di lunghezza tra fili in cui
 si abbia un minimo sbilanciamento di carica (una parte su un
 miliardo) vale $5\ 10^5$ N/m. Una differenza di undici ordini di
 grandezza rispetto al caso magnetico presentato qui!

 Possiamo concluderne che le interazioni magnetiche sono in realt\`a
 piuttosto deboli, e che sono osservabili pi\`u facilmente rispetto
 alle interazioni elettriche per il solo fatto che queste ultime,
 essendo generate da cariche di due segni opposti, sono schermate
 facilmente (ovvero, \`e difficile trovare una carica positiva/negativa
 libera perch\`e viene quasi sempre neutralizzata dall' accorrere di
 cariche di segno opposto). Il campo magnetico invece, essendo generato
 da correnti, non permette una schermatura cos\`i facile.

 \subsection{Forze e momenti su spire quadrate}

 Consideriamo una spira rigida in foggia di quadrato $ABCD$ di lato
 $a$, e percorsa da una corrente $I$. Sia la spira immersa in un campo
 magnetico uniforme ${\bf B } = B {\bf \hat x}$ e supponiamola
 orientata in modo tale che i lati $AB$ e $CD$ siano paralleli all'
 asse $z$ mentre i lati $BC$ e $DA$ vi siano perpendicolari e formino
 un angolo $\varphi$ con l'asse $x$, e pertanto uno di
 $\theta=\pi/2-\varphi$ con l'asse $y$. Il vettore ${\bf S} = a^2 {\bf
 \hat n}$ che descrive la superficie orientata della spira \`e quindi
 anch'esso perpendicolare all'asse $z$ e forma un angolo
 $-\pi/2+\varphi = -\theta$ (o $\pi/2+\varphi = \pi - \theta$, a
 seconda del senso di circolazione della corrente: qui si considerer\`a
 $-\theta$) con l' asse $x$.

 \`E facile vedere che la forza sul lato $BC$ \`e perpendicolare al
 lato ed \`e uguale ed opposta a quella sul lato $DA$; queste forze
 pertanto tendono solo a deformare la spira, che per\`o abbiamo
 supposto rigida, e pertanto si annullano semplicemente tra
 loro. Diversa \`e la situazione per le forze sui lati $AB$ e $CD$:
 queste forze formano una coppia di braccio $a \sin \theta$ e di
 intensit\`a $IaB$. Sulla spira pertanto agisce una forza di risultante
 nulla ma un momento pari a

 \begin{equation}
 {\bf \tau} = a^2 I B \sin \theta {\bf \hat z} = I {\bf S \times B }
 \label{coppia_spira}
 \end{equation}

 \noindent e che pertanto tende a rendere paralleli ${\bf S}$ e ${\bf
 B}$ (il momento della forza \`e nullo quando il piano della spira \`e
 perpendicolare a $B$). Se la spira \`e composta da $N$ avvolgimenti
 invece che da uno, il valore di $\tau$ naturalmente deve essere
 moltiplicato per $N$.

 Se all'istante in cui ${\bf S}$ e ${\bf B}$ sono all'incirca paralleli
 invertiamo il senso della corrente o il verso del campo magnetico, la
 spira viene sospinta a fare un altro mezzo giro. Ripetendo
 indefinitamente il procedimento abbiamo un dispositivo che permette di
 fornire un momento torcente in maniera continua. Questo dispositivo
 \`e alla base di ogni {\sl motore elettrico}.

 \subsubsection{Il momento magnetico}

 Definiamo {\sl momento di dipolo magnetico}, o semplicemente {\sl
 momento magnetico} il vettore

 \begin{equation}
 {\bf m} = \frac{1}{2} {\bf \int r \times j}\ d\Omega.
 \label{momdip}
 \end{equation}

 Il momento magnetico, che si misura in m$^2$ C s$^{-1}$, nel caso di spire
 piane si riduce ad un vettore diretto lungo l'asse ${\bf \hat
 n}$ della spira, con verso dato dalla regola della mano destra, e di
 modulo pari al prodotto dell'area $S$ per la corrente; infatti

 \begin{equation}
 {\bf m} = \frac{I}{2} \int {\bf r \times} d{\bf l} = IS {\bf \hat n} =
 I {\bf S}
 \label{momspira}
 \end{equation}

 \noindent visto che il modulo di $\frac{1}{2} {\bf r \times} d{\bf l}$
 \`e l'areola spazzata dal vettore ${\bf r}$ quando la sua estremit\`a
 si sposta di $d{\bf l}$ ({\it Esercizio:} verificarlo) e la direzione
 e il verso sono stabiliti dalla regola della mano destra.

 Utilizzando questa definizione possiamo riscrivere la
 \ref{coppia_spira} come

 \begin{equation}
 {\bf \tau = m \times B}.
 \label{coppia_mom}
 \end{equation}

 Integrando la \ref{coppia_spira} rispetto a $\theta$ possiamo anche
 scrivere che l'energia di una spira in un campo magnetico uniforme \`e

 \begin{equation}
  E = \int \tau_z d\theta = - m B \cos\theta =  - {\bf m \cdot B}
 \label{energia_mom}
 \end{equation}

 \noindent e risulta ovviamente minima quando ${\bf m}$ e ${\bf B}$
 sono paralleli. Si confrontino le \ref{coppia_mom} e \ref{energia_mom}
 con le corrispondenti, ed analoghe, relazioni valide per dipoli
 elettrici in un campo elettrico.

 Il concetto di momento magnetico risulta utile in molti casi; lo
 vedremo, per esempio, nei paragrafi \ref{biot-savart} e
 \ref{magnetismo_materia}.

 \section{Il potenziale vettore}

 Dall'equazione di Amp\`ere segue che il campo magnetico non pu\`o
 essere derivato da un potenziale nello stesso senso in cui il campo
 elettrico \`e derivato dal potenziale scalare. Questo sarebbe infatti
 possibile solo se il rotore di ${\bf B}$ fosse ovunque
 nullo. L'equazione \ref{b_sol_diff} per\`o ci dice che \`e sempre
 possibile trovare un campo vettoriale $\bf A$, detto {\sl potenziale
 vettore}, e misurato in T m, tale che

 \begin{equation}
 {\bf \nabla \times A = B}.
 \label{a_def}
 \end{equation}

 \noindent Infatti la divergenza di un rotore \`e sempre nulla. Si noti
 che l'equazione \ref{a_def}, essendo un'equazione differenziale a
 derivate parziali, determina ${\bf A}$ soltanto a meno di una funzione
 arbitraria, cos\`i come il potenziale elettrostatico $\phi$ \`e
 determinato a meno di una costante arbitraria.
 Tale funzione arbitraria, in considerazione del
 fatto che $\nabla \times \nabla \Lambda = 0$, pu\`o essere scritta
 come $\nabla \Lambda$, dove $\Lambda$ \`e una qualunque funzione
 scalare delle coordinate e del tempo. Sfrutteremo spesso
 questa possibilit\`a.

 A volte \`e possibile trovare ${\bf A}$, noto ${\bf B}$, mediante una
 semplice ispezione della forma di quest' ultimo. Per esempio si
 verifica immediatamente che un campo magnetico uniforme diretto lungo
 l'asse $z$, ${\bf B} = B {\bf \hat z}$, pu\`o essere derivato da un
 potenziale vettore ${\bf A} = B/2 \left( -y{\bf \hat x}+x{\bf \hat
 y}\right) $, ma anche da ${\bf A}^\prime = B \left( x{\bf \hat
 y}+z{\bf \hat z}/2\right) $ ({\it Esercizio:} verificare che ${\bf
 A-A}^\prime$ \`e effettivamente il gradiente di una funzione $\Lambda$
 e dare l'espressione esplicita di $\Lambda$). Si noti che in questo
 caso $\nabla \cdot {\bf A} = 0$, ma che $\nabla \cdot {\bf A}^\prime
 \ne 0$.

 \subsection{L'equazione per il potenziale vettore}

 \`E naturalmente importante trovare un' equazione che permetta di
 determinare ${\bf A}$, note le correnti, nel caso generale. Questo lo
 si ottiene partendo dall'equazione di Amp\`ere in forma differenziale.
 Inserendo l'equazione \ref{a_def} nella \ref{ampere_diff} si ottiene

 \begin{displaymath}
 {\bf \nabla \times B = \nabla \times \nabla \times A} = \mu_0 {\bf j}
 \end{displaymath}

 \noindent Utilizzando l' identit\`a vettoriale \ref{rotrot} e
 sfruttando l'arbitrariet\`a di ${\bf A}$ con l'imporre -- si dimostra
 che \`e sempre possibile -- che $\nabla \cdot {\bf A} = 0$, otteniamo
 infine l'equazione cercata:

 \begin{equation}
 {\bf \nabla^2 A} = - \mu_0 {\bf j}
 \label{poisson_mag}
 \end{equation}

 La soluzione formale dell'equazione \ref{poisson_mag} pu\`o essere
 calcolata esplicitamente e rigorosamente ma qui ci limitiamo ad un
 semplice argomento per analogia. Possiamo infatti notare che
 l'equazione \ref{poisson} \`e assai simile alla \ref{poisson_mag} a
 parte il fatto di essere una relazione vettoriale e non scalare.
 Confrontando le equazioni \ref{poisson}, \ref{poisson_sol} e
 \ref{poisson_mag} possiamo quindi immaginare che la soluzione di
 quest'ultima sia:

 \begin{equation}
 {\bf A(r)} = \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{{\bf j(r^\prime)}
 d\Omega^\prime}{|{\bf r - r^\prime}|}
 \label{poisson_mag_sol}
 \end{equation}

 \noindent che in effetti risulta essere l'espressione corretta.

 L'equazione \ref{poisson_mag_sol} \`e del tutto generale ma, come
 capita spesso in questi casi, risulta scomoda da applicare
 direttamente. \`E in generale opportuno trovare delle formule pi\`u
 pratiche da applicare in casi particolari. Uno di questi,
 particolarmente importante, \`e quello in cui la densit\`a di
 corrente \`e concentrata entro fili conduttori, in quanto \`e questo
 il caso di interesse per la teoria dei circuiti elettrici. Se
 ricordiamo che per un filo ${\bf j}\ d\Omega = I d{\bf l}$, dalla
 \ref{poisson_mag_sol} si ha

 \begin{equation}
 {\bf A(r)} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d{\bf l}}{|{\bf r -
 r^\prime}|}.
 \label{poisson_mag_filo}
 \end{equation}

 Non ci si lasci confondere dalla forma dell'equazione
 \ref{poisson_mag_filo}: l'integrale \`e calcolato rispetto ad ${\bf
 r}^\prime$, che indica punti sul filo, ed ${\bf l = l}({\bf
 r}^\prime)$. Inoltre, siccome stiamo trattando casi stazionari,
 l'equazione \`e valida solo per circuiti chiusi: se il circuito fosse
 aperto, ad una estremit\`a avremmo uno svuotamento di carica ed
 all'altra un accumulo, contrariamente all'ipotesi di stazionariet\`a.

 \section{La legge di Biot e Savart}
 \label{biot-savart}

 Gi\`a l' equazione \ref{poisson_mag_filo} \`e una semplificazione
 importante, ma \`e possibile ottenere direttamente un'espressione per
 {\bf B} che spesso risulta utile. Prendendo il rotore della
 \ref{poisson_mag_filo} ed usando la \ref{a_def} si ha infatti

 \begin{displaymath}
 {\bf B(r)} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \nabla \times \frac{d{\bf
 l}}{|{\bf r - r^\prime}|}
  \end{displaymath}

 \noindent visto che le derivate che compongono il rotore agiscono su
 funzioni del ``punto campo'' ${\bf r}$ e non del ``punto sorgente''
 ${\bf r}^\prime$ (pertanto non agiscono nemmeno su $d{\bf l}$)
 rispetto a cui \`e calcolato l'integrale.

 Per calcolare il secondo membro osserviamo che, posto ${\bf s =
 r-r^\prime}$, si ha $\partial (1/s)/\partial x = \partial s/\partial
 x\ \partial (1/s)/\partial s = -s_x/s^3 $ ed analogamente per $y$ e
 $z$. Allora la componente $x$ dell'integrando diventa

 \begin{displaymath}
 \left. {\bf \nabla \times} d{\bf l}/s \right|_x = \left|
 \begin{array}{ccc} {\bf \hat x} &{\bf \hat y}& {\bf \hat z}\\
 \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} &
 \frac{\partial}{\partial z}\\ dl_x/s & dl_y/s & dl_z/s \end{array}
 \right|_x = dl_y s_z/s^3 - dl_z s_y/s^3 = \left.d{\bf l \times
 s}/s^3\right|_x.
 \end{displaymath}

 Al posto del rotore rimane dunque un semplice prodotto vettore tra
 $d{\bf l}$ e ${\bf s}$:

 \begin{equation}
 {\bf B({\bf r})} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{d{\bf l \times
 s}}{s^3}.
 \label{f_laplace}
 \end{equation}

 Questa equazione \`e nota come {\sl legge di Biot e Savart}\footnote{A
 volte l'espressione \ref{f_laplace} \`e indicata col nome di {\sl
 formula di (Amp\`ere-)Laplace}, o anche come {\sl prima formula di
 Laplace}, ed il nome di Biot e Savart \`e riservato alla \ref{biot} o
 alla \ref{biot_vett}.}.

 \subsection{Filo infinito}

 Utilizziamo la legge di Biot e Savart per ricalcolare il campo magnetico
 generato dal solito filo rettilineo infinito percorso da
 corrente. Data la simmetria del sistema, se prendiamo il filo come
 giacente lungo l'asse $z$, possiamo senza perdere di generalit\`a
 considerare un punto campo di coordinate $(x,y,0) = x {\bf \hat x} + y
 {\bf \hat y}$ e ad una distanza $r=\sqrt{x^2+y^2}$ dal filo.

 Allora la distanza $s$ tra il punto campo ed il punto sorgente si
 esprime in termini di $r$ e dell'angolo $\theta$ fra ${\bf s}$ e ${\bf
 \hat z}$ come $s \sin \theta = r$, e la posizione lungo il filo come
 $l=-s \cos \theta = -r \cot \theta$ (il segno negativo viene dal fatto
 di prendere negative le coordinate al di sotto del piano
 $z=0$). Perci\`o $d{\bf l = \hat z}\ r d\theta/ \sin^2 \theta$. Si
 pu\`o dare anche l'espressione del vettore ${\bf s} = x {\bf \hat x} +
 y {\bf \hat y} - {\bf \hat z} l$, da cui $d{\bf l \times s} = {\bf
 \hat z \times s}\ r d\theta/\sin^2 \theta = \left(-y {\bf \hat x} + x
 {\bf \hat y} \right) r d \theta/ \sin^2 \theta$. L'integrale
 \ref{f_laplace} diventa dunque

 \begin{displaymath}
 {\bf B(r)} = \left(-y {\bf \hat x} + x {\bf \hat y} \right)
 \frac{\mu_0 I}{4\pi r^2} \int_0^\pi \sin \theta\ d\theta =\left(-y
 {\bf \hat x} + x {\bf \hat y} \right) \frac{\mu_0 I}{2\pi r^2}
 \end{displaymath}

 \noindent che coincide con la \ref{biot_vett}.

 \subsection{Spira}

 Consideriamo una spira circolare di raggio $a$ che giaccia nel piano
 $yz$, percorsa da una corrente $I$. Il calcolo del campo in un punto
 generico \`e possibile ma complicato; ci limitiamo al calcolo lungo
 l'asse della spira, l'asse $x$, ipotizzando che la corrente scorra in
 senso orario se vista da un osservatore con la testa in direzione
 dell'asse $x$ positivo.

 La simmetria indica subito che il campo ${\bf B}$ su tale asse deve
 avere direzione ${\bf \hat x}$; infatti ogni contributo perpendicolare
 ad essa provenente da un tratto di spira viene cancellato da un
 contributo uguale ed opposto da un tratto di spira diametralmente
 opposto.

 Per calcolare il campo parallelo ad ${\bf \hat x}$ nel punto $x$,
 vediamo per prima cosa che $|d{\bf l \times s}| = s\ dl =
 \sqrt{a^2+x^2}\ dl$, e con direzione angolata di un angolo tale che $s
 \cos \theta = a$, dove $\theta$ \`e anche l'angolazione rispetto
 all'asse $x$. Perci\`o ${\bf B}$ vale

 \begin{equation}
 {\bf B}(x) = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int \frac{\cos \theta dl}{s^2}\
 {\bf \hat x} = \frac{\mu_0 I a}{4\pi s^3} \int dl\ {\bf \hat x} =
 \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2+x^2)^{3/2}}\ {\bf \hat x} = \frac{\mu_0 {\bf
 m}}{2\pi(a^2+x^2)^{3/2}}
 \label{campospira}
 \end{equation}

 \noindent dove ${\bf m}$ \`e il momento magnetico della spira. A
 grande distanza, $a$ \`e trascurabile rispetto a $x$ e si ottiene

 \begin{equation}
 {\bf B}(x) = \frac{\mu_0 {\bf m}}{2\pi x^3}.
 \label{campodip}
 \end{equation}

 Si vede che il campo a grandi distanze dipende esclusivamente dal
 valore di ${\bf m}$ e non separatamente dai dettagli della geometria o
 dal valore di $I$ (si dimostra che in una direzione generica ${\bf
 \hat r}$ il campo vale $\mu_0{\left[3\bf (m \cdot \hat r) \hat r - m
 \right]}/4\pi r^3$, in perfetta analogia col caso
 elettrostatico).

 Questo \`e solo un esempio dello sviluppo del campo magnetico in
 multipoli (in completa analogia col caso elettrico), uno sviluppo in
 serie in cui ogni termine dello sviluppo decade via via pi\`u
 velocemente con la distanza ed in cui il termine di dipolo \`e
 semplicemente il primo termine. A differenza del caso elettrico,
 infatti, in quello magnetico il termine di monopolo non
 esiste. Pertanto, eccettuato il caso in cui ${\bf m=0}$, il campo
 magnetico di un sistema di correnti stazionarie a grandi distanze
 tende asintoticamente al campo di dipolo. Questo si pu\`o verificare,
 per esempio, calcolando i campi generati da spire piane di altra forma
 ({\it Esercizio:} spira quadrata) e verificando che a grandi distanze
 hanno tutti esattamente la forma \ref{campodip}.

 \subsection{Solenoide}

 Come abbiamo gi\`a visto, un solenoide pu\`o essere visto come una
 serie di spire identiche coassiali collegate in parallelo. Il campo al
 suo interno \`e quindi calcolabile come somma dei campi generati da
 tutte le spire. Posto parallelo all'asse $x$ l'asse del solenoide e
 presa $x=0$ la coordinata di un punto lungo l'asse posto a distanza
 $L$ dall'estremit\`a sinistra ed $L^\prime$ da quella destra, si vede
 subito che il campo in quel punto \`e la somma di tanti campi
 paralleli all'asse, dunque \`e anch'esso parallelo all'asse. Il suo
 modulo si calcola sommando i contributi di tutte le spire. Ricordando
 che ci sono $n=N/L$ spire per unit\`a di lunghezza, vediamo che in un
 tratto $dx$ ci sono $dN=ndx$ spire, ognuna delle quali fornisce un
 contributo dato dalla \ref{campospira}, per cui:

 \begin{displaymath}
 B = \int_{-L}^{L^\prime} \frac{\mu_0 I a^2}{2(a^2+x^2)^{3/2}} n\ dx.
 \end{displaymath}

 L'integrale si calcola con la sostituzione $x=a \tan t$:

 \begin{displaymath}
 B = \frac{\mu_0 n I}{2} \int_{-\arctan(L/a)}^{\arctan(L^\prime/a)}
 \frac{1+\tan^2 t}{(1+\tan^2 t)^{3/2}}\ dt = \frac{\mu_0 n I}{2}
 \int_{-\arctan(L/a)}^{\arctan(L^\prime/a)} \cos t\ dt
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
 = \frac{\mu_0 n I}{2} \left. \sin t
 \right|_{-\arctan(L/a)}^{\arctan(L^\prime/a)} = \frac{\mu_0 n
 I}{2}\left[\frac{L/a}{\sqrt{1+(L/a)^2}}+
 \frac{L^\prime/a}{\sqrt{1+(L^\prime/a)^2}}\right].
 \end{displaymath}

 Per $L, L^\prime\to\infty$ il risultato coincide, come deve, con la
 \ref{solenoide}. Si vede anche che il campo all'estremit\`a di un
 solenoide semiinfinito (es. $L\to\infty, L^\prime=0$) \`e la met\`a di
 quello all'interno di uno infinito. ({\it Esercizio:} trovare il termine
correttivo principale, nel caso di un solenoide finito con $L=L^\prime$,
al campo di un solenoide infinito).

 Si sar\`a notato che laddove si \`e abbastanza fortunati da poter
 invocare considerazioni di simmetria l'utilizzo della legge di
 Amp\`ere permette calcoli pi\`u rapidi e semplici.


 \section{Cenni sul magnetismo nella materia}
 \label{magnetismo_materia}

 \subsection{I tre vettori magnetici}

 Quando un materiale \`e soggetto ad un campo magnetico esterno --- e,
 come vedremo, a volte anche quando non lo \`e --- si ha un effetto
 simile a quello della polarizzazione dei dielettrici nel caso
 elettrostatico, ovvero il materiale stesso genera un campo magnetico
 che si aggiunge a quello esterno. Questo effetto viene detto {\sl
 magnetizzazione}. A differenza per\`o del caso elettrostatico, in cui
 il campo addizionale \`e sempre diretto in direzione opposta a quello
 esterno, nel caso magnetostatico la magnetizzazione pu\`o creare un
 campo sia opposto a quello esterno, ed in questo caso si parla di {\sl
 diamagnetismo}, sia concorde ad esso, e si parla allora di {\sl
 paramagnetismo} o {\sl ferromagnetismo}.

 La magnetizzazione si pu\`o descrivere tramite il {\sl vettore
 magnetizzazione} ${\bf M}$,
 ovvero il momento magnetico del materiale per unit\`a di volume,
 che si misura in A m$^{-1}$. A partire da ${\bf M}$ e da ${\bf B}$ si
 definisce un terzo vettore ${\bf H} = {\bf B}/\mu_0 - {\bf M}$, detto
 {\sl campo magnetizzante}\footnote{O semplicemente ``campo
 $H$''. Tradizionalmente era il vettore ${\bf H}$ ad essere chiamato
 campo magnetico, e questo uso lo si trova ancora su alcuni
 testi.}. L'importanza di questo terzo vettore sta nel fatto che si
 pu\`o dimostrare che in funzione di esso la legge di Amp\`ere assume
 una forma pi\`u semplice:

 \begin{equation}
 \nabla \times {\bf H} = {\bf j}_{libera}
 \label{h_diff}
 \end{equation}

 \noindent e in forma integrale

 \begin{equation}
 \oint {\bf H \cdot} d{\bf l} = I_{libera}
 \label{h_int}
 \end{equation}

 \noindent dove il pedice ``libera'' indica che non si considerano le
 correnti di magnetizzazione all'interno del materiale; in pratica, si
 considerano solo le correnti accessibili direttamente allo
 sperimentatore tramite fili ecc.. (Si confronti con la legge di Gauss
 espressa come $\oint {\bf D \cdot} d{\bf S} = q_{libera}$.) Si tratta
 di una relazione del tutto generale; si osservi per\`o che non si
 pu\`o dare una relazione altrettanto generale per la divergenza di
 {\bf H} --- non \`e un campo solenoidale, se non nel vuoto --- per cui
 \`e necessario conoscere la {\sl relazione costitutiva} che lo
 collega con {\bf B}.

 A questo fine, se si assume che ${\bf M}$ ed ${\bf H}$ siano paralleli
 e proporzionali tra loro, si definisce un coefficiente $\chi$,
 adimensionale, detto {\sl suscettibilit\`a magnetica}, dato da ${\bf
 M} = \chi {\bf H}$.  Tramite la relazione ${\bf B} = \mu_0 {\bf (H +
 M)} = \mu_0 (1+\chi) {\bf H} = \mu {\bf H}$ si definisce infine un
 nuovo coefficiente $\mu$ detto {\sl permeabilit\`a magnetica} che
 gioca un ruolo simile alla costante dielettrica $\epsilon$ in
 elettrostatica: indica cio\`e di quanto viene alterato il campo
 magnetico in presenza di un materiale. Infatti

 \begin{displaymath}
 \oint {\bf H \cdot} d{\bf l} = \oint \frac{\bf B}{\mu} \cdot d{\bf l}
 = I_{libera} \Rightarrow \oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \mu I_{libera}
 \end{displaymath}

 \noindent e confrontandola con la \ref{ampere_int} si vede che
 l'effetto del materiale sul campo generato da una corrente data \`e di
 sostituire $\mu_0$ con $\mu$. (Ancora, \`e istruttivo confrontare con
 la legge di Gauss espressa come $\oint {\bf E \cdot} d{\bf S} =
 q_{libera}/\epsilon$.)

 Si noti che queste relazioni sono del tutto generali --- si tratta
 pi\`u che altro di definizioni --- purch\'e valgano due ipotesi: che
 ${\bf M}$ ed ${\bf H}$ siano paralleli, e che la relazione tra essi
 sia lineare. La prima pu\`o essere eliminata permettendo
 all'occorrenza che $\chi$ sia un tensore; la seconda, come si
 vedr\`a tra poco, \`e violata in casi importanti ed il discorso si fa
 pi\`u delicato.

 A differenza del caso elettrostatico non \`e detto che la {\sl
 permeabilit\`a relativa} $\mu_r = \mu/\mu_0$ sia sempre maggiore o
 sempre minore di 1. Infatti, come gi\`a detto, esistono sia materiali
 {\sl diamagnetici}, con $\chi<0 \Rightarrow \mu_r<1$, che {\sl
 paramagnetici}, con $\chi>0\Rightarrow \mu_r>1$ (i materiali {\sl
 ferromagnetici} meritano un discorso a parte). I valori tipici di
 $\chi$, per paramagneti e diamagneti, sono dell'ordine di $10^{-4}
 \div 10^{-5}$, per cui $\mu_r$ \`e nella maggioranza dei casi
 praticamente uguale ad 1. Si confronti questo con $\epsilon_r$ che
 raggiunge facilmente valori elevati; per l'acqua, per esempio,
 $\epsilon_r=78$.



  \subsection{Il meccanismo della magnetizzazione}

 Una spiegazione microscopica del fenomeno della magnetizzazione
 non pu\`o essere data in termini semplici. Bisogna tener conto che
  il magnetismo nella materia \`e un fenomeno che richiede {\sl
  necessariamente} una trattazione quantistica; si pu\`o dimostrare
  facilmente che in un sistema all'equilibrio termico governato dalla
  meccanica classica non \`e possibile avere magnetizzazione di alcun
  tipo. Molte trattazioni che si trovano sui libri di testo sono
  ingannevoli, perch\'e sebbene formalmente corrette non dimostrano
  ci\`o che sembrano voler dimostrare.

  In termini molto generici, si pu\`o dire che la magnetizzazione nella
  materia \`e dovuta a due tipi di fenomeno:

  \begin{itemize}

  \item Magnetismo orbitale. Gli orbitali e le energie degli elettroni
  nel materiale vengono leggermente alterati dalla presenza del campo
  magnetico e di conseguenza gli elettroni, essendo particelle cariche
  in movimento, a loro volta generano un campo magnetico.

  \item Magnetismo di spin. Gli elettroni (anche i nuclei, ma qui
  importano poco) possiedono un momento magnetico intrinseco.
 Sottoposti ad un campo magnetico questi spin tendono ad allinearsi
 lungo la direzione di esso generando di conseguenza un campo netto
 aggiuntivo.

  \end{itemize}

  Nei materiali gli elettroni si raccolgono in quelle che sono
  chiamate {\sl bande di energia}. Se tutti gli elettroni appartengono
  a bande totalmente riempite ({\sl shell chiuse}, nel linguaggio
  della fisica atomica), il che accade negli isolanti e nei
  semiconduttori, si ha diamagnetismo; se alcuni elettroni
  appartengono a bande parzialmente riempite ({\sl shell aperte}),
  come nei metalli, si ha spesso paramagnetismo. Spesso, non sempre,
  perch\'e un contributo diamagnetico lo si ha comunque (per via delle
  shell chiuse) e tutto dipende da quale dei due \`e pi\`u forte.

  Il caso dei ferromagneti \`e un po' diverso. In essi il magnetismo
  \`e essenzialmente di spin ed esistono interazioni -
  elettrostatiche, non magnetiche - fra gli elettroni che tendono a
  mantenere allineati gli spin stessi. Evidentemente se si applica un
  campo magnetico esterno, pi\`u spin elettronici si allineeranno
  lungo di esso generando un campo indotto pi\`u forte quanto pi\`u
  forte \`e il campo esterno inducente. In virt\`u delle interazioni
  elettroniche acccennate in precedenza, questo allineamento ed il
  relativo campo magnetico indotto rimane, almeno in parte, anche
  quando il campo esterno viene rimosso ({\sl isteresi magnetica}),
  dando origine ai magneti permanenti.

  Perch\'e gli spin non sono sempre necessariamente allineati -
  in altre parole, perch\'e un pezzo di ferro dolce non \`e sempre una
  calamita? Le ragioni sono fondamentalmente due.

  Da una parte, c'\`e l'agitazione termica. Il moto caotico degli atomi
  "squassa" il sistema di spin, un po' come l' agitare una cassetta
  piena di biglie le mette in disordine. Man mano che la temperatura
  sale, la tendenza degli spin ad allinearsi viene soffocata e al di
  sopra di una temperatura critica $T_c$, detta {\sl temperatura di Curie},
  scompare del tutto ed il materiale \`e completamente privo di
  magnetizzazione.

  Dall'altra parte, l'effetto del campo magnetico indotto \`e stato
  finora del tutto trascurato.  Ogni elettrone contribuisce al campo
  magnetico a seconda della direzione del proprio spin; se gli spin
  sono antiparalleli gli effetti si cancellano, ma se sono paralleli
  si sommano; \`e proprio questo il campo magnetico indotto. Il
  contributo \`e piccolo, e finch\'e gli spin allineati sono pochi si
  pu\`o trascurare. Per\`o l'energia magnetica (quella che si deve
  spendere per generare un campo magnetico $H$) \`e proporzionale ad
  $H^2$.Quando il numero di spin allineati supera una certa soglia, la
  ``spesa magnetica'' risulta dominante ed il sistema trova
  sfavorevole, dal punto di vista energetico, allineare gli spin.  Il
  risultato netto \`e che nel materiale si formano zone, dette {\sl
  domini magnetici}, in cui gli spin sono allineati in un verso, ma ai
  bordi ({\sl muri di Bloch}) si girano e si passa ad un altro dominio
  in cui sono allineati nel verso opposto. Questo permette di avere
  tanti spin orientati nel verso giusto per massimizzare il guadagno
  dovuto allo scambio, ma al tempo stesso di minimizzare il campo
  magnetico macroscopico, perch\'e ogni dominio genera un campo che
  tende ad essere cancellato dal campo generato dal dominio adiacente.

  Se si applica un campo magnetico esterno i domini paralleli al campo
  esterno saranno favoriti energeticamente rispetto agli altri, dunque
  si espanderanno a discapito dei secondi; il materiale si magnetizza
  in direzione parallela al campo esterno. Se poi tale campo \`e
  veramente intenso, tutti gli spin puntano nella sua direzione e da
  quel punto in poi la magnetizzazione non cresce pi\`u; \`e la {\sl
  saturazione}.

  Quando viene tolto il campo esterno, la situazione dovrebbe tornare
  in equilibrio; per\`o di fatto la riconversione non \`e facile, ed
  il magnete rimane intrappolato in una situazione in cui i domini che
  puntano in una direzione rimangono in maggioranza. Questo fenomeno,
  detto {\sl isteresi magnetica}, \`e alla base dell'esistenza dei
  magneti permanenti: le calamite.


%  \vfill\hrule
%  {\sl {\sc Bibliografia:} \cite{jackson} cap. ?, \cite{berkeley}
%  cap. 6, \cite{halliday} cap. 33, 34 e 37, \cite {kittel} cap. 14? e
%  15?.}

  \chapter{Elettrodinamica}


  \section{L'induzione elettromagnetica} 
  \label{faraday}

 Finora sono stati considerati solo campi statici. Si \`e visto che in
 queste condizioni i campi elettrici e magnetici sono due entit\`a
 indipendenti tra loro e non vi \`e alcuna legge, eccettuata la forza
 di Lorentz, che li vede comparire insieme: essi possono essere
 determinati in modo separato, il campo elettrico da un lato e quello
 magnetico dall'altro.

 Quando si ammette che i campi possano variare nel tempo le cose
 cambiano radicalmente. I due campi elettrico e magnetico risultano
 essere in stretto collegamento, come si poteva sospettare dal fatto
 che le sorgenti di {\bf E} sono le cariche e quelle di {\bf B} le
 correnti, ovvero cariche in movimento, e che entrambi i campi agiscono
 sulle cariche elettriche. Da qui in poi quindi non si potr\`a pi\`u a
 rigore parlare di campi elettrici e magnetici separatamente, ma solo
 di un'unica entit\`a nota come {\sl campo elettromagnetico}.

 \subsection{Campo variabile, circuito fisso}

 Ai tempi in cui il fisico inglese Michael Faraday era attivo era gi\`a
 noto che una corrente genera quello che noi ora chiamiamo campo
 magnetico\footnote{Il concetto ed il nome stesso di campo lo dobbiamo
 a lui.}. Egli si chiese se, cos\`i come una corrente genera un campo
 magnetico, un campo magnetico genera una corrente. Dopo molti sforzi
 trov\`o che la risposta sperimentale \`e negativa: anche campi molto
 intensi non producono correnti misurabili. Trov\`o anche, per\`o, che
 un campo magnetico {\sl variabile nel tempo} genera una corrente
 elettrica. Ricordiamo che per fare circolare una corrente c'\`e
 bisogno di un campo elettrico: sappiamo infatti che un campo magnetico
 pu\`o solo variare la velocit\`a delle particelle e non aumentarne (o
 diminuirne) il modulo, quindi non pu\`o metterle in moto. Dalle
 osservazioni di Faraday si evince quindi che un campo {\bf B}
 variabile col tempo genera una {\sl forza elettromotrice}, o {\sl
 tensione}, e precisamente risulta che tale tensione \`e pari alla
 variazione col tempo, cambiata di segno, del flusso di {\bf B}
 concatenato col circuito:

 \begin{equation}
 V = \oint {\bf E \cdot} d{\bf l} = -\frac{d}{dt} \int {\bf B \cdot}
 d{\bf S} = -\frac{d}{dt} \Phi_B
 \label{faraday_int}
 \end{equation}

 \noindent dove il flusso di {\bf B} \`e appunto calcolato su di una
 superficie avente come bordo ( o ``che si appoggia a'') il percorso
 sul quale si calcola l'integrale a primo membro. Questa legge \`e nota
 come {\sl legge di Faraday(-Henry)}.

 \`E lecito chiedersi: quale delle infinite superfici aventi tale
 percorso come bordo bisogna scegliere?  Una qualunque; come si \`e visto
 nella sezione \ref{solenoidalita} il risultato
 non dipende da tale scelta.

 \subsection{Campo fisso, circuito in moto}

 Consideriamo adesso il caso, in apparenza del tutto diverso, di una
 sottile sbarra metallica di lunghezza $l$ che si muove con velocit\`a
 {\bf v}, misurata in un determinato sistema di riferimento $S$, che
 supponiamo inerziale, e
 immersa in un campo magnetico {\bf B} costante e uniforme. Per
 semplicit\`a --- ma nulla nel ragionamento dipende crucialmente da
 questo --- poniamo che {\bf v} sia costante e che i vettori {\bf v},
 {\bf B} e la direzione della sbarra ${\bf \hat l}$ siano tutti
 perpendicolari tra loro e formino una terna destrorsa (${\bf \hat l =
 \hat v \times \hat B}$). Le cariche mobili nella sbarra potranno, in
 pratica, spostarsi solo nella direzione parallela ad essa. Per la
 legge di Lorentz \ref{florentz}, ognuna di esse sentir\`a una forza
 pari a ${\bf F} = q {\bf v \times B} = q v B {\bf \hat l}$.

 Mettiamoci ora nel sistema di riferimento $S^\prime$ solidale con la
 sbarra. Qui ${\bf v} = 0$ e pertanto non si ha forza magnetica. Per il
 principio di relativit\`a per\`o la forza misurata in $S^\prime$, che
 \`e anch'esso un sistema inerziale, deve
 essere la stessa che in $S$; se ne conclude che in $S^\prime$ esiste
 una forza ${\bf F} = q v B {\bf \hat l}$, sentita solo dalle cariche, che si
 esercita anche sulle cariche ferme. Deve perci\`o, per definizione,
 trattarsi di una forza elettrica, derivante da un campo elettrico
 ${\bf E^\prime = F}/q = v B {\bf \hat l}= {\bf v \times B}$. Quindi
 {\sl il campo magnetico in $S$ \`e visto come campo elettrico in
 $S^\prime$}.

 Immaginiamo che la sbarra formi il quarto lato di un circuito, reale
 od immaginario, di forma rettangolare. Il lato opposto alla sbarra ha
 evidentemente lunghezza $l$; quelli perpendicolari avranno lunghezza $a+v
 t$, con $a$ un valore arbitrario che scegliamo positivo (e siccome $v$
 \`e il modulo di un vettore, quindi anch'esso positivo, stiamo
 considerando un circuito che si ingrandisce). Allora la forza
 elettromotrice nel circuito vale, visto che ${\bf E^\prime}$ \`e
 diverso da zero solo sulla sbarra ed \`e ivi uniforme, $\oint {\bf
 E^\prime} \cdot d{\bf l} = - E^\prime l = - B l v$, dove il segno meno
 deriva dal fatto che il verso di percorrenza positivo del circuito \`e
 antiorario se visto da un osservatore orientato come {\bf B}.

 Il flusso magnetico all'interno di questo circuito risulta funzione
 del tempo: $\Phi_B = B S = B l (a + v t)$, e la sua derivata \`e
 $d\Phi_B/dt = B l v.$ Pertanto anche in questo caso, oltre che in
 quello del circuito fisso, abbiamo

 \begin{displaymath}
 \oint {\bf E^\prime} \cdot d{\bf l} = - \frac{d\Phi_B}{dt}.
 \end{displaymath}

 Il ragionamento appena svolto pu\`o essere generalizzato a tutti i
 possibili casi di variazione del flusso, che per\`o si riducono in
 essenza ai due visti finora (il ragionamento lo si pu\`o trovare nei
 testi indicati in Bibliografia). La legge di Faraday dunque vale
 sempre: {\sl si ha forza elettromotrice ogniqualvolta varia il flusso
 magnetico attraverso un circuito, qualunque sia la causa di questa
 variazione, e tale forza elettromotrice \`e sempre data dalla
 \ref{faraday_int}}.

 L'equazione \ref{faraday_int} naturalmente ammette una forma differenziale

 \begin{equation}
 {\bf \nabla \times E} = -\frac{\partial{\bf B}}{\partial t}
 \label{faraday_diff}
 \end{equation}

 \noindent che ci dice, tra le altre cose, che la legge di Faraday non
 \`e legata all'esistenza di un circuito, ma {\sl \`e una relazione tra
 i campi valida in generale}.

 Segue inoltre da questa legge che al di fuori del caso statico {\bf E}
 non \`e pi\`u irrotazionale o, che \`e lo stesso, che il suo integrale
 lungo una superficie chiusa non \`e pi\`u necessariamente nullo. A sua
 volta questo implica che in generale non \`e possibile ricavare {\bf
 E} come gradiente di una funzione scalare. La questione dei potenziali
 deve quindi essere riesaminata da capo, come vedremo nel seguito.

 \subsection{La conservazione dell'energia}

 Nel caso appena visto della sbarra che si muove, la \ref{forza_filo}
 ci dice che la sbarra stessa \`e soggetta ad una forza. Infatti, ponendo per
 fissare le idee ${\bf B} = B {\bf \hat y}, {\bf v} = v {\bf \hat x}$ e
 ${\bf \hat l = \hat z}$, si ha

 \begin{displaymath}
 {\bf F} = I {\bf a \times B} = I \left( -a {\bf \hat y} \times B{\bf
 \hat z} \right) = -IaB {\bf \hat x},
 \end{displaymath}

 \noindent ovvero una forza diretta in modo tale da {\sl opporsi} al
 movimento della sbarra, quindi alla variazione del flusso magnetico.
 Perch\'e la sbarra si possa muovere di velocit\`a costante \`e quindi
 necessario applicare una forza eguale ed opposta, o in altri termini
 spendere una potenza (energia per unit\`a di tempo) pari a $W = \left|
 {\bf F \cdot v} \right| = IaBv$.

 Dove va a finire questa energia? Immaginiamo per esempio che la sbarra
 sia connessa ad un circuito di resistenza $R$; allora la corrente vale
 $I=V/R=aBv/R$ e la potenza da fornire \`e $W = IaBv = a^2 B^2 v^2
 /R$. Sulla resistenza peraltro si dissipa una potenza pari a $P = RI^2
 = R\ a^2 B^2 v^2 / R^2 = W$. Il bilancio energetico dunque \`e in
 pareggio: l'energia fornita per far muovere la sbarra viene tutta
 dissipata sulla resistenza, e viceversa.

 Si noti che per questo \`e essenziale che la legge di Faraday abbia il
 segno negativo davanti alla derivata del flusso (un risultato detto
 {\sl legge di Lenz}). Se cos\`i non fosse, la sbarra riceverebbe una
 forza non opposta, ma concorde al movimento, e che tenderebbe a farla
 accelerare invece che rallentare. Di conseguenza la sbarra si
 autoaccelererebbe: non appena messa in moto aumenterebbe
 spontaneamente la propria velocit\`a senza pi\`u bisogno di una forza
 esterna, producendo energia dal nulla.

 Si noti che questo esempio ci mostra che {\sl per variare il flusso
 magnetico bisogna spendere energia}. Questa conclusione \`e valida non
 solo per il caso qui esposto del circuito in moto, ma in generale.

 \subsection{L'alternatore}

 Consideriamo ora una spira di area $S$ e costituita da $N$
 avvolgimenti che ruota in un campo magnetico uniforme ${\bf B}$ con
 velocit\`a angolare costante $\omega$ attorno ad un asse
 perpendicolare al campo. Il flusso magnetico sar\`a dato, scegliendo
 opportunamente l'origine dei tempi, da $\Phi_B = {\bf B \cdot S} = BS
 \cos \omega t$. Su ogni avvolgimento della spira viene dunque generata
 una tensione pari a $V = BS \omega \sin \omega t$, e la tensione
 totale \`e dunque

 \begin{displaymath}
 V = NBS \omega \sin \omega t.
 \end{displaymath}

 Questo \`e il modo pi\`u semplice di generare una tensione, dunque una
 corrente elettrica. Dispositivi di questo tipo sono i prototipi dei
 generatori di tensione (corrente), e come si vede la tensione
 (corrente) generata \`e {\sl alternata}, vale a dire cambia
 periodicamente verso, da cui il nome di {\sl alternatore} dato al
 dispositivo. Per generare corrente continua $I=$ costante con questa
 tecnica \`e necessario ricorrere a qualche accorgimento.

 Per generare la tensione \`e necessario spendere energia. Infatti si
 ottiene una corrente, e questo richiede una potenza istantanea $P(t) =
 V(t)I(t) = I(t) NBS \omega \sin \omega t$.  Da dove viene questa
 energia? Da quanto detto nel paragrafo precedente, deve derivare
 dall'energia necessaria per mantenere in moto la spira; sappiamo
 infatti dall'esempio della sbarra che per muovere un conduttore in un
 campo magnetico c'\`e bisogno di applicare una forza. L'energia non
 potrebbe venire dal campo magnetico: basti pensare che questo potrebbe
 essere generato (anche se nei generatori pratici di solito non \`e
 cos\`i) da dei magneti permanenti, che proprio in quanto permanenti
 non necessitano di energia per mantenere il loro campo. Deve quindi
 venire da una forza esterna.

 Calcoliamo dunque l'energia trasferita alla spira nell'unit\`a di
 tempo. Derivando la \ref{energia_mom} si ottiene

 \begin{displaymath}
 \frac{dU}{dt} = - \frac{d}{dt}\ {\bf m\cdot B} = I(t) NSB\omega \sin
 \omega t
 \end{displaymath}

 \noindent che \`e proprio l'energia richiesta per mantenere in circolo
 la corrente. Il generatore genera energia elettrica, ma non energia
 {\sl tout-court} (altrimenti avremmo il moto perpetuo): si limita a
 convertire l'energia fornita per far girare la spira --- che pu\`o
 derivare da una turbina a vapore alimentata a carbone, petrolio o
 energia nucleare, o da turbine ad acqua come nelle centrali
 idroelettriche, o da pale di mulini a vento, o dal motore di
 un'automobile, o magari dalla forza muscolare --- in energia elettrica
 che pu\`o poi essere facilmente distribuita.

 \section{Induttanza}

 \subsection{Autoinduzione}

 In tutti gli esempi visti finora, il flusso del campo magnetico \`e
 risultato proporzionale alla corrente $I$. Pertanto in casi simili,
 piuttosto frequenti, quando ${\bf B}$ varia col tempo la tensione $V$
 \`e proporzionale a $dI/dt$:

 \begin{equation}
 V = L\ \frac{dI}{dt}.
 \label{induttanza}
 \end{equation}

 Il coefficiente $L$ \`e chiamato {\sl coefficiente di autoinduzione} e
 si misura in Henry (unit\`a gi\`a incontrata in precedenza nella
 definizione della permeabilit\`a magnetica) H = m$^2$ kg C$^{-2}$.
 Dispositivi con $L\neq 0$ sono chiamate induttanze; la tipica
 induttanza \`e il solenoide, per il quale nel caso ideale il
 coefficiente di autoinduzione per unit\`a di lunghezza vale $L/l=\mu_0
 n^2 S$ ({\it Esercizio}: dimostrarlo).

 Le induttanze accumulano energia, come i condensatori, ma a differenza
 di questi ultimi, in cui l'energia \`e dovuta all'attrazione
 elettrostatica tra le cariche sulle armature, nelle induttanze
 l'energia \`e dovuta all'opposizione (dovuta all'induzione
 elettromagnetica) che esercita il flusso al cambiamento della propria
 intensit\`a, e che in questi casi \`e equivalente a dire che vi \`e
 un' opposizione della corrente al cambiamento della propria
 intensit\`a. Il valore dell'energia accumulata lo si ottiene
 facilmente considerando che, se $v=v(t)$ e $i=i(t)$ sono
 rispettivamente la tensione e la corrente istantanee nell'induttanza,
 l'energia necessaria per instaurare una corrente $I$ partendo dallo
 stato di assenza di corrente \`e

 \begin{equation}
 U = \int_0^I P(t)\ dt = \int_0^I v(t) i(t)\ dt = L \int_0^I i(t)
 \frac{di(t)}{dt}\ dt = \frac{1}{2} L I^2.
 \label{energia_induttanza}
 \end{equation}

 Si noti l'affinit\`a della \ref{energia_induttanza} con l'equazione
 \ref{energia_condensatore} che esprime l'energia accumulata in un
 condensatore $U = q^2/2C$, mentre l' analogia con la legge di Joule $P
 = R I^2$ \`e ingannevole in quanto la resistenza non accumula energia
 ma la dissipa, mentre condensatori ed induttanze (ideali) accumulano
 energia e non la dissipano.

 In effetti le induttanze

\begin{displaymath}
V=L\ dI/dt,
\end{displaymath}

i condensatori 

\begin{displaymath}
V=q/C= \int I\ dt / C,
\end{displaymath}

 e le resistenze 

\begin{displaymath}
V=RI
\end{displaymath}

 hanno in comune la caratteristica
 di avere una relazione {\sl lineare} tra corrente e tensione. Si
 tratta dei dispositivi lineari pi\`u importanti e come tali sono alle
 fondamenta dell'elettrotecnica.  Non si dimentichi per\`o che nell'
 elettronica hanno amplissimo e fondamentale uso dispositivi {\sl non
 lineari} come diodi e transistor. Un diodo a semiconduttore, per
 esempio, ha una relazione tra tensione e corrente data da
 $I=I_0\left(e^{kV}-1\right)$, dove $I_0$ e $k$ sono funzioni della
 temperatura caratteristiche dello specifico dispositivo.

 \subsection{Mutua induzione. Il trasformatore}

 Vi \`e un quarto importante tipo di dispositivo lineare, detto {\sl
 mutua induttanza}. Nella discussione dell' induttanza non vi \`e nulla
 che imponga che il circuito che genera il flusso magnetico debba
 essere lo stesso nel quale si misura la tensione; se il flusso
 generato da un dispositivo ne attraversa un secondo, avremo una
 tensione $V_2$ nel secondo proporzionale alla variazione di corrente
 $I_1$ nel primo:

 \begin{equation}
 V_2 = M_{21}\ \frac{dI_1}{dt}.
 \label{mutua_induttanza}
 \end{equation}

 \noindent ed il coefficiente $M_{21}$ \`e detto {\sl coefficiente di
 mutua induzione}. Dispositivi del genere accoppiano circuiti o parti
 di circuiti che in corrente continua sarebbero separati. L' unit\`a di
 misura della mutua induttanza ovviamente \`e ancora l'Henry.

 Un esempio semplice ed importante di mutua induttanza \`e quello di
 due solenoidi 1 e 2, formati da $N_1$ e $N_2$ spire rispettivamente,
 avvolti attorno allo stesso traferro, di sezione $S$, piegato a forma
 di anello. Questa sistemazione permette di convogliare praticamente
 tutte le linee di campo magnetico generate da un solenoide all'interno
 dell'altro. Supporremo che si possano utilizzare le formule per
 solenoidi infiniti. Nel solenoide 1, detto {\sl primario}, di
 lunghezza $l_1$, scorre una corrente $I_1$ che genera un campo
 magnetico $B = \mu N_1 I_1 /l_1 = \mu n_1 I_1$ e di conseguenza un
 flusso $\Phi_1 = \mu n_1 S I_1$. Questo flusso \`e, per l'ipotesi,
 concatenato con ogni spira del solenoide 2 --- il {\sl secondario} ---
 per cui il flusso totale nel secondario \`e $\Phi_2 = \mu n_1 N_2 S
 I_1$. La mutua induttanza perci\`o \`e $M_{21}=\mu n_1 N_2 S$.

 Siccome ai capi del primario si ha una tensione pari a $V_1=L_1
 dI_1/dt = \mu n_1^2 S l_1 dI_1/dt$ , tra le due tensioni $V_1$ e $V_2$
 vale la relazione

 \begin{equation}
 V_2/V_1 = M_{21} / L_1 = \mu n_1 N_2 S / \mu n_1^2 S l_1 = N_2 /N_1.
 \end{equation}

 Questo dispositivo permette dunque di trasformare una tensione
 alternata $V_1$ in un'altra $V_2$ pi\`u alta o pi\`u bassa a seconda
 del numero di avvolgimenti nel primario e nel secondario. \`E perci\`o
 chiamato {\sl trasformatore}. La possibilit\`a di trasformare la
 tensione a piacimento \`e probabilmente il maggior vantaggio offerto
 dalle correnti alternate rispetto a quelle continue.

 \section{Circuiti oscillanti}

 Il circuito basilare dell'elettrotecnica \`e il circuito ad una maglia
 in cui si suppone che le varie caratteristiche del circuito:

 \begin{itemize}
 \item Tensione applicata $V$
 \item Resistenza $R$
 \item Capacit\`a $C$
 \item Induttanza $L$
 \end{itemize}

 \noindent siano {\sl concentrate} ciascuna in un elemento
 circuitale. Perci\`o si suppone che un'induttanza abbia resistenza
 trascurabile, che una resistenza abbia capacit\`a trascurabile e
 cos\`i via. \`E facile scrivere l'equazione differenziale che descrive
 il comportamento di un circuito del genere, chiamato per ovvie ragioni
 {\sl circuito RLC a costanti concentrate}. Basta imporre che la somma
 algebrica delle variazioni di tensione sia nulla:

 \begin{equation}
 V = L \frac{dI}{dt} + R I + q/C 
 \label{rlc}
 \end{equation}

 \noindent da cui derivando

 \begin{equation}
 \frac{dV}{dt} = L \frac{d^2 I}{dt^2} + R \frac{dI}{dt} + I/C. 
 \label{rlc_corrente}
 \end{equation}

 Naturalmente si pu\`o anche scrivere l'equazione per la carica
 accumulata (che, per le ipotesi fatte, \`e tutta sul condensatore)

 \begin{equation}
 V = L \frac{d^2 q}{dt^2} + R \frac{dq}{dt} + q/C. 
 \label{rlc_carica}
 \end{equation}

 Si noti l'analogia formale della \ref{rlc_corrente} e della
 \ref{rlc_carica} con l'equazione del moto di un oscillatore meccanico
 forzato e con attrito: quest'ultima si ottiene da quella per il
 circuito $RLC$ identificando le varie grandezze seguendo la tabella:

 \begin{displaymath}
 \begin{array}{|l|ccc|rrr|}
 \hline
 \mbox{Oscillatore meccanico}& &\ref{rlc_corrente}& & &\ref{rlc_carica}&\\
 \hline
 \mbox{Coordinata}&x       &\leftrightarrow&I    &x      &\leftrightarrow&q\\
 \mbox{Velocit\`a}&v       &\leftrightarrow&dI/dt&v      &\leftrightarrow&I\\
 \mbox{Forzante}&F_{ext}   &\leftrightarrow&dV/dt&F_{ext}&\leftrightarrow&V\\
 \mbox{Massa}&m            &\leftrightarrow&L    &m      &\leftrightarrow&L\\
 \mbox{Coefficiente di attrito}&\lambda&\leftrightarrow&R&\lambda&\leftrightarrow&R\\
 \mbox{Costante elastica}&k&\leftrightarrow&1/C  &k      &\leftrightarrow&1/C\\
 \hline
 \end{array}
 \end{displaymath}

 Ne segue che l'energia accumulata sull' induttanza corrisponde
 all'energia cinetica dell'oscillatore e quella sul condensatore
 all'energia potenziale elastica.

 \subsection{Oscillazioni libere e risonanza}

 La soluzione della \ref{rlc_corrente} si ottiene con i metodi
 elementari di soluzione delle equazioni differenziali lineari a
 coefficienti costanti. Per prima cosa si risolve l'equazione omogenea
 associata, che corrisponde ad un sistema senza tensione applicata e
 che quindi esegue oscillazioni libere (nel parallelo con l'oscillatore
 meccanico si parlerebbe di un oscillatore armonico smorzato non
 forzato). L'equazione caratteristica \`e

 \begin{displaymath}
 L \omega^2 + R \omega + 1/C = 0 
 \end{displaymath}

 \noindent ed ha soluzioni

 \begin{displaymath}
 \omega_\pm = -\frac{R}{2L} \pm \sqrt{\left(\frac{R}{2L}\right)^2 -
 \frac{1}{LC}}.
 \end{displaymath}

 Le soluzioni dell'equazione \ref{rlc_corrente}, per radici distinte,
 sono della forma $I(t) = A e^{\omega_+ t} + B e^{\omega_- t}$ che a
 seconda del discriminante $\Delta=\left(\frac{R}{2L}\right)^2 -
 \frac{1}{LC}$ si dividono in due tipi:

 \begin{itemize}
 \item se $\Delta \geq 0$, le $\omega_\pm$ sono radici reali negative
 ed $I(t)$ ha un decadimento esponenziale, tanto pi\`u rapido quanto
 maggiore \`e $|\omega_\pm|$; per $\Delta = 0 \Rightarrow \omega_\pm =
 -\frac{R}{2L}$ si parla di {\sl smorzamento critico} (in questo
 secondo caso peraltro la soluzione non \`e una semplice somma di
 esponenziali);
 \item se $\Delta < 0$, $I(t)$ ha un andamento oscillante smorzato. Lo
 smorzamento dipende dalla parte reale di $\omega_\pm,\
 -\frac{R}{2L}$: tanto pi\`u essa \`e grande, tanto pi\`u rapido \`e
 lo smorzamento, mentre la frequenza delle oscillazioni \`e
 proporzionale a $\sqrt{-\Delta}$.
 \end{itemize}

 Nel caso limite di assenza di smorzamento, $R=0$, si ha sempre
 $\Delta<0$ ed $I$ oscilla con frequenza $\omega_0=1/\sqrt{LC}$, detta
 {\sl frequenza propria, autofrequenza} o {\sl frequenza di risonanza} del
 circuito. La corrente ha un andamento semplicemente sinusoidale con
 frequenza $\omega_0$, e cos\`i pure la carica sul condensatore, ma
 sfasata di $\pi/2$ rispetto alla corrente. Dalle espressioni
 \ref{energia_induttanza} e \ref{energia_condensatore} si vede che
 l'energia si rimpalla tra l'induttanza e la capacit\`a, esattamente
 come in un oscillatore armonico si rimpalla tra l'energia cinetica e
 quella potenziale.

 \subsection{Oscillazioni forzate. Impedenza}

 Passiamo adesso al caso in cui vi sia una tensione applicata a
 guidare il circuito. Un modo generale di risolvere questa equazione
 \`e esposto nell'Appendice \ref{fourier}. Qui usiamo tecniche pi\`u
 elementari e consideriamo il caso in cui tale forza sia periodica e
 precisamente tale che $V = V_0 \cos\omega t$ e pertanto $dV/dt =
 -\omega V_0 \sin\omega t$. La soluzione dell'equazione
 \ref{rlc_corrente} \`e dunque data dall'integrale generale
 dell'omogenea associata sommato ad un integrale particolare
 dell'equazione completa che soddisfi alle condizioni iniziali; se ci
 limitiamo al caso a regime, in cui $t\to\infty$ e pertanto $t>\!>
 L/R$, il primo integrale \`e trascurabile e rimaniamo solo con
 l'integrale particolare. Quest'ultimo, come \`e noto, \`e in questo
 caso della forma $I(t) = I_0 \cos(\omega t-\phi)$ (corrente
 alternata).

 Introducendo questa soluzione di prova nella \ref{rlc_corrente}
 otteniamo le seguenti relazioni:

 \begin{equation}
 I_0 = V_0/Z;\ \tan \phi = X/R;\ Z = \sqrt{R^2+X^2};\ X =\omega L -
 \frac{1}{\omega C}
 \label{corrente_rlc}
 \end{equation}

 \noindent dove $X$ \`e detta {\sl reattanza} e $Z$ \`e detta {\sl
 impedenza}. L'angolo $\phi$ \`e detto {\sl angolo di fase} ed
 indica, com'\`e evidente, lo sfasamento tra tensione e corrente
 istantanee. Si vede che l'induttanza tende a dare un $\phi>0$, ovvero
 a far si che la corrente ``resti indietro'' rispetto alla tensione
 esterna, mentre la capacit\`a ha l'effetto opposto. La resistenza
 invece da questo punto di vista ha un effetto neutro. L'impedenza
 \`e la generalizzazione della resistenza al caso delle correnti
 alternate e la \ref{corrente_rlc} \`e da parte sua la
 generalizzazione della legge di Ohm, ma si badi bene che sui tratta
 di una relazione tra le {\sl ampiezze} di tensione e corrente e non
 tra i valori istantanei.

Data la presenza di due grandezze rilevanti, l'ampiezza e lo
sfasamento, \`e in effetti impossibile scrivere una relazione del tipo
di Ohm tra numeri reali nel caso di correnti alternate. \`E per\`o
possibile farlo introducendo una relazione tra grandezze {\sl
complesse}, che di per s\'e corrispondono a coppie di numeri
reali. Definiamo allora una {\sl tensione complessa} $\hat V = V_0
e^{i\omega t}$ ed una {\sl corrente complessa} $\hat I = I_0
e^{i(\omega t+\phi)}$; il significato di questa posizione sta nel
fatto che le tensioni e le correnti misurabili, che ovviamente sono
grandezze reali, possono essere ottenute prendendo, alla fine dei
conti, la parte reale (o immaginaria) del risultato. La linearit\`a
delle equazioni ci garantisce che il procedimento \`e
corretto. Inserendo queste grandezze nell'equazione del circuito
\ref{rlc_corrente} si ottiene

\begin{equation}
L\hat I'' + R\hat I'+ \hat I/C =\hat V'
\end{equation}

\noindent ovvero, eseguendo le derivate e raggruppando,

\begin{equation}
\hat V = \hat I \left[ R+ i \overbrace{\left(\omega L -\frac{1}{\omega
    C} \right)}^{\hat X} \right] = \hat I \hat Z
\end{equation}

\noindent equazione che ha effettivamente la forma della legge di Ohm
e vale per i valori istantanei di tensione e corrente. Le grandezze
$Z$ e $X$ sono dunque il modulo delle grandezze complesse $\hat Z$ e
$\hat X$.

 Si noti che tutte le grandezze nella \ref{corrente_rlc} sono funzioni
 della frequenza $\omega$. In particolare $Z$ \`e minima $\Rightarrow
 I_0$ \`e massima per $\omega=1/\sqrt{LC}=\omega_0$, ovvero proprio per
 la frequenza di risonanza definita in precedenza. Tracciando un grafico di
 $I_0=I_0(\omega)$ si vede che ({\it Esercizio}) l'ampiezza della
 corrente ha un picco attorno ad $\omega_0$ tanto pi\`u alto quanto
 pi\`u $R$ \`e piccola, arrivando a $V_0/R$ alla risonanza esatta. Ne
 consegue che un circuito $RLC$ con bassa resistenza pu\`o essere usato
 come {\sl sintonizzatore}: le frequenze della forzante molto prossime
 alla risonanza produrranno una corrente notevole, mentre le altre
 saranno pressoch\'e ignorate.

 \section{La legge di Amp\`ere-Maxwell}


 Riprendiamo in considerazione la legge di Amp\`ere
 \ref{ampere_diff}. \`E ancora valida nel caso in cui la corrente non
 sia stazionaria ma vari col tempo? Per capirlo, calcoliamo la
 divergenza di entrambi i membri. Il primo membro d\`a zero, mentre il
 secondo diventa $\mu_0 \nabla \cdot {\bf j}$ che, per l' equazione di
 continuit\`a \ref{continuita_diff}, coincide con $-\mu_0\partial
 \rho/\partial t$; prese insieme queste due osservazioni implicano che
 la densit\`a di carica deve essere indipendente dal tempo. Se ne
 conclude che {\sl l'equazione di Amp\`ere vale solo nei casi
 stazionari}, in cui non si hanno mutamenti della densit\`a di carica
 spaziale. Questo naturalmente non significa che le cariche non si
 muovano, ma soltanto che ogni spostamento di una carica deve essere
 allo stesso momento compensato esattamente dal movimento delle
 altre. In altre parole, si possono avere correnti, ma non devono
 cambiare nel tempo, dunque anche i campi magnetici devono essere
 statici.

 Come \`e possibile generalizzare la \ref{ampere_diff} in modo che
 valga anche nel caso dinamico? Il ragionamento esposto sopra ce ne
 fornisce la chiave. Bisogna aggiungere a secondo membro un termine la
 cui divergenza cancelli esattamente il termine $-\mu_0\partial
 \rho/\partial t$. Ma un termine del genere \`e facile da trovare:
 basta semplicemente ricordarsi della legge di Gauss per il campo
 elettrico, $\nabla \cdot {\bf E} = \rho/\epsilon_0$ e derivarla
 rispetto al tempo. Il termine da addizionare al secondo membro
 dell'equazione \ref{ampere_diff} \`e quindi $\mu_0 \epsilon_0 \partial
 {\bf E}/\partial t$ e si ottiene infine

 \begin{equation}
 \nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf j} + \epsilon_0\mu_0 \frac{
 \partial {\bf E} }{\partial t}
 \label{ampere_maxwell_diff}
 \end{equation}

 \noindent che, come \`e agevole verificare, rispetta l'equazione di
 continuit\`a della carica in qualunque circostanza e si riduce alla
 legge di Amp\`ere per situazioni stazionarie. Il termine
 $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$ ha le dimensioni di una velocit\`a e vale
 $3\ 10^8$ m/s; come si vedr\`a ha un' importanza fondamentale in
 ci\`o che segue.

 L'equazione cos\`i modificata prende il nome di {\sl legge di
 Amp\`ere-Maxwell} e la sua forma integrale \`e

 \begin{equation}
 \oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \mu_0 I + \epsilon_0 \mu_0\frac{d}{dt}
 \int {\bf E \cdot} d {\bf S}.
 \label{ampere_maxwell_int}
 \end{equation}

 \`E istruttivo verificare ({\it Esercizio}) che con la legge di
 Amp\`ere-Maxwell in questa forma la scelta della superficie su cui
 calcolare l'integrale a secondo membro \`e ininfluente, purch\'e si
 scelga la stessa superficie per il calcolo di $I$. Il ragionamento
 fatto nella sezione \ref{faraday} non \`e infatti direttamente
 trasponibile a questo caso in quanto la divergenza del campo elettrico
 non \`e identicamente nulla.

 \subsection{La corrente di spostamento}

 Il termine $\epsilon_0 \frac{d}{dt} \int {\bf E \cdot} d {\bf S} =
 \epsilon_0\frac{d\Phi_E}{dt}$ ha le dimensioni di una corrente e viene
 chiamato {\sl corrente di spostamento,} $I_{spost}$. Questo nome ha
 ragioni storiche, ma in realt\`a non rappresenta una corrente in
 quanto esiste anche nel vuoto, dove non ci sono cariche n\'e
 correnti. Riscrivendo la \ref{ampere_maxwell_diff} sotto la forma

 \begin{displaymath}
 \nabla \times {\bf B}= \mu_0 \left( {\bf j + j}_{spost} \right)
 \end{displaymath}

 \noindent si vede per\`o che includendo ${\bf j}_{spost}$ nella
 densit\`a di corrente totale otteniamo che {\sl tutti i circuiti sono
 chiusi}. Infatti la divergenza del primo membro \`e nulla, quindi lo
 deve essere anche quella del secondo e ne segue che la corrente ${\bf
 j + j}_{spost}$ ha divergenza nulla: per il significato geometrico
 della divergenza, significa che la densit\`a di corrente non
 ``nasce'' n\'e ``muore'' in nessun punto dello spazio.

 Verifichiamo questa affermazione in un caso particolare: un circuito
 costituito da un generatore di tensione e da un condensatore nel vuoto
 a facce piane e parallele, di superficie $S$ e distanti $d$, pertanto
 di capacit\`a $C = \epsilon_0 S/d$. Resistenze ed induttanze si
 considerano trascurabili. Siccome nel condensatore $V = q/C$ e
 $E=V/d=$ uniforme, possiamo calcolare

 \begin{displaymath}
 I_{spost} = \epsilon_0 \frac{d}{dt} \int {\bf E \cdot} d {\bf S} =
 \epsilon_0 S \frac{dE}{dt} = \frac{\epsilon_0 S}{d} \frac{dV}{dt} =
 \frac{d(CV)}{dt} = \frac{dq}{dt} = I.
 \end{displaymath}

 Pertanto laddove non scorre la corrente vera ``scorre'' una corrente
 di spostamento esattamente dello stesso valore, CVD.

 Infine si noti che con l'introduzione della corrente di spostamento l'
 equazione di Amp\`ere-Maxwell diventa analoga alla legge di Faraday:
 nel vuoto (${\bf j} =0$) infatti le due equazioni sono perfettamente
 simmetriche in ${\bf E}$ e ${\bf B}$, se si eccettua il segno ed il
 termine $\epsilon_0 \mu_0 = 1/c^2$ che deriva esclusivamente dalla
 scelta delle unit\`a di misura per i campi. La differenza principale
 per\`o sta nel fatto che tipicamente il termine $I_{spost}$ \`e
 piccolo rispetto ad $I$, quando quest'ultimo sia presente (nel caso
 appena visto del condensatore $I_{spost}$ non \`e trascurabile
 perch\'e $I$ \`e assente), da cui si spiega la validit\`a ampia
 della legge di Amp\`ere \ref{ampere_int} anche nei casi di campi
 variabili, tranne che nei casi in cui le variazioni siano
 effettivamente molto rapide. In questi ultimi casi la corrente di
 spostamento gioca un ruolo veramente fondamentale, come vedremo.

 \section{Le equazioni di Maxwell}

 Ci si pu\`o chiedere se nel caso dinamico sia necessario alterare le
 equazioni alla divergenza come abbiamo fatto con le equazioni al
 rotore. La risposta \`e no: il sistema di equazioni che abbiamo
 raggiunto, dette {\sl equazioni di Maxwell}, rappresenta la forma
 definitiva delle equazioni dell'elettromagnetismo\footnote{Almeno nel
 mondo macroscopico. La trattazione deve essere modificata, come si
 accenner\`a in seguito, quando entra in campo la Meccanica
 Quantistica.}. Come tale si tratta di uno dei massimi risultati
 ottenuti dalla Fisica e vale la pena di riportare tutte le equazioni
 insieme in forma sia differenziale che integrale:

 \begin{eqnarray}
 \begin{array}{ll}

 \nabla \cdot {\bf E} = \rho/\epsilon_0 & \oint {\bf E \cdot} d{\bf S}
 = q/\epsilon_0\\

 \nabla \cdot {\bf B} = 0 & \oint {\bf B \cdot} d{\bf S} = 0\\

 {\bf \nabla \times E} = -\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} & \oint
 {\bf E \cdot} d{\bf l} = -\frac{d}{dt} \int {\bf B \cdot} d{\bf S} \\

 \nabla \times {\bf B} = \mu_0 {\bf j} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{
 \partial {\bf E} }{\partial t} & \oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \mu_0
 I + \epsilon_0 \mu_0 \frac{d}{dt} \int {\bf E \cdot} d {\bf S}\\

 \end{array}
 \label{eq_maxwell}
 \end{eqnarray}

 La forma qui sopra vale per le equazioni nel vuoto o, comunque, ogni
 volta che si considerino esplicitamente tutte le cariche e le correnti
 presenti. Laddove siano presenti mezzi materiali, per molti usi
 risulta pi\`u conveniente utilizzare una forma che utilizzi i vettori
 ${\bf D}$ ed ${\bf H}$:

 \begin{eqnarray}
 \begin{array}{ll}

 \nabla \cdot {\bf D} = \rho_{libera} & \oint {\bf D \cdot} d{\bf S} =
 q_{libera}\\

 \nabla \cdot {\bf B} = 0 & \oint {\bf B \cdot} d{\bf S} = 0\\

 {\bf \nabla \times E} = -\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} & \oint
 {\bf E \cdot} d{\bf l} = -\frac{d}{dt} \int {\bf B \cdot} d{\bf S} \\

 \nabla \times {\bf H} = {\bf j}_{libera} + \frac{ \partial {\bf D}
 }{\partial t} & \oint {\bf H \cdot} d{\bf l} = I_{libera} +
 \frac{d}{dt} \int {\bf D \cdot} d {\bf S}\\

 \end{array}
 \label{eq_maxwell_materiali}
 \end{eqnarray}

 \noindent dove il pedice ``libera'' indica che non si considerano
 cariche di polarizzazione n\'e correnti di magnetizzazione.

 Questa seconda forma, nonostante l'apparenza, \`e in realt\`a
 concettualmente pi\`u complicata della \ref{eq_maxwell}, in quanto
 bisogna anche conoscere le {\sl relazioni costitutive}
tra ${\bf D}$ ed ${\bf E}$ e tra ${\bf B}$ ed ${\bf H}$, e queste relazioni,
che variano da materiale a materiale, sono spesso
 difficili da conoscere, se non sperimentalmente. Normalmente si assume
 una relazione lineare, ${\bf D} = \epsilon{\bf E}$ e ${\bf B} =\mu{\bf
 H}$, ma non di rado questa ipotesi non \`e valida. Per esempio la
 relazione tra ${\bf B}$ ed ${\bf H}$ nei ferromagneti \`e, come
 discusso nel paragrafo \ref{magnetismo_materia}, fortemente non
 lineare. Si danno poi casi in cui i vettori ${\bf D}$ ed ${\bf E}$,
 ${\bf B}$ ed ${\bf H}$ non sono nemmeno paralleli fra loro per cui
 $\epsilon$ e $\mu$ non sono scalari ma tensori, eccetera. Nel seguito
 faremo uso solo delle equazioni \ref{eq_maxwell}.

 A queste equazioni va aggiunta l'espressione \ref{florentz_totale} per
 la forza di Lorentz. Non c'\`e invece bisogno di stabilire
 esplicitamente la conservazione della carica, perch\'e come si \`e
 gi\`a visto le equazioni di Maxwell implicano l'equazione di
 continuit\`a ({\it Esercizio:} verificarlo per le equazioni
 \ref{eq_maxwell_materiali}).

 \subsection{L'equazione delle onde}
 \label{eq_onde_maxwell}

 Dalle \ref{eq_maxwell} \`e possibile ottenere un insieme di equazioni
 pi\`u semplici, almeno nel vuoto ($\rho=0, {\bf j}=0$). Prendendo il
 rotore della terza, la derivata rispetto al tempo della quarta e
 combinandole si ottiene

 \begin{displaymath}
 {\bf \nabla \times \nabla \times E} + \epsilon_0 \mu_0 \frac{d^2 {\bf
 E}}{dt^2} = 0
 \end{displaymath}

 \noindent e ricordando la \ref{rotrot} e la prima delle
 \ref{eq_maxwell} con $\rho=0$

 \begin{equation}
 {\bf \Box^2 E} = {\bf \nabla^2 E} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2
 {\bf E}}{\partial t^2} = 0
 \label{onde_elettrico}
 \end{equation}

 \noindent dove si \`e definito l'{\sl operatore d'alembertiano}

 \begin{equation}
 \Box^2 = \nabla^2 -\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2}.
 \label{dalembertiano}
 \end{equation}

 Analogamente si trova ({\it Esercizio}), per il campo magnetico,

 \begin{equation}
 {\bf \Box^2 B} = {\bf \nabla^2 B} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial ^2
 {\bf B}}{\partial t^2} = 0.
 \label{onde_magnetico}
 \end{equation}

 Le equazioni della forma \ref{onde_elettrico} e \ref{onde_magnetico}
 sono note come {\sl equazioni delle onde} (si noti come queste
 equazioni non sarebbero state ottenibili
 se non si fosse introdotta la corrente di spostamento), e verranno studiate nel
 prossimo capitolo. Qui basti ricordare che queste equazioni
 impongono condizioni necessarie, ma non sufficienti, sul campo
 elettromagnetico. Infatti sono sei equazioni (due equazioni vettoriali
 per vettori a tre componenti) mentre le equazioni di Maxwell in forma
 differenziale sono otto equazioni (due vettoriali pi\`u due
 scalari).

 Non \`e difficile ottenere un'equazione corrispondente alla
 \ref{onde_elettrico} valida all'interno dei metalli. Siccome in questo
 caso le cariche sono libere, \`e legittimo supporre $\rho=0$, almeno
 per campi che non variano troppo velocemente, in quanto la carica \`e
 libera di spostarsi e di annullare rapidamente qualunque squilibrio si
 formi. Per la stessa ragione non \`e invece ammissibile trascurare la
 corrente; questa produce nella \ref{onde_elettrico} un termine
 addizionale $-\mu_0 d {\bf j}/dt$, che si esprime in termini del campo
 elettrico tramite la legge di Ohm in forma vettoriale ${\bf j} =
 \sigma {\bf E}$. Si ottiene infine ({\it Esercizio})

 \begin{equation}
 {\bf \Box^2 E} - \mu_0 \sigma \frac{\partial{\bf E}}{\partial t} = 0.
 \label{onde_metalli}
 \end{equation}

 \section{Potenziali elettrodinamici}

 Ora che conosciamo le equazioni definitive del campo elettromagnetico,
 possiamo tornare sul problema della derivazione dei campi da dei
 potenziali. L'equazione di Faraday \ref{faraday_int},
 \ref{faraday_diff}, come si \`e visto, impedisce di considerare
 conservativo il campo elettrico nel caso generale, quindi di poterlo
 derivare da un potenziale scalare. D'altro canto la solenoidalit\`a di
 ${\bf B}$ non \`e in discussione e la definizione del potenziale
 vettore ${\bf A}$ \`e ancora valida. Possiamo definire un potenziale
 anche per il campo elettrico non statico? Certamente. Infatti se riscriviamo
 l'equazione \ref{faraday_diff} in termini del potenziale vettore

 \begin{displaymath}
 {\bf \nabla \times E} = -\partial/\partial t\left({\bf \nabla \times
 A}\right) \Rightarrow \nabla \times \left({\bf E } +
 \frac{\partial{\bf A}}{\partial t}\right) = 0
 \end{displaymath}

 \noindent vediamo che il termine tra parentesi nella seconda equazione
 \`e irrotazionale e pu\`o pertanto essere considerato come il
 gradiente di una funzione scalare, ${\bf E } + \partial{\bf
 A}/\partial t = - \nabla \phi$, da cui si ottiene l'espressione
 generale per il campo elettrico

 \begin{equation}
 {\bf E} = - \nabla \phi - \frac{\partial{\bf A}}{\partial t}.
 \label{e_pot}
 \end{equation}

 Il potenziale scalare $\phi$ che compare nella \ref{e_pot} si riduce
 evidentemente al potenziale elettrostatico nel caso in cui i campi non
 varino nel tempo. Non bisogna per\`o dimenticare che $\phi$ ha un
 significato pi\`u ampio e pu\`o essere una funzione esplicita del
 tempo.

 Rimane vero il fatto che i potenziali non sono definiti univocamente.
 Il fatto che $\phi$ ed ${\bf A}$ siano connessi nella \ref{e_pot}
 significa anzi che abbiamo pi\`u libert\`a di scelta; il potenziale
 scalare non \`e determinato semplicemente a meno di una costante
 additiva come nel caso statico. Infatti, possiamo senz'altro
 aggiungere un termine a $\phi$ purch\'e ne sottraiamo uno opportuno ad
 ${\bf A}$ in modo tale che la \ref{e_pot} rimanga immutata. Questo si
 ottiene, come \`e facile verificare ({\it Esercizio}) introducendo una
 funzione arbitraria $\Lambda$ delle coordinate e del tempo in modo
 tale che

 \begin{eqnarray}
 \phi^\prime &=& \phi + \frac{\partial\Lambda}{\partial t} \nonumber \\
 {\bf A}^\prime &=& {\bf A} - \nabla \Lambda.
 \label{gauge}
 \end{eqnarray}

 La trasformazione dei potenziali definita dalla \ref{gauge} si chiama
 {\sl trasformazione di gauge}\footnote{Il termine ``gauge'' in
 inglese significa ``misura'' o ``apparecchio di misura''. Si
 pronuncia pi\`u o meno ``gheig'', con la ``g'' finale dolce (come la
 parola inglese ``engage'' privata della prima sillaba).} e
 l'invarianza dei campi che ne segue \`e detta {\sl invarianza di
 gauge}. Di solito tale invarianza vene sfruttata per imporre una o
 pi\`u condizioni supplementari direttamente sui potenziali, senza
 esplicitare la funzione $\Lambda$. Una scelta comune, gi\`a vista in
 precedenza quando \`e stato introdotto il potenziale vettore,
 consiste nell'imporre

 \begin{equation}
 {\bf \nabla \cdot A} = 0
 \label{gauge_trasverso}
 \end{equation}

 \noindent scelta che prende il nome di {\sl gauge di Coulomb} o {\sl
 gauge trasverso} (le ragioni per questi nomi saranno chiarite pi\`u
 avanti). Un'altra scelta utile \`e quella del {\sl gauge di Lorentz}

 \begin{equation}
 {\bf \nabla \cdot A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \phi}{\partial t} =
 0.
 \label{gauge_lorentz}
 \end{equation}

 \noindent Si verifica ({\it Esercizio}) che in questo gauge la
 funzione $\Lambda$ necessaria per passare da $({\bf A},\phi)$ a $({\bf
 A}^\prime,\phi^\prime)$ soddisfa all'equazione delle onde.

 \subsection{L'equazione d'onda per i potenziali}

 Per definire i potenziali sono state usate la terza e la quarta
 equazione di Maxwell, ovvero quelle che non contengono le sorgenti dei
 campi. Questo \`e logico: la definizione dei potenziali deve consistere in
 una pura relazione tra essi ed i campi. Le altre equazioni, come si
 \`e gi\`a visto nel caso statico, forniscono la relazione tra i
 potenziali e le sorgenti. Per trovare questa relazione introduciamo le
 definizioni di ${\bf A}$ e $\phi$ nella prima e quarta equazione di
 Maxwell

 \begin{eqnarray*}
 \rho/\epsilon_0 &=& \nabla \cdot {\bf E} = -\nabla^2 \phi -
 \frac{\partial}{\partial t} {\bf\nabla\cdot A}\\ \nabla
 \times\left(\nabla\times {\bf A}\right) &=& \nabla\times {\bf B} =
 \mu_0 {\bf j} + \frac{1}{c^2} \frac{\partial\bf E}{\partial t} = \mu_0
 {\bf j} - \frac{1}{c^2} \nabla \frac{\partial\phi}{\partial t} -
 \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2\bf A}{\partial t^2}.\\
 \end{eqnarray*}

 Utilizzando la \ref{rotrot} e riordinando

 \begin{displaymath}
 \nabla^2 \phi + \frac{\partial}{\partial t} {\bf\nabla\cdot A} = -
 \rho/\epsilon_0
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
 \nabla^2 {\bf A} - \nabla \left( \nabla\cdot{\bf A} + \frac{1}{c^2}
 \frac{\partial}{\partial t} \phi \right) - \frac{1}{c^2}
 \frac{\partial^2\bf A}{\partial t^2}= - \mu_0 {\bf j}.
 \end{displaymath}

 Non si tratta di equazioni particolarmene attraenti. Possiamo per\`o renderle
 pi\`u simmetriche utilizzando il gauge di Lorentz \ref{gauge_lorentz}
 per eliminare ${\bf A}$ dalla prima equazione e $\phi$ dalla seconda:

 \begin{eqnarray}
 \Box^2 \phi &=& - \rho/\epsilon_0 \nonumber \\
 \Box^2 {\bf A} &=& -
 \mu_0 {\bf j}
 \label{onda_potenziali}
 \end{eqnarray}

 \noindent e queste invece sono quanto di meglio ci si poteva
 aspettare: ogni potenziale ha la sua equazione d'onda, ciascuna
 contenente la sorgente ``giusta'': cariche per $\phi$, correnti per
 ${\bf A}$. Inoltre sono evidentemente una generalizzazione delle
 equazioni \ref{poisson} e \ref{poisson_mag}. Si noti come invece nel
 gauge di Coulomb \ref{gauge_trasverso} l'equazione per $\phi$ sia
 formalmente identica a quella di Poisson \ref{poisson}, da cui il
 nome di questo gauge.

 \subsection{I potenziali ritardati}
 \label{pot_rit}

 Le \ref{onda_potenziali} sono equazioni d'onda, come le
 \ref{onde_elettrico} e \ref{onde_magnetico} per i campi, ma questa
 volta inomogenee. Trovarne la soluzione formale \`e possibile in modo
 completamente generale, ma qui ci limitiamo a fornirla senza
 dimostrazione (una giustificazione si trova nell'Appendice
 \ref{fourier}):

 \begin{eqnarray}
 \phi ({\bf r},t) &=& \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho({\bf
 r}^\prime,t^\prime)}{\left|{\bf r-r^\prime}\right|}\
 d\Omega^\prime\nonumber\\
 {\bf A(r},t) &=& \frac{\mu_0}{4\pi} \int \frac{{\bf
 j(r^\prime},t^\prime)}{\left|{\bf r-r^\prime}\right|}\ d\Omega^\prime
 \label{potenziali_ritardati}
 \end{eqnarray}

 \noindent identica a quella statica salvo che per la sostituzione
 di $t$ con $t^\prime=t\pm \left|{\bf r-r^\prime} \right|/c$.
 Possiamo quindi notare che se le
 sorgenti si estendono in una regione finita dello spazio e se ci
 poniamo a grande distanza da esse i relativi potenziali andranno a
 zero come $1/r$.

 Le equazioni \ref{potenziali_ritardati} dicono inoltre che i
 potenziali sono determinati dalla distribuzione di cariche e correnti
 {\sl non com'\`e} all'istante in cui sono misurati ma da come essa
 {\sl era} ad un istante anteriore di $\left|{\bf r-r^\prime}
 \right|/c$ se si sceglie il segno $-$, o da come {\sl sar\`a} ad un
 istante posteriore di altrettanto se si sceglie il segno $+$. Nel
 primo caso si parla di {\sl potenziali ritardati}, nel secondo di {\sl
 potenziali anticipati}. \`E per\`o difficile immaginare come possa il
 potenziale ``sapere in anticipo'' come si distribuir\`a la carica o la
 corrente che lo genera, per cui questa seconda soluzione viene sempre
 scartata ed i potenziali che si considerano sono solo quelli
 ritardati, $t^\prime=t - \left|{\bf r-r^\prime} \right|/c$.

 Si vede quindi come le interazioni elettromagnetiche facciano sentire
 i loro effetti non istantaneamente, ma con un ritardo proporzionale
 alla distanza, con coefficiente di proporzionalit\`a $1/c$; questo
 significa che {\sl le interazioni elettromagnetiche, nel vuoto, si
 propagano a velocit\`a $c$}. Nel caso di campi statici questo \`e
 irrilevante, visto che non vi sono dipendenze dal tempo; il campo
 ``\`e sempre stato cos\`i'' e non si propaga. Nel caso dinamico invece
 vedremo che le conseguenze sono di enorme importanza.

 \section{Lagrangiana ed Hamiltoniana di una particella in campo
 elettromagnetico}

 \subsection{Formulazione lagrangiana}

 Siccome la forza di Lorentz dipende esplicitamente dalla velocit\`a,
 ed i potenziali elettrodinamici non sono semplici potenziali scalari,
 non \`e ovvio che sia possibile porre l'equazione del moto di una
 particella (o pi\`u particelle) sotto forma Lagrangiana. Perch\'e
 questo sia possibile bisogna trovare una funzione ${\cal L}={\cal
 L}({\bf r, v},t)$ tale che l'equazione di Eulero-Lagrange\footnote{In
 questo paragrafo usiamo la comune convenzione secondo cui la derivata
 rispetto ad un vettore rappresenta il gradiente rispetto alle
 componenti di quel vettore.}

 \begin{equation}
 \frac{d}{dt} \frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bf v}} =
 \frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bf r}}
 \label{eulero}
 \end{equation}

 \noindent coincida con l'equazione di Newton

 \begin{equation}
 m \frac{d{\bf v}}{dt} = q \left( {\bf E} + {\bf v} \times {\bf B}
 \right) = q \left( -\partial\phi/\partial{\bf r} - \partial{\bf
 A}/\partial t + {\bf v} \times {\bf \nabla \times A} \right).
 \label{eq_newton}
 \end{equation}

 Qui bisogna tenere ben presente la differenza tra derivata parziale e
 derivata totale di una funzione: la prima riguarda solo la dipendenza
 esplicita dalla specifica variabile rispetto alla quale si sta
 derivando, la seconda tiene anche conto dell'eventuale dipendenza
 implicita tramite le altre variabili. Cos\`i, la derivata di ${\bf A}$
 rispetto al tempo nella \ref{eq_newton} \`e una derivata parziale,
 perch\'e connette il {\sl campo} ${\bf A}$, pensato come funzione di
 quattro variabili indipendenti (tre spaziali ed una temporale), con il
 {\sl campo} ${\bf E}$. Ma da qui in poi abbiamo bisogno di calcolare
 la variazione col tempo del valore di ${\bf A}$ {\sl calcolato nel
 punto in cui si trova la particella}, quindi dobbiamo considerare non
 solo che ${\bf A}$ pu\`o variare col tempo, ma che la particella pu\`o
 esplorare in tempi diversi regioni di spazio in cui ${\bf A}$ assume
 valori diversi.

 In altri termini, dobbiamo considerare ${\bf A = A (r(}t),t)$ come
 funzione di una sola variabile, il tempo.  Pertanto c'\`e differenza
 tra derivata parziale e totale rispetto al tempo di ${\bf A}$, e la
 relazione tra di esse \`e data, per esempio per la componente $x$, da

 \begin{displaymath}
 \frac{d A_x}{dt} = \frac{\partial A_x}{\partial t} + \left( v_x
 \frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial A_x}{\partial y}
 + v_z \frac{\partial A_x}{\partial z}\right).
 \end{displaymath}

 Torniamo ora all' equazione \ref{eq_newton} e scriviamo esplicitamente
 la componente $x$ dell'ultimo termine

 \begin{displaymath}
 \left. {\bf v} \times {\bf \nabla \times A} \right|_x =
 v_y\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial
 y} \right) - v_z\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial
 A_z}{\partial x} \right)
 \end{displaymath}

 \noindent ed aggiungiamo e sottraiamo $v_x\ \partial A_x/\partial x$
 per avere un' espressione pi\`u simmetrica:

 \begin{displaymath}
 \left. {\bf v} \times {\bf \nabla \times A} \right|_x = v_x
 \frac{\partial A_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial A_y}{\partial x}
 + v_z \frac{\partial A_z}{\partial x} - v_x \frac{\partial
 A_x}{\partial x} - v_y \frac{\partial A_x}{\partial y} - v_z
 \frac{\partial A_x}{\partial z}
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
 = \frac{\partial}{\partial x}\left( {\bf A \cdot v}\right) +
 \frac{\partial A_x}{\partial t} - \frac{d A_x}{dt}.
 \end{displaymath}

 Inserendo quest' espressione, componente per componente, nell'
 equazione \ref{eq_newton} otteniamo

 \begin{displaymath}
 m \frac{d{\bf v}}{dt} = q \left[ \frac{\partial}{\partial{\bf
 r}}\left( - \phi + {\bf A \cdot v} \right) - \frac{d\bf A}{dt}
 \right] \Rightarrow 
 \frac{d}{dt} \left({m\bf v}+q\bf A \right) =
 \frac{\partial}{\partial{\bf r}}\left( -q \phi +q {\bf A \cdot v}
 \right)
 \end{displaymath}

 \noindent e si vede che per soddisfare la \ref{eulero} \`e sufficiente
 trovare ${\cal L}$ tale che

 \begin{eqnarray*}
 \frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bf v}} &=& {m\bf v}+q{\bf A}\\
 \frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bf r}} &=&
 \frac{\partial}{\partial {\bf r}} \left( -q\phi +q {\bf A \cdot v}.
 \right)
 \end{eqnarray*}

 Ricordando che n\'e ${\bf A}$ n\'e $\phi$ dipendono da ${\bf v}$ si ha
 come possibile Lagrangiana:

 \begin{equation}
 {\cal L} = \frac{1}{2} m v^2 - q \phi + q {\bf A \cdot v}.
 \label{lagr_elettro}
 \end{equation}

 La forma della Lagrangiana \ref{lagr_elettro} \`e piacevolmente
 semplice e simmetrica, ma non \`e l'unica possibile. Sappiamo infatti
 che una trasformazione di gauge \ref{gauge} lascia invariati i campi,
 e di conseguenza anche le equazioni del moto. Che succede alla
 Lagrangiana sotto una tale trasformazione? Succede che diventa un'
 altra

 \begin{displaymath}
 {\cal L}^\prime = \frac{1}{2} m v^2 - q \phi^\prime + q {\bf A^\prime
 \cdot v} = \frac{1}{2} m v^2 - q \phi - q \frac{\partial
 \Lambda}{\partial t} + q {\bf A \cdot v} - q {\bf v \cdot}
 \nabla\Lambda
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
  = {\cal L} - q \left( \frac{\partial \Lambda}{\partial t}+{\bf v
 \cdot} \nabla\Lambda \right) = {\cal L} +
 \frac{d\left(-q\Lambda\right)}{dt}
 \end{displaymath}

  \noindent che per\`o differisce dalla prima solo per la derivata
  totale di una funzione delle coordinate e del tempo, e fornisce di
  conseguenza le stesse equazioni del moto. Questo \`e perfettamente
  coerente col fatto che la scelta del gauge non pu\`o influenzare
  nulla di osservabile.

  \subsection{Formulazione hamiltoniana}

  Ottenere l'Hamiltoniana ora \`e semplice. Seguendo le normali
  prescrizioni, il momento generalizzato diventa

  \begin{equation}
  {\bf p} = \frac{\partial {\cal L}}{\partial {\bf v}} = {m\bf v}+q{\bf
  A}
  \label{momento_elettro}
  \end{equation}

  \noindent e non coincide pi\`u con la familiare espressione $m{\bf
  v}$. L'hamiltoniana allora diventa

  \begin{displaymath}
  {\cal H} = {\bf p \cdot v} - {\cal L} = m v^2 + q {\bf A \cdot v}
  -\frac{1}{2} m v^2 + q \phi - q {\bf A \cdot v} = \frac{1}{2} m v^2 +
  q \phi
  \end{displaymath}

  \noindent da cui si vede che l'introduzione di un potenziale vettore
  non cambia la forma dell'hamiltoniana, se espressa in termini di
  $v$. Nel caso statico ${\cal H}$ coincide con l'energia ed ${\bf A}$
  determina solo il campo magnetico, per cui vediamo confermato quanto
  detto nella sezione \ref{forza_lorentz}: un campo magnetico statico
  non cambia l'energia delle particelle.

  Ovviamente questo non significa che le equazioni del moto siano le
  stesse che in assenza di campo, visto che tali equazioni si devono
  derivare dall'hamiltoniana espressa in funzione delle variabili
  ``giuste'' ${\bf p}$ e ${\bf r}$. Visto che ${\bf v}=\left({\bf
  p}-q{\bf A}\right)/m$, ${\cal H}$ diventa

  \begin{equation}
  {\cal H} = \frac{\left({\bf p}- q {\bf A}\right)^2}{2m} + q \phi.
  \label{hamilton_elettro}
  \end{equation}

 Si vede quindi che l'unico effetto della presenza di un potenziale
 vettore \`e di ridefinire il momento generalizzato ${\bf p}$.

  \section{Leggi di conservazione per il campo elettromagnetico}
  \label{conservazione}

  \subsection{Energia}

 Un sistema di cariche elettriche interagenti possiede, evidentemente,
  una certa energia potenziale. Si \`e visto nel paragrafo
  \ref{induzione_condensatore} che se prendiamo un condensatore nel
  vuoto a facce piane e parallele la densit\`a di energia accumulata
  $u=U/\Omega$ \`e proporzionale al quadrato del campo elettrico.

 Analogamente, in un solenoide ({\it Esercizio})

  \begin{equation}
  U = \frac{1}{2} L I^2 = \Omega \frac{B^2}{2 \mu_0}
  \end{equation}

  \noindent ed anche in questo caso la densit\`a di energia (che, a
  rigore, non \`e un'energia potenziale nel senso della meccanica in
  quanto non esiste un potenziale scalare magnetico) \`e proporzionale
  al quadrato del campo, in questo caso magnetico.

  Quanto sono generali questi risultati? Per scoprirlo, calcoliamo la
  potenza $W = \sum_i {\bf F}_i \cdot {\bf v}_i$ trasferita dalle
  cariche, o alle cariche, tramite il campo elettromagnetico:

  \begin{displaymath}
  W = \sum_i q_i \left( {\bf E}_i + {\bf v}_i {\bf \times B}_i\right)
  \cdot {\bf v}_i = \sum_i q_i {\bf E}_i {\bf \cdot v}_i = \int \rho\
  {\bf E \cdot v}\ d\Omega = \int {\bf E \cdot j}\ d\Omega.
  \end{displaymath}

  Esprimiamo l'integrando $w={\bf E \cdot j}$, che \`e una densit\`a di
  potenza trasferita da/alle cariche, in funzione dei soli campi,
  sfruttando le equazioni di Maxwell \ref{eq_maxwell}:

  \begin{eqnarray*}
  w &=& {\bf E \cdot} \left(\frac{1}{\mu_0}\nabla \times {\bf
  B}-\epsilon_0\frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \right) =
  \frac{1}{\mu_0}{\bf B \cdot \nabla \times E} - \frac{1}{\mu_0}\nabla
  \cdot {\bf E \times B} - \frac{\epsilon_0}{2}\frac{\partial
  E^2}{\partial t}\\
  &=& -\frac{\bf B}{\mu_0} \frac{\partial \bf B}{\partial t}
  -\frac{\epsilon_0}{2} \frac{\partial E^2}{\partial t} -
  \frac{1}{\mu_0} \nabla \cdot {\bf E \times B} = -\frac{1}{2}
  \frac{\partial}{\partial t}
  \left(\frac{B^2}{\mu_0}+\epsilon_0E^2\right) - \nabla \cdot {\bf N}
  \end{eqnarray*}

  \noindent dove \`e stata usata l'eq. \ref{divett} ed \`e stato
 introdotto il {\sl vettore di Poynting}

  \begin{equation}
  {\bf N} = \frac{1}{\mu_0}{\bf E \times B}.
  \label{poynting}
  \end{equation}

  Definendo $u=B^2/2\mu_0 + \epsilon_0 E^2 /2$ e $U = \int
  u\ d\Omega$ otteniamo

  \begin{equation}
  w + \frac{\partial u}{\partial t} + {\bf \nabla \cdot N} = 0
  \label{conservazione_energia_diff}
  \end{equation}

  \noindent da cui integrando sul volume e sfruttando il teorema di
  Gauss otteniamo la forma integrale

  \begin{equation}
  W + \frac{dU}{dt} + \oint {\bf N \cdot} d{\bf S} = 0.
  \label{conservazione_energia_int}
  \end{equation}

  Queste equazioni, se le priviamo del primo termine, hanno un aspetto
  familiare. Infatti sono formalmente identiche alle due forme
  dell'equazione di continuit\`a \ref{continuita_int} e
  \ref{continuita_diff}, se interpretiamo il flusso del vettore di
  Poynting come flusso di energia attraverso una superficie\footnote{Una
  superficie {\sl chiusa}. L'interpretazione non vale per superfici
  aperte, e tutta la deduzione riportata infatti fa riferimento a
  superfici chiuse.}. Ovvero, possiamo interpretare le
  \ref{conservazione_energia_diff} e \ref{conservazione_energia_int}
  (con $W=w=0$) come la legge che stabilisce la conservazione
  dell'energia per un sistema di campi elettromagnetici che non siano in
  interazione con particelle cariche.

  Se ora reintroduciamo il termine $W$ (o $w$), vediamo che l'energia
  del campo elettromagnetico non si conserva pi\`u, e che la mancata
  conservazione \`e interamente dovuta all'energia che viene trasferita
  dalle o alle cariche. Se ne conclude quindi che {\sl il campo
  elettromagnetico possiede una sua energia} e che {\sl in presenza di
  particelle cariche, questa energia si conserva se, e solo se, viene
  tenuto conto dell'energia meccanica posseduta dalle cariche.}

  Lo stesso vale per le particelle: {\sl la legge di conservazione
  dell'energia per un sistema di particelle cariche \`e valida se e solo
  se si tiene conto anche dell'energia del campo elettromagnetico}.

  Il termine di flusso pu\`o spesso essere annullato scegliendo una
  superficie tale che il vettore di Poynting si annulli, per esempio
  scegliendo una superficie che va all'infinito se i campi vanno a zero
  pi\`u rapidamente di $1/r$. Questo peraltro, per campi statici, \`e
  sempre il caso in assenza di cariche o correnti all'infinito.

  Dalla discussione precedente emerge una visione alternativa della
  trasmissione di energia nei circuiti. Prendiamo ad esempio un
  semplicissimo circuito in corrente continua, formato da un generatore
  di tensione $V$ e da una resistenza $R$. Quest'ultima la
  schematizziamo come un cilindretto uniforme di raggio $r$ e lunghezza
  $l$. La corrente che scorre \`e $I=V/R$ e la potenza trasferita dal
  generatore alla resistenza, e da questa dissipata in calore, \`e
  $W=RI^2$.

  Siccome i campi sono statici, $U=$ costante ed il secondo termine
  della \ref{conservazione_energia_int} \`e nullo. Il campo elettrico
  nella resistenza vale in modulo $E=V/l=RI/l$ ed \`e longitudinale,
  mentre il campo magnetico sulla superficie laterale vale, per la
  \ref{biot}, $B = \mu_0 I /(2 \pi r)$ ed \`e ad essa tangente ed \`e
  perpendicolare alla lunghezza del cilindro. Sulle basi invece ${\bf
  B}$ \`e parallelo ad esse.

  Il vettore di Poynting perci\`o \`e parallelo alle basi del cilindro,
  ed ivi il suo flusso \`e nullo. Sulla superficie laterale invece ${\bf
  N}$ \`e ad essa perpendicolare e punta verso l'interno. Il modulo \`e
  $N = EB/\mu_0 = RI^2/(2\pi r l)$ ed il flusso $\oint {\bf N \cdot}
  d{\bf S} =2\pi r l RI^2/(2\pi r l) = RI^2$. Ne segue che {\sl
  l'energia che il generatore di tensione trasmette alla resistenza la
  si pu\`o considerare trasmessa tramite il campo elettromagnetico,
  attraverso la superficie della resistenza} (e non tramite il filo).

  \subsection{Quantit\`a di moto}

  Ragionamenti simili si possono svolgere per la quantit\`a di moto.
 Vediamo che la
  densit\`a di quantit\`a di moto ${\bf \cal P}$ \`e esprimibile in
  termini della densit\`a di forza di Lorentz ${\bf f}$, e tramite essa
  e le equazioni di Maxwell in termini del campo elettromagnetico:

  \begin{displaymath}
  \frac{\partial{\bf \cal P}}{\partial t} = {\bf f} = \rho {\bf E + j
 \times B} =
  \epsilon_0 {\bf E \nabla \cdot E} + \left(\frac{1}{\mu_0}\nabla \times
  {\bf B}-\epsilon_0\frac{\partial {\bf E}}{\partial t} \right) \times
  {\bf B}
  \end{displaymath}
  \begin{displaymath}
  = \epsilon_0 {\bf E \nabla \cdot E} + \underbrace{\frac{1}{\mu_0} {\bf
  B \nabla \cdot B}}_{=0} +\frac{1}{\mu_0}\left( \nabla \times {\bf B}
  \right)\times {\bf B} +\epsilon_0 {\bf E} \times \frac{\partial \bf
  B}{\partial t} - \epsilon_0\mu_0\frac{\partial \bf N}{\partial t}
  \end{displaymath}

  \noindent dove si \`e sfruttato il fatto che $\mu_0 \frac{\partial \bf
  N}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t} \left( \bf E \times B
  \right) =\frac{\partial \bf E}{\partial t} \times {\bf B} + {\bf E}
  \times \frac{\partial \bf B}{\partial t}$. Mettendo tutto in forma
  pi\`u simmetrica, utilizzando la \ref{rotvett} e ricordando la
 definizione di $c$,

  \begin{eqnarray*}
  \frac{\partial\bf \cal P}{\partial t} &=& \epsilon_0 {\bf E \nabla \cdot E}
  +\frac{1}{\mu_0} {\bf B \nabla \cdot B} +\frac{1}{\mu_0}\left(\nabla
  \times {\bf B}\right) \times {\bf B} + \epsilon_0 \left({\bf \nabla
  \times E}\right) \times {\bf E} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial \bf
  N}{\partial t} \\
  &=& \epsilon_0 {\bf E \nabla \cdot E} + \epsilon_0 \left[\left({\bf E
  \cdot \nabla} \right) {\bf E} - \frac{1}{2}\nabla E^2 \right]\\
  &+& \frac{1}{\mu_0} {\bf B \nabla \cdot B} +\frac{1}{\mu_0}\left[
  \left({\bf B \cdot \nabla} \right) {\bf B} - \frac{1}{2}\nabla
  B^2\right] - \frac{1}{c^2}\frac{\partial \bf N}{\partial t}.
  \end{eqnarray*}

  Si tratta di un'espressione abbastanza complicata, per cui
  calcoliamola per una sola componente $x_\alpha \in \{x,y,z\}$,
  limitandoci alla parte relativa al campo elettrico (per quello
  magnetico il calcolo sar\`a identico). Abbiamo:

  \begin{displaymath}
  \left\{ {\bf E \nabla \cdot E} + \left[ \left({\bf E \cdot \nabla}
  \right) {\bf E} - \frac{1}{2}\nabla E^2\right]\right\}_\alpha =
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
  = \sum_\beta \left\{ E_\alpha \frac{\partial E_\beta}{\partial x_\beta}
 + \left[ E_\beta \frac{\partial E_\alpha}{\partial x_\beta}
 - \frac{1}{2} \frac{\partial E^2_\beta}{\partial x_\alpha} \right] \right\}
  = \sum_\beta
  \frac{\partial}{\partial x_\beta}\left( E_\alpha E_\beta - \frac{1}{2}
  E^2 \delta_{\alpha\beta}\right).
  \end{displaymath}

  L'ultimo termine pu\`o essere visto come la divergenza di un tensore
  di ordine 2 che ha la forma, reinserendo il fattore $\epsilon_0$ ed il
  termine magnetico,

  \begin{equation}
  {\cal T}_{\alpha\beta} = \epsilon_0 E_\alpha E_\beta + \frac{1}{\mu_0}
  B_\alpha B_\beta - \frac{1}{2} \left( \epsilon_0 E^2 + \frac{1}{\mu_0}
  B^2 \right) \delta_{\alpha\beta}
  \label{sforzi}
  \end{equation}

  \noindent ed \`e noto come {\sl tensore degli sforzi di Maxwell}.
  L'equazione del bilancio della quantit\`a di moto assume finalmente la
  forma differenziale

  \begin{equation}
  \frac{\partial}{\partial t} \left({\bf \cal P} + \frac{1}{c^2}{\bf
  N}\right) = \nabla \cdot {\cal T}
  \label{quantita_moto_diff}
  \end{equation}

  \noindent e quella integrale

  \begin{equation}
  \frac{d}{dt} \left({\bf p} + \frac{1}{c^2}\int {\bf N}\ d\Omega\right)
  = \oint {\cal T} \cdot d{\bf S}.
  \label{quantita_moto_int}
  \end{equation}

  Anche qui come nell'espressione dell'energia il termine di flusso
  pu\`o spesso essere annullato scegliendo una superficie tale che il
  tensore degli sforzi sia nullo: per esempio scegliendo una
  superficie che va all'infinito, se i campi vanno a zero pi\`u
  rapidamente di $1/r$.

  Si possono ripetere qui gli stessi commenti fatti per le equazioni
  \ref{conservazione_energia_int} e \ref{conservazione_energia_diff}:
  {\sl il campo elettromagnetico possiede una sua quantit\`a di moto,} e
  {\sl in presenza di particelle cariche tale quantit\`a di moto si
  conserva se, e solo se, viene tenuto conto della quantit\`a di moto
  meccanica posseduta dalle particelle.}

  Da un altro punto di vista, vediamo che {\sl la legge di conservazione
  della quantit\`a di moto per un sistema di particelle cariche \`e
  valida se e solo se si tiene conto anche della quantit\`a di moto del
  campo elettromagnetico}. In particolare, se c' \`e un certo ammontare
  di quantit\`a di moto ``in volo'' tra due cariche interagenti, {\sl
  non possiamo aspettarci che valga la terza legge di Newton} (di azione
  e reazione), che deve quindi essere soppiantata dalla legge pi\`u
  generale \ref{quantita_moto_diff} o \ref{quantita_moto_int}.

  Si noti che la densit\`a di quantit\`a di moto del campo
  elettromagnetico \`e data dal vettore di Poynting che svolge il ruolo
  di ``flusso di energia'' nell'equazione di conservazione
  dell'energia; il flusso della quantit\`a di moto \`e dato dal flusso
  del tensore degli sforzi. Vediamo cos\`i da questo ruolo duale di
  ${\bf N}$ che nel campo elettromagnetico energia e quantit\`a di moto
  sono strettamente collegate, esattamente come per una particella
  materiale libera, per la quale $U=p^2/2m$. Questa connessione si vede
anche dal
  fatto che la traccia (somma dei termini diagonali) di ${\cal T}$ non
  \`e altro che l'energia del campo elettromagnetico.

  Il campo elettromagnetico possiede dunque propriet\`a dinamiche
  indipendentemente dalla presenza o meno di materia ponderabile, e
  questo conduce a vederlo come dotato di una sua esistenza al di l\`a
  del ruolo di puro intermediario tra le particelle per cui era stato
  introdotto.

%  \vfill\hrule
%  {\sl {\sc Bibliografia:} \cite{jackson} cap. 5? e 6?, \cite{panofski}
%  cap. 9, 10, 11 e 14, \cite{berkeley} cap.7 e 8, \cite{halliday}
%  cap. 36 e 38, \cite{goldstein} cap.1.}

 \chapter{Onde}


 \section{Propagazione per onde}

 Si \`e visto che dalle equazioni di Maxwell \`e possibile dedurre
 delle equazioni per il campo elettrico, quello magnetico e per i
 potenziali, equazioni che, nel vuoto, hanno tutte la stessa forma:

 \begin{equation}
 \Box^2 f({\bf r},t) = \nabla^2 f({\bf r},t) - \frac{1}{c^2}
 \frac{\partial^2 f({\bf r},t)}{\partial t^2} = 0
 \label{onde_generica}
 \end{equation}

 \noindent dove $f({\bf r},t)$ nel caso elettromagnetico \`e una
 funzione vettoriale, ma in altri casi pu\`o essere, {\sl mutatis
 mutandis}, una funzione scalare. Infatti tale equazione descrive
 molti altri fenomeni fisici: la propagazione del suono in un gas,
 delle onde
 di superficie in un fluido, delle vibrazioni di una corda e nei
 solidi, eccetera. La grandezza $f$ di volta in volta rappresenta
 una diversa grandezza fisica: la pressione locale del gas,
 il livello del fluido, lo spostamento della corda o degli atomi.
 L'equazione \ref{onde_generica} \`e dunque una delle equazioni
 pi\`u importanti e versatili della fisica. Perci\`o verr\`a qui
 trattata, per quanto possibile, nella sua generalit\`a senza fare
 necessariamente sempre riferimento al caso elettromagnetico.

 \subsection{Onde piane e onde sferiche}

 Per studiare il tipo di soluzioni che tale equazione pu\`o avere,
 partiamo dal caso scalare e unidimensionale. Con quest'ultima
 espressione qui s'intende che consideriamo una funzione $f=f(x,t)$
 che, ad un dato tempo, dipenda solo da $x$, per cui abbia lo stesso
 valore indipendentemente da $y$ e $z$. I punti dello spazio in cui $f$
 ha un determinato valore rappresentano dei fasci di piani paralleli,
 da cui il nome di {\sl onde piane}.

 L'equazione \ref{onde_generica} diventa, per le onde piane,

 \begin{equation}
 \left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2}
 \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right) f(x,t) = 0
 \label{onde_piane}
 \end{equation}

 \noindent e l'operatore a primo membro somiglia vagamente al prodotto
 notevole algebrico $a^2-b^2 = (a+b)(a-b)$. Sfruttiamo questa
 somiglianza cercando di fattorizzarlo, ed a tal fine poniamo $s =
 x-ct$ e $\sigma = x+ct$, ottenendo, in funzione di queste nuove
 variabili,

 \begin{displaymath}
 \frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial s}{\partial
 x}\frac{\partial}{\partial s} + \frac{\partial \sigma}{\partial
 x}\frac{\partial}{\partial \sigma} = \frac{\partial}{\partial s} +
 \frac{\partial}{\partial \sigma}; \quad\quad \frac{1}{c}
 \frac{\partial}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial s} -
 \frac{\partial}{\partial \sigma}
 \end{displaymath}
 \begin{displaymath}
 \frac{\partial^2}{\partial x^2} = \left(\frac{\partial}{\partial s} +
 \frac{\partial}{\partial \sigma}\right)^2 = \frac{\partial^2}{\partial
 s^2} + \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2} + 2
 \frac{\partial^2}{\partial s \partial \sigma}; \quad\quad
 \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} =
 \frac{\partial^2}{\partial s^2} + \frac{\partial^2}{\partial \sigma^2}
 - 2 \frac{\partial^2}{\partial s \partial \sigma}
 \end{displaymath}

 \noindent per cui, posto $f(x,t) = f[x(s,\sigma),t(s,\sigma)] =
 g(s,\sigma)$ l'equazione diventa

 \begin{displaymath}
 \frac{\partial^2 g(s,\sigma)}{\partial s \partial \sigma} = 0 \quad
 \end{displaymath}

 \noindent che ha soluzioni della forma

 \begin{displaymath}
 g(s,\sigma) = h_1(s) + h_2(\sigma) \Rightarrow f(x,t) = f_1(x-ct) +
 f_2(x+ct).
 \end{displaymath}

 La soluzione generale dell' equazione \ref{onde_piane} \`e perci\`o
 composta da funzioni in s\'e arbitrarie, ma che dipendono da una
 combinazione particolare delle variabili indipendenti. In special
 modo si vede che, supponendo per esempio $f_2=0$, il profilo della
 funzione $f(x-ct)$ \`e identico a quello della condizione iniziale
 $f(x,0) = \psi(x)$ ma spostato verso destra di una distanza pari a
 $ct$. In altri termini, la funzione $f_1$ rappresenta una funzione
 che si sposta rigidamente in direzione dell' asse $x$, nel verso
 delle $x$ crescenti, a velocit\`a $c$. Similmente, la funzione $f_2$
 rappresenta una funzione che si sposta rigidamente nel senso delle
 $x$ decrescenti a velocit\`a $c$. Si noti che questo dipende solo dal
 segno {\sl relativo} di $x$ e $t$; una funzione $f(ct-x)$ rappresenta
 ugualmente un'onda in moto nel verso positivo dell'asse $x$.

 Caratteristica delle onde \`e quindi di essere una perturbazione di
 un campo esteso, di solito un campo continuo, che si sposta pi\`u o
 meno rigidamente nello spazio.  In senso stretto, comunque, si
 chiamer\`a onda ogni perturbazione di un campo che obbedisce
 all'equazione \ref{onde_generica}. In senso lato, viene solitamente
 chiamata onda qualunque perturbazione in un campo di grandezze.

 Un altro tipo importante di onde \`e quello delle onde sferiche,
 ovvero onde che si  diramano simmetricamente da un punto, poniamo
 il punto ${\bf r} = 0$. In questo caso, $f$ \`e una
 funzione solo del modulo di $r$, e nel laplaciano dell'equazione
 \ref{onde_generica} espresso in termine delle coordinate polari
 sferiche sopravvive solo il termine radiale:

 \begin{displaymath}
 \nabla^2 f(r)= \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left[ r^2
 \frac{\partial f(r)}{\partial r}\right] = \frac{1}{r}
 \frac{\partial^2}{\partial r^2}\left[rf(r)\right].
 \end{displaymath}

 Ne segue che la soluzione generale dell'equazione \ref{onde_generica}
 nel caso di onde sferiche si ottiene da quella della \ref{onde_piane}
 mediante la sostituzione $f \rightarrow r f$, ovvero

 \begin{displaymath}
 f(x,t) = \frac{1}{r}f_1(x-ct) + \frac{1}{r}f_2(x+ct).
 \end{displaymath}

 Si tratta quindi di onde la cui ampiezza decade come $1/r$.
\`E evidente che a grandi distanze
 dall'origine un'onda sferica \`e approssimabile {\sl localmente} con
 un'onda piana.

 \subsection{Onde monocromatiche}

 Considereremo in particolare le onde piane (co)sinusoidali:

 \begin{equation}
 f(x,t) = f_0 e^{i(kx-\omega t)}
 \label{ondapiana_1D}
 \end{equation}

 \noindent le cui parti reali e immaginarie hanno evidentemente la
 forma richiesta: basta riscrivere il termine tra parentesi, detto {\sl
 fase}, come $k(x-\omega t/k)$ e porre $\omega=ck$. La grandezza $f_0$
 si chiama {\sl ampiezza} dell'onda e pu\`o anche essere, in questo
 formalismo, una grandezza complessa. I punti dello spazio in cui la
 fase ha un valore fissato si chiamano {\sl fronti d'onda} e nel caso
 di onde piane sono evidentemente dei piani perpendicolari alla
 direzione di propagazione.

 La periodicit\`a spaziale --- ovvero la distanza tra due punti con lo
 stesso valore di $f$ a $t$ fissato --- \`e data dalla {\sl lunghezza
 d'onda} $\lambda=2 \pi/k$; $k$ \`e detto {\sl numero d'onda}. La
 periodicit\`a temporale --- ovvero l'intervallo di tempo che
 intercorre tra il passaggio di due punti corrispondenti di $f$ in un
 punto fissato --- \`e data dal {\sl periodo} $T=2 \pi/\omega =1/\nu$;
 le grandezze $\omega$ e $\nu$ si misurano entrambe in s$^{-1}$
(l'unit\'a di misura corrispondente \`e detta Hertz) e sono
 chiamate rispettivamente {\sl pulsazione} e {\sl frequenza} dell'onda
 (a volte si usa il termine frequenza anche per $\omega$). \`E pure
 immediato ({\it Esercizio}) vedere che $\lambda \nu = c$.

 L'ipotesi di onda sinusoidale non \`e limitativa perch\'e, come spiegato
 nell' Appendice \ref{fourier}, ogni funzione dotata di sufficienti
 regolarit\`a pu\`o essere scritta come combinazione lineare, detta
 anche {\sl sovrapposizione}, di funzioni del tipo della
 \ref{ondapiana_1D}; data la linearit\`a
 dell' equazione delle onde \ref{onde_generica} le conclusioni tratte
 dallo studio di
 una di queste funzioni periodiche potranno essere facilmente estese
 ad una funzione qualsiasi. Qualora per\`o l'onda sia esattamente del
 tipo \ref{ondapiana_1D} e non una sovrapposizione di esse, e si abbia
 quindi un ben determinato valore di $\omega$, l'onda \`e detta
 {\sl monocromatica}; la ragione di questa denominazione sar\`a vista
 pi\`u avanti.

 Le considerazioni precedenti si estendono facilmente al caso di onde
 piane in tre dimensioni ed al caso di campi vettoriali. \`E
 sufficiente scrivere, invece dell'equazione \ref{ondapiana_1D},
 l'equazione

 \begin{equation}
 {\bf f (r},t) = {\bf f}_0 e^{i({\bf k \cdot r}-\omega t)}
 \label{ondapiana_3D}
 \end{equation}

 \noindent dove sia ${\bf f}$ che ${\bf f}_0$ che ${\bf k}$ sono ora vettori.
 In particolare ${\bf k}$ prende il nome di {\sl vettore d'onda} ed \`e
 evidentemente
 perpendicolare ai piani a fase costante. Siccome, come si \`e visto,
 l'onda si propaga perpendicolarmente a questi piani, ne segue che
 ${\bf k}$ indica la direzione di propagazione dell'onda. Il modulo di $k$
 evidentemente vale $2\pi/\lambda$.

 \section{Velocit\`a di fase e velocit\`a di gruppo}

 La definizione di velocit\`a data nel paragrafo precedente si riferisce
 alla velocit\`a di propagazione di un determinato punto di un'onda;
 per esempio, in un'onda sinusoidale, la velocit\`a di spostamento di una
 cresta o di un ventre. Tuttavia, quando la forma dell'onda subisce
 deformazioni importanti durante la propagazione, questa velocit\`a diventa
 non solo di dubbia utilit\`a, ma anche difficile da definire.

 Deformazioni nella forma d'onda sono possibili quando il coefficiente
 $c$ nell'equazione \ref{onde_generica} non \`e costante. Di solito
 conviene descrivere questa occorrenza definendo una velocit\`a diversa
 per ogni onda sinusoidale, vale a dire ponendo $c=c(\omega)$. In
 questo modo le componenti a determinate frequenze viaggeranno pi\`u
 velocemente di quelle a frequenze differenti e tenderanno a
 ``sorpassarle''; la forma d'onda totale, somma di tutte le forme
 d'onda delle componenti, di conseguenza non si conserver\`a (si pensi
 al gruppo formato dai concorrenti ad una maratona, inizialmente
 compatto ed in seguito sgranato per via delle differenze di velocit\`a
 dei corridori).

 Vediamo questo fenomeno in un semplice caso specifico, quello di
 un'onda scalare piana composta da due onde sinusoidali di frequenze e
 lunghezze d'onda poco diverse ($k^\prime = k + \Delta k,\ \Delta k
 <\!\!< k;\ \omega^\prime = \omega + \Delta \omega,\ \Delta \omega
 <\!\!< \omega $) e con la stessa ampiezza:

 \begin{eqnarray*}
 f &=& f_0 \sin(kx-\omega t) + f_0 \sin(k^\prime x-\omega^\prime t) \\
 &=& 2 f_0 \cos\frac{1}{2}[(k^\prime-k)x-(\omega^\prime-\omega)t]
 \sin\frac{1}{2}[(k^\prime+k)x-(\omega^\prime+\omega)t] \\
 &\simeq& 2 f_0 \cos\frac{1}{2}(\Delta k x - \Delta \omega t)
 \sin(k x-\omega t).
 \end{eqnarray*}

 L'onda complessiva quindi risulta essere un'onda con
 approssimativamente la stessa frequenza ({\sl frequenza portante}) e
 lunghezza d'onda delle onde componenti, ma {\sl modulata} da un
 termine che a sua volta si propaga con velocit\`a $\Delta
 \omega/\Delta k \rightarrow d\omega/dk$, che non necessariamente
 coincide con $c$. In effetti la {\sl velocit\`a di gruppo}

 \begin{equation}
 v_g = \frac{d\omega}{dk} = c + k \frac{dc}{dk}
 \end{equation}

 \noindent coincide con la {\sl velocit\`a di fase} $c=\omega/k$ solo se
 quest'ultima non dipende da $k$, quindi da $\omega$. Qualora
 questa condizione non si verifichi si dice di essere in presenza di un
 {\sl mezzo dispersivo}.

 Come si vede, velocit\`a di fase e di gruppo in linea generale sono
 grandezze diverse. Dal punto di vista pratico la velocit\`a di fase
 \`e quella con meno importanza. Essa si riferisce infatti ad onde
 esattamente monocromatiche, le quali a rigore non esistono: esse
 infatti avrebbero durata infinita. Di solito si \`e interessati a {\sl
 treni d'onde} di durata limitata, e la velocit\`a con cui si propagano
 effetti fisici ed informazione \`e quella di gruppo. Non \`e quindi
 vietato, e di fatto si verifica in diversi casi, che la velocit\`a di
 fase delle onde elettromagnetiche sia superiore a quella della onde
 elettromagnetiche nel vuoto.

 \subsection{Onde di compressione nei solidi}

 Un caso importante di onde dispersive si ha nel caso dei solidi.
 Schematizziamo il solido come una sequenza infinita di atomi tutti di
 massa $m$, costretti a muoversi in una sola dimensione --- diciamo
 l'asse $x$ --- connessi da molle di costante elastica $G$ solo con i
 primi vicini (cio\`e l'$n-$mo solo con l'$n-1$-mo e l'$n+1$-mo), e
 con posizioni di riposo $x_n = a n,\ n \in {\bf Z}$. La posizione
 dell'$n-$mo atomo, all'istante $t$, sia $x_n(t) = x_n + u_n(t) = a n
 + u_n(t)$, ed ipotizzeremo se necessario piccole oscillazioni:
 $u_n<\!\!<a\ \forall n$. L'equazione del moto per l'atomo $n-$mo \`e
 data dunque da

 \begin{equation}
 m \frac{d^2u}{dt^2} = F_n = G (u_{n+1} - u_n) - G (u_n - u_{n-1})
 \label{newton_solido}
 \end{equation}

 \noindent visto che le forze agenti sono proporzionali alle differenze
 degli spostamenti degli atomi dalle loro posizioni di
 equilibrio. Cerchiamo soluzioni del tipo ``onda viaggiante'':

 \begin{equation}
 u_n(t) = \varepsilon e^{i(k a n - \omega t)}
 \label{onda_solido}
 \end{equation}

 \noindent dove compare l'indice intero $n$ invece della coordinata
reale $x$ in quanto stiamo trattando un sistema discreto e non
continuo. Introducendo la \ref{onda_solido} nella \ref{newton_solido}
otteniamo la relazione

 \begin{eqnarray*}
 &-&m\omega^2\varepsilon e^{i(k a n - \omega t)} = G \varepsilon \left[
  e^{i(k a(n+1) - \omega t)} - 2 e^{i(k a n - \omega t)} + e^{i(k a
  (n-1) - \omega t)} \right] \\
 &=& G \varepsilon e^{i(k a n - \omega t)} \left[ e^{ik a} + e^{ika}
 - 2\right]
 \end{eqnarray*}

 \noindent da cui si ottiene la {\sl relazione di dispersione}

 \begin{equation}
 \omega^2 = \frac{2G}{m} \left[ 1-\cos(ka)\right] \Rightarrow
 \omega = 2 \sqrt{\frac{G}{m}} \sin(ka/2).
 \end{equation}

 Questa relazione non \`e lineare, e pertanto la velocit\`a di gruppo
 delle onde di compressione varia con la lunghezza d'onda:

 \begin{displaymath}
 v_g(k) = \frac{d\omega}{dk} = a \sqrt{\frac{G}{m}} \cos(ka/2).
 \end{displaymath}

 Per lunghezze d'onda estremamente corte, paragonabili alla spaziatura
 degli atomi nel reticolo, le onde si muovono a velocit\`a via via
 pi\`u basse, fino a raggiungere velocit\`a nulla quando $\lambda=2a$
 ({\it Esercizio:} verificarlo). Per onde di lunghezza macroscopica
 invece la {\sl velocit\`a del suono} $v = \lim_{\lambda\to \infty}
\left( \omega/k \right) = a \sqrt{\frac{G}{m}}$ \`e
 indipendente dalla frequenza e pertanto velocit\`a di fase e di gruppo
 coincidono.


 \section{Effetto Doppler}

 Uno degli effetti pi\`u vistosi e noti della meccanica delle onde ---
 vistoso e noto, per\`o, solo nel mondo moderno dove siamo abituati a
 velocit\`a dell'ordine delle decine di kilometri all'ora --- consiste
 nella variazione apparente della frequenza di un'onda a seconda dello
 stato di moto della sorgente o dell'osservatore.

 Consideriamo una sorgente $S$ di onde, per esempio sonore, ed un
 osservatore $O$, distanti $l$ al tempo $t=0$. Sia $c$ la velocit\`a
 dell'onda e $\nu$ la sua frequenza, ed immaginiamo che $S$ ed $O$
 siano in moto con velocit\`a rispettivamente $v_s$ e $v_o$ lungo la
 stessa direzione. Supporremo per fissare le idee che le velocit\`a
 siano concordi, ma nulla cambia se sono discordi, salvo qualche segno.
 Possiamo invece scartare il caso $v_o \geq c$ in quanto in questo caso
 i fronti emessi da $S$ non raggiungono mai $O$.

 Un fronte d'onda emesso da $S$ a $t=0$ raggiunger\`a $O$ non al tempo
 $t=l/c$ ma ad un tempo successivo $t_1$, in quanto l'osservatore
 durante il tempo di volo dell'onda si \`e allontanato. Si
 deve avere

 \begin{displaymath}
 c t_1 = l + v_o t_1 \Rightarrow t_1 = \frac{l}{c-v_o}
 \end{displaymath}

 Al tempo successivo $\tau = 1/\nu$ viene emesso un secondo
 fronte d'onda. In questo momento $S$ si \`e spostato di una distanza
 $v_s \tau$ rispetto al punto in cui si trovava a $t=0$, ed $O$
 di una distanza $v_o \tau$. Siccome $O$ continua a spostarsi durante
 il viaggio del secondo fronte d'onda, questo lo raggiunge quando $O$
 si \`e spostato di un'ulteriore distanza $c (t_2 - \tau)$, ed il
 tempo $t_2$ in cui questo avviene \`e di conseguenza dato
 dall'equazione

 \begin{displaymath}
 v_s \tau  + c (t_2 - \tau) = l + v_o t_2 \Rightarrow t_2 =
 \frac{l+(c-v_s)\tau}{c-v_o}
 \end{displaymath}

 \noindent per cui $O$ sente i fronti d'onda consecutivi arrivare ad
 intervalli

 \begin{equation}
 \tau^\prime = t_2 - t_1 = \frac{c-v_s}{c-v_o} \tau.
 \label{doppler_periodo}
 \end{equation}

 Si noti che per $v_s=c$ i fronti d'onda arrivano con intervallo nullo.
 Questa stranezza \`e dovuta al fatto che la sorgente, muovendosi alla
 stessa velocit\`a dell'onda, emette un fronte senza che il precedente
 abbia potuto ``staccarsi''. I fronti pertanto si accavallano, e
 questo corrisponde alla formazione di un'{\sl onda d'urto}, che nel
 caso delle onde sonore genera il cosiddetto {\sl bang supersonico}.

 L' intervallo di tempo $\tau^\prime$ \`e proprio il periodo dell'onda
 percepito da $O$, per cui $O$ percepisce una frequenza {\sl diversa}
 da quella emessa, e precisamente 

 \begin{equation}
 \nu^\prime = \frac{c-v_o}{c-v_s} \nu.
 \label{doppler_frequenza}
 \end{equation}

 La frequenza percepita \`e perci\`o pi\`u alta di quella emessa
 se sorgente ed osservatore si avvicinano, mentre \`e pi\`u bassa quando
 si allontanano, e questo \`e bene in accordo con l'esperienza
 quotidiana. La distanza invece non ha alcuna importanza (influir\`a
 ovviamente sull'intensit\`a dell'onda), n\'e importano le accelerazioni.

 Per velocit\`a $v_s$ e $v_o$ entrambe molto pi\`u piccole di $c$
 possiamo applicare lo sviluppo binomiale

 \begin{equation}
\left( 1+x \right)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha \left(
  \alpha-1 \right)}{2!}x^2 + \cdots
 \label{binomiale}
 \end{equation}

\noindent all'ordine pi\`u basso e pertanto si ottiene

 \begin{equation}
 \nu^\prime \simeq [1-(v_o-v_s)/c] \nu
 \label{doppler}
 \end{equation}

 e questa formula si pu\`o facilmente generalizzare al caso in cui $S$
 ed $O$ non si muovano sulla stessa retta;  se $\theta$ \`e l'angolo fra
 le direzioni dei moti si ha ({\sl Esercizio})

 \begin{equation}
 \nu^\prime \simeq [1-(v_o-v_s)\cos\theta/c] \nu.
 \end{equation}

 Si noti che \`e solo in questa
 approssimazione che la formula \`e simmetrica nelle velocit\`a
 di osservatore e sorgente; in generale lo spostamento di frequenza
 dipende non solo dalla velocit\`a relativa ma anche dalla ``velocit\`a
 assoluta'' di $S$ ed $O$, ovvero la velocit\`a che $O$ ed $S$ hanno
 rispetto al mezzo in cui la velocit\`a dell'onda \`e $c$.

 Se immaginiamo di avere una sirena che emette un La centrale (circa
 440 Hz) e che si muova a 20 m/s=72 km/h rispetto ad un osservatore
 fermo rispetto all'aria, considerando che la velocit\`a del suono \`e
 di circa 330 m/s, la frequenza percepita sar\`a di circa 25 Hz pi\`u
 alta o pi\`u bassa.  Tale differenza corrisponde a circa un semitono
 ed \`e quindi perfettamente percepibile. Velocit\`a relative inferiori
 ai 5 m/s = 18 km/h danno d'altra parte differenze di meno di un ottavo
 di tono, difficilmente distinguibili da parte di un orecchio non
 allenato.  Non sorprende quindi che la teoria dell'effetto Doppler,
 pur semplice, risalga solo al 1842 e la sua verifica sperimentale a
 due anni dopo; in precedenza non si aveva avuto modo di prendere in
 considerazione il problema.


 \section{Le onde elettromagnetiche}

 \subsection{Onde elettromagnetiche piane}

 Vediamo cosa si pu\`o dire di specifico sulle onde piane
 elettromagnetiche nel vuoto. Non perdiamo in generalit\`a se
 supponiamo che l'onda si propaghi lungo l'asse ${\bf \hat x = \hat k}$
 e che sia monocromatica. I campi pertanto possono essere scritti come

 \begin{eqnarray}
 {\bf E} &=& {\bf E}_0 e^{i(kx-\omega t)} \nonumber \\
 {\bf B} &=& {\bf B}_0 e^{i(kx-\omega t)}.
 \label{elettropiane}
 \end{eqnarray}

 Le equazioni alla divergenza nel vuoto ${\bf \nabla \cdot E = \nabla
 \cdot B = 0}$ implicano immediatamente ({\it Esercizio}) che {\bf E} e
 {\bf B} sono perpendicolari alla direzione di propagazione {\bf k}
 ($E_x=B_x=0$)\footnote{Questa connessione tra divergenza nulla e
 trasversalit\`a giustifica il nome di {\sl gauge trasverso} dato in
 precedenza al gauge in cui ${\bf \nabla \cdot A = 0}$.}, a meno di un
 campo uniforme.

 Peraltro scrivendo le equazioni al rotore nel caso di spazio vuoto,
 ovvero $\rho=0,\ {\bf j}=0$, otteniamo

 \begin{eqnarray*}
 {\bf \nabla \times E} &=& -\frac{\partial{\bf B}}{\partial t} \\
 \nabla \times {\bf B} &=& \epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial {\bf E} }
 {\partial t} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial {\bf E} }{\partial t}.
 \end{eqnarray*}

 Siccome stiamo considerando onde piane propagantisi lungo $x$, non si
 ha dipendenza da $y$ n\'e da $z$ in ${\bf E}$ e $\bf B$, per cui i
 rotori di ${\bf E}$ e $\bf B$ non hanno componente $x$. Ne segue
 immediatamente che $B_x$ e $E_x$ sono indipendenti anche dal tempo. Ma
 un campo indipendente da spazio e tempo non \`e un'onda viaggiante,
 per cui lo scarteremo. Ne segue l'importante conclusione che {\sl le
 onde elettromagnetiche piane nel vuoto sono trasversali}, ovvero che i
 campi ${\bf E}$ e $\bf B$ oscillano perpendicolarmente alla direzione
 di propagazione.

 Nel caso di onde monocromatiche del tipo descritto dall'equazione
 \ref{elettropiane}, la prima delle equazioni scritte sopra diventa
 (analogamente si procede per la seconda), per componenti,

 \begin{eqnarray*}
 \left(0,-ik E_{0z} e^{i(kx-\omega t)}, ik E_{0y} e^{i(kx-\omega t)}\right) &=&
 \left(0,-\frac{\partial E_z}{\partial x},
 \frac{\partial E_y}{\partial x}\right) = {\bf \nabla \times E} \\
  = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}
&=& \left(0,i\omega B_{0y}
 e^{i(kx-\omega t)}, i\omega B_{0z} e^{i(kx-\omega t)}\right)
 \end{eqnarray*}

 \noindent ovvero, in forma vettoriale, e ricordando che ${\bf k} =
 k {\bf \hat x}$

 \begin{equation}
 i{\bf k \times E} = i \omega {\bf B}
 \longrightarrow {\bf B} = \frac{\bf k}{\omega} {\bf \times E} =
 \frac{\bf \hat k}{c}
 {\bf \times E}
 \end{equation}

 \noindent che significa che {\sl in un' onda piana {\bf k,\ E,\ B}
 formano una terna destrorsa} ed in particolare che {\sl {\bf k,\ E,\
 B} sono ortogonali tra loro}.

 Si noti che $B=E/c$ e che perci\`o $B$ in un certo senso \`e
 ``piccolo''; infatti se calcoliamo la forza di Lorentz magnetica
 $F_B$ su di una carica $q$ su di cui incide un'onda elettromagnetica
 piana otteniamo

 \begin{equation}
 F_B = q \left|{\bf v \times B}\right| = q |{\bf v} \times
 \hat \frac{\bf k}{c} {\bf \times E}| \leq q \frac{v}{c} E =
 \frac{v}{c} F_E.
 \label{forza_onda}
 \end{equation}

 Ovvero la forza magnetica \`e pi\`u debole della forza elettrica $F_E$
 generata dalla stessa onda sulla stessa particella di un fattore
 $v/c$, fattore che solitamente \`e $<\!\!<1$.

 \subsection{Polarizzazione delle onde elettromagnetiche}

 Il fatto che le onde elettromagnetiche piane siano onde vettoriali
 trasversali implica che esse sono caratterizzate non da una sola
 direzione --- quella di propagazione ${\bf \hat k}$ --- ma anche da
 una seconda, quella del campo elettrico\footnote{Si tratta di una
 convenzione; la direzione del campo magnetico andrebbe altrettanto
 bene.} {\bf E}. Questa direzione \`e detta {\sl direzione di
 polarizzazione}. Il piano formato da questa direzione e da {\bf k}
 \`e detto {\sl piano di polarizzazione} ed in generale \`e una
 funzione del tempo.

 Prendiamo al solito un'onda monocromatica con ${\bf \hat x = \hat
 k}$, e scriviamo le componenti del campo elettrico direttamente in
 forma reale come

 \begin{eqnarray}
 E_x &=& 0 \nonumber\\
 E_y &=& {\cal I}m \left[ E_{0y} e^{i\phi} e^{(kx-\omega t)} \right] =
 E_{0y} \sin(kx-\omega t + \phi) \label{onda_polarizzata} \\
 E_z &=& {\cal I}m \left[ E_{0z} e^{i\theta} e^{(kx-\omega t)}\right] =
 E_{0z} \sin(kx-\omega t +\theta)\nonumber
 \end{eqnarray}

 \noindent dove, per far s\`i che le componenti di ${\bf E}_0$
 ($E_{0y}$ ed $E_{0z}$) siano reali, si sono esplicitate le loro fasi
$\theta$ e $\phi$,
 che possono essere diverse. Il modulo del vettore {\bf E} \`e dato da

 \begin{displaymath}
 E^2 = E_{0y}^2 \sin^2(kx-\omega t+\phi) + E_{0z}^2 \sin^2(kx-\omega
 t+\theta)
 \end{displaymath}

 \noindent e ovviamente in genere non \`e costante. La sua direzione
 --- ovvero la direzione di polarizzazione --- \`e individuata da un
 versore con al pi\`u due componenti non nulle

 \begin{equation}
 {\bf \hat n} = (0,E_y/E,E_z/E).
 \end{equation}

 In generale questo versore non \`e fisso, a meno che $\phi=\theta + m
 \pi$. In questo caso la direzione di polarizzazione \`e data da ${\bf
 \hat n} = {\bf E}_0/E_0$ e si parla di {\sl onda polarizzata
 linearmente}. Tutte le onde elettromagnetiche, in virt\`u della
 linearit\`a delle equazioni dell'elettromagnetismo, sono dunque
 scrivibili come combinazione lineare di onde polarizzate
 ``orizzontalmente'' o ``verticalmente'', od anche ``diagonalmente'':

 \begin{displaymath}
 {\bf \hat n} = \frac{E_{01}}{E_0} {\bf \hat n}_1 +
 \frac{E_{02}}{E_0} {\bf \hat n}_2
 \end{displaymath}

 \noindent con ${\bf n}_1$ e ${\bf n}_2$ versori arbitrari ma fissati.

 Se invece le componenti del vettore ${\bf E}_0$ hanno fasi diverse, le
 equazioni \ref{onda_polarizzata} sono le equazioni parametriche di
 un'ellisse; in altre parole, l'estremo del vettore {\bf E} percorre
 un'ellisse, anzi un cerchio se $E_{0y} = E_{0z}$. In questi casi si
 parla di polarizzazione {\sl ellittica} o {\sl circolare}. Se
 l'estremo del vettore {\bf E} percorre la traiettoria in senso
 antiorario, visto da un osservatore che vede l'onda procedere verso di
 s\'e, allora si parla di {\sl polarizzazione destrorsa}. \`E evidente
 che che il vettore di propagazione {\bf k} \`e dato in questo caso
 dalla solita regola della mano destra.

 Naturalmente si parla anche di polarizzazione {\sl sinistrorsa} nel
 caso opposto.  Anche in questo caso si dimostra (con gli strumenti
 dell'Appendice \ref{fourier}) che tutte le onde sono scrivibili come
 combinazione lineare di onde polarizzate ellitticamente sia destrorse
 che sinistrorse.

 Come si vedr\`a, la luce \`e un' onda elettromagnetica, dunque pu\`o
 essere polarizzata. Di solito la luce che vediamo \`e una mescolanza
 casuale di onde di polarizzazione varia; si parla quindi di
 luce non polarizzata. In considerazione di questo non ci si sorprende
 che il nostro occhio, a differenza di certi insetti come le api
 che ne hanno bisogno per l'orientamento in volo, non sia in grado di
 distinguere le direzioni di polarizzazione. Ci sono per\`o diversi
 casi, cui si accenner\`a anche in seguito, in cui la polarizzazione
 produce fenomeni visibili. Per esempio, la luce riflessa da una
 superficie \`e composta in misura preponderante da onde polarizzate
 parallelamente a detta superficie; \`e quindi possibile eliminare
 selettivamente la componente riflessa, vale a dire la pi\`u fastidiosa
 per la vista, usando lenti costituite da un materiale che assorba
 selettivamente luce di una particolare polarizzazione ({\sl polaroid})
 lasciando passare l'altra. Un secondo fenomeno \`e la cosiddetta {\sl
 attivit\`a ottica}, esibita da alcune sostanze, che consiste nella
 rotazione del piano di polarizzazione della luce quando li attraversa.
 Se la rotazione avviene in senso orario si parla di sostanza {\sl
 levogira}, in caso contrario di sostanza {\sl destrogira}.

 \section{Energia e quantit\`a di moto di un'onda}

 Finora si \`e parlato di ``onde viaggianti''. \`E legittimo chiedersi
 {\sl che cosa viaggi} in un' onda, soprattutto se ci si ricorda che
 anche in onde aventi un evidente sostrato materiale come le onde del
 mare, la materia stessa in effetti non viaggia ma si limita ad
 oscillare pi\`u o meno verticalmente, eccettuato che nelle immediate
 vicinanze della costa.  Chi peraltro abbia tentato di nuotare col
 mare grosso si rende conto che le onde del mare hanno la capacit\`a
 di spostare anche masse considerevoli.  Viene quindi naturale pensare
 che ci\`o che \`e trasportato da un'onda non \`e altro che {\sl
 energia e quantit\`a di moto}. Verifichiamo questa ipotesi nel caso
 delle onde elettromagnetiche piane nel vuoto.

 L'equazione per la densit\`a energia del campo elettromagnetico in
 questo caso ci d\`a, ricordando che per un'onda piana $cB=E$,

 \begin{equation}
 u = \epsilon_0 E^2/2 + B^2/2\mu_0 =
 \frac{\epsilon_0}{2}E^2 + \frac{1}{2\mu_0 c^2}E^2 = \epsilon_0 E^2.
 \label{energia_ondapiana}
 \end{equation}

 L'onda elettromagnetica pertanto trasporta effettivamente energia,
 suddivisa in parti uguali tra i contributi elettrico e magnetico.
 In molti casi il campo oscilla ad una frequenza
 molto pi\`u alta delle frequenze di interesse nella materia, per cui
 si \`e interessati al valor medio di tale energia per unit\`a di
 volume.  Tale valor medio \`e, per onde monocromatiche, $\left\langle
 u \right\rangle = \epsilon_0 E_0^2/2$. Da qui in poi si
 sottintender\`a che $u$ e $U$ si riferiscono a valori medi.

 Il flusso di energia deve essere dato dal flusso del vettore di
 Poynting ${\bf N = E \times B}/\mu_0 = {\bf E \times} \frac{\bf \hat
 k}{c} {\bf \times E}/\mu_0 = {\bf \hat k} E^2/\mu_0c =
 \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}}E^2 {\bf \hat k}$, e questo ci dice che
 {\sl in un'onda elettromagnetica l'energia fluisce nella direzione di
 propagazione dell'onda}, come si poteva intuire. Per un'onda piana
 monocromatica,

 \begin{displaymath}
 {\bf N} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} E_{0x}^2 {\bf
 \hat k} = u c {\bf \hat k}.
 \end{displaymath}

 Il flusso di energia per unit\`a di tempo $W$ lo possiamo calcolare
 prendendo un parallelepipedo avente un lato di lunghezza $L$ lungo $x$
 e sezione trasversale $S$. Chiamando $U$ l'energia totale ivi
 contenuta e considerando che il flusso di {\bf N} lungo le facce
 laterali e posteriore \`e nullo,

 \begin{displaymath}
 W = \int_S {\bf N \cdot} d{\bf S} = u c S = U c /L.
 \end{displaymath}

 La grandezza ``flusso di energia per unit\`a di tempo e di
 superficie'' \`e detta {\sl intensit\`a} dell'onda

 \begin{equation}
 I = u c = c \frac{\epsilon_0}{2}E_0^2
 \label{intensita}
 \end{equation}

 \noindent e la seconda eguaglianza vale per onde
 monocromatiche. Questo flusso di energia, come si vede, {\sl dipende
 dal quadrato dell'ampiezza dell'onda}.

 Ugualmente si mostra che un'onda elettromagnetica trasporta quantit\`a
 di moto; prendendo il parallelepipedo usato in precedenza,

 \begin{equation}
 {\bf p} = \frac{1}{c^2} \int {\bf N} d\Omega
 = \frac{U}{c^2} c {\bf \hat k} = 
 \frac{U}{c} {\bf \hat k}
 \label{upc}
 \end{equation}

 \noindent e si vede che {\bf p} \`e diretta, come previsto, lungo la
 direzione di propagazione dell'onda.

 Tutti i ragionamenti qui esposti sono facilmente estendibili ad altri
 casi, in particolare alle onde sferiche. Anche in questo caso
 l'energia e la quantit\`a di moto si propagano in direzione
 perpendicolare ai fronti d'onda. Siccome l'ampiezza di un' onda
 sferica decresce come $1/r$ ne segue che il flusso di energia per
 unit\`a di superficie decresce come $1/r^2$. Questo \`e logico
 perch\`e la superficie dei fronti d'onda a sua volta cresce come $r^2$
 ed il flusso di energia attraverso ogni superficie sferica, in assenza
 di dissipazione, deve essere costante.

 \subsection{La pressione di radiazione}

 Se un'onda elettromagnetica trasporta quantit\`a di moto, e quest'onda
 ``rimbalza'' --- ovvero viene riflessa --- su di un qualche oggetto
 (uno ``specchio''), la legge di conservazione della quantit\`a di moto
 ci dice che l'oggetto in questione deve ricevere un impulso $J=\Delta
 p = \int F\ dt$ pari alla variazione della quantit\`a di moto
 dell'onda stessa. Prendiamo in considerazione il caso in cui un'onda
 elettromagnetica piana viene totalmente riflessa da uno specchio su
 cui incide perpendicolarmente. Consideriamo un parallelepipedo con
 area di base $S$ ed altezza $L=c\tau$, con $\tau$ un intervallo di
 tempo arbitrario; esso conterr\`a una quantit\`a di moto
 elettromagnetica pari a

 \begin{equation}
 p = u \Omega / c = u S L /c = \epsilon_0 E_0^2 S \tau /2.
 \end{equation}

 L'impulso trasmesso allo specchio per unit\`a di tempo e di
 superficie, pertanto, nel caso di riflessione totale vale $ J =
 \epsilon_0 E_0^2 = 2 I/c = 2 u$ (se l'onda fossa stata interamente
 assorbita avremmo ottenuto la met\`a del valore: $ J = I/c =
 u$). Questa \`e dunque la forza per unit\`a di superficie, vale a dire
 una pressione nota come {\sl pressione di radiazione}.

 Si tratta di una pressione estremamente debole. Per esempio,
 l'intensit\`a della radiazione solare sulla Terra vale $I_S = 1.37\
 10^3$ W m$^{-2}$, quindi la pressione di radiazione solare \`e di
 soli $9.1\ 10^{-6}$ Pascal, ovvero oltre 10 miliardi di volte pi\`u
 piccola della pressione atmosferica. Tuttavia questa debolissima
 pressione \`e sufficiente a far s\`i che le code delle comete siano
 sempre rivolte in direzione opposta al Sole\footnote{Per la
 precisione, le code cometarie, composte sia da polveri che da gas,
 sono affette sia dalla pressione di radiazione che dal cosiddetto
 {\sl vento solare}, ovvero il flusso di particelle che emana dalla
 nostra stella.}.


 \section{La luce come onda elettromagnetica}

 Come si \`e visto nella sezione \ref{eq_onde_maxwell} i campi
 elettromagnetici (e, come si \`e visto altrove, ovviamente anche i
 potenziali) obbediscono all'equazione delle onde, e le onde relative
 si muovono, nel vuoto, con velocit\`a $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}=3\
 10^8$ m/s.  Questa \`e proprio la velocit\`a della luce nel vuoto; \`e
 difficile quindi sottrarsi alla conclusione, sostenuta anche da una
 vasta serie di altre considerazioni (per esempio, che sia le onde
 elettromagnetiche che la luce sono onde trasversali), che {\sl la luce
 \`e un'onda elettromagnetica}, esattamente come le onde radio, i raggi
 X ed altre forme di radiazione che vedremo tra poco.

 Non si tratta di un risultato da poco: le equazioni di Maxwell sono
 state ottenute considerando sistemi di fili, magneti, condensatori
 eccetera, tutte cose che apparentemente con la luce hanno poco a che
 fare. La connessione tra questi fenomeni dunque \`e un qualcosa di
 inaspettato ed \`e una delle grandi predizioni della teoria
 elettromagnetica classica. 

 \subsection{Quantizzazione del campo elettromagnetico: il fotone}

 Si \`e visto che i campi elettromagnetici trasportano energia e
 quantit\`a di moto: due caratteristiche ``meccaniche'' che fanno
 sospettare che sia possibile una qualche trattazione del campo sotto
 forma particellare. Tuttavia nulla di ci\`o che \`e stato visto finora
 sembra sostenere questa tesi: il campo elettromagnetico \`e un campo
 continuo e tutta la fenomenologia fin qui discussa pu\`o essere
 spiegata senza fare ricorso ad altri concetti.

 Una serie di risultati sperimentali ottenuti tra la fine del XIX e
 l'inizio del XX secolo costrinsero per\`o ad un ripensamento di tutto
 il trattamento dell'elettromagnetismo prima, e di tutta la fisica
 poi. Questo processo ebbe sbocco nello sviluppo della {\sl meccanica
 quantistica} e non \`e qui possibile illustrarlo. Vediamo solo alcune
 caratteristiche fondamentali.

 Consideriamo il caso in cui della radiazione elettromagnetica incide
 su di una superficie metallica. Siccome l'onda trasporta energia ci si
 attende che, al momento in cui abbastanza energia sia stata depositata
 sul metallo, degli elettroni comincino ad avere energia sufficiente
 per essere emessi dal metallo. Questo si verifica ed \`e noto come
 {\sl effetto fotoelettrico}.

 Dalla teoria di Maxwell ci si aspetta che sia il numero di elettroni
 emessi sia la loro energia dipenda dall'energia totale depositata,
 dunque dall' intensit\`a dell'onda incidente, e che ci sia un
 intervallo di tempo, che cresce col diminuire dell'intensit\`a stessa,
 prima che un elettrone abbia accumulato abbastanza energia per potere
 uscire.

 Non \`e questo in realt\`a quello che si osserva. Il numero di
 elettroni emessi \`e s\`i proporzionale all'intensit\`a dell'onda, ma
 l'energia dipende dalla sua {\sl frequenza}. Per onde incidenti
 monocromatiche in effetti l'energia massima degli elettroni emessi \`e
 la stessa per qualunque intensit\`a. Inoltre al di sotto di una
 frequenza minima ({\sl frequenza di soglia}) non si ha alcuna
 emissione, anche per intensit\`a elevate di radiazione. Quando per\`o
 si ha emissione, si osservano elettroni emessi ad intervalli di tempo
 anche molto brevi dopo l'inizio dell'illuminazione; solo il tempo {\sl
 medio} di inizio dell'emissione aumenta.

 Nel suo lavoro del 1905 che gli frutt\`o il Nobel, Albert Einstein diede
 una spiegazione semplice e rivoluzionaria di queste anomalie. Einstein
 fece l'ipotesi che l'onda elettromagnetica fosse costituita in
 realt\`a da uno sciame di ``particelle'' chiamate {\sl fotoni}, ognuna
 dotata di quantit\`a di moto {\bf p} e di energia data dalla \ref{upc}

 \begin{displaymath}
 U = pc
 \end{displaymath}

 \noindent (si confronti con la relazione $U = p^2/2m$ valida per
 particelle materiali libere), secondo quanto prescritto
 dall'elettrodinamica maxwelliana per le onde piane monocromatiche. A
 differenza di Maxwell per\`o Einstein assegn\`o ad ogni onda di
 frequenza $\nu$ un'energia

 \begin{equation}
 U = h \nu
 \end{equation}

 \noindent dove $n$ \`e un intero e $h=6.6256\ 10^{-34}$ J s \`e la
 costante che Planck aveva introdotto alcuni anni prima per spiegare
 altri comportamenti della radiazione\footnote{Si trattava del
 problema dell'{\sl emissione di corpo nero}, per la cui trattazione
 si rimanda ai testi introduttivi di Meccanica Quantistica.}. Posto
 $\hbar=h/2\pi$ si ha di conseguenza
 $p=\frac{U}{c}=\frac{h}{\lambda}=\hbar k$.  L'intensit\`a dell'onda
 fornisce il numero di fotoni presenti nell'onda stessa, che quindi
 \`e vista come formata da una massa di ``granellini di luce''. In
 altri termini, l'energia elettromagnetica \`e {\sl quantizzata}. Si
 noti per\`o che non esiste un'energia minima per la radiazione, in
 quanto \`e sempre possibile generare onde di frequenza
 arbitrariamente bassa, dunque fotoni di energia arbitrariamente
 bassa.

 Per esempio, un fascio luminoso giallo ($\lambda=6\ 10^{-7}$ m, dunque
 $\nu=5\ 10^{14}$ s$^{-1}$) dell'intensit\`a di 100 W e della durata di
 un secondo risulta composto da $n=U/h \nu = 3\ 10^{20}$ fotoni. \`E
 chiaro che con numeri cos\`i alti di fotoni la granularit\`a della
 radiazione \`e normalmente impercettibile, esattamente come \`e
 normalmente impercettibile la granularit\`a della materia\footnote{La
 granularit\`a della materia \`e dovuta alle molecole. Si noti come la
 cifra ottenuta non sia troppo dissimile dal numero di Avogadro $N_A
 =6\ 10^{23}$. Una mole di fotoni --- $N_A$ fotoni --- \`e talvolta
 chiamata un \sl Einstein.}. Solo per frequenze relativamente elevate
 della radiazione il numero di fotoni \`e sufficientemente piccolo
 perch\`e la loro natura discreta sia avvertibile.

 Tramite l'ipotesi del fotone tutte le anomalie summenzionate trovano
 una spiegazione. Un elettrone \`e colpito da un singolo fotone che gli
 trasmette la sua energia. Se $w$ \`e il {\sl lavoro di estrazione} dal
 metallo, ovvero l'energia necessaria per farlo uscire con velocit\`a
 nulla, allora l'energia cinetica degli elettroni emessi sar\`a, per la
 conservazione dell'energia,

 \begin{equation}
 U = h \nu - w
 \end{equation}

 \noindent che mostra un'evidente soglia per $\nu=w/h$: fotoni con
 frequenza inferiore a questa, anche se numerosi, non possono estrarre alcun
 elettrone. Viceversa, un fotone con $\nu$ superiore alla soglia pu\`o
 estrarre un elettrone, anche se l'intensit\`a \`e bassissima: ne segue
 che il periodo d'attesa prima che cominci l'emissione pu\`o essere
 molto breve anche per intensit\`a basse.


 \subsection{Lo spettro elettromagnetico}

 Le onde elettromagnetiche possono essere classificate equivalentemente
 secondo la lunghezza d'onda, la frequenza o l'energia del singolo
 fotone. A seconda di questi parametri le onde hanno effetti diversi
 nell'interazione con la materia, sia che si tratti di generazione che
 di assorbimento. L'insieme di tutte le frequenze (o lunghezze d'onda o
 energie\dots) \`e noto come {\sl spettro}, ed \`e convenzionalmente
 diviso in un certo numero di {\sl bande}. Le suddivisioni principali
 sono come segue:

 \begin{itemize}

 \item[]{\bf Raggi X e $\gamma$.} Prendono questo nome le radiazioni di
   lunghezza d'onda inferiore ai 10$^{-9}$ m, ovvero di frequenza
   superiore a 10$^{17} \div 10^{18}$ Hz. L'energia dei fotoni in
   questione supera il keV. La differenza tra i due tipi consiste
   essenzialmente nel modo di generazione: i raggi X solitamente
   tramite eccitazione degli elettroni pi\`u legati degli atomi, i
   $\gamma$ attraverso reazioni nucleari, e per conseguenza questi
   ultimi sono pi\`u energetici dei primi. Un esempio semplice \`e la
   generazione di due raggi $\gamma$ di 511 MeV per mezzo
   dell'annichilazione di un elettrone e di un positrone
   (antielettrone).

 \`E noto l'uso dei raggi X per analisi mediche ed ingegneristiche,
   dovuto al fatto che tessuti e materiali diversi assorbono
   diversamente tali radiazioni. Le parti pi\`u dense risultano quindi
   pi\`u scure --- o meglio chiare, visto che ci si ferma al negativo
   --- nelle {\sl radiografie}.

 \item[]{\bf Ultravioletti.} Prendono questo nome le radiazioni di
  lunghezza d'onda compresa tra i 4 10$^{-7}$ ed i 10$^{-9}$ m, ovvero
  di frequenza compresa tra i 10$^{15}$ ed i 3.8 10$^{17}$ Hz
  circa. L'energia dei fotoni in questione \`e compresa tra i 3.2 ed i
  1000 eV. Si tratta di radiazioni meno penetranti delle precedenti, in
  larga parte assorbite dall'atmosfera, ma ancora abbastanza
  energetiche da poter facilmente causare reazioni chimiche e rompere
  legami chimici. Da questo deriva la loro pericolosit\`a per la salute
  ed il loro potere sterilizzante.

 \item[]{\bf Visibile.} Comprende le radiazioni di lunghezza d'onda
  compresa tra i 7.6 10$^{-7}$ ed i 4 10$^{-7}$ m, ovvero di frequenza
  compresa tra i 10$^{15}$ ed i 4 10$^{14}$ Hz. L'energia dei fotoni
  in questione \`e compresa tra gli 1.6 ed i 3.2 eV. Il colore degli
  oggetti dipende dalla lunghezza d'onda: quelle pi\`u corte danno la
  sensazione del violetto, poi via via che si scende si ottengono il
  blu, il verde, il giallo, l'arancione ed il rosso. Questo fatto
  giustifica l'aggettivo {\sl monocromatica} (in greco ``di un solo
  colore'') applicato alle onde di una frequenza ben determinata,
  anche se non appartengono al visibile. Si faccia attenzione per\`o
  che la percezione del colore \`e una questione ben pi\`u complessa
  di quanto qui accennato.

 \item[]{\bf Infrarossi.} Radiazioni di lunghezza d'onda compresa tra
  i 10$^{-3}$ ed i 7.6 10$^{-7}$ m, ovvero di frequenza compresa tra i
  3 10$^{11}$ ed i 4 10$^{14}$ Hz. L'energia dei fotoni in questione
  \`e compresa tra gli 0.001 e gli 1.6 eV. Queste radiazioni sono
  particolarmente efficienti nell'interagire con i gradi di libert\`a
  rotazionali e vibrazionali delle molecole, che hanno frequenze
  proprie --- si ricordi la discussione dei circuiti oscillanti e dei
  corrispondenti oscillatori meccanici! --- proprio di questi ordini
  di grandezza. Inoltre i corpi a temperature non troppo elevate, fino
  a qualche migliaio di gradi, emettono principalmente radiazione
  elettromagnetica in questa banda; si noti che a temperatura ambiente
  $k_B T \simeq 0.025$ eV. Ne segue che gli infrarossi sono i
  principali responsabili, anche se non gli unici, del trasferimento
  del calore per {\sl irraggiamento}.

 \item[]{\bf Microonde.} Radiazioni di lunghezza d'onda compresa tra i
 0.3 ed i 10$^{-3}$ m, ovvero di frequenza compresa tra i 10$^9$ ed i
 3 10$^{11}$ Hz. L'energia dei fotoni in questione \`e compresa tra i
 il meV ed il centesimo di meV. Le frequenze di lavoro dei forni a
 microonde (2.5 GHz), dei radar (circa 10 GHz) e dei cellulari odierni
 (intorno ai 2 GHz) cadono in questa banda. \`E una banda importante
 anche per l'astronomia, in quanto alcune radiazioni importanti emesse
 dall'idrogeno cadono proprio qui.

 \item[]{\bf Onde radio.} Le onde di maggiore lunghezza d'onda,
   superiore agli 0.3 m, e di minore frequenza, inferiore al GHz. All'
   estremo superiore si trovano le frequenze televisive (100 -- 1000
   MHz), mentre le varie bande radio vanno dai 500 kHZ ai 200
   MHz. L'atmosfera \`e generalmente trasparente ad esse, ma ad alte
   quote si ha una zona, detta {\sl ionosfera}, dove la presenza di
   atomi ionizzati ed elettroni liberi crea una zona conduttrice in
   grado di rifletterli. Questo permette le trasmissioni radio anche
   al di l\`a dell'orizzonte.

 \end{itemize}

 \section{Cenni di ottica geometrica}

 \subsection{Le onde elettromagnetiche nei mezzi materiali}

 L'affermazione secondo cui le onde elettromagnetiche si muovono con
 velocit\`a $c$ \`e valida solo nel vuoto. \`E per\`o elementare vedere
 che in un mezzo materiale trasparente con costante dielettrica
 $\epsilon=\epsilon_r\epsilon_0$ e permeabilit\`a magnetica
 $\mu=\mu_r\mu_0$ un'onda elettromagnetica si propaga con velocit\`a

 \begin{displaymath}
 c^\prime=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}=\frac{c}{\sqrt{\epsilon_r\mu_r}}
 =\frac{c}{n}
 \end{displaymath}

 \noindent avendo introdotto la grandezza {\sl indice di rifrazione
 (assoluto)}

 \begin{equation}
 n =\sqrt{\epsilon_r\mu_r} \simeq \sqrt{\epsilon_r}.
 \end{equation}

 La seconda eguaglianza deriva dal fatto che nella grande maggioranza
 dei mezzi trasparenti $\mu_r\simeq 1$. \`E necessario tenere presente
 che, sebbene finora si sia considerata $\epsilon_r$ come una
 costante, essa \`e in realt\`a una funzione della frequenza, e
 pertanto {\sl i mezzi materiali sono mezzi dispersivi}. La dipendenza
 non \`e affatto trascurabile; per esempio, per l'acqua $\epsilon_r=78
 \Rightarrow n=8.8$ a basse frequenze, ma alle frequenze del visibile
 $\epsilon_r=1.8\Rightarrow n=1.33$.

 Il fatto che la velocit\`a delle onde elettromagnetiche vari da un
 mezzo all'altro ha conseguenze importanti. La principale \`e che
 all'interfaccia tra due materiali (uno dei quali pu\`o essere un gas,
 o il vuoto) le onde non si propagano pi\`u in maniera rettilinea.


 \subsection{Le leggi dell'ottica geometrica}

 Per discutere degli effetti all'interfaccia conviene introdurre il
 concetto di {\sl raggio}. Un raggio \`e una linea a cui il vettore
 {\bf k} di propagazione dell'onda \`e sempre tangente, ed
 orientata in verso concorde ad esso. In pratica, tra {\bf k} ed il
 raggio intercorre la stessa relazione che intercorre tra una linea di
 campo elettrico o magnetico ed il vettore campo elettrico o
 magnetico. \`E immediato vedere che i raggi sono ad ogni punto
 ortogonali ai fronti d'onda. Per un'onda piana i raggi sono fasci di
 rette parallele; per una sferica sono fasci di rette passanti per un
 punto. I punti di due fronti d'onda connessi da un raggio vengono
 chiamati {\sl punti corrispondenti} ed \`e chiaro che {\sl
 l'intervallo di tempo che separa punti corrispondenti di due
 superficie d'onda \`e lo stesso per tutte le coppie di punti
 corrispondenti (Teorema di Malus)}.

 Si dimostra che, purch\'e la lunghezza d'onda sia sufficientemente
 grande (la ragione di questa limitazione la si vedr\`a tra poco),
 all'interfaccia tra due mezzi trasparenti di indici di rifrazione
 $n_1$ e $n_2$, un raggio luminoso ({\sl raggio incidente}) che forma
 un angolo $\theta_i$ con la normale alla superficie si sdoppia: si
 genera un {\sl raggio riflesso}, formante un angolo $\theta_R$ con la
 detta normale, ed un {\sl raggio rifratto}, che continua nel secondo
 mezzo formando un angolo $\theta_r$ con la normale (orientata verso
 l'interno) alla superficie.

 Le relazioni tra questi raggi, nelle ipotesi fatte, sono riassunte in
 tre leggi:

 \begin{enumerate}

 \item{\sl I raggi incidente, riflesso e rifratto giacciono tutti sullo
 stesso piano, che comprende la normale alla superficie.}

 \item{\sl L'angolo di incidenza e l'angolo di riflessione sono uguali.}

 \item{\sl (Legge di Snell) Tra l'angolo d'incidenza e l'angolo di
   rifrazione vale la relazione
 \begin{equation}
 n_1 \sin\theta_i = n_2 \sin\theta_r
 \end{equation}
 \noindent dove $n_i$ \`e l'indice di rifrazione del mezzo i-mo.}

 \end{enumerate}

 Il rapporto $n_{12}= n_1/n_2$ tra gli indici di rifrazione \`e anche
 indicato come {\sl indice di rifrazione relativo del mezzo 1 rispetto
 al mezzo 2} ed \`e chiaramente il reciproco del rapporto delle
 velocit\`a della luce nei due mezzi. Spesso gli indici di rifrazione
 vengono dati relativi all'aria, per ovvi motivi. La differenza
 comunque \`e piccola, visto che per l'aria $n=1.0003$.

 La giustificazione delle tre leggi pu\`o essere data sulla base del
 principio di Malus. La prima e la seconda in realt\`a seguono da
 semplici considerazioni di simmetria. Per dimostrare la prima,
 immaginiamo per assurdo che un raggio riflesso (per quello rifratto
 il ragionamento \`e identico) non giaccia sul piano definito dal
 raggio incidente e dalla normale, ma che sia p.es. ``spostato a
 destra''. Ribaltiamo ora il sistema rispetto al piano ``raggio
 incidente/normale'': ora il raggio riflesso dovrebbe essere ugualmente
 ribaltato ed essere, quindi, ``spostato a sinistra''. Ma in virt\`u
 del ribaltamento il sistema non \`e mutato: quindi il raggio riflesso
 dovrebbe essere comunque ``spostato a destra''. L'unico modo in cui
 pu\`o essere entrambe le cose \`e che non sia spostato affatto.

Per dimostrare la seconda, si pu\`o procedere in maniera analoga, ma
sfruttando la simmetria per inversione temporale. Di nuovo per
assurdo, supponiamo che l'angolo di riflessione sia p.es. maggiore d
quello di incidenza (lo stesso ragionamento varr\`a per l'ipotesi che
sia minore). Questo vuol dire che il raggio ``si abbassa'' durante la
riflessione, cio\`e che \`e pi\`u radente alla superficie. Ora
immaginiamo che il raggio torni sui suoi passi: allora il raggio,
retrocedendo, dovrebbe ``alzarsi'' durante la riflessione. Ma non
c'\`e alcuna ragione di distinguere un caso dall'altro: le leggi di
propagazione ondosa sono indifferenti al segno del tempo, ovvero se il
tempo scorre in un senso o nell'altro\footnote{Questa \`e una
conseguenza della presenza di una derivata {\sl seconda} rispetto al
tempo nell'equazione \ref{onde_generica}.}. Quindi il raggio che
``retrocede'' dovrebbe ``abbassarsi'' nella riflessione, e l'unico
modo in cui pu\`o farlo mentre al contempo ``si alza'' \`e che non
faccia nessuna delle due cose.

Per dimostrare la terza, consideriamo due raggi $R_1$ e $R_2$ di un'
 onda piana incidente, con $R_1$ che incide prima di $R_2$, e
 prendiamo due punti $A$ (su $R_1$) e $B$ (su $R_2$) appartenenti allo
 stesso fronte d'onda; $A$ giace all'interfaccia tra i due mezzi e B
 nel primo mezzo. Prendiamo anche due punti $C$ e $D$, sempre su $R_1$
 e $R_2$ rispettivamente, ma su di un altro fronte d'onda, e con $D$
 all'interfaccia. C si trova all'interno del secondo mezzo.

 Il triangolo $ACD$ \`e rettangolo in $C$, e l'angolo $ADC$ \`e uguale
 a $\theta_r$ (il segmento $CD$ \`e un fronte d'onda, dunque
 perpendicolare a $R_2$ nel mezzo 2), perci\`o $\overline{AD}
 \sin\theta_r = \overline{AC}$.  Il triangolo $ABD$ \`e rettangolo in
 $B$, e l'angolo $ADB$ \`e uguale a $\theta_i$, perci\`o
 $\overline{AD} \sin\theta_i = \overline{BD}$. Usiamo il principio di
 Malus per affermare che i tempi per andare da $A$ a $C$ e da $B$ a
 $D$ sono gli stessi. Ne segue che $\overline{AC}/v_2 =
 \overline{BD}/v_1$, e da questo $v_2 \sin\theta_i = v_1
 \sin\theta_r$, ovvero la legge di Snell.

 Si noti come la legge di Snell, vista come equazione per l'angolo del
 raggio rifratto, non ammetta sempre soluzioni. Se l'angolo
 d'incidenza \`e abbastanza grande, vale a dire se l'incidenza \`e
 radente, in modo tale che $n_{12} \sin\theta_i > 1$ il raggio
 rifratto non pu\`o esistere. Questa condizione \`e detta di {\sl
 riflessione totale} ed \`e la ragione per cui i subacquei in
 immersione non hanno una visuale completa di quanto accade al di
 sopra del pelo dell'acqua. Nel caso dell'interfaccia acqua-aria la
 riflessione totale si ha per angoli superiori a circa $49{^\circ}$.

 Poste queste leggi, e noti gli indici di rifrazione dei vari mezzi,
 il calcolo delle propriet\`a ottiche di un sistema di lenti, specchi,
 o altro si riduce ad un calcolo puramente geometrico. Da qui il nome
 di {\sl ottica geometrica} data a questa branca della fisica.

 Fin qui si \`e sottinteso che i valori $n_i$ fossero costanti. In
 realt\`a, come si \`e gi\`a accennato, la velocit\`a di un'onda
 elettromagnetica in un mezzo dipende dalla frequenza e pertanto la
 rifrazione di un raggio formato da pi\`u frequenze --- pi\`u colori,
 nel visibile --- produce un fascio di raggi ad angolazioni diverse,
 ogni angolo con un colore diverso. Questo \`e il familiare fenomeno
 di scomposizione della luce da parte dei prismi.

 Un altro caso in cui si ha pi\`u di un raggio rifratto \`e quello in
 cui si ha dipendenza dell'indice di rifrazione dalla polarizzazione
 dell'onda incidente {(fenomeno della \sl doppia rifrazione)}.  Questo
 fenomeno si osserva in determinati cristalli a struttura anisotropa,
 che vengono detti {\sl birifrangenti}. Se, come normalmente si d\`a,
 la luce \`e una mescolanza di polarizzazioni diverse, allora si hanno
 due raggi rifratti, detti {\sl ordinario} e {\sl straordinario},
 corrispondenti a due direzioni di polarizzazione distinte.

 Infine si noti come le tre leggi si riferiscano a superfici {\sl
 liscie}. Se le superfici sono ``ruvide'', ovvero formate da un gran
 numero di superfici pi\`u piccole orientate in varie direzioni,
 bisognerebbe applicare le tre leggi a ciascuna delle piccole
 superfici in questione. Il risultato \`e una riflessione ed una
 rifrazione {\sl diffusa}, il che spiega perch\`e non tutte le
 superfici sono degli specchi e come in particolare si possano rendere
 tali levigandole a sufficienza. \`E questa la ragione per la
 limitazione dell'ottica geometrica a lunghezze d'onda ``non troppo
 piccole'' menzionata all'inizio del paragrafo.

 Ma che cosa significa ``liscia'' in questo caso? Significa che le
 irregolarit\`a della superficie devono essere molto pi\`u piccole
 della lunghezza d'onda della luce incidente; in questo modo l'onda
 non \`e sensibile alle irregolarit\`a della superficie.

 \subsection{Il principio di Fermat}

 Le leggi dell'ottica geometrica possono essere riassunte in un solo,
 semplice principio variazionale, detto di Fermat:

 {\sl La luce segue sempre una traiettoria che rende estremale il
 tempo di percorrenza}.

 Per esempio, per andare da un punto A ad un punto B, distanti $d$ ed
 entrambi immersi in un mezzo omogeneo, la luce deve rendere estremale
 il tempo $t=x/c$, dove $x$ \`e la distanza percorsa e $c$ in questo
 caso \`e costante. Quindi bisogna rendere estrema la distanza
 percorsa, e questo si ottiene ovviamente tramite un percorso
 rettilineo.

 Una deduzione pi\`u complicata si ha nel caso della rifrazione. Diamo
 per dimostrata la prima legge dell'ottica geometrica e lavoriamo
 direttamente nel piano definito dai raggi incidente e rifratto, che
 chiamiamo piano $xy$. Poniamo A$=(0,h)$, immerso nel mezzo omogeneo
 1, con indice di rifrazione pari a $n_1$, che occupa il semispazio
 $y>0$, e B$=(p,q)$ nel mezzo 2. La luce si propagher\`a in maniera
 rettilinea all'interno di ognuno dei due mezzi, ed i raggi si
 piegheranno solo al momento di attraversare l'interfaccia nel punto
 $(x,0)$. Il tempo totale dunque sar\`a dato da

 \begin{displaymath}
 t = t_1 + t_2 = x_1/(c/n_1) + x_2/(c/n_2) =
 \frac{1}{c} \left[ n_1 \sqrt{x^2+h^2} + n_2 \sqrt{(x-p)^2+q^2} \right]
 \end{displaymath}

 \noindent e la condizione di estremo $\delta t = 0$ diventa

 \begin{displaymath}
 0 = n_1 \frac{x}{\sqrt{x^2+h^2}} + n_2 \frac{x-p}{\sqrt{(x-p)^2+q^2}} =
 n_1 \sin{\theta_i} - n_2 \sin{\theta_r}
 \end{displaymath}

 \noindent (il segno negativo deriva dal fatto che $\theta_r$ \`e
 positivo se $p>x$) che \`e proprio la legge di Snell. Analogamente
 ({\sl Esercizio}) si procede nel caso della riflessione.

 Si faccia attenzione a non considerare il principio di Fermat come un
 principio di {\sl minimo}: il percorso seguito dalla luce pu\`o
 ugualmente bene essere un massimo od un punto di sella. Si consideri
 per esempio un {\sl diottro sferico}: un cilindro trasparente
 sormontato da una semisfera, pure trasparente, entrambi di raggio $R$
 e con indice di rifrazione $n$, nel vuoto. Poniamo l'asse del
 cilindro coincidente con l'asse delle $x$ positive, col centro della
 semisfera nell'origine, e chiediamoci quale sia il tragitto seguito
 dalla luce per andare da un punto esterno al diottro A$=(-a-R,0)$ ed
 il punto ad esso interno B$=(a-R,0)$. Evidentemente si tratter\`a di
 un percorso rettilineo passante per l'apice della
 semisfera. Calcoliamo ora il tempo impiegato dalla luce per andare da
 A a B attraverso un percorso vicino a quello reale ma passante per un
 punto $(-R\cos\phi,R\sin\phi)$ sulla semisfera. Si ottiene

 \begin{eqnarray*}
 &c t& = c t_1 + c t_2 \\ &=& \sqrt{(a+R-R\cos\phi)^2+(R\sin\phi)^2} +
 n \sqrt{(a-R+R\cos\phi)^2+(R\sin\phi)^2}\\ &=&
 \sqrt{a^2+2R(R+a)(1-\cos\phi)}+n\sqrt{a^2+2R(R-a)(1-\cos\phi)}
 \end{eqnarray*}

 \noindent ed effettuando la variazione rispetto al parametro, piccolo,
 $\phi$

 \begin{eqnarray*}
 0 &=& c \frac{dt}{d\phi} =
 \frac{R(R+a)\sin\phi}{\sqrt{a^2+2R(R+a)(1-\cos\phi)}}
 +n\frac{R(R-a)\sin\phi}{\sqrt{a^2+2R(R-a)(1-\cos\phi)}} \\
 &\simeq& \frac{R}{a}[R+a+n(R-a)] \phi = R[\frac{R}{a}(n+1)-(n-1)]\phi.
 \end{eqnarray*}

 Questa equazione \`e soddisfatta, come previsto, per $\phi=0$, e ci
 dice, per esempio prendendo la derivata seconda, che tale valore \`e
 un punto di minimo se $R/a>(n-1)/(n+1)$, massimo se
 $R/a<(n-1)/(n+1)$, e flesso se $R/a=(n-1)/(n+1)$.

 \section{Interferenza e diffrazione}

 Il fatto che l'equazione delle onde sia lineare ci dice che la somma
 di due onde \`e ancora un'onda. Tuttavia le equazioni \ref{intensita}
 e \ref{energia_ondapiana} ci dicono anche che l'energia trasferita
 dipende dal quadrato dell'ampiezza. Questi fattori, lineari e non
 lineari, si combinano per dare alcuni dei fenomeni pi\`u
 caratteristici connessi alla propagazione per onde.

 \subsection{Interferenza}

 Il primo e pi\`u fondamentale fenomeno consiste nel fatto che la somma
 di due onde deve dare in taluni punti dello spazio un valore
 nullo. Prendiamo infatti in considerazione cosa succede se due
 sorgenti di onde scalari monocromatiche $f_i=f_{0i} e^{i(kr-\omega
 t)},\ i=1,2,\ f_{0i} \in {\bf R}$, si trovano a distanza $a$ tra di
 loro e misuriamo l'onda risultante ad una distanza $d$ da entrambe. Il
 valore trovato sar\`a

 \begin{displaymath}
 f(t) = f_{01} e^{i(kr_1-\omega t)} + f_{02} e^{i(kr_2-\omega t)}
 \end{displaymath}

 \noindent se $r_1$ e $r_2$ sono le rispettive distanze delle
 sorgenti. Definendo lo {\sl sfasamento}

 \begin{equation}
 \delta = k(r_1-r_2)
 \label{sfasamento}
 \end{equation}

 \noindent si vede che l'onda risultante vale

 \begin{eqnarray}
 f(t) &=& \left( f_{01} e^{i\delta} + f_{02} \right)
 e^{i(kr_2-\omega t)} \nonumber \\
 &=& \sqrt{\left(f_{01}\cos\delta+ f_{02}\right)^2+
 f_{01}^2\sin^2\delta}\ e^{i(kr_2-\omega t+\phi)} \nonumber \\
 &=& \sqrt{f_{01}^2 + f_{02}^2 + 2 f_{01}f_{02}\cos\delta}\
 e^{i(kr_2-\omega t+\phi)}
 \label{ampiezza_interferenti}
 \end{eqnarray}

 \noindent dove $\phi$ \`e un numero reale il cui valore qui non
 interessa. Interessa invece notare che l'onda risultante
ha un'ampiezza dipendente dallo sfasamento $\delta$, quindi dalla
 posizione in cui l'onda \`e rilevata. Si vede che tale ampiezza \`e
 massima per

 \begin{equation}
 \cos\delta=1 \Rightarrow \delta = 2 n \pi
 \label{costruttiva}
 \end{equation}

 \noindent e minima per

 \begin{equation}
 \cos\delta=-1 \Rightarrow \delta = (2n+1)\pi.
 \label{distruttiva}
 \end{equation}

 La somma di due onde dunque pu\`o dare come risultato, in certi punti,
 un campo eventualmente anche nullo (quando $f_{01}=f_{02}$). Questo \`e
 un fenomeno familiare negli auditorium, che devono essere progettati
 accuratamente in modo che non vi siano punti in cui l'interferenza
 crei problemi all'ascolto; ma si pu\`o osservare anche ascoltando la
 radio, notando come in casa certi punti siano favorevoli alla
 ricezione ed altri invece meno.

 Si parla di {\sl interferenza costruttiva} quando \`e soddisfatta la
 condizione \ref{costruttiva} e l'ampiezza totale del campo \`e
 maggiore della somma dei campi delle singole onde, {\sl distruttiva}
 quando invece \`e soddisfatta la condizione \ref{distruttiva}. Il
 luogo geometrico di questi punti ({\sl superfici nodali}) \`e, in
 questo caso, una famiglia di iperboloidi $r_1-r_2=(n+1)\pi/k$ per
 l'interferenza distruttiva ed analogamente per quella costruttiva.

 Si noti come gli iperboloidi appena definiti siano superfici fisse
 nel tempo. Questa \`e una diretta conseguenza del fatto che abbiamo
 scelto sorgenti monocromatiche con la stessa frequenza, o come si
 suol dire {\sl coerenti}. Per sorgenti non coerenti non si pu\`o dare
 un risultato cos\`i ben definito in quanto le superfici nodali si
 accavallano in modo pi\`u o meno caotico e non sono generalmente
 osservabili.

 Un modo di ottenere due sorgenti sincrone consiste nell'illuminare
 (prendiamo per fissare le idee il caso di un'onda luminosa) uno
 schermo opaco in cui sono state ricavate due fenditure, che
 supporremo molto sottili, distanti $a$ con una radiazione
 monocromatica. In questo modo ogni fenditura risulta essere una
 sorgente monocromatica in fase con l'altra. Poniamo ora un secondo
 schermo, integro, dalla parte ``oscura'' del primo ad una distanza
 $D$, e calcoliamo l'ampiezza dell'onda su di esso, prendendo come
 parametro la distanza $x$ tra il punto sullo schermo ed il punto
 direttamente di fronte alla coppia di fenditure. Se $x <\!<\!  D$
 possiamo porre $r_1 \simeq r_2$ e $f_{01} \simeq f_{02}$, per cui
 dalla \ref{ampiezza_interferenti} otteniamo

 \begin{displaymath}
 f_0 = f_{01} \sqrt{2(1+\cos\delta)} = 2 f_{01} cos (\delta/2).
 \end{displaymath}

 L'angolo $\theta$ sotto il quale \`e visto $x$ guardando dalle
 fenditure \`e tale per cui $\sin\theta \simeq \tan \theta =
 x/D$. Pertanto $r_1-r_2 = a \sin \theta \simeq a x/D$ e perci\`o

 \begin{equation}
 \delta = \frac{2 \pi}{\lambda}(r_1-r_2) = \frac{2 \pi a x}{\lambda D}.
 \end{equation}

 Si vede dunque che sul secondo schermo si osserveranno regioni, dette
 {\sl frange d'interferenza}, in cui l'illuminazione \`e maggiore ed
 altre in cui \`e pressoch\'e nulla. Per la precisione, l'intensit\`a
 dell'onda sullo schermo \`e data da

 \begin{equation}
 I = I_0 \cos^2\left(\frac{\pi a x}{\lambda D}\right)
 \end{equation}

 \noindent dove $I_0$ \`e una costante opportuna. Misurando la
 separazione delle frange si pu\`o ottenere la lunghezza d'onda della
 radiazione.

 \subsection{Diffrazione}

 Un secondo fenomeno prettamente ondulatorio \`e dato dalla
 caratteristica delle onde di ``girare gli angoli''. Per capirlo,
 esaminiamo un caso molto simile al precedente, considerando per\`o
 una sola fenditura, pensata questa volta come avente una larghezza
 $b$ non trascurabile.  Per semplicit\`a non faremo la trattazione
 completa. Vogliamo solo dimostrare che nelle direzioni tali che
 $b\sin\theta=n\lambda$, con $n$ intero non nullo, si ha interferenza
 distruttiva; un argomento simile mostra che per
 $2b\sin\theta=n\lambda$ si ha interferenza costruttiva.

 Ricordiamo a questo proposito la condizione di interferenza
 distruttiva \ref{distruttiva}, che in termini di lunghezza d'onda
 diventa

 \begin{displaymath}
 r_1-r_2 = (n+\frac{1}{2})\lambda
 \end{displaymath}

 \noindent per cui in questo caso, se prendiamo coppie di punti nella
 fessura distanti di $b/2$ --- per esempio un'estremit\`a ed il punto
 di mezzo --- si ha

 \begin{displaymath}
 \frac{b}{2}\sin\theta = r_1-r_2 = \frac{m}{2}\lambda.
 \end{displaymath}

 Cos\`i per $m$ dispari questi raggi interferiscono
 distruttivamente. Per $m$ pari ripetiamo il ragionamento ma con coppie
 di punti separate di $b/4$ e otteniamo

 \begin{displaymath}
 \frac{b}{4}\sin\theta = \frac{m}{2}\frac{\lambda}{2}.
 \end{displaymath}

 Il procedimento pu\`o essere esteso a tutti gli interi. Non \`e
 per\`o applicabile, come si vede facilmente, per $\theta=0$, e a
 quest' angolo l'interferenza \`e costruttiva.

 Si osservi come questo effetto, detto {\sl diffrazione}, dipenda in
 maniera cruciale dalla lunghezza d'onda della luce, cos\`i come ne
 dipende l'interferenza. Per $\lambda\to 0$ tali effetti scompaiono, e
 la luce procede semplicemente in linea retta formando un'immagine
 fedele della fenditura sul secondo schermo. Abbiamo cos\`i che la
 condizione per cui l'ottica geometrica sia valida \`e che la lunghezza
 d'onda sia molto pi\`u piccola delle dimensioni degli oggetti,
 fenditure eccetera che la luce trova sul suo cammino (ma non troppo
 piccola, altrimenti abbiamo la diffusione discussa in
 precedenza). Questa condizione \`e ben soddisfatta dalla luce visibile
 in circostanze ordinarie, ma molto meno da onde radio e da onde sonore
 le cui lunghezze d'onda sono dell'ordine dei metri. Non esiste
 perci\`o un' ``acustica geometrica''.


% \vfill\hrule {\sl {\sc Bibliografia:} \cite{jackson} cap. x, ...}


 \chapter{La teoria della Relativit\`a}

 \section{Contrasto tra Meccanica Classica ed elettromagnetismo}

 Nella discussione fin qui vista dell'elettrodinamica, \`e stata data
 poca attenzione alla questione dei sistemi di riferimento; di fatto il
 solo punto in cui essa \`e stata menzionata \`e stata nella
 discussione della legge di Faraday. Non si tratta di un'omissione
 casuale, perch\'e l'unione di elettromagnetismo e di meccanica
 classica porta ad alcune profonde difficolt\`a.

 Ricordiamo per prima cosa i due risultati fondamentali della teoria
 classica dei moti relativi:

 \begin{itemize}
 \item[R)] {\sl Principio di relativit\`a: tutte le leggi fisiche hanno
 la stessa forma in ogni sistema di riferimento inerziale.}
 \end{itemize}

 Questo evidentemente non implica che ogni fenomeno fisico sia
 descritto nello stesso modo in ogni riferimento inerziale: le
 coordinate di una particella per esempio saranno diverse in sistemi
 diversi. La legge di gravitazione universale per\`o conserva la forma
 ${\bf F} = - G m_1 m_2 {\bf \hat r}/r^2$ in ogni riferimento
 inerziale, visto che dipende solo dalla coordinata relativa {\bf r}
 dei corpi interagenti, coordinata che non varia con la scelta del
 riferimento.

 \begin{itemize}
 \item[G)] {\sl Trasformazioni di Galileo: la posizione {\bf r} di una
 particella misurata in un sistema di riferimento inerziale $O$ e la
 posizione ${\bf r}^\prime$ della stessa particella in un altro sistema
 inerziale $O^\prime$, in moto rispetto al primo con velocit\`a
 costante {\bf V} sono collegate dalla relazione

 \begin{equation}
 {\bf r^\prime = r -V}t
 \label{galileo}
 \end{equation}

 e di conseguenza le velocit\`a dalla relazione

 \begin{equation}
 {\bf v^\prime = v -V.}
 \label{galileo_vel}
 \end{equation}
 }\end{itemize}

 Questo secondo principio \`e coerente col primo. Infatti la legge
 fondamentale della meccanica classica ${\bf F} = m {\bf a}$ dipende
 solo dall'accelerazione, che evidentemente \`e invariante\footnote{Qui
ed in seguito chiamiamo invariante una grandezza il cui valore non
cambia nel passaggio da un sistema inerziale ad un altro.
Si rifletta sulla differenza tra ``invariante'' e ``conservato''.} per
 trasformazioni di Galileo, e dalla forza, invariante per il principio
 di Relativit\`a. Di conseguenza, \`e sufficiente supporre che le masse
 siano invarianti per non incorrere in contraddizioni.

 Con l'elettrodinamica per\`o ci confrontiamo con un fatto nuovo ed
 incompatibile coi precedenti:

 \begin{itemize}
 \item[M)] {\sl Le equazioni di Maxwell non sono invarianti per
 trasformazioni di Galileo.}
 \end{itemize}

 Il modo pi\`u semplice di vederlo \`e di considerare che da esse si
 ottiene un'equazione d'onda che prevede onde la cui velocit\`a \`e,
 nel vuoto, sempre $c=1/\sqrt{\epsilon_0\mu_0}$. Se, per il principio
 R, ammettiamo che le equazioni di Maxwell valgano in tutti i
 riferimenti inerziali, dobbiamo concludere che

 \begin{itemize}
 \item[M$_1$)] {\sl La velocit\`a della luce \`e la stessa in tutti i
 riferimenti inerziali.}
 \end{itemize}

 E questa conclusione \`e chiaramente in contraddizione con G.

 \subsection{Tentativi di misurare la velocit\`a rispetto all'etere}

 Il contrasto tra i principi R, G ed M \`e insanabile, e ci costringe a
 concludere che uno dei tre deve essere modificato o rigettato.

 Una prima possibilit\`a che si presenta viene suggerita dalla
 discussione dell'effetto Doppler per il suono. Anche in quel caso ci
 siamo imbattuti in una formula che dipendeva non dalle velocit\`a
 relative, ma dalla velocit\`a rispetto ad un sistema di riferimento
 privilegiato, ovvero quello in cui il mezzo in cui si propaga il
 suono, l'aria, \`e a riposo. La velocit\`a del suono effettivamente
 dipende dal riferimento; se anche le onde elettromagnetiche si
 propagassero in un mezzo, l'{\sl etere}, di cui rappresentano le
 perturbazioni, sarebbe naturale supporre che le leggi che le regolano
 siano valide solo nel sistema di riferimento in cui l'etere \`e in
 quiete, e la velocit\`a della luce sarebbe diversa nei vari sistemi di
 riferimento inerziali secondo la \ref{galileo_vel}.  In altre parole,
 per l'elettrodinamica non varrebbe il principio di relativit\`a.

 Siccome l'ipotesi dell'etere era gi\`a stata avanzata molto tempo
 prima per altre ragioni, questa ipotesi fu la prima ad essere presa
 in considerazione. Michelson e Morley si proposero quindi di misurare
 la velocit\`a della Terra rispetto a questa ipotetica sostanza. Il
 problema principale consiste nel fatto che la velocit\`a della Terra
 \`e molto piccola rispetto a $c$: possiamo aspettarci che essa sia
 dell'ordine della velocit\`a orbitale attorno al sole, $v_t\simeq 30$
 km/s. (Se anche per un caso fortuito la velocit\`a rispetto all'etere
 fosse pressoch\'e nulla in un certo momento dell'anno, basterebbe
 aspettare sei mesi per avere una velocit\`a pari circa a $2 v_t$.)
 Purtroppo questo significa che $v_t/c\sim 10^{-4}$. Non solo, ma si
 pu\'o dimostrare\footnote{P. es. Ref.\cite{miller}, nota 7 al
 capitolo 1.} che non \`e possibile rivelare effetti del primo ordine
 in $v/c$, per cui la precisione degli esperimenti deve essere
 dell'ordine di $(v_t/c)^2 \sim 10^{-8}$.

 Si tratta di una precisione estremamente elevata, ma Michelson
 trov\`o un modo per riuscire ad ottenerla, mediante un dispositivo
 noto come {\sl interferometro di Michelson}. Il dispositivo consiste
 in una sorgente luminosa $S$, il pi\`u possibile coerente, il cui
 fascio luminoso viene indirizzato lungo un braccio rigido sul quale
 \`e posto a 45$^\circ$ uno specchio semiargentato.  Con questo
 termine intendiamo uno specchio che lascia passare circa met\`a della
 radiazione incidente e riflette il resto. Il fascio luminoso
 incidendo sullo specchio dunque viene diviso in due: una parte
 prosegue lungo il braccio 1 per una lunghezza $l_1$, l'altra percorre
 un secondo braccio, ad angolo retto rispetto al primo, di lunghezza
 $l_2$.  I due fasci poi vengono riflessi alle estremit\`a di detti
 bracci e fatti ricombinare su di uno schermo, formando una figura di
 interferenza. Tale figura \`e dovuta allo sfasamento dei due raggi
 luminosi che effettuano percorsi diversi in tempi diversi.

 Possiamo calcolare facilmente lo sfasamento tra i due raggi
 nell'ipotesi che la velocit\`a ${\bf v}$ rispetto all'etere sia
 parallela al braccio 1. L'analisi \`e analoga, ma algebricamente
 pi\`u complicata, nel caso generale. Il raggio 1 per andare e tornare
 dallo specchio semiriflettente impiega un tempo $t_1 = l_1/(c+v) +
 l_1/(c-v) = 2 c l_1 /(c^2-v^2)$. Il raggio 2 compie un tragitto un
 po' pi\`u complicato: bisogna infatti tener conto che l'apparato
 durante il viaggio della luce si muove rispetto all'etere e che
 pertanto il raggio, nel riferimento dell'etere, compie un tragitto
 triangolare. Se il tempo di andata e ritorno \`e $t_2$, il tragitto
 percorso vale $s=2\sqrt{v^2\left(\frac{t_2}{2}\right)^2 + l_2^2}$ ed
 il tempo \`e quindi dato dall'equazione $t_2 = s/c = \frac{2}{c}
 \sqrt{v^2\left(\frac{t_2}{2}\right)^2 + l_2^2}$. Risolvendola
 troviamo $t_2 = 2 l_2 /\sqrt{c^2-v^2}$.

 Lo sfasamento $\Delta$ \`e dato dalla differenza $t_2-t_1$ tra i
 tempi di arrivo moltiplicata per la frequenza della luce
 $\nu=c/\lambda$:

 \begin{eqnarray*}
 \Delta &=& c(t_2-t_1)/\lambda = 
 \frac{2 c}{\lambda} \left( l_2 /\sqrt{c^2-v^2} - c l_1 /(c^2-v^2) \right)\\
 &=& \frac{2}{\lambda\sqrt{1-\beta^2}}
\left( l_2 - \frac{l_1}{\sqrt{1-\beta^2}}
 \right)
 \end{eqnarray*}

 \noindent dove si \`e definito $\beta=v/c$.

 Questa espressione non \`e adatta per una misura sperimentale, in
 quanto il termine tra parentesi richiederebbe una misura
 accuratissima di $l_1$ e $l_2$. Infatti, all'ordine pi\`u basso in
 $\beta$\footnote{Il modo pi\`u semplice di vederlo \`e di utilizzare
 lo sviluppo binomiale \ref{binomiale}. Lo si tenga sempre presente:
 in questo capitolo verr\`a usato spesso.}, tale termine diventa
 $(l_2-l_1)-l_1\beta^2/2$, ed il termine da misurare \`e dell'ordine
 di $l_1 \times 10^{-8}$. La differenza $l_2-l_1$ dovrebbe essere
 misurata quindi con un errore inferiore a questo, il che non \`e
 praticamente possibile.

 Michelson trov\`o un modo per aggirare la difficolt\`a. Ruotando
 tutto il dispositivo di 90$^\circ$ si ottiene un diverso sfasamento
 $\Delta^\prime$, e per ottenerlo basta scambiare i ruoli di 1 e 2:

 \begin{displaymath}
 \Delta^\prime =  \frac{2}{\lambda\sqrt{1-\beta^2}}
 \left( \frac{l_2}{\sqrt{1-\beta^2}}- l_1\right).
 \end{displaymath}

 Dopo la rotazione si ha dunque uno spostamento di frange pari a

 \begin{equation}
 n = \Delta^\prime - \Delta = \frac{2}{\lambda\sqrt{1-\beta^2}}
 \left[ \frac{l_1+l_2}{\sqrt{1-\beta^2}}- (l_1+l_2)\right] \simeq
 \frac{l_1+l_2}{\lambda} \beta^2
 \end{equation}

 \noindent dove l'eguaglianza approssimata si riferisce al termine di
 ordine pi\`u basso per $\beta\to 0$. Si vede dunque che il termine
 $l_2-l_1$ scompare, e dunque un errore relativo $\varepsilon$ anche
 relativamente grande --- per esempio $10^{-4}$ --- nelle misure delle
 lunghezze dei bracci influisce solo all'ordine $\varepsilon$ sul
 risultato finale. L'importante \`e che le lunghezze $l_1$ e $l_2$ non
 varino durante la rotazione

 Con un apparato avente $l_1\simeq l_2 \simeq 10$ m, in luce gialla
 ($\lambda \simeq 5\ 10^{-7}$ m) e stimando $\beta \sim 10^{-4}$ si
 pu\`o prevedere uno spostamento di circa 0.4 frange; l'apparato
 permetteva di apprezzare lo spostamento di 0.01 frange. Ripetizioni
 moderne permettono risoluzioni molto pi\`u elevate.

 \subsection{Reazioni ai risultati sperimentali}

 \subsubsection{Il trascinamento dell'etere}

 Il risultato \`e noto: non venne rilevato alcuno spostamento di frange.
 Questo implica che la velocit\`a della Terra rispetto all'ipotetico etere
 \`e nulla, contrariamente ad ogni ragionevole aspettativa. Una via d'uscita
 consiste nel notare che ci\`o che si misura in realt\`a \`e la velocit\`a
 della Terra rispetto all'etere che la circonda. Se l'etere fosse trascinato
 in qualche modo dai corpi materiali, allora la terra sarebbe
 {\sl localmente} in quiete ed il risultato dell'esperimento sarebbe ovvio.

 Esistono per\`o osservazioni ed esperimenti che contraddicono questa ipotesi.
 Qui ne verr\`a menzionato solo uno, l'osservazione dell'{\sl aberrazione
 stellare}. Si tratta di un fenomeno osservato gi\`a nel XVIII secolo e che
 consiste in un moto apparente annuale, grossomodo circolare, delle stelle.
 Questo moto \`e facilmente spiegabile supponendo che la velocit\`a $c$
 della luce che ci arriva dalle stelle si sommi --- vettorialmente ---
 con la velocit\`a terrestre $v_t$; in questo modo si ha che l'angolo
 della direzione di arrivo della luce varia come

 \begin{equation}
 \tan\theta=v_t/c.
 \end{equation}

 Se invece l'etere fosse trascinato dalla Terra la sua velocit\`a osservata
 sarebbe indipendente dal moto orbitale e l'aberrazione non si osserverebbe.

 \subsubsection{L'ipotesi della contrazione}

 Un altro modo di uscire dalla contraddizione \`e di postulare che la
 lunghezza $l$ del braccio dell'interferometro che di volta in volta si trova
 diretto lungo la direzione del moto rispettto all'etere sia ridotta
 ({\sl contrazione di Lorentz}) di un fattore $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}>1$,
 ovvero

 \begin{equation}
 l^\prime = \gamma l.
 \end{equation}

 \`E immediato rendersi conto che questo escamotage rende conto del risultato
 nullo di Michelson e Morley {\sl se i due bracci sono uguali}. Quando per\`o
 si ripete l'esperimento con interferometri a bracci disuguali si ottiene
 ugualmente un risultato nullo. La  contrazione di Lorentz perci\`o non riesce
 nell'intento di salvare l'ipotesi dell'etere.

 \subsubsection{Possibili modifiche dell'elettrodinamica}

 Se non sembra possibile rinunciare al postulato di relativit\`a R,
 forse \`e possibile rinunciare alla validit\`a delle equazioni di
 Maxwell M. Le possibilit\`a di farlo senza entrare in stridente
 contrasto con quanto gi\`a noto, ed in modo da spiegare il risultato
 dell'esperimento di Michelson-Morley, ed altri, non sono molte. Il
 tentativo pi\`u serio consiste nell'ipotizzare che la velocit\`a
 della luce dipenda dal moto della sorgente (teorie {\sl emissive} o
 {\sl balistiche}), includendo nel concetto di sorgente eventualmente
 gli specchi.

 Ipotizzando che la velocit\`a della luce sia sempre $c$ rispetto
 alla sorgente originale, si pot\'e spiegare il risultato dei vari esperimenti
 fin qui visti. Tuttavia non \`e possibile spiegare il risultato di altri
 esperimenti in cui la velocit\`a della sorgente viene fatta variare in vari
 modi, ed in cui di conseguenza si avrebbero diversi valori della velocit\`a
 della luce con effetti facilmente rilevabili. Anche questi effetti, tuttavia,
 non sono mai stati trovati.

 \section{I postulati della teoria della Relativit\`a Ristretta}

 L'unico modo di salvare l'ipotesi dell'etere risult\`o essere quella
 di renderlo inosservabile. Lorentz riusc\`i infine a formulare una
 teoria che, postulando una serie di propriet\`a della materia e
 dell'etere, rendeva quasi impossibile\footnote{Ma non del
 tutto. Esistono almeno due esperimenti in grado di discriminare la
 teoria di Lorentz dalla Relativit\`a Ristretta: il primo \`e la
 rilevazione dell'effetto Doppler trasverso \ref{doppler_freq_rel}; il
 secondo \`e il cosiddetto esperimento di Laub, riguardante il moto di
 un dielettrico magnetico. Si veda \cite{miller}, nota 27 al capitolo
 7. Naturalmente ne esistono altri che possono falsificare la teoria
 di Lorentz; per esempio esperimenti che rivelino un comportamento
 dell'elettrone diverso da quello postulato.} realizzare esperimenti
 di elettrodinamica che ne rivelassero l'esistenza. Si disse che la
 funzione dell'etere si era ridotta all'essere il soggetto del verbo
 ``ondulare''.

 Ma pu\`o una teoria fisica essere basata su di una necessit\`a
 grammaticale? In effetti, pare strano che dopo essersi dati tanta
 pena per spiegare le propriet\`a elastiche della materia in termini
 di propriet\`a elettromagnetiche, si debba ritenere necessario
 spiegare le propriet\`a elettromagnetiche in termini di propriet\`a
 elastiche\dots\ In assenza di ragioni empiriche cogenti che portino
 necessariamente ad ipotizzarlo, il concetto di etere, come qualunque
 altro concetto, diventa nel migliore dei casi superfluo se non
 sospetto, e comunque vittima del rasoio di Occam {\it Entia non sunt
 multiplicanda praeter necessitatem}.

 La strada seguita da Einstein nel creare la teoria della Relativit\`a
 Ristretta (o Speciale)\footnote{Il nome non \`e molto appropriato,
 come Einstein stesso ebbe ad osservare; un nome pi\`u adatto sarebbe
 {\sl teoria dell'invarianza.} I termini ``ristretta'' o ``speciale''
 si usano per distinguerla dalla Relativit\`a Generale, che si applica
 anche a sistemi di riferimento non inerziali.} fu quella di
 rinunciare del tutto ad un concetto ormai diventato superfluo come
 quello di etere, e di accettare sia R che M, rifiutando G. Eleviamo
 quindi a livello di postulato, alla stessa stregua dei principi della
 dinamica, l'affermazione secondo la quale le equazioni di Maxwell
 sono valide in tutti i riferimenti inerziali, ovvero che la
 velocit\`a della luce \`e la stessa in tutti i riferimenti inerziali
 (M$_1$).

 Questa propriet\`a si esprime anche dicendo che la velocit\`a della
 luce \`e un {\sl invariante}. La rinuncia alle trasformazioni di
 Galileo di per s\'e non sarebbe particolarmente sconvolgente; non
 sarebbe stata la prima volta che concetti fisici apparentemente
 assodati venivano rivisti.  Ci\`o che rende sorprendente e dura da
 accettare la posizione di Einstein \`e il fatto che le trasformazioni
 \ref{galileo}, \ref{galileo_vel} sembrano essere --- sono --- una
 conseguenza immediata delle nostre concezioni di spazio e di
 tempo. In altre parole, {\sl la teoria della Relativit\`a richiede
 una revisione delle nostre concezioni dello spazio e del
 tempo}. Pertanto \`e necessario procedere ad un'accurata disamina di
 tali nozioni ed in particolare delle procedure tramite le quali
 coordinate e tempi sono misurate, cercando di dare meno cose
 possibili per scontate.

 \subsection{Velocit\`a della luce e simultaneit\`a}
 \label{simultaneita}

 Esaminiamo il processo di misura di una lunghezza. Come si sa, si
 dice che un oggetto ha lunghezza $l$ se, posto di fianco ad esso un
 regolo graduato, tra un'estremit\`a dell'oggetto e l'altra giacciono
 $l$ suddivisioni di lunghezza pari ad una lunghezza campione.

 Si noti come questo procedimento fornisca un risultato univoco solo
 se il regolo ed il corpo misurato sono in quiete l'uno rispetto
 all'altro; o, detto altrimenti, se sono entrambi in quiete nello
 stesso riferimento (inerziale). Se i due oggetti, regolo e corpo,
 sono in moto relativo, \`e fondamentale aggiungere la specificazione
 che i confronti alle estremit\`a vanno eseguiti {\sl
 simultaneamente}. Se infatti misurassimo, per esempio, la lunghezza
 di un treno in moto a 100 km/h facendone coincidere l'estremit\`a
 posteriore con una tacca del regolo e l'estremit\`a anteriore con
 un'altra tacca {\sl ma un'ora dopo} troveremmo che il treno \`e lungo
 100 km!

 Si vede dunque che le misure di lunghezza dipendono in qualche modo
 dalle misure di tempo, e pi\`u specificamente dalle misure di
 simultaneit\`a.  (Chiamiamo {\sl evento} ogni cosa che accade in un
 ben determinato punto dello spazio ad un tempo ben determinato. In
 pratica, un evento \`e un punto nello spazio-tempo.)  Fintanto che
 tutti gli osservatori concordano nel definire due eventi
 ``simultanei'' o ``non simultanei'' questo non crea problemi. Tuttavia
 questa ipotesi, per quanto naturale, \`e tutt'altro che ovvia ed in
 effetti, quando analizzata criticamente, discutibile.

 Immaginiamo che due eventi --- per esempio la caduta di due fulmini
 --- avvengano simultaneamente a distanza $L$ in un riferimento $O$ ---
 per esempio un binario ferroviario. Un osservatore solidale con $O$ e
 situato a met\`a strada tra i due punti in cui i fulmini sono caduti
 vedr\`a i lampi arrivare simultaneamente. Dato che la velocit\`a della
 luce --- per il postulato M$_1$ --- \`e una costante universale, ed
 invariante l'osservatore ha tutti i diritti di concludere che i
 due eventi sono simultanei.

 Consideriamo invece la stessa coppia di eventi osservati da un
 riferimento $O^\prime$ in moto con velocit\`a $v$ rispetto ad $O$
 lungo il binario.  I due lampi saranno allora osservati in istanti
 {\sl diversi}: la luce proveniente dal fulmine verso il quale
 $O^\prime$ si sta dirigendo arriver\`a {\sl prima} dell'altro, dovendo
 percorrere un intervallo di lunghezza $L/2-vt$ a velocit\`a $c$ (di
 nuovo, per il postulato M$_1$). L'altro lampo invece deve percorrere
 un intervallo di lunghezza $L/2+vt$ alla stessa velocit\`a.

 Ne consegue che i due osservatori {\sl non concordano} sulla
 simultaneit\`a dei due eventi. Ovviamente $O^\prime$ \`e in grado di
 dire che $O$ vede simultanei i due eventi, ma per il principio di
 relativit\`a R nessuno dei due pu\`o dire che la propria misura sia
 ``pi\`u corretta'' dell'altra. Ne consegue che {\sl la simultaneit\`a
 tra eventi \`e relativa al riferimento} e che pertanto anche {\sl le
 misure di lunghezza sono relative al riferimento}.

 \subsection{Misure di lunghezza trasversali}

 Consideriamo come variano le misure di un oggetto effettuate in un
 sistema di riferimento in cui esso \`e in moto.  Prendiamo due sbarre
 identiche A e B e poniamo alle loro estremit\`a degli oggetti ---
 lamette, gessi, o altro --- tali che possano lasciare un segno
 permanente sull'altra sbarra. Allontaniamo le sbarre e poi facciamole
 avvicinare in modo tale che 1) le sbarre siano parallele, 2) la
 velocit\`a relativa sia perpendicolare ad entrambe le sbarre e 3) il
 punto di mezzo delle sbarre coincida quando queste si incrociano.

 Nel sistema di riferimento solidale con A \`e solo B che si muove. Se
 ci fosse contrazione delle lunghezze trasversali allora la sbarra B
 sarebbe vista pi\`u corta di A e lascerebbe su quest'ultima una
 coppia di segni, mentre su B non ne rimarrebbero.

 Nel sistema di riferimento solidale con B \`e solo A che si muove. Se
 ci fosse contrazione delle lunghezze trasversali allora la sbarra A
 sarebbe vista pi\`u corta di B e lascerebbe su quest'ultima una
 coppia di segni, mentre su A non ne rimarrebbero.

 Ma per il principio di relativit\`a A le due descrizioni devono
 essere equivalenti; e siccome in realt\`a esse portano ad effetti
 fisici misurabili (e permanenti) diversi, ne consegue che l'ipotesi
 di contrazione trasversale non pu\`o essere valida. Analogo
 ragionamento vale per l'ipotesi di allungamento trasversale. Quindi
 le misure delle dimensioni perpendicolari al moto di un oggetto sono
 immutate rispetto alle misure delle stesse dimensioni quando
 l'oggetto \`e a riposo.

 \subsection{Misure di tempi}

 Consideriamo ora il caso di un raggio luminoso proiettato da una
 sorgente $S$ solidale con un sistema di riferimento $O^\prime$ in
 moto con velocit\`a {\bf v} rispetto ad un sistema $O$,
 ortogonalmente a {\bf v}, e fatto riflettere su di uno specchio, pure
 in quiete rispetto ad $O^\prime$, posto a distanza $d$ da $S$ fino a
 tornarvi.

 In $O^\prime$ il raggio percorre un semplice percorso di
 andata-ritorno di lunghezza $2d$; per il postulato M$_1$ il tempo
 trascorso dall'emissione all'assorbimento vale $\Delta
 t^\prime=2d/c$. In questo riferimento i due fenomeni di emissione e
 di assorbimento avvengono nello stesso posto; un riferimento di
 questo tipo \`e detto {\sl riferimento proprio}.  In $O$ invece il
 tragitto ha la forma dei due lati di un triangolo (si ricordi la
 discussione dell'esperimento di Michelson-Morley), ognuno dei quali
 ha lunghezza $\delta=\sqrt{\left(v\ \Delta t/2\right)^2 + d^2}.$ Si
 noti che abbiamo usato il risultato dell'esperimento mentale
 precedente per affermare che $d$ \`e lo stesso. Abbiamo perci\`o

 \begin{equation}
 \Delta t = \frac{2 d}{c}\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2} =
 \gamma \Delta t^\prime.
 \end{equation}

 Evidentemente si ha che $\Delta t^\prime < \Delta t$. Ovvero si
 ottiene che {\sl l'intervallo di tempo tra due eventi, misurato da un
 osservatore in moto, \`e pi\`u lungo dell'intervallo di tempo
 proprio}, un fenomeno noto come {\sl dilatazione dei tempi}.

 \subsection{Misure di lunghezza longitudinali}

 Siamo ora pronti per affrontare il problema della misura di lunghezze
 in direzione parallela al moto relativo di due sistemi di
 riferimento. Come per il caso delle misure di simultaneit\`a, il modo
 migliore per definire le lunghezze di oggetti in moto \`e di
 sfruttare l'invarianza della velocit\`a della luce. Possiamo dunque
 misurare la lunghezza di un oggetto, fermo od in moto rispetto al
 nostro sistema di riferimento poco importa, ponendo uno specchio ad
 una delle sue estremit\`a e misurando il tempo che la luce impiega
 per andare dall'altra estremit\`a dell'oggetto allo specchio e
 ritorno e moltiplicando per la velocit\`a della luce.  Per
 l'osservatore $O^\prime$ solidale con l'oggetto si ha

 \begin{displaymath}
 \Delta t^\prime = \frac{2 l^\prime}{c}.
 \end{displaymath}

 La lunghezza $l^\prime$ \`e chiamata, ovviamente, {\sl lunghezza
 propria}.  Per un osservatore $O$ rispetto al quale l'oggetto si
 muove a velocit\`a $v$ l'analisi \`e un po' pi\`u complicata. Se $x$
 \`e la posizione dello specchio al momento $t_1 = x/c$ della
 riflessione,

 \begin{displaymath}
 x = l + v t_1 = l +\frac{v}{c} x \Rightarrow x = \frac{l}{1-\beta}.
 \end{displaymath}

 Riguardo al tragitto di ritorno, se $y$ \`e la distanza della
 sorgente al momento $t_2$ del riassorbimento dalla posizione dello
 specchio al momento della riflessione,

 \begin{displaymath}
 y = l - v (t_2-t_1) = l -\frac{v}{c} y \Rightarrow y = \frac{l}{1+\beta}.
 \end{displaymath}

 Il tempo totale impiegato \`e dunque

 \begin{equation}
 t = (x+y)/c = 2l/c(1-\beta^2) \Rightarrow l^\prime = \gamma l > l.
 \end{equation}

 Ne viene dunque confermato e quantificato quanto detto in precedenza:
 la lunghezza misurata di un oggetto in moto risulta diversa, e
 precisamente pi\`u corta, della lunghezza propria (quella,
 ricordiamo, misurata dello stesso oggetto effettuata in un sistema di
 riferimento in cui l'oggetto \`e in quiete).  Questo fatto \`e noto,
 come abbiamo gi\`a visto, come {\sl contrazione di Lorentz.}

 \subsection{Sincronizzazione degli orologi}

 Una procedura che dipende in maniera molto evidente dalla definizione
 di simultaneit\`a \`e quella di sincronizzazione degli orologi. Due
 orologi infatti si dicono sincronizzati se forniscono la stessa
 indicazione nello stesso momento. Nello stesso spirito dei punti
 precedenti sincronizziamo due orologi distanti $l^\prime$ ponendo una
 sorgente di luce in un punto equidistante tra loro ed emettendo un
 lampo; i due orologi verranno fatti segnare lo stesso tempo quando
 ricevono il lampo.

 Seguendo il ragionamento del paragrafo \ref{simultaneita}, sappiamo
 che questa procedura fornisce una sincronizzazione diversa per
 orologi in quiete in un sistema inerziale $O^\prime$ e per orologi
 solidali con un riferimento $O$ rispetto a cui $O^\prime$ \`e in
 moto. Infatti i lampi viaggiano per spazi pi\`u grandi o pi\`u
 piccoli a seconda che la velocit\`a $v$ di $O^\prime$ sia discorde o
 concorde a quella del lampo di luce. Ci attendiamo dunque un
 ``errore'' di sincronizzazione $\delta$ degli orologi in $O^\prime$
 se visti da $O$.

 Sia $t^\prime = l^\prime/2c$ il tempo che il lampo di luce impiega
 per raggiungere gli orologi in $O^\prime$. Mettiamoci ora nel
 riferimento $O$: osserveremo orologi posti ad una distanza
 $l=l^\prime/\gamma$. Con ragionamenti analoghi a quelli del paragrafo
 precedente, si trova che il tempo che il lampo di luce impiega per
 raggiungere gli orologi, osservato da $O$, sar\`a diverso: per uno
 sar\`a $t_1 = l^\prime/2c\gamma - \beta t_1$, per l'altro $t_2 =
 l^\prime/2c\gamma + \beta t_2$. L'osservatore in $O$ vede quindi un
 ``errore di sincronizzazione'' pari a

 \begin{equation}
 \Delta t = t_2 -t_1 = \frac{l^\prime}{2c\gamma}
 \overbrace{\left(\frac{1}{1-\beta}-\frac{1}{1+\beta}\right)}^{2\beta\gamma^2}
 = \frac{l^\prime\beta\gamma}{c}.
 \end{equation}

 Applicando all'inverso la dilatazione dei tempi

 \begin{equation}
 \Delta t^\prime = \Delta t/\gamma = \frac{l^\prime v}{c^2}.
 \end{equation}

 Secondo $O$ gli orologi a riposo in $O^\prime$ e che, secondo
 quest'ultimo, sono sincronizzati, sono {\sl sfasati} di un fattore
 $l^\prime v/c^2$, e precisamente l'orologio che si avvicina alla
 sorgente luminosa {\sl va avanti} rispetto all'altro.

 \section{Le trasformazioni di Lorentz}

 I risultati degli esperimenti mentali visti in precedenza possono
 essere sintetizzati nelle trasformazioni di coordinate che prendono
 il posto delle \ref{galileo}, le cosiddette {\sl trasformazioni di
 Lorentz}\footnote{Come spesso accade, il nome non dice tutta la
 verit\`a. Le trasformazioni in oggetto ebbero una gestazione lunga ed
 il nome di Lorentz vi rimase attaccato perch\'e, come accennato in
 precedenza, egli fu costretto a scriverle e ad elevarle a postulato
 della sua teoria. Si noti come nella Relativit\`a siano invece {\sl
 dedotte} dal semplice postulato M$_1$.}:

 \begin{eqnarray}
 x^\prime &=& \frac{x-vt}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \nonumber\\
 y^\prime &=& y \nonumber\\
 z^\prime &=& z \\
 t^\prime &=& \frac{t-(v/c^2)x}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \nonumber
 \label{lorentz}
 \end{eqnarray}

 Le trasformazioni inverse si ottengono invertendo il segno di $v$ e
 scambiando le variabili primate con quelle non primate:

 \begin{eqnarray}
 x &=& \frac{x^\prime+vt^\prime}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \nonumber \\
 y &=& y^\prime \nonumber\\
 z &=& z^\prime \\
 t &=& \frac{t^\prime+(v/c^2)x^\prime}{\sqrt{1-(v/c)^2}} \nonumber
 \label{lorentz_inverse}
 \end{eqnarray}

 La prima equazione esprime il fenomeno della contrazione delle
 lunghezze.  Le due successive seguono dall'invarianza della misura
 delle lunghezze perpendicolari al moto.  La quarta rappresenta la
 dilatazione dei tempi e l'asincronia degli orologi. Si noti che {\sl
 non \`e possibile avere $v\geq c$,} perch\'e in questo caso le
 trasformazioni diventerebbero prive di senso. Ne segue che {\sl la
 velocit\`a della luce \`e una velocit\`a limite:} non esiste nessun
 sistema di riferimento che, visto da un altro, si muove a velocit\`a
 $c$ o superiore e, di conseguenza, la velocit\`a di nessun corpo
 materiale \`e in grado di eguagliare o superare $c$ secondo nessun
 osservatore.

 Con un po' d'algebra si dimostra facilmente ({\sl Esercizio}) che 

 \begin{equation}
 c^2 t^2 - x^2 - y^2 - z^2 =
 c^2 t^{\prime 2} - x^{\prime 2} - y^{\prime 2} - z^{\prime 2} 
 \label{sfera_invar}
 \end{equation}

 Ovvero {\sl un fronte d'onda sferico che si espande a velocit\`a $c$
 in un sistema di riferimento si espande sfericamente alla stessa
 velocit\`a in tutti i sistemi di riferimento}. Si verifica cos\`i che
 la nostra trattazione \`e coerente con il postulato M$_1$, come deve
 essere.

 \subsection{Le trasformazioni della velocit\`a}

 Non \`e difficile ora ricavare le trasformazioni che devono
 sostituire le \ref{galileo_vel}. Siccome la velocit\`a {\bf u} in un
 dato riferimento \`e semplicemente la derivata dello spazio rispetto
 al tempo, le trasformazioni delle velocit\`a quando sono viste da un
 riferimento ad un altro in moto rispetto al primo con velocit\`a
 ${\bf v} = v_x {\bf \hat x}$ si ottengono, in perfetta analogia con
 la meccanica classica, esprimendo le derivate di $x$, $y$ e $z$
 rispetto a $t$ in funzione delle derivate di $x^\prime$, $y^\prime$ e
 $z^\prime$ rispetto a $t^\prime$. Notiamo preliminarmente che

 \begin{equation}
 \frac{dt^\prime}{dt} = \gamma \left(1-u_x\frac{v}{c^2}\right)
 \end{equation}

 \noindent e si vede subito che per conservare l'ordinamento temporale
 degli eventi tra due sistemi di riferimento qualsiasi, e di
 conseguenza per conservare il carattere invariante della causalit\`a,
 deve essere sempre $\frac{dt^\prime}{dt} > 0$, quindi $v u_x<c^2
 \Rightarrow u_x<c$, coerentemente con quanto detto al paragrafo
 precedente,

 Prendendo allora le derivate nel sistema di riferimento primato ed
 esprimendole in quello non primato, otteniamo

 \begin{eqnarray}
 u_x^\prime &=& \frac{d x^\prime}{d t^\prime} = \frac{d x^\prime}{dt}
 \frac{dt}{dt^\prime} = \frac{u_x-v}{1-u_x v/c^2}  \nonumber \\
 u_y^\prime &=& \frac{u_y \sqrt{1-(v/c)^2}}{1 - u_x (v/c^2)} \\
 u_z^\prime &=& \frac{u_z \sqrt{1-(v/c)^2}}{1 - u_x (v/c^2)} \nonumber
 \label{trasf_vel}
 \end{eqnarray}

 \noindent e le relative inverse

 \begin{eqnarray}
 u_x &=& \frac{u_x^\prime+v}{1+u_x^\prime v/c^2} \nonumber \\
 u_y &=& \frac{u_y^\prime \sqrt{1-(v/c)^2}}{1+u_x^\prime v/c^2} \\
 u_z &=& \frac{u_z^\prime \sqrt{1-(v/c)^2}}{1+u_x^\prime v/c^2}. \nonumber
 \label{trasf_vel_inverse}
 \end{eqnarray}

 A differenza delle trasformazioni delle coordinate, le trasformazioni
 delle velocit\`a non lasciano invariate le componenti trasversali a
 causa della dilatazione dei tempi che altera le misure in ogni
 direzione.

 Da queste equazioni si vede, di nuovo, che nessuna velocit\`a minore
 di $c$ in un determinato riferimento viene misurata come maggiore di
 $c$ in un qualunque altro riferimento, e che ({\it Esercizio}) la
 velocit\`a della luce \`e la stessa in ogni riferimento. La
 trattazione fin qui fatta \`e dunque del tutto coerente.

 \section{Spazio di Minkowski e quadrivettori}

 Le trasformazioni di Lorentz sono esprimibili convenientemente in
 forma matriciale se si definisce un vettore a quattro dimensioni in
 uno spazio tetradimensionale:

 \begin{equation}
 x^1 = x;\ x^2 = y;\ x^3 = z;\ x^0 = ct
 \end{equation}

 \noindent o, compattamente,

 \begin{equation}
 x^i = (ct,{\bf r})
 \label{quadri_da_tri}
 \end{equation}

 \noindent dove si mettono in evidenza la componente zeresima, la
 cosiddetta componente {\sl temporale}, e le altre, cosiddette {\sl
 spaziali}\footnote{Un'altra convenzione molto seguita consiste nel
 porre l'indice 4 alla componente temporale. In questo caso nella
 scrittura \ref{quadri_da_tri} si inverte l'ordine della parte spaziale
 e temporale.}.  Un vettore del genere \`e detto {\sl quadrivettore} e
 lo spazio in cui \`e definito viene detto {\sl spazio di
 Minkowski}. Le trasformazioni di Lorentz si esprimono come
 trasformazioni lineari in questo spazio, ovvero matrici:

 \begin{equation}
 {\bf L} = \left| \begin{array}{cccc}
 \gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\
 -\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
 0 & 0 & 1 & 0 \\
 0 & 0 & 0 & 1 
 \end{array}\right|
 \label{lorentz_mat}
 \end{equation}

 \`E immediato verificare ({\it Esercizio}) che {\bf L} \`e unitaria e
 che la trasformazione inversa \`e data dall'inversa di {\bf L}. Si
 verifica anche che trasformazioni di Lorentz consecutive sono date dal
 prodotto delle matrici corrispondenti, per cui {\sl le trasformazioni
 di Lorentz costituiscono un gruppo (abeliano)}, detto {\sl gruppo di
 Lorentz}, il cui elemento neutro \`e la trasformazione con $v=0$.

 Il vantaggio di operare con in quadrivettori --- e con la loro
 generalizzazione, i quadritensori --- \`e lo stesso che si ha
 operando con i normali vettori tridimensionali: un'equazione espressa
 tramite di essi, se valida in un riferimento qualunque, \`e
 immediatamente valida in {\sl ogni} riferimento. Una relazione tra
 componenti, invece, cambia da un riferimento all'altro perch\`e in
 generale le componenti cambiano. Nel caso della Relativit\`a si parla
 di {\sl covarianza} dell'equazione, ed in particolare se l'equazione
 \`e espressa tramite operazioni covarianti su quadrivettori si parla
 di {\sl covarianza a vista}.

 \subsection{Gli intervalli quadridimensionali}

 Segue allo stesso modo della \ref{sfera_invar} che

 \begin{equation}
 c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 =
 c^2 dt^{\prime 2} - dx^{\prime 2} - dy^{\prime 2} - dz^{\prime 2}
 \label{intervallo_invar}
 \end{equation}

 Dunque nello spazio di Minkowski gli intervalli invarianti non sono
 pi\`u i semplici intervalli spaziali $dr^2 = dx^2+dy^2+dz^2$ e
 temporali $dt$ presi separatamente, ma la loro combinazione

 \begin{equation}
 ds^2 = c^2 dt^2 - dr^2 = c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2.
 \label{intervallo}
 \end{equation}

 La metrica dello spazio di Minkowski perci\`o \`e diagonale a
 coefficienti costanti\footnote{Anche qui si trova spesso usata una
 convenzione diversa, che consiste nell'usare per la $g_{\mu\nu}$
 segni opposti a quelli qui usati.}:

 \begin{eqnarray}
 g_{\mu\nu} =  \left\{ \begin{array}{rl}
  1, & \mu=\nu=0\\
 -1, &\mu=\nu\neq 0\\
  0, & \mu\neq\nu
 \end{array} \right.
 \end{eqnarray}

 \noindent ma {\sl non \`e euclidea}: infatti non \`e nemmeno definita
 positiva. Viene quindi chiamata {\sl pseudoeuclidea}\footnote{La
 metrica pu\`o essere formalmente resa euclidea ponendo $x^0 = ict$
 invece che $x^0 = ct$, e modificando di conseguenza il
 formalismo. L'uso di coordinate immaginarie per\`o tende ad oscurare
 il fatto importante che le caratteristiche dello spazio di Minkowski
 sono sensibilmente diverse da quello euclideo, ed \`e perci\`o ormai
 scomparso.}. Un quadrivettore pu\`o non avere modulo positivo, visto
 che il prodotto quadriscalare tra due quadrivettori $a^i=(a^0, {\bf
 a})$ e $b^i= (b^0,{\bf b})$ \`e, con questa metrica,

 \begin{equation}
\sum _{ij} a^i g_{ij} b_j = a^0 b_0 - a^1 b_1 - a^2 b_2 - a^3 b_3 =
 a^0 b_0 - {\bf a \cdot b}
 \end{equation}

 \noindent e la norma di $a^i$ vale $a^{02} - a^2$, una grandezza che
 pu\`o benissimo essere negativa. Il prodotto scalare nello spazio di
 Minkowski \`e dunque degenere. L'esempio pi\`u semplice di vettore di
 modulo eventualmente nullo o negativo \`e dato proprio dal
 quadriintervallo $ds^2$ che pu\`o esssere positivo, negativo o nullo
 (e $ds$ pu\`o essere reale positivo, nullo o immaginario puro.
 Naturalmente sia $dt^2$ che $dr^2$ rimangono reali; {\sl devono}
 esserlo, in quanto si tratta di quantit\`a misurabili, mentre il $ds$
 non lo \`e.)

 I quadriintervalli quindi si dividono con naturalezza in tre classi.

 \begin{itemize}
 \item {$ds^2>0$:} intervalli {\sl di tipo tempo}. Per ogni coppia di
 eventi separati da uno di questi intervalli esiste un sistema di
 riferimento in cui gli eventi accadono nello stesso punto $(dr=0).$
 In questo riferimento si ha che $ds/c=dt$, da cui otteniamo che
 $ds/c$ \`e {\sl l'intervallo di tempo proprio $d\tau$}. Ne discende
 che $d\tau$ \`e un invariante. Si vede anche subito che $d\tau$ \`e
 sempre pi\`u piccolo del corrispondente intervallo $dt$ misurato in
 un altro riferimento.

 Non esiste invece alcun riferimento in cui i due eventi accadono
 simultaneamente $(dt=0)$. Infatti, data l'invarianza del
 quadriintervallo $ds^2$, esso dovrebbe essere positivo anche in
 questo ipotetico riferimento, ma allora si avrebbe $dr^2<0$, che \`e
 impossibile.

 Se due eventi sono separati da un intervallo di tipo tempo allora \`e
 in linea di principio possibile che i due eventi siano connessi dalla
 traiettoria di un corpo materiale; infatti in quel riferimento la
 velocit\`a di un corpo che ``va da un evento all'altro'' \`e $dr/dt$,
 un numero reale.

 \item {$ds^2=0$:} intervalli {\sl di tipo luce}. Non esiste alcun
 sistema di riferimento in cui entrambi gli eventi, se distinti,
 avvengono nello stesso punto, o simultaneamente. \`E possibile andare
 da un evento all'altro, ma solo muovendosi alla velocit\`a della
 luce.

 \item {$ds^2<0$:} intervalli {\sl di tipo spazio}. Per ogni coppia di
 eventi separati da uno di questi intervalli esiste un sistema di
 riferimento in cui gli eventi accadono simultaneamente $(dt=0).$ Non
 esiste invece alcun riferimento in cui i due eventi accadono nello
 stesso luogo $(dr=0)$.

 Se due eventi sono separati da un intervallo di tipo spazio allora
 \`e impossibile che i due eventi siano connessi dalla traiettoria di
 un corpo materiale o dalla luce; infatti in quel riferimento la
 velocit\`a di un corpo che ``va da un evento all'altro'' non \`e un
 numero reale. Due eventi connessi da un intervallo di tipo spazio non
 possono influenzarsi reciprocamente; non esiste un'influenza causale
 di uno sull'altro.

 \end{itemize}

 Data l'invarianza del $ds$, la classificazione suesposta {\sl \`e
 invariante}, dunque {\sl assoluta:} ogni osservatore inerziale
 concorda con ogni altro sul tipo di intervallo che connette due
 eventi.

 Dato un evento E, l'insieme di tutti i punti ad esso connessi mediante
 intervalli di tipo tempo \`e detto {\sl cono di luce}. Questo cono
 quadridimensionale divide, per ogni evento, lo spazio di Minkowski in
 parti (oltre al cono stesso):

 \begin{enumerate}

 \item il {\sl passato,} ovvero l'insieme degli eventi che possono
 avere influenzato causalmente E (non rileva se lo abbiano
 effettivamente fatto o meno); sono tutti gli eventi contenuti nella
 ``parte posteriore'' del cono;

 \item {\sl il futuro,} ovvero l'insieme degli eventi che possono
 essere influenzati causalmente da E (non rileva se lo abbia
 effettivamente fatto o meno); sono tutti gli eventi contenuti nella
 ``parte anteriore'' del cono;

 \item {\sl l'altrove,} ovvero l'insieme degli eventi che non possono
 avere influenzato causalmente n\'e possono esserne stati influenzati;
 sono tutti gli eventi ``esterni'' al cono.

 \end{enumerate}

 \`E fondamentale ricordare che, da quanto detto, {\sl il cono di luce
 di uno specifico evento \`e invariante}. Questo significa che tutti
 gli osservatori inerziali concordano sul fatto che due eventi possano
 o meno influenzarsi causalmente o meno, e se s\`i su quale dei due
 possa essere la causa dell'altro. Non sorgono dunque problemi nel
 definire la causalit\`a, problemi se sorgerebbero se fosse possibile
 affermare, magari da riferimenti diversi, sia ``A causa B'' che ``B
 causa A''.
 \subsection{Le trasformazioni generali tra quadrivettori}

 \`E uso comune, per semplificare le notazioni, adottare la {\sl
 convenzione di Einstein} per le sommatorie, che cosiste nel sottintendere
 che in presenza di indici ripetuti si somma su di essi:

 \begin{eqnarray*}
 a^i b_i = \sum_i a^i b_i \\
 a^{ijk} b_{jkl} = \sum_{jk} a^{ijk} b_{jkl}.
 \end{eqnarray*}

 Questa operazione \`e anche detta {\sl contrazione} e produce, da una
 coppia di quadritensori di ordine $N$, un quadritensore di ordine
 inferiore ($N-m$ se la contrazione \`e su $m$ indici). Un
 quadritensore di ordine 0 \`e detto, logicamente, {\sl quadriscalare},
 ed \`e un invariante.

 Un quadrivettore, passando da un riferimento ad un altro, si
 trasforma secondo le trasformazioni di Lorentz\footnote{Solitamente
 viene fatta una distinzione tra quadrivettori {\sl covarianti} e {\sl
 controvarianti}. Nel caso della Relativit\`a Ristretta, per\`o, la
 differenza \`e di fatto inessenziale ed il presente trattamento \`e
 tale da rendere tale distinzione non necessaria. Si noti anche che
 purtroppo il termine ``covariante'' \`e entrato nell'uso con due
 significati distinti, ed \`e probabilmente troppo tardi per
 rimediare. Si faccia attenzione a non confondersi.}

 \begin{equation}
 a^\prime_i = \left( L^i_j \right) a_j.
 \label{covarianza}
 \end{equation}

 Evidentemente la quadricoordinata $x^i = (ct,{\bf r})$ \`e un
 quadrivettore, cos\`i come il {\sl quadrigradiente}

 \begin{equation}
 \Box_i = (\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\nabla).
 \end{equation}

 Il d'alembertiano $\Box^2 = \nabla^2 -\frac{1}{c^2}
 \frac{\partial^2}{\partial t^2}$, in quanto prodotto quadriscalare
 del quadrivettore quadrigradiente (a meno del segno) con se stesso,
 \`e invece un operatore invariante.

 \subsubsection{Esempio: effetto Doppler}

 La fase di un'onda \`e invariante, dunque

 \begin{displaymath}
 {\bf k \cdot r} - \omega t =
 {\bf k^\prime  \cdot r^\prime } - \omega^\prime t^\prime
 \end{displaymath}

 \noindent e siccome $x^i = (ct,{\bf r})$ \`e un quadrivettore ed il
 prodotto con $k_x,\ k_y,\ k_z,\ \omega/c$ \`e un invariante ---
 pertanto \`e un quadriscalare --- ne segue che

 \begin{equation}
 k_i = (\omega/c, {\bf k})
 \end{equation}

 \noindent \`e un quadrivettore. Applicando le trasformazioni di
 Lorentz a $k_i$, ovvero moltiplicando il quadrivettore per {\bf L} si
 ottiene, supponendo come al solito un moto relativo rispetto all'asse
 $x$,

 \begin{eqnarray}
 \omega^\prime &=& \gamma (\omega - v k_x) \nonumber \\
 k^\prime_x &=& \gamma (k_x-\omega\beta/c) \nonumber \\
 k^\prime_y &=& k_y \label{vettonda_trasf}
 \\
 k^\prime_z &=& k_z \nonumber
 \end{eqnarray}

 Per un'onda elettromagnetica nel vuoto $\omega = c k$ e siccome
 $k_x = k \cos\theta$, dove $\theta$ \`e l'angolo tra la direzione di
 propagazione dell'onda e la velocit\`a relativa di sorgente ed osservatore,
 e $\omega = 2 \pi \nu$, si ha

 \begin{equation}
 \nu^\prime = \gamma (1-\beta\cos\theta) \nu \simeq (1-\beta\cos\theta) \nu
 \label{doppler_freq_rel}
 \end{equation}

L'eguaglianza approssimata vale per $v<\!\!<c$. Va notato che l'effetto
 Doppler relativistico si ha anche nel caso in cui
 $\theta=\pi/2$. Classicamente non si avrebbe alcuna variazione di
 frequenza; relativisticamente si ha $\nu^\prime = \gamma \nu$. Questo
 \`e detto {\sl effetto Doppler trasverso}, ed \`e causato dalla
 dilatazione dei tempi.  Infatti i due osservatori ``sorgente'' e
 ``ricevitore'' se in moto l'uno rispetto all'altro vedono i
 rispettivi orologi andare pi\`u piano e pertanto vedono la luce di
 una frequenza diversa.

 Anche la formula relativistica per l'aberrazione della luce si ottiene
 dalle \ref{vettonda_trasf}.

 \section{Dinamica relativistica}

 \subsection{La lagrangiana di una particella}

 \`E possibile dedurre tutta la dinamica relativistica, cos\`i come
 quella classica, a partire dal principio di Hamilton

 \begin{equation}
 \delta \int_A^B {\cal L}\ d\tau = 0
 \end{equation}

 \noindent dove A e B sono in questo caso eventi, cio\`e punti nello
 spaziotempo, e non semplicemente punti nello spazio, mentre il tempo
 $\tau$ \`e il tempo proprio della particella (in modo da avere un
 espressione invariante del principio variazionale).
 La variazione quindi \`e effettuata ad eventi estremi fissati.

 Per ottenere l'espressione per ${\cal L}$ utilizziamo un procedimento
 generalizzato dal caso non  relativistico\footnote{L.D. Landau
 e E.M. Lif\v sits, {\sl Corso di Fisica Teorica voll. 1 e 2},
 Editori Riuniti.}. La Lagrangiana \`e, per ipotesi, funzione solo delle
 coordinate, delle velocit\`a e del tempo. Nel caso classico $\tau$ coincide
 con il tempo universale $t$; inoltre per una particella isolata,
 dall'ipotesi di omogeneit\`a ed isotropia dello spazio e del tempo segue
 che essa dipende solo dal modulo della velocit\`a, ovvero, che \`e lo
 stesso, dal suo quadrato:

 \begin{displaymath}
 {\cal L} = {\cal L}(v^2).
 \end{displaymath}

 Se valgono le trasformazioni di Galileo la lagrangiana ${\cal L}^\prime$
 della stessa particella vista in un altro sistema di riferimento deve
 dare le stesse equazioni del moto, quindi deve differire dalla prima
 per una derivata totale di una funzione delle coordinate e del tempo.
 Prendendo una velocit\`a relativa dei due sistemi $\varepsilon$
 infinitesima, si deve dunque avere, all'ordine lineare

 \begin{displaymath}
 {\cal L}^\prime (v^2) + \frac{d}{dt}f({\bf r,v,} t) =
 {\cal L}[(v+\varepsilon)^2] =
 {\cal L}(v^2+2v\varepsilon+\varepsilon^2) \simeq {\cal L}(v^2)
 + \frac{d}{dv^2} {\cal L}(v^2) 2 \varepsilon
 \end{displaymath}

 \noindent con $f$ opportuna. 
 Perci\`o $\frac{d}{dv^2} {\cal L}(v^2)$ deve essere una costante,
 ovvero ${\cal L}$ deve essere lineare in $v^2$, visto
 che nessuna funzione solo di $v^2$ pu\`o essere una derivata totale
 del tempo di una funzione di coordinate, tempo e velocit\`a.
 Ne segue il risultato
 noto ${\cal L} = \frac{1}{2}mv^2$ (si dimostra facilmente che $m>0$).

 Nel caso relativistico lo stesso ragionamento ci porta ad ipotizzare
 una lagrangiana proporzionale al quadrato del quadrivettore {\sl
 quadrivelocit\`a} definito nella maniera ovvia\footnote{Anche qui si
 incontra talvolta una convenzione diversa:$ u^i = d x^i/ds =
 (\gamma,{\bf u}/c)$.}:

 \begin{equation}
 u^i = \frac{d x^i}{d\tau}  = \frac{d}{d\tau} (ct,{\bf r}) 
 = (\gamma c,\gamma {\bf u})
 \end{equation}

 \noindent (la derivazione rispetto ad un invariante di un quadrivettore
 evidentemente produce un quadrivettore),
 quadrato che vale $\gamma^2c^2 - \gamma^2 v^2 = c^2$. Perci\`o il
 principio variazionale diventa

 \begin{equation}
 \delta \int_A^B {\cal L}\ d\tau = \delta \int_A^B \alpha c^2\ d\tau = 
 \delta \int_A^B \alpha c^2 /\gamma\ dt = 0.
 \end{equation}

 Il coefficiente costante $\alpha$, che per definizione \`e un
 invariante, rimane determinato prendendo il limite classico $\beta\to
 0$ della lagrangiana vista in uno specifico riferimento, ovvero
 dell'integrando dell'ultimo integrale, ${\cal L}/\gamma$:

 \begin{displaymath}
 (\alpha c^2/\gamma)_{\beta\to 0} \to \alpha c^2 (1-\beta^2/2) =
\frac{1}{2} m v^2
 \end{displaymath}

 \noindent a meno di costanti additive, 
 per cui $\alpha = -m$ e ${\cal L} = -m c^2 \sqrt{1-v^2/c^2}$.

 \subsection{Il quadrimomento. Massa ed energia}

 Sappiamo che il momento generalizzato $p=\partial {\cal L}/\partial q$
 coniugato ad una coordinata ciclica $q$ si conserva. Nel caso relativistico
 di una particella libera abbiamo dunque che si conserva il {\sl quadrimomento}

 \begin{equation}
 p^i = \partial {\cal L}/\partial u^i = m u^i =
 (m \gamma c, m \gamma {\bf u}) = (m \gamma c, {\bf p}) 
 \label{quadrimomento}
 \end{equation}

 \noindent dove si \`e definita la {\sl quantit\`a di moto relativistica},
 componente spaziale del quadrimomento

 \begin{equation}
 {\bf p} = m \gamma {\bf u}.
 \end{equation}

 La conservazione del quadrimomento implica quindi la conservazione del
 momento tridimensionale {\bf p}, versione relativistica del momento classico
 $m{\bf u}$, cui si riduce per piccole velocit\`a\footnote{Spesso si trova
 definita una {\sl massa relativistica} $m_r=\gamma m_0$, con $m_0$ ({\sl
 massa a riposo}) coincidente con la massa, invariante, $m$ qui definita.
 Per quanto comunissimo, tale concetto \`e fonte di equivoci
 ed oscura il reale significato fisico delle equazioni. Inoltre tale grandezza
 \`e virtualmente assente nei testi pi\`u avanzati e di ricerca. Non ne faremo
 dunque uso.}. 

 Una seconda quantit\`a conservata \`e la componente $p^0$ del quadrimomento.
 \`E logico sospettare che sia strettamente collegata con l'altra importante
 grandezza meccanica conservata (per sistemi isolati), cio\`e l'energia. Per
 verificarlo, calcoliamone la derivata temporale in uno specifico riferimento:

 \begin{eqnarray*}
 c\frac{d p^0}{dt} &=& \frac{d}{dt}\gamma m c^2 = m \frac{d}{dt}\left[\gamma
 (c^2-u^2) + \gamma u^2 \right] = m \frac{d}{dt} \left[\frac{c^2}{\gamma}
 +\gamma u^2 \right] \\
 &=& - m \gamma {\bf u\cdot} \frac{d\bf u}{dt} +
 m \frac{d}{dt}\gamma u^2 = {\bf u \cdot} \frac{d}{dt} m \gamma{\bf u} =
 {\bf u\cdot} \frac{d\bf p}{dt} = {\bf u \cdot F}.
 \end{eqnarray*}

 Vediamo perci\`o che questa derivata, moltiplicata per $c$, non \`e altro
 che la potenza trasferita da o alla particella da una forza esterna. Perci\`o
 concludiamo che

 \begin{equation}
E = c p^0 = \gamma m c^2
 \label{energia_rel}
 \end{equation}


 \noindent \`e l'energia del corpo in uno specifico riferimento.
 Per corpi fermi questa espressione prende la notissima forma

 \begin{equation}
 E = m c^2.
 \label{emc2}
 \end{equation}

 Otteniamo quindi il risultato che {\sl la massa di un corpo \`e una
 misura del suo contenuto di energia a riposo}, dove l'espressione ``a
 riposo'' \`e relativa al centro di massa. Perci\`o {\sl ogni
 mutamento dell'energia di un corpo si riflette in un mutamento della
 sua massa a riposo}. Questo mutamento \`e per\`o sensibile solo nel
 caso in cui si abbiano enormi variazioni di energia, come nel caso
 delle reazioni nucleari, vista la presenza del termine $c^2 = 9\
 10^{16}$ m$^2$/s$^2$.

 Per esempio, se mettiamo un litro di acqua a bollire sul fuoco, e
trascuriamo l'energia e la massa trasferite all'aria per evaporazione
ed altri modi, la sua massa varier\`a di $\Delta m = Q/c^2$, dove $Q$
\`e l'energia trasferita come calore. Nel caso in esame, $Q=C_p\Delta
T$, e preso il calore specifico $C_p = 1$ cal/K = 4.2 J/K e $\Delta T
= 80$ K abbiamo $\frac{\Delta m}{m} = 3.7\ 10^{-15}$, abbondantemente
al di sotto del limite di misurabilit\`a. Nel caso della reazione
nucleare di fusione di quattro protoni in un nucleo di He l'emissione
di energia \`e pari a 26.73 Mev e la massa cala di $\frac{\Delta m}{m}
= 0.007$. Questo \`e il principale meccanismo di generazione di
energia nel Sole, che di conseguenza perde una massa pari a circa {\sl
4 milioni} di tonnellate {\sl al secondo}. ({\it Esercizio:} ottenere
questo risultato, sapendo che l'intensit\`a della radiazione solare
sulla Terra, detta {\sl costante solare}, vale 1.37 10$^3$ W/m$^2$ e
che la distanza media Terra-Sole \`e di 1.51 10$^{11}$ m).

 L'energia cinetica relativistica $E_k$ \`e definita ovviamente come
quella frazione di energia che dipende dalla velocit\`a. Essa si
riduce, come deve, all'energia cinetica classica per moti lenti:

 \begin{equation}
 E_k = E - m c^2 = \gamma m c^2 - m c^2 = (\gamma -1) m c^2
 \to \frac{1}{2} m v^2.
 \label{cinetica}
 \end{equation}

 Con gli stessi ragionamenti del caso classico si trova che {\sl il
 quadrimomento di un sistema isolato} (e non solo di una particella)
 {\sl \`e costante}. \`E dunque costante anche il suo modulo, cosa
 peraltro ovvia visto che

 \begin{equation}
 p^i p_i = m^2 \gamma^2 c^2 - m^2 \gamma^2 u^2 = m^2 c^2.
 \end{equation}

 Moltiplicando per $c^2$ questa equazione ed inserendovi l'espressione
 di $E$ \ref{energia_rel} e di ${\bf p} = \gamma m {\bf u}$ otteniamo
 la relazione pi\`u generale tra $E$ e $p$

 \begin{equation}
 E^2 = p^2 c^2 + m^2 c^4.
 \label{energia_momento}
 \end{equation}

 Si noti che mentre la \ref{energia_rel} vale solo per corpi con massa
 non nulla, la \ref{energia_momento} non soffre di questa limitazione.
 Infatti, ponendovi $m=0$ otteniamo una relazione perfettamente
 sensata, $E=pc$, che \`e anche la relazione \ref{upc} tra energia e
 quantit\`a di moto per un fotone. La relativit\`a permette perci\`o
 di interpretare il concetto di fotone come quello di una {\sl
 particella a massa nulla}.

 Si noti come in meccanica classica tale concetto sarebbe assurdo;
 massa nulla significherebbe energia e quantit\`a di moto nulle. In
 relativit\`a questo non \`e necessario, purch\`e si consideri che
 {\sl una particella a massa nulla deve sempre muoversi a velocit\`a
 $c$}. Vale evidentemente anche il viceversa: {\sl le uniche
 particelle che si possono muovere a velocit\`a $c$ sono quelle di
 massa nulla}, in particolare i fotoni. Questo giustifica il termine
 di ``tipo luce'' assegnato ai quadriintervalli con $ds=0$: solo la
 luce (ed altre particelle a massa nulla) possono percorrerli.

L'equazione \ref{energia_rel} ha una seconda importante conseguenza.
Siccome $\gamma_{\beta\to 1} \to \infty$, anche l'energia di un corpo
tende all'infinito all'avvicinarsi della sua velocit\`a a $c$. Fanno
eccezione le particelle a massa nulla, che per\`o sappiamo costrette a
muoversi sempre esattamente a velocit\`a $c$. Otteniamo cos\`i
un'interpretazione dinamica dell'insuperabilit\`a della velocit\`a
della luce: {\sl nessun corpo pu\`o essere accelerato a velocit\`a
superiore a $c$ perch\'e questo richiederebbe di fornire un'energia
infinita}.

Notiamo infine un'altra sorprendente conseguenza della
\ref{energia_momento}.  Siccome la relazione tra $E$, $p$ ed $m$ non
\`e lineare, e siccome sia $E$ che $p$ sono grandezze additive,
abbiamo che {\sl la massa non \`e additiva}: un sistema di particelle
pu\`o avere una massa che non \`e la somma delle masse delle
particelle costituenti.

Per esempio, prendiamo un sistema di due fotoni in moto lungo la
stessa direzione ma in versi opposti. Mettiamoci nel riferimento in
cui entrambi i fotoni hanno la stessa frequenza, dunque la stessa
energia $E$ e quantit\`a di moto uguali ed opposte. L'energia totale
del sistema \`e $2E$ e la quantit\`a di moto totale \`e
nulla. Pertanto $4E^2 = 0+ m^2 c^4 \Rightarrow m = 2E/c^2 \neq
0$. ({\it Esercizio:} si dimostri che se i due fotoni si muovessero
nello stesso verso avremmo il risultato, pi\`u intuitivo, $m=0$).

\subsubsection{L'effetto Compton}

Un esempio storicamente importante dell'applicazione delle leggi di
conservazione relativistiche, perch\'e contribu\`i
all'accettazione definitiva del concetto di fotone, \`e lo studio
della diffusione di un fotone da parte di un elettrone libero. Si noti
che quanto segue \`e altrettanto applicabile all'emissione di un
fotone da parte di un elettrone libero; \`e sufficiente immaginare il
processo invertendo il segno del tempo.

Mettiamoci nel riferimento in cui l'elettrone \`e in riposo prima
dell'urto e scegliamo l'asse $x$ lungo la direzione di arrivo del
fotone, ed il piano $xy$ coincidente con quello definito dalle
direzioni dell'elettrone e del fotone dopo l'urto. Se $\nu$ \`e la
frequenza del fotone ed $m$ la massa dell'elettrone, le equazioni di
conservazione della quantit\`a di moto lungo $x$ e $y$ e dell'energia
danno

\begin{eqnarray*}
\frac{h\nu}{c} &=& \frac{h \nu^\prime}{c} \cos\theta  + p \cos\phi\\
0 &=&  \frac{h \nu^\prime}{c} \sin\theta  - p \sin\phi\\
h\nu + m c^2 &=& h\nu^\prime + \sqrt{p^2 c^2 + m^2 c^4}
\end{eqnarray*}

\noindent dove si \`e inteso che dopo l'urto il fotone possiede una
frequenza $\nu^\prime$ e si dirige ad un angolo $\theta$ rispetto
all'asse $x$, e l'elettrone possiede una quantit\`a di moto
(tridimensionale) di modulo $p$ e si muove ad un angolo $\phi$
rispetto all'asse $x$.

Abbiamo a disposizione tre equazioni per le quattro incognite
$\nu^\prime, \ \theta,\ \phi$ e $p$, potremo perci\`o esprimere una
qualunque delle incognite in funzione di una qualunque delle
altre. Solitamente si sceglie di esprimere $\nu^\prime$ in funzione di
$\theta$. Per farlo, eliminiamo $\phi$ dalle prime due

\begin{displaymath}
h\nu = h \nu^\prime \cos\theta + \sqrt{p^2c^2-h^2 \nu^{\prime 2} \sin^2\theta}
\Rightarrow p^2c^2 =
h^2 \left( \nu^2+\nu^{\prime 2}-2\nu\nu^\prime\cos\theta \right)
\end{displaymath}

\noindent e poi eliminiamo $p$ dalla terza equazione e semplifichiamo:

\begin{eqnarray*}
\left[ h(\nu - \nu^\prime) + m c^2 \right]^2 &=&
h^2 \left( \nu^2+\nu^{\prime 2}-2\nu\nu^\prime\cos\theta  \right] + m^2 c^4 \\
&\Downarrow& \\
h\nu \nu^\prime - mc^2 (\nu-\nu^\prime) &=& h\nu\nu^\prime\cos\theta
\end{eqnarray*}

Il risultato finale \`e dunque

\begin{equation}
\nu^\prime = \frac{\nu}{1 + \frac{h\nu}{mc^2}(1-\cos\theta)}
\end{equation}

Si noti che non \`e possibile avere assorbimento completo, o una
emissione, di un fotone da parte di un elettrone libero: ci\`o
corrisponderebbe a $\nu^\prime=0$, che non \`e una soluzione delle
equazioni scritte\footnote{Si noti ({\it esercizio}) che questo
sarebbe possibile mediante un trattamento non relativistico del
problema, ma darebbe un risultato insensato: la velocit\`a
dell'elettrone risulterebbe superiore a $c$.}. Per poter avere tale
assorbimento \`e essenziale che l'elettrone sia in interazione con un
altro corpo --- per esempio un nucleo atomico --- con cui possa essere
scambiata energia e quantit\`a di moto.

La relazione di Compton diventa pi\`u semplice espressa in termini
delle lunghezze d'onda $\lambda$ e $\lambda^\prime$ del fotone prima e
dopo l'urto:

\begin{equation}
\lambda^\prime = \lambda + \lambda_c (1-\cos\theta)
\end{equation}

La grandezza $\lambda_c = h/mc = 2.42\ 10^{-12}$ m \`e detta {\sl
lunghezza d'onda Compton dell'elettrone}. Le variazioni di lunghezza
d'onda del fotone sono quindi dell'ordine di $\lambda_c$, e per quanto
piccole sono agevolmente misurabili per fotoni X.

\section{Elettrodinamica covariante}

\subsection{Il campo magnetico come effetto relativistico}

Torniamo ora all'argomento fondamentale del presente corso:
l'elettrodinamica. Per prima cosa consideriamo il problema delle
propriet\`a di trasformazione della carica. Se il valore di una carica
dipendesse dal sistema di riferimento, dovremmo osservare uno
sbilanciamento di cariche in ogni materiale, anche se il numero di
elettroni coincide col numero di protoni. Infatti negli atomi gli
elettroni si muovono a velocit\`a molto alte\footnote{Questo
ragionamento va rivisto alla luce della Meccanica Quantistica, ma
rimane comunque corretto.}, una frazione apprezzabile di $c$, ed i
nuclei molto pi\`u basse. Siccome, come si \`e visto nel capitolo
\ref{elettrostatica}, basta un minutissimo sbilanciamento di carica
per osservare effetti vistosi, possiamo concludere che {\sl il valore
della carica \`e invariante}.  Esperimenti pi\`u sofisticati
confortano questa conclusione.

Stabilito questo, riprendiamo in considerazione uno dei casi
elementari e fondamentali: il filo rettilineo infinito percorso da
corrente, visto per\`o da un punto di vista relativistico.

Consideriamo un filo giacente lungo l'asse $z$ percorso da una
corrente che, nel sistema $O$ a riposo rispetto agli ioni che formano
il filo, ha intensit\`a $I$ ed \`e formata, come di consueto, da
elettroni. Supponiamo che il filo in $O$ sia neutro e sia
$\lambda_0^+$ la densit\`a di carica per unit\`a di lunghezza dovuta
agli ioni in questo sistema (\`e la densit\`a di carica propria degli
ioni).  La densit\`a di carica elettronica, sempre in $O$, vale
$\lambda^-$ ed \`e uguale ed opposta a $\lambda_0^+$ per l'ipotesi di
neutralit\`a. Ne segue che $I = \lambda^- v = - \lambda_0^+ v$ dove
{\bf v} \`e la velocit\`a degli elettroni in $O$.

La densit\`a di carica $\lambda^-$ per\`o {\sl non} \`e la densit\`a
di carica propria $\lambda_0^-$ degli elettroni; data la contrazione
di Lorentz,

\begin{displaymath}
\lambda^- = \gamma \lambda_0^- =
\frac{\lambda_0^-}{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}.
\end{displaymath}

Questa relazione la si pu\`o comprendere pensando che l'osservatore in
$O$ vede gli elettroni pi\`u vicini di un fattore $\gamma$ di quanto
non li veda un osservatore solidale con gli elettroni stessi. La
densit\`a propria di carica degli ioni \`e dunque pi\`u alta della
densit\`a propria di carica degli elettroni.

Questo risultato \`e in apparente contraddizione col principio
d'invarianza della carica, ma la contraddizione \`e semplicemente un
artefatto del nostro modello di filo infinito. Se prendessimo
seriamente questo modello dovremmo concludere che le cariche positive
e negative $\int_{-\infty}^\infty \lambda^+ dz$ e
$\int_{-\infty}^\infty \lambda^- dz$ appartenenti al filo sono
entrambe infinite, con tutte le difficolt\`a che conseguono da un
raffronto tra infiniti. Se invece interpretiamo pi\`u fisicamente il
modello come un filo molto lungo ma finito collegato alle estremit\`a
a due serbatoi di cariche positive e negative, possiamo semplicemente
attribuire lo sbilanciamento alla differenze nel numero di cariche
cedute al (od assorbite dal) filo dai serbatoi, viste nei due sistemi
di riferimento. Questa differenza si spiega con la relativit\`a della
simultaneit\`a: per poter dire che ``i serbatoi hano ceduto una
quantit\`a di carica netta $q$ al filo'' dobbiamo essere in grado di
dire {\sl quando} l'hanno ceduta. Se due osservatori sono in
disaccordo sulla simultaneit\`a, essi forniranno numeri diversi per
$q$ e di conseguenza pu\`o capitare che uno di essi osservi che il
filo sia carico ed un altro no.

Prendiamo ora una carica positiva di prova $q$ che viaggia a distanza
$r$ dal filo con velocit\`a {\bf u} rispetto ad $O$. Per cominciare
prenderemo {\bf u} parallela al filo e concorde a {\bf v}. Nel
riferimento $O^\prime$ solidale alla carica le densit\`a di carica di
ioni ed elettroni sono rispettivamente{\footnote{Per semplicit\`a
vengono usate le trasformazioni classiche delle velocit\`a. L'errore
commesso \`e di ordine $\beta^2$ all'interno di un termine che \`e
gi\`a di per s\'e moltiplicato per $\beta$; siccome terremo solo il
termine di ordine pi\`u basso in $\beta$, non si commette nessun
errore nel risultato finale.}}

\begin{eqnarray*}
\lambda^{+\prime} &=&
\frac{\lambda^+_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u}{c}\right)^2}} \\
\lambda^{-\prime} &=&
\frac{\lambda^-_0}{\sqrt{1-\left(\frac{u-v}{c}\right)^2}}
= -\lambda^+_0\frac{\sqrt{1-\left(\frac{v}{c}\right)^2}}
{\sqrt{1-\left(\frac{u-v}{c}\right)^2}}
\end{eqnarray*}

\noindent e la densit\`a di carica totale del filo non \`e pi\`u nulla ma
vale, sviluppando all'ordine pi\`u basso in $v/c$ e $u/c$,

\begin{equation}
\lambda = \lambda^{+\prime} + \lambda^{-\prime}
\simeq \lambda_0^+ \frac{uv}{c^2} = - I \frac{u}{c^2}.
\end{equation}

Nel sistema $O^\prime$ esiste perci\`o 
un campo elettrico di modulo dato dalla \ref{campoel_filo}, e la carica di
prova $q$ \`e dunque {\sl attirata} dal filo da una forza di modulo

\begin{equation}
F = qE = q I \frac{u}{2 \pi c^2 \epsilon_0 r} = q u \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}.
\end{equation}

Ma questa \`e proprio la forza che agisce su $q$ per opera del campo
magnetico dato dalla \ref{biot}. La stessa coincidenza si ottiene
ripetendo il ragionamento per altre direzioni di {\bf u}: per esempio,
se la carica si muove perpendicolarmente al filo le contrazioni di
Lorentz sono nulle ed il filo continua ad essere visto neutro, dunque
non c'\`e nessuna forza su $q$, ed anche questo \`e in accordo con la
\ref{biot}.

La conclusione che se ne pu\`o trarre \`e che {\sl il campo magnetico
\`e un effetto relativistico,} dovuto al diverso modo di vedere le
distribuzioni di cariche e correnti da parte dei diversi osservatori
inerziali. Non per nulla il rapporto tra le forze elettriche e
magnetiche dipende dal rapporto $v/c$, come si vede per esempio dalla
\ref{forza_onda}. Se tali forze sono importanti nel nostro mondo ``a
bassa velocit\`a'' \`e solo perch\`e la forza elettrostatica \`e
talmente intensa che i minutissimi sbilanciamenti di densit\`a di
carica che ne derivano sono sufficienti a dare effetti avvertibili.

\subsection{Trasformazioni di cariche e correnti}

Poniamo le considerazioni semiquantitative del paragrafo precedente
nel formalismo relativistico. Una semplice estensione del ragionamento
fatto poco sopra porta a concludere che cariche e correnti siano
legate tra loro in una trasformazione di Lorentz. \`E infatti
possibile definire un quadrivettore che sia estensione del vettore
densit\`a di corrente semplicemente moltiplicando la densit\`a di
carica propria $\rho_0$ --- che, come ogni grandezza propria, \`e un
invariante --- per la quadrivelocit\`a:

\begin{equation}
j_i = \rho_0 u^i = (\gamma \rho_0 c, \gamma \rho_0 {\bf u}).
\end{equation}

\`E facile vedere che un corpo che in un riferimento \`e neutro ma
percorso da corrente, \`e visto da un altro osservatore come carico, e
viceversa un corpo carico non percorso da corrente viene visto da
altri osservatori come percorso da corrente.  ({\it Esercizio:}
verificare che questo \`e in accordo con il caso del filo del
paragrafo precedente.)

L'equazione di continuit\`a diventa semplicemente la quadridivergenza
di $j_i$, e come tale \`e covariante a vista:

\begin{equation}
\frac{\partial j_i}{\partial x^i} =
(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\nabla)
\cdot (\gamma \rho_0 c, \gamma \rho_0 {\bf u}) =
\gamma \left( \frac{\partial \rho_0}{\partial t} + \nabla \cdot {\bf j}
\right) = 0.
\end{equation}

Si vede che la carica totale \`e un invariante:

\begin{equation}
q^\prime = \int_{\Omega^\prime} j^\prime_0 d\Omega^\prime =
\int_\Omega \gamma j_0 d \Omega/\gamma = \int_\Omega j_0 d\Omega = q
\end{equation}

\noindent come da ipotesi.

\subsection{Il quadripotenziale}

Il D'Alembertiano \`e un operatore invariante per cui le equazioni per
i potenziali \ref{onda_potenziali} diventano

\begin{equation}
\Box^2 A_i = - j_i/\epsilon_0
\label{onda_potenziali_rel}
\end{equation}

\noindent avendo definito

\begin{equation}
A_i = (\phi,c {\bf A}).
\label{quadripotenziale}
\end{equation}

Nella \ref{onda_potenziali_rel} il primo membro contiene un operatore
invariante applicato ad $A_i$, mentre il secondo membro \`e un
quadrivettore. Ne consegue che {\sl i potenziali elettrodinamici
effettivamente formano un quadrivettore definito dalla
\ref{quadripotenziale}.}

La condizione di Lorentz \ref{gauge_lorentz} diventa quindi

\begin{equation}
\frac{\partial A_i}{\partial x^i} =
(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},-\nabla)
\cdot (\phi, c {\bf A}) =
\frac{1}{c}\frac{\partial \phi}{\partial t} + c \nabla \cdot {\bf A}
= 0.
\end{equation}

\noindent e quindi \`e covariante a vista, essendo la quadridivergenza
di un quadrivettore.

\subsection{Trasformazioni dei campi}

I campi si ottengono dai potenziali \ref{quadripotenziale} tramite le
solite equazioni. Per brevit\`a omettiamo il calcolo e forniamo solo
il risultato:

\begin{eqnarray}
E^\prime_\parallel &=& E_\parallel \nonumber \\
{\bf E}^\prime_\perp &=& \gamma [{\bf E}_\perp + ({\bf v \times B}_\perp)]
\nonumber \\
B^\prime_\parallel &=& B_\parallel \label{trasf_campi}\\
{\bf B}^\prime_\perp &=& \gamma [{\bf B}_\perp -
\frac{1}{c^2} ({\bf v \times E}_\perp)]. \nonumber
\end{eqnarray}

Nel limite classico, $\beta \to 0,\ \gamma \to 1$, e le
\ref{trasf_campi} diventano

\begin{eqnarray}
{\bf E}^\prime &=& {\bf E} + {\bf v \times B} \nonumber \\
{\bf B}^\prime &=& {\bf B}
\label{trasf_campi_cl}
\end{eqnarray}

\noindent relazioni che conoscevamo gi\`a. La Relativit\`a ristretta
fornisce dunque una descrizione del tutto unificata dell'induzione
elettromagnetica.

Possiamo inoltre facilmente dare una descrizione dei campi di una
particella in moto uniforme con velocit\`a {\bf v}. Per semplicit\`a
considereremo trascurabile il ritardo di propagazione delle
interazioni (risulta che ci\`o non influenza il risultato). Se
prendiamo un punto lungo la direzione del moto della particella, nel
sistema di riferimento $O^\prime$ solidale con la particella il campo
elettrico {\bf E} \`e semplicemente il campo coulombiano ed \`e
parallelo a {\bf v}, per cui nel riferimento $O$, ricordando la
contrazione di Lorentz

\begin{equation}
E_\parallel = E^\prime_\parallel = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^{\prime 2}} = 
\frac{q}{4\pi\epsilon_0 \gamma^2 r^2}.
\end{equation} 

Il campo visto da $O$ lungo la direzione di marcia \`e dunque {\sl
pi\`u debole} di quello coulombiano di un fattore $\gamma^2$.
Analogamente si procede per il calcolo del campo in un punto situato
al di fuori della linea di propagazione nel momento in cui la carica
``ci passa accanto'' (vale a dire, in cui la posizione della carica
sulla sua traiettoria coincide con la proiezione ortogonale del punto
campo sulla traiettoria stessa; ricordiamo che stiamo trascurando il
ritardo):

\begin{equation}
E_\perp = \gamma E^\prime_\perp =
\gamma \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^{\prime 2}} = 
\gamma \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2.}
\end{equation} 

Il campo ortogonale --- nel senso descritto prima --- \`e dunque {\sl
pi\`u grande} di quello coulombiano per un fattore $\gamma$. Se ne
deduce che le linee di campo, viste dall' osservatore $O$, risultano
addensate perpendicolarmente alla direzione del moto della particella
e, al limite $v \to c$, il campo elettrico \`e trasversale.

Il campo magnetico \`e evidentemente trasversale e vale, quando la
particella ``ci passa accanto'',

\begin{equation}
B_\perp = \frac{\gamma v}{c^2} E^\prime_\perp = \frac{\beta}{c} E_\perp.
\end{equation}

Il campo di una particella in moto veloce somiglia dunque sempre pi\`u
a quello di un'onda piana --- {\bf E} e {\bf B} perpendicolari tra
loro ed alla direzione di propagazione, e moduli nel rapporto $E/B=c$
--- all'approssimarsi della sua velocit\`a a $c$.

Si noti che $B_\perp$ non si annulla nel limite classico $\beta\to 0$
ma vale

\begin{equation}
B_\perp \simeq \frac{q v}{4\pi\epsilon_0 c^2 r^2} =
\left| \frac{\mu_0 q \bf v \times r}{4 \pi r^3} \right|
\end{equation}

\noindent che concide con la \ref{biot} se si interpreta la carica in
moto come un ``elemento di corrente'' $Id{\bf l}$ (si ricorder\`a come
questa interpretazione fosse scorretta partendo dalla magnetostatica,
in quanto la legge \ref{biot} \`e stata dedotta per correnti chiuse;
qui vediamo come in realt\`a il risultato in s\'e sia corretto).

I campi dunque sono relativi all'osservatore. Esistono per\`o alcune
grandezze che sono invarianti. La prima \`e semplicemente il prodotto
scalare tra i campi elettrico e magnetico:

\begin{equation}
{\bf E^\prime \cdot B^\prime} = E^\prime_\parallel B^\prime_\parallel +
{\bf E^\prime_\perp \cdot B^\prime_\perp} =
E_\parallel B_\parallel + \gamma^2 [{\bf E}_\perp + ({\bf v \times B}_\perp)]
\cdot [{\bf B}_\perp - \frac{1}{c^2} ({\bf v \times E}_\perp)].
\end{equation}

Ricordando che il prodotto vettore \`e ortogonale ad entrambi i
fattori e notando che da questo fatto si ha che i vettori ${\bf a
\times b}$ e ${\bf a \times c}$ formano tra di loro lo stesso angolo
che i vettori {\bf b} e {\bf c}, si ottiene

\begin{equation}
{\bf E^\prime \cdot B^\prime} = 
E_\parallel B_\parallel + \gamma^2 [{\bf E_\perp \cdot B_\perp}
- \frac{v^2}{c^2} {\bf B_\perp \cdot E_\perp}] =  E_\parallel B_\parallel +
{\bf E_\perp \cdot B_\perp} = {\bf E \cdot B} 
\end{equation}

\noindent come affermato. Analogamente si vede che ({\it Esercizio})

\begin{equation}
E^2-c^2 B^2 = E^{\prime 2} - c^2 B^{\prime 2}.
\end{equation}

Se ne deduce quindi che la propriet\`a di un'onda elettromagnetica di
essere piana \`e invariante.

%\vfill\hrule {\sl {\sc Bibliografia:} \cite{jackson} cap. x, ...}

%\begin{figure}[h!]  % h = here, b= bottom, t=top !=fai cosi'
%\begin{center} 
%\scalebox{.25}[.2]{\includegraphics{rfig1.eps}} 
%\hspace{7cm} 
%\scalebox{.2}[.2]{\includegraphics{rfig1.eps}} 
%\caption{\small }
%\vspace{-0.85cm}
%\label{fig:p} 
%\end{center}
%\end{figure}
%\vspace{0.85cm}

\appendix

\chapter{I sistemi di unit\`a di misura dell'elettromagnetismo}
\label{sistemi}

I sistemi di unit\`a di misura, come \`e noto, sono frutto di una
scelta arbitraria, e questo fatto permette di utilizzarne uno
qualunque, a seconda dei gusti, a patto di essere coerenti nel suo
utilizzo. Questo fatto ha storicamente portato alla coesistenza di
diversi sistemi di unit\`a, coesistenza che in parte permane tuttora.

Consideriamo qui i due sistemi principali, gli unici ormai ad essere
utilizzati: il Sistema Internazionale (SI) ed il cgs. Finch\'e si
considerano solo grandezze meccaniche, in cui le grandezze
fondamentali sono solo tre: Lunghezza, Tempo e Massa, la differenza
tra i due sistemi \`e ridotta. Infatti in essi vengono scelte come
unit\`a fondamentali che differiscono tra loro al pi\`u solo di
potenze di 10: metro/centimetro, kilogrammo/grammo. Il risultato \`e
che i due sistemi definiscono grandezze che differiscono tra loro
solamente di potenze di 10, e tutte le equazioni, definizioni, ecc.
assumono la stessa forma.

\section{Il Sistema Internazionale}

Le cose cambiano radicalmente quando si passa allo studio dell'
elettromagnetismo. In questo caso infatti il SI definisce un'unit\`a
di misura addizionale, l' Amp\`ere (A), definito come ``quella
corrente che, scorrendo in due fili infiniti paralleli posti a
distanza di 1 m, genera una forza tra di essi pari a $2\ 10^{-7}$
N/m''. Invertendo il ragionamento che porta alla
\ref{forza_coppiafili}, si pu\`o dire che 1 A \`e la corrente che,
presa la costante $\mu_0$ esattamente pari al valore di $4 \pi \
10^{-7}$ m kg/C$^2$, rende valide congiuntamente le espressioni
\ref{florentz} della forza di Lorentz e \ref{ampere_int} della legge
di Amp\`ere. Cos\`i facendo, si \`e anche definita l'unit\`a di misura
del campo magnetico, il Tesla.

Il Coulomb (C), unit\`a di misura della carica, \`e nel SI un' unit\`a
derivata che vale 1 A s. La costante $k$ nella legge di Coulomb ${\bf
F} = k q_1 q_2 {\bf \hat r}/r^2$ va dunque misurata, visto che non
c'\`e pi\`u nulla di definibile arbitrariamente nelle altre grandezze
che compaiono nell'equazione. Il SI pone, come \`e noto, $k = 1/4 \pi
\epsilon_0$. Rimane cos\`i fissata anche l'unit\`a di misura del campo
elettrico ${\bf E = F}/q$, il Volt/m = kg m s$^{-2}$ C$^{-1}$.

\section{Il sistema di Gauss}

Nell sistema cgs, almeno nella sua versione di gran lunga pi\`u comune
che prende il nome di Gauss, si evita di definire un' ulteriore
unit\`a fondamentale, e si procede invece a definire l'unit\`a di
carica, detta {\sl unit\`a elettrostatica} (ues, o all'inglese esu),
ponendo $k=1$ nella legge di Coulomb. L'equazione di Gauss in forma
integrale diventa $\oint {\bf E} \cdot d{\bf S} = 4 \pi q$.

Le dimensioni fisiche dell' ues sono g$^{1/2}$ cm$^{3/2}$ s$^{-1}$; 1
C corrisponde a $3\ 10^9$ ues. Il fattore 3 che compare in questa ed
altre conversioni ha a che fare, come vedremo, con la velocit\`a della
luce $c = 2.997925\ 10^8\approx 3\ 10^8$ m/s; per avere una
conversione pi\`u precisa si sostituisca dunque al 3 il valore
2.997925.

Per quanto la comparsa di dimensioni con esponente frazionario possa
sembrare strana, non c'\`e nulla di sbagliato, bizzarro, o viceversa
molto profondo nella loro presenza. Piuttosto \`e molto importante
notare che non solo le stesse grandezze fisiche sono espresse da
numeri diversi nel SI e nel sistema di Gauss, ma sono in generale {\sl
misurate con unit\`a diverse}, e {\sl possono avere forme
diverse}. Per esempio, la conducibilit\`a elettrica si misura in
s$^{-1}$ --- o, se si preferisce, in Hertz --- nel sistema di Gauss, e
l'equazione \ref{forza_coppiafili} diventa $F/L = \frac{2 I_1 I_2}{c^2
s}$.

Nel sistema di Gauss l'unit\`a di corrente, lo statAmp\`ere, \`e
derivata ed ha un valore ben definito (1 A corrisponde a $3\ 10^9$
stA). Nella legge di Amp\`ere viene introdotta una costante, la
costante $c$, avente le dimensioni di una velocit\`a, e l'equazione
assume la forma $\oint {\bf B \cdot} d{\bf l} = \frac{4 \pi}{c} I$. In
questo modo {\bf B} e {\bf E} sono misurati nelle stesse unit\`a, lo
statV/cm = $3\ 10^4$ V/m, che nel caso del campo magnetico prende il
nome di Gauss, equivalente a $10^{-4}$ T. Anche {\bf D} ed {\bf H}
hanno queste stesse unit\`a di misura.

Se ora si sceglie la seguente espressione per la forza di Lorentz

\begin{displaymath}
{\bf F} = q \left( {\bf E} + \frac{\bf v}{c} \times {\bf B} \right)
\end{displaymath}

\noindent il valore di $c$ risulta non arbitrario, ma determinato (e
determinabile) empiricamente (e, fra le altre cose, il valore misurato
deve far s\`i che valga l'equazione \ref{forza_coppiafili}). Come \`e
logico, il sistema di Gauss contiene lo stesso numero --- uno --- di
costanti empiriche del SI (che contiene $\epsilon_0$).

Riassumendo, le equazioni di Maxwell in unit\`a di Gauss appaiono come
segue:

\begin{eqnarray*}
\begin{array}{ll}

\nabla \cdot {\bf E} = 4 \pi \rho & \oint {\bf E \cdot} d{\bf S} = 4
\pi q\\

\nabla \cdot {\bf B} = 0 & \oint {\bf B \cdot} d{\bf S} = 0\\

{\bf \nabla \times E} = -\frac{1}{c} \frac{\partial{\bf B}}{\partial
t} & \oint {\bf E \cdot} d{\bf l} = -\frac{1}{c} \frac{d}{dt} \int
{\bf B \cdot} d{\bf S} \\

\nabla \times {\bf B} = \frac{4 \pi}{c} {\bf j} + \frac{1}{c} \frac{
\partial {\bf E} }{\partial t} & \oint {\bf B \cdot} d{\bf l} =
\frac{4 \pi}{c} I + \frac{1}{c} \frac{d}{dt} \int {\bf E \cdot} d {\bf
S}\\

\end{array}
\end{eqnarray*}

Deducendo ({\it Esercizio}) l'equazione delle onde da questa forma
delle equazioni di Maxwell si vede subito che la costante $c$ risulta
essere proprio la velocit\`a della luce.

Infine, conoscendo le equazioni di Maxwell in entrambe le forme, si
ricava una ricetta pratica per la conversione di una qualunque
equazione dell'elettromagnetismo nel vuoto (non solo le equazioni di
Maxwell e di Lorentz, ma tutte, visto che ne discendono) da SI a
Gauss e viceversa:

\begin{displaymath}
\begin{array}{|ccc||ccc|}
\hline
\mbox{SI}  &             & \mbox{Gauss} & \mbox{Gauss} & & \mbox{SI} \\ \hline
\epsilon_0 & \rightarrow & 1/4 \pi      & E & \rightarrow & \sqrt{4\pi\epsilon_0}E\\
\mu_0      & \rightarrow & 4 \pi/c^2    & B & \rightarrow & \sqrt{4\pi/\mu_0}B\\
B          & \rightarrow & B/c          & q & \rightarrow & q/\sqrt{4\pi\epsilon_0}\\
           &             &              & j & \rightarrow & j/\sqrt{4\pi\epsilon_0}\\
\hline
\end{array}
\end{displaymath}

\chapter{L'analisi di Fourier}
\label{fourier}

\section{La serie di Fourier}

Consideriamo l'insieme ${\cal F}$ di tutte le funzioni a valori
complessi, limitate e con un numero finito di punti di
discontinuit\`a, definite sull'intervallo reale $[-T/2,T/2]$ o,
equivalentemente, periodiche con periodo $T$. Come \`e noto questo
insieme pu\`o essere strutturato come spazio di Hilbert ${\cal H}$ su
{\bf C} con il prodotto scalare

\begin{equation}
(f,g) = \int_{-T/2}^{T/2} f^*(t)g(t)\ dt.
\label{prscal}
\end{equation}

Di conseguenza \`e sempre possibile sviluppare una qualunque funzione
$u(t) \in {\cal F}$ su di una base di funzioni ortogonali (che
possiamo se necessario sempre supporre ortonormali) $\{ {\bf v}_l \}$:

\begin{equation}
{\bf u} = \sum_l {\bf (v}_l,{\bf u)\ v}_l = \sum_l \int_{-T/2}^{T/2}
v_l^*(\tau) u(\tau)\ d\tau\ {\bf v}_l.
\end{equation}

Una tale base \`e fornita dall'insieme di funzioni esponenziali

\begin{equation}
v_l(t) = \frac{1}{\sqrt{T}} e^{i 2 \pi l t/T}, l\in {\bf Z}
\label{esponenziali}
\end{equation}

\noindent che in effetti appartengono ad ${\cal F}$ e costituiscono un
insieme ortonormale:

\begin{equation}
({\bf v}_l,{\bf v}_{l^\prime}) = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} e^{i 2
\pi (l^\prime - l) t/T} = \delta_{l l^\prime}.
\end{equation}

Evidentemente lo stesso vale per le funzioni seno e coseno; se
l'insieme di funzioni di base viene definito come

\begin{eqnarray}
v_0(t) &=& \sqrt{\frac{1}{T}} \nonumber \\
v_l(t) &=& \sqrt{\frac{2}{T}} \cos(2 \pi l t/T),\ l\in {\bf
N} \label{trigonometriche} \\
w_l(t) &=& \sqrt{\frac{2}{T}} \sin(2 \pi l t/T),\ l\in {\bf N}
\nonumber
\end{eqnarray}

\noindent anch'esso risulta ortonormale.

Si noti che tutte le funzioni risultano periodiche di periodo $T$ o,
se si preferisce, aventi frequenze $\omega_l = 2 \pi l/T$ che sono
tutte multiple intere di una frequenza $\omega=2\pi/T$ detta {\sl
fondamentale}. Le altre frequenze sono dette {\sl armoniche}.

Si dimostra che {\sl sia l'insieme \ref{esponenziali} che l'insieme
\ref{trigonometriche} formano un insieme completo, dunque ciascuno \`e
una base dello spazio di Hilbert $\cal H$}.

Ogni funzione ${\bf u \in \cal F}$ pu\`o dunque essere sviluppata in
una serie della forma

\begin{equation}
u(t) = \sum_{l=-\infty}^\infty c_l\ e^{i \omega_l t} = \frac{1}{T}
\sum_{l=-\infty}^\infty \int_{-T/2}^{T/2} e^{-i 2 \pi l \tau/T}
u(\tau)\ d\tau\ e^{i 2 \pi l t/T}
\end{equation}

oppure

\begin{eqnarray}
u(t) &=& a_0 + \sum_{l=1}^\infty \left[ a_l\ \cos(\omega_l t) + b_l\
\sin(\omega_l t)\right] = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}\ u(\tau)\
d\tau\nonumber \\
&+& \frac{2}{T} \sum_{l=1}^\infty \left[ \int_{-T/2}^{T/2} \cos(2 \pi
l \tau/T)\ u(\tau)\ d\tau\ \cos(2 \pi l t/T) \right. \\
&+& \left. \int_{-T/2}^{T/2} \sin(2 \pi l \tau/T)\ u(\tau)\ d\tau\
\sin(2 \pi l t/T) \right]. \nonumber
\end{eqnarray}

Il coefficiente $a_0$ o $c_0$ denota il valor medio della funzione
$u$.

Se la funzione $u$ \`e a valori reali i coefficienti $a_l$ e $b_l$
sono reali, ma i $c_l$ non lo sono necessariamente [lo sono, per
esempio, se ({\it Esercizio}) la funzione $u$ \`e pari]. In generale
vale solo la relazione $c^*_{-l}=c_l$. Lo sviluppo converge ad $u(t)$
in tutti i punti di continuit\`a ed al valor medio dei limiti destro e
sinistro (che, per le ipotesi fatte, esistono sempre) nei punti di
discontinuit\`a. Evidentemente, per funzioni pari si avr\`a $b_l=0$ e
per funzioni dispari $a_l=0\ \forall l$.

Ognuno di questi sviluppi \`e {\sl unico} ed \`e noto come {\sl
sviluppo in serie di Fourier}. Tale sviluppo definisce dunque una
relazione biunivoca tra l'insieme ${\cal F}$ ed un opportuno
sottoinsieme dell'insieme delle successioni.

\section{La trasformata di Fourier}

Possiamo considerare il caso di una funzione non periodica definita su
tutto l'asse reale prendendo il limite $T\to\infty$ delle formule
precedenti. In questo limite le frequenze $\omega_l$ tendono ad una
distribuzione continua, infatti la loro distanza \`e $\Delta \omega =
\omega_{l+1} - \omega_l = 2 \pi /T \to 0$. Passiamo quindi al limite
del continuo identificando $1/T$ con $\Delta\omega/ 2 \pi \to d\omega/
2 \pi$. Prendendo la base di esponenziali complessi \ref{esponenziali}
si dimostra che lo sviluppo di Fourier diventa

\begin{equation}
u(t) = \frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \widehat u(\omega) \ e^{i
\omega t}\ d\omega = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^\infty
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega \tau} u(\tau)\ d\tau\ e^{i
\omega t}\ d\omega
\end{equation}

\noindent dove si \`e introdotta la {\sl trasformata di Fourier}

\begin{equation}
\widehat u(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega \tau}
u(\tau)\ d\tau.
\label{trasformata}
\end{equation}

La funzione originale $u(t)$ viene anche detta {\sl antitrasformata}
di $\widehat u(\omega)$ e, come si vede, l'antitrasformazione di
Fourier \`e del tutto analoga alla trasformazione, cambiando solo il
segno all'esponente, la variabile di integrazione ed il coefficiente
(anche quest'ultimo avrebbe potuto essere scelto simmetrico). \`E
frequente l'uso di omettere il ``cappelletto'' sulla trasformata e di
distinguerla dall' antitrasformata solo tramite il simbolo della
variabile indipendente.

La trasformata di Fourier pu\`o essere vista, oltre che come uno
sviluppo su di una base pi\`u che numerabile di funzioni, come una
funzione avente come dominio un sottoinsieme dell'insieme delle
funzioni da {\bf R} in {\bf C} e come codominio un sottoinsieme
dell'insieme delle funzioni da {\bf C} in {\bf R}. Si tratta di una
funzione {\sl lineare}: se $f(t)=\alpha g(t) + \beta h(t)$, allora
$\widehat f(\omega)=\alpha \widehat g(\omega) + \beta \widehat
h(\omega)$.

Si dimostra che se si chiama ${\cal G}$ lo spazio di Hilbert
costruito, nella maniera usuale, sull'insieme delle funzioni
infinitamente derivabili $u(t): [-\infty, \infty]\to {\bf C}$ tali che
per ognuna di esse esiste un insieme $\{C_{pq}(u)\}$ tale che $|t^p
u^{(q)}|< C_{pq}(u)$ (funzioni ``rapidamente decrescenti''), allora
{\sl la trasformata di Fourier \`e un isomorfismo da ${\cal G}$ in
${\cal G}$}.

Valgono le propriet\`a, di facile verifica ({\it Esercizio})

\begin{eqnarray}
\widehat{\frac{d^n u}{dt^n}} &=& (i \omega)^n \widehat u(\omega)
\nonumber\\
\widehat u(\omega) &=& \widehat u^*(-\omega)\label{prop_fourier}\\
f(t) &=& \int_{-\infty}^\infty g(\tau) h(t-\tau)\ d\tau = (g*h)(t)
\Rightarrow \widehat f(\omega) = \widehat g(\omega) \widehat h(\omega)
\nonumber.
\end{eqnarray}

Quest'ultima \`e nota come {\sl teorema della convoluzione}.

L'estensione della trasformata di Fourier a funzioni di pi\`u
variabili \`e immediata. Se {\bf r} \`e un vettore a tre dimensioni,
allora

\begin{eqnarray}
\widehat u({\bf k}) &=& \phantom{\frac{1}{(2
\pi)^3}}\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \bf k\cdot r } u({\bf r})\ dx dy dz\\
u({\bf r}) &=& \frac{1}{(2 \pi)^3} \int_{-\infty}^{\infty}
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i \bf k\cdot r }
\widehat u({\bf k})\ dk_x dk_y dk_z.
\end{eqnarray}

\section{Applicazioni}

La linearit\`a della trasformata di Fourier \`e alla base delle sue
principali applicazioni. In virt\`u di questa propriet\`a \`e
possibile risolvere un'equazione differenziale (o integrale) lineare
trasformando secondo Fourier l'equazione stessa per poi lavorare
separatamente su ogni componente $\omega$. Al termine si ricombinano
linearmente le soluzioni trovate, funzioni di $\omega$, tramite
l'antitrasformata, ottenendo cos\`i la soluzione generale
dell'equazione.

\subsection{Il circuito RLC}

Un esempio semplice \`e dato dalla soluzione dell'equazione
\ref{rlc_corrente} del circuito $RLC$. Possiamo scrivere l'equazione
come

\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega
\tau}\frac{dV}{d\tau} d\tau\ e^{i \omega t}\ d\omega =
\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-i \omega \tau}
\left(L \frac{d^2 I}{dt^2} + R \frac{dI}{dt} + \frac{I}{C} \right)
d\tau e^{i \omega t}\ d\omega
\end{displaymath}

\noindent ovvero, sfruttando le propriet\`a della trasformata,

\begin{displaymath}
\int_{-\infty}^\infty i \omega \widehat V(\omega) e^{i \omega t}\
d\omega = \int_{-\infty}^{\infty} \left( -\omega^2 L + i \omega R +
\frac{1}{C} \right) \widehat I(\omega) e^{i \omega t}\ d\omega
\end{displaymath}

\noindent e notando che gli esponenziali $e^{i \omega t}$ sono
linearmente indipendenti possiamo eguagliare gli integrandi:

\begin{equation}
i \omega \widehat V(\omega) = \left( -\omega^2 L + i \omega R +
\frac{1}{C} \right) \widehat I(\omega) \Rightarrow \widehat I(\omega)
= \frac{\widehat V(\omega)}{R + i[\omega L - 1/(\omega C)]}.
\label{rlc_fourier}
\end{equation}

Di solito i passaggi intermedi vengono sottintesi e si scrive
direttamente la \ref{rlc_fourier}. Come si vede, ci si \`e ricondotti
da un'equazione differenziale ad una algebrica. Questa equazione d\`a
il valore dell'ampiezza di ogni componente di Fourier della corrente
$\widehat I(\omega)$ in funzione dell'ampiezza della componente di
Fourier della tensione applicata $\widehat V(\omega)$. Altrimenti
detto, fornisce la risposta in corrente del circuito per una tensione
con una sola frequenza $\omega$ e di ampiezza $\widehat V(\omega)$;
per la linearit\`a dell'equazione la risposta in corrente per una
tensione variabile in maniera arbitraria si ottiene semplicemente
sommando tutte le risposte a tutte le frequenze, vale a dire
integrando la \ref{rlc_fourier}:

\begin{displaymath}
I(t) = \int_{-\infty}^\infty \widehat I(\omega) \ e^{i \omega t}\
d\omega = \int_{-\infty}^\infty \frac{\widehat V(\omega)e^{i\omega
t}}{R + i[\omega L - 1/(\omega C)]}\ d\omega.
\end{displaymath}

L'integrale, data la forma esplicita di $V(t) \Leftrightarrow
V(\omega)$, si calcola o esplicitamente o facendo ricorso ad
opportune tavole. Nel caso semplice $V(t) = V_0 \cos(\omega^\prime t)
= V_0 (e^{i\omega^\prime t}+e^{-i \omega^\prime t})/2$ l'integrale si
riduce alla somma di due termini, quelli con
$\omega=\pm\omega^\prime$, per cui, ricordando le definizioni di
$\phi$, $X$ e $Z$:

\begin{eqnarray*}
I(t) &=& \frac{V_0}{2} \left\{ \frac{e^{i\omega^\prime t}}{R +
i[\omega^\prime L - 1/(\omega^\prime C)]} +
\frac{e^{-i\omega^\prime t}}{R - i[\omega^\prime L -
1/(\omega^\prime C)]} \right\} \\
&=& \frac{V_0}{2} \left\{ \frac{R - i X}{R^2 + X^2}
e^{i\omega^\prime t} +
\frac{R + i X}{R^2 + X^2} e^{-i\omega^\prime t}\right\} =
\frac{V_0}{Z} \left\{ \frac{R}{Z} \cos\omega^\prime t + \frac{X}{Z}
\sin\omega^\prime t \right\}
\\
&=&\frac{V_0}{Z} \left\{ \cos\omega^\prime t \cos\phi +
\sin\omega^\prime t \sin\phi
\right\} = \frac{V_0}{Z} \cos(\omega^\prime t - \phi)
\end{eqnarray*}

\noindent coincidente con la \ref{corrente_rlc}. Naturalmente, avendo
considerato fin dal principio funzioni periodiche troviamo soltanto le
soluzioni a regime e non i transitori.

\subsection{I potenziali ritardati}

Un esempio pi\`u complicato, ma importante, \`e quello delle equazioni
per i potenziali \ref{onda_potenziali}. Prendendo per semplicit\`a
quella per il potenziale scalare, e trasformando con Fourier rispetto alla
variabile temporale, l'equazione diventa

\begin{equation}
\nabla^2 \phi({\bf r},\omega) + \frac{\omega^2}{c^2} \phi({\bf r}, \omega) =
- \rho({\bf r}, \omega)/\epsilon_0.
\label{rit_fourier}
\end{equation}

Immaginiamo ora di avere una carica puntiforme di valore $q$
nell'origine.  La densit\`a di carica \`e allora tale che $\rho({\bf
r})$ sia nulla ovunque tranne che in un intorno molto piccolo
(infinitesimo) attorno a ${\bf r}=0$ e che $\int \rho\ d\Omega =
q$\footnote{Le strane propriet\`a di questo tipo di ``funzione'',
chiamata {\sl funzione delta di Dirac $\delta$}, possono essere
studiate rigorosamente tramite la {\sl teoria delle distribuzioni},
descritta in numerosi testi, a cui si rimanda l'interessato.}.

La soluzione $G({\bf r},\omega)$ dell'equazione \ref{rit_fourier} in
questo caso particolare, a simmetria sferica, dev'essere anch'essa a
simmetria sferica e si trova agevolmente in spazio di Fourier:

\begin{equation}
G(k,\omega) = \frac{q}{\epsilon_0\left(k^2-\omega^2/c^2\right)}
\label{green}
\end{equation}

Ma il caso dipendente dal tempo differisce da quello statico per la
presenza di un fattore $\omega \neq 0$; vediamo dunque che la
differenza fra i due casi si riduce alla sostituzione di $k^2$ con
$k^2-\omega^2/c^2 = (k-\omega/c)(k+\omega/c)$. Dato che, nelle
trasformate, $k$ corrisponde ad $r$ ed $\omega$ a $t$, possiamo
perci\`o aspettarci che la trasformata inversa della \ref{green} dia
un risultato che differisce dal caso statico per la sostituzione di
$r$ con $r \pm ct$. Si verifica ({\it Esercizio}) che \`e proprio
cos\`i.  D'altro canto $G(r,\omega=0)$ deve coincidere con la
soluzione dell' eq. \ref{poisson}, per cui si deve avere ({\it
Esercizio}: verificarlo)

\begin{displaymath}
G (r,0) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r} \Leftarrow \frac{q}{\epsilon_0 k^2}
\end{displaymath}

\noindent e di conseguenza

\begin{displaymath}
G (r,t) = \frac{q}{4\pi\epsilon_0 (r \pm ct)} \Leftarrow
\frac{q}{\epsilon_0 (k^2-\omega^2/c^2)}.
\end{displaymath}

Nel caso generale, dunque, se sommiamo tutti i contributi
alla $\rho({\bf r},t)$ delle cariche puntiformi, in completa analogia con
il paragrafo \ref{pot_rit}, otteniamo un risultato che \`e proprio
quello espresso dalla \ref{potenziali_ritardati}.




\chapter{Relazioni vettoriali}


\section{Definizioni e relazioni algebriche}

\begin{eqnarray}
{\bf u \cdot v} &=& u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \\
{\bf u \times v}& =& \left| \begin{array}{ccc} {\bf \hat x} &{\bf \hat
y}& {\bf \hat z}\\ u_x & u_y & u_z\\ v_x & v_y & v_z\\
\end{array}\right|\label{provet}\\
\nonumber\\
{\bf u \cdot \left( v \times w \right)} &=& {\bf w \cdot \left( u \times v \right)
= v \cdot \left( w \times u \right)}\label{scal_vett}\\
{\bf \hat x \times \hat y} &=& {\bf \hat z}\nonumber\\
{\bf \hat y \times \hat z} &=& {\bf \hat x}\nonumber\\ 
{\bf \hat z \times \hat x} &=& {\bf \hat y}\nonumber\\
\nonumber\\
{\bf \nabla} f &=& {\bf \hat x} \frac{\partial f}{\partial x}+{\bf \hat y}
\frac{\partial f}{\partial y}+{\bf \hat z} \frac{\partial f}{\partial z}\\
\nabla^2 f &=& \nabla {\bf \cdot \nabla} f = \frac{\partial^2
f}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2
f}{\partial z^2}\\
\nabla \cdot {\bf v} &=& \frac{\partial v_x}{\partial x}+
\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\\
{\bf \nabla^2 v} &=& (\nabla^2 v_x,\nabla^2 v_y,\nabla^2 v_z)\\
{\bf \nabla \times v} &=& \left| \begin{array}{ccc} {\bf \hat x} &{\bf
\hat y}& {\bf \hat z}\\ \frac{\partial}{\partial x} &
\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ v_x & v_y
& v_z\label{rotaz}\\
\end{array}\right|
\end{eqnarray}

\section{Relazioni differenziali}

\begin{eqnarray}
{\bf \left( u \cdot \nabla \right) v} &=&
u_x \frac{\partial {\bf v}}{\partial x} +
u_y \frac{\partial {\bf v}}{\partial y} +
u_z \frac{\partial {\bf v}}{\partial z} \\
\nonumber\\
{\bf \nabla \cdot u \times v} &=& {\bf v \cdot \nabla \times u
- u \cdot \nabla \times v} \label{divett}\\
{\bf \nabla \times \nabla \times v} &=& {\bf \nabla \left( \nabla \cdot v
\right)} {\bf - \nabla^2 v} \label{rotrot}\\
{\bf \left( \nabla \times u \right) \times u} &=&
{\bf u \cdot \nabla u} - \frac{1}{2} \nabla u^2 \label{rotvett}\\
\nabla \cdot {\bf \nabla \times v} &=& 0\\
\nabla \times \nabla f &=& 0
\end{eqnarray}

\section{Relazioni integrali}

\begin{eqnarray}
\oint {\bf v} \cdot d{\bf S} &=& \int \nabla \cdot {\bf v}\
d\Omega \label{teorema_gauss}\\
\int {\bf \nabla \times v} \cdot d{\bf S} &=& \oint {\bf v
\cdot} d{\bf l}
\end{eqnarray}

\begin{thebibliography}{10}

\bibitem{griffiths} D.J. Griffiths, {\sl Introduction to electrodynamics},
Prentice Hall. \`E il testo che pi\`u si avvicina a questo corso, sia per
tipo di argomenti trattati che per livello di approfondimento. Scritto
in stile molto chiaro e discorsivo.

\bibitem{jackson} G.D. Jackson, {\sl Elettrodinamica classica},
Zanichelli. Il testo standard per l'elettrodinamica, utilizzabile
anche per la Relativit\`a, molto completo ed aggiornato. Strana la
scelta di utilizzare, nell'ultima edizione, il SI per i primi capitoli
e quello di Gauss per gli ultimi.

\bibitem{panofski} P. Panofski e M. Phillips, {\sl Elettricit\`a e
magnetismo}, CEA. Un altro testo classico, ora fuori commercio in
Italia ma disponibile a prezzo contenuto in inglese (Dover). Ottima la
parte di relativit\`a.

%\bibitem{schwinger} J.S. Schwinger, L.L. deRaad, K.A. Milton e
%W.-Y. Tsai, {\sl Classical electrodynamics}, Perseus Books. Per chi
%ama le presentazioni assiomatiche: le equazioni di Maxwell sono
%dedotte dalla legge di Coulomb pi\`u le trasformazioni di Lorentz.

\bibitem{thide} Bo Thid\'e, {\sl Electromagnetic Field Theory},
reperibile gratuitamente in rete all'URL
http://www.plasma.uu.se/CED/Book. Molto conciso, contiene per\`o tutti
gli argomenti e le equazioni pi\`u importanti (ottica e circuiti
esclusi).

\bibitem{berkeley} E. Purcell, {\sl La Fisica di Berkeley - vol. 2},
Zanichelli. Un testo meno avanzato dei precedenti ma molto buono. Usa
un approccio diverso da quello qui seguito (la relativit\`a \`e data
per nota). Sfortunatamente scritto nel sistema di Gauss.

\bibitem{halliday} D. Halliday e R. Resnick, {\sl Fisica 2}, CEA.
Testo abbastanza elementare di elettromagnetismo (non usa le forme
differenziali per le equazioni) e di ottica, ricco di esempi ed
esercizi. Sostituibile con qualunque testo di Fisica Generale per i
primi due anni di Fisica o Ingegneria.

\bibitem{feynman} R.P. Feynman, R.B. Leighton e M. Sands, {\sl La
fisica di Feynman - voll. 1 e 2}, Zanichelli. Un libro eccellente, ma
non un libro di testo: da leggere {\sl dopo} avere studiato gli altri,
per capirli pi\`u a fondo.

\bibitem{landau} L.D. Landau e E.M. Lif\v sits, {\sl Corso di Fisica
Teorica vol. 2: Teoria dei Campi}, Editori Riuniti. Valgono le stesse
avvertenze che per il Feynman. Pi\`u di consultazione che di studio.

\bibitem{kittel} C. Kittel, {\sl Introduzione alla Fisica dello Stato
Solido}, Bollati Boringhieri. In un paio di capitoli discute il
magnetismo nella materia sforzandosi di non usare troppo la Meccanica
Quantistica.

\bibitem{resnick} R. Resnick, {\sl Introduzione alla Relativit\`a
Ristretta}, CEA. Introduzione chiara ed estesa, a livello non troppo
avanzato. Attenzione: fa largo uso della ``massa relativistica'',
concetto che ritengo poco utile se non deleterio.

\bibitem{taylor} E.F. Taylor e J.A. Wheeler, {\sl Fisica dello
spazio-tempo}, Zanichelli (mi \`e nota direttamente per\`o solo
l'edizione inglese). \`E un testo anticonvenzionale --- non sono molti
i libri di Fisica che includono i Klingon nell'indice analitico ---
focalizzato sugli aspetti fisici e con il minimo di matematica
necessaria. Si tenga presente che nel testo si parla di ``sistema in
caduta libera'' intendendo ``sistema inerziale''.

\bibitem{miller} A.I. Miller, {\sl Albert Einstein's Special Theory
of Relativity}, Addison-Wesley. Ampia illustrazione della genesi della
Teoria della Relativit\`a, nel contesto scientifico (sia teorico
che sperimentale) dell'epoca.

\bibitem{goldstein} H. Goldstein, {\sl Meccanica Classica},
Zanichelli. Rimane la presentazione pi\`u chiara a me nota della meccanica
analitica. Include una trattazione degli elementi della
meccanica analitica relativistica.

\end{thebibliography}

\end{document}
